黃文琴
求平面幾何圖形的面積問題比較常見.對于規(guī)則的平面幾何圖形,可以直接利用三角形、矩形、等腰梯形、圓等的面積公式來求解;而對于不規(guī)則的曲邊平面圖形,直接運(yùn)用平面幾何圖形的面積公式往往很難求得,須利用定積分的幾何意義求解.
定積分的幾何意義是指被積函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的面積,即曲邊圖形的面積s=
,若被積函數(shù)的圖象位于x軸上方,則函數(shù)的定積分為正;若位于x軸的下方,則函數(shù)的定積分為負(fù),定積分與曲邊梯形面積的關(guān)系,如下表所示,
利用定積分的幾何意義求平面幾何圖形面積的步驟如下:
(1)根據(jù)題意畫出平面幾何圖形;
(2)根據(jù)幾何圖形確定被積函數(shù),求出圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo),并求出積分的上、下限;
(3)把曲邊梯形的面積表示成若干個(gè)定積分的和;
(4)計(jì)算定積分.
例1.(1)求函數(shù)y=√4一X2在[-2,2]上的圖象與x軸所圍成的圖形的面積;
(2)求函數(shù)y=smx在區(qū)間[-π,π]上的圖象與x軸圍成的圖形的面積.
當(dāng)被積函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)軸或坐標(biāo)原點(diǎn)對稱時(shí),比較容易求得幾何圖形的面積,直接利用定積分的幾何意義和圖形的對稱性即可解題.
例2.求曲線y2= 2x與y=x-4所圍成的圖形的面積,
分析:題中的圖形由兩條曲線圍成,很難快速求得問題的答案,需將圖形分割,把問題轉(zhuǎn)化為求兩部分圖形的面積的和或差,再根據(jù)定積分的幾何意義來解題,
總之,若函數(shù)),y=f(x)的圖象為不規(guī)則曲線,則需根據(jù)圖形的特點(diǎn)進(jìn)行合理的分割,將求平面圖形面積的問題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形的面積問題,利用定積分的幾何意義來求解.對不同的圖形,需采用不同的分割方法或選取不同的積分變量.