調(diào)和Hardy空間上調(diào)和Toeplitz算子的若干代數(shù)性質?

2022-12-01 10:24:32魏曉東石巖月

中國海洋大學學報（自然科學版） 2022年12期

魏曉東，石巖月

(中國海洋大學數(shù)學科學學院，山東青島 266100)

在Hardy空間上，一個有界線性算子A是Toeplitz算子當且僅當UAU*=A，其中U和U*為H2上的單側移位算子。1964年由A. Brown, P. Halmos[1]給出該方程，利用Toeplitz算子滿足該方程的特性,證得了一系列有關經(jīng)典Hardy空間上Toeplitz算子的重要的代數(shù)性質。一般地，將該方程稱為Hardy空間上Toeplitz算子的特征方程。在不同函數(shù)空間上探究各種算子的特征方程是函數(shù)空間上算子理論研究的重要課題之一。2007年D. Sarason[2]首先在模型空間上給出了截斷Toeplitz算子的定義，并給出了此類算子的特征方程。隨后，國內(nèi)外很多學者對截斷Toeplitz算子進行了一系列深入的研究[3-10]。鑒于對偶截斷Toeplitz算子和截斷Toeplitz算子成對出現(xiàn)且具有緊密聯(lián)系，丁宣浩和桑元琦[11]最先對兩個對偶截斷Toeplitz算子的乘積展開研究，分別給出了乘積為零、乘積為有限秩算子以及乘積為對偶截斷Toeplitz算子的充要條件。隨后，丁宣浩、桑元琦和秦越石合作對此類算子生成的C*代數(shù)進行了研究[12]；丁宣浩、桑元琦和李永寧合作刻畫了以函數(shù)φ(z)=z為符號的對偶截斷Toeplitz算子的換位及其不變子空間[13]。最近，顧才興[14]給出了對偶截斷Toeplitz算子的特征方程，結合此特征方程和復對稱性給出對偶截斷Toeplitz算子的判定方法，并利用該方程部分簡化了文獻[11-12]中的證明。2020年，丁宣浩、秦越石和桑元琦[15]給出了調(diào)和Hardy空間上的調(diào)和Toeplitz算子的定義，并研究了算子的有界性和緊性問題、零積問題、乘法封閉性和交換性問題。目前對調(diào)和Hardy空間上調(diào)和Toeplitz算子的研究還相對較少。本文主要從算子方程的角度進行研究，將顧才興[14]給出的對偶截斷Toeplitz算子的若干性質推廣到調(diào)和Toeplitz算子。

1 預備知識

記復平面上的開單位圓盤為

D={z∈C:|z|<1}。

設L2為單位圓周上關于弧長測度平方可積的可測函數(shù)全體構成的空間，設H2為L2中負項傅里葉系數(shù)為零的函數(shù)全體構成的空間，即

在上述結論的啟發(fā)下，丁宣浩、秦越石和桑元琦[15]給出了調(diào)和Hardy空間的定義。在本文中均設u,v為Hardy空間的內(nèi)函數(shù),由u,v誘導的調(diào)和Hardy空間定義如下：

Mu(f)=uf；Mv(f)=vf；

設

事實上，?g∈L2，

又由于Quv是自伴算子，所以

從而

在本節(jié)的最后，我們回顧一下復對稱算子的定義和相關研究成果。令H為可分的無窮維復Hilbert空間，L(H)是H上的有界線性算子全體構成的賦范線性空間。令C為Hilbert空間上的算子，且C滿足：

(Ⅱ)〈Cx,Cy〉=〈y,x〉，?x,y∈H；

(Ⅲ)C2=I，其中I為單位算子。

由性質(Ⅱ)知C為H上的等距算子。一般地，稱滿足上述三個條件的算子C為H上的對合的共軛線性等距算子。

設T∈L(H)，若存在對合的共軛線性等距算子C:H→H使得

T=CT*C,

則稱T為關于算子C的復對稱算子。

復對稱算子最早是由S. Garcia和M. Putinar[17]從復對稱矩陣推廣到Hilbert空間的。郭坤宇和朱森[18]最先提出了Hardy空間上Toeplitz算子的復對稱性問題。由于對合的共軛線性等距算子C選取的多樣性，要完全回答該問題是非常困難的。目前關于該問題的研究主要有兩個思路：一個是先構造特定的對合共軛線性等距算子C，然后研究Toeplitz算子對指定算子C的復對稱性[19-20]；另一個是適當限制Toeplitz算子的符號函數(shù)，根據(jù)復對稱算子的性質尋找符號函數(shù)必須滿足的條件[21]。關于Bergman空間和Dirichlet空間上的Toeplitz算子的復對稱性問題的研究可參見文獻[22-24]及其參考文獻。