趙雪岑

反證法是解答數(shù)學(xué)問題的常用方法，是一種間接證明方法．當(dāng)遇到一些從正面分析、求解較為困難的問題，或采用常規(guī)方法難以獲解的問題時(shí)，采用反證法求解往往比較奏效．反證法是指假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過推理后，得到與已知條件、定理、性質(zhì)等相矛盾的結(jié)論，從而證明原命題成立的方法，

對(duì)于兩個(gè)互相矛盾的命題和判斷來說，根據(jù)矛盾律，可由其中一個(gè)為真，推斷出另一個(gè)為假，但是不能由一個(gè)為假來斷定另一個(gè)為真．然而，根據(jù)排中律的原理，我們不但能夠由其中一個(gè)為真推斷出另一個(gè)為假，同時(shí)也能夠由一個(gè)為假來推斷出另一個(gè)為真．反證法的邏輯依據(jù)是矛盾律和排中律．在運(yùn)用反證法來證明問題時(shí)，根據(jù)推出的矛盾和結(jié)果來否定反設(shè)，用的就是矛盾律；在否定反設(shè)之后，能夠肯定原命題的正確性，用的是排中律．

反證法解題的一般步驟為：

第一步：認(rèn)真讀題，準(zhǔn)確找到原命題的條件和結(jié)論；

第二步：對(duì)原命題進(jìn)行反設(shè)，即假設(shè)原命題不成立；

第三步：由假設(shè)出發(fā)，進(jìn)行推理論證，得到與已知條件、公理、定理、公式、定義等相矛盾的結(jié)論；

第四步：得出最后的結(jié)論，證明原命題成立，

對(duì)于命題：p=>q，則需先假設(shè)命題結(jié)論q不成立，即-q成立，然后由p和-q出發(fā)，運(yùn)用相關(guān)的定理、性質(zhì)、公式等進(jìn)行推理，得出相矛盾的結(jié)果，斷定是結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題p=>g為真．

反證法的應(yīng)用范圍較廣，可用于解答方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、三角函數(shù)、立體幾何等問題，下面舉例說明，

例1．求證：方程2x=3有且只有一個(gè)根，

證明：由2x=3，可得x=log23，

則方程2x=3有解．

下面運(yùn)用反證法來證明方程2x=3只存在唯一的

本題從正面直接證明存在一定的難度，可以運(yùn)用逆向思維，利用反證法來證明方程有且只有一個(gè)根，首先將原命題的結(jié)論否定：假設(shè)方程不止有1個(gè)根，有2個(gè)根，然后設(shè)出2個(gè)根，并將其代入方程中進(jìn)行運(yùn)算，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出相矛盾的結(jié)論，從而正證明原命題成立，

若要直接證明p+q≤2，非常困難，可從問題的反面情況：p+q>2著手，利用反證法來解題，根據(jù)立方和公式和完全平方公式進(jìn)行推理、運(yùn)算，即可得到不符合實(shí)際的結(jié)論：（p-q）2<0，進(jìn)而證明原命題成立．若題目中出現(xiàn)“沒有”“至少”“至多”“唯一”“不都是”等詞語(yǔ)，從正面分析、求解很難獲得問題的答案，可轉(zhuǎn)換視角，利用反證法求解會(huì)更加便捷、高效．

分析：要直接證明數(shù)列{S.}不是等比數(shù)列，十分困難，而運(yùn)用反證法，只需假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)，即可得出相矛盾的結(jié)論，從而斷定假設(shè)不成立，證明原命題成立．

當(dāng)一個(gè)命題是以否定形式出現(xiàn)時(shí)，運(yùn)用常規(guī)的解題思路和方法往往難以使問題獲解，這時(shí)可以運(yùn)用逆向思維，利用反證法求證，先對(duì)原命題進(jìn)行反設(shè)，經(jīng)過推理后，得出相矛盾的結(jié)論，即可解題，

本題主要考查異面直線的定義：既不相交又不平行的兩條直線叫做異面直線．我們無法直接證明BD和AE既不相交又不平行，于是采用反證法，假設(shè)兩條直線共面，根據(jù)直線上點(diǎn)與直線、平面之間的關(guān)系來得出相矛盾的結(jié)論，從而證明假設(shè)不成立．

運(yùn)用反證法需要注意以下幾點(diǎn)：（1）對(duì)命題作出正確的假設(shè)，即反設(shè)必須正確；（2）推理要合理，有理有據(jù)．在推理的過程中，要選擇合適的定理、定義、公式、公理等進(jìn)行推理、運(yùn)算；（3）熟悉運(yùn)用反證法解題的步驟，尤其要注意第三步，必須得出相矛盾的結(jié)論，反證法是從命題的反設(shè)人手，經(jīng)過正確而縝密的推理找到矛盾點(diǎn)的過程，若想要得到正確的結(jié)論，那么整個(gè)證明過程中每一步的推理都至關(guān)重要，且推理過程需環(huán)環(huán)相扣，任何一步出錯(cuò)都會(huì)導(dǎo)致解題的失敗．