王 禹，李偉業(yè)，羅英露，黃德聰，黃直峰，陳 財

（1.中車株洲電力機車研究所有限公司，湖南 株洲，412001；2.襄陽中車電機技術(shù)有限公司，湖北 襄陽，441057）

0 引言

采用直線感應(yīng)電機可使列車不受輪軌黏著制約，提高列車爬坡能力，減小列車轉(zhuǎn)彎半徑，降低列車維護成本。因此，近年來直線感應(yīng)電機在軌道交通，尤其是中低速磁浮交通領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用［1］。直線感應(yīng)電機的性能計算主要采用磁路法、二維有限元法、三維有限元法等手段。但是由于直線感應(yīng)電機結(jié)構(gòu)特殊，在其性能計算方面仍然存在較多難點。如：直線感應(yīng)電機初級與次級寬度不同，且一般電機初級寬度小于次級寬度，為了克服橫向邊端效應(yīng)，直線電機次級感應(yīng)板形狀一般為杯狀，導(dǎo)致電機在寬度方向上不對稱；與旋轉(zhuǎn)電機不同，電機的轉(zhuǎn)子即直線電機次級感應(yīng)板，其長度遠大于電機初級長度，近似為無限長，在有限元計算中建模難度較大。

在直線感應(yīng)電機電磁性能計算方面，學者們展開了相關(guān)研究。文獻［2］通過電磁場解析法及三維有限元仿真法對雙邊直線感應(yīng)電機電磁性能進行了計算，但為了減小計算量在其三維模型中沒有考慮繞組端部，并忽略了橫向端部效應(yīng)，這樣會導(dǎo)致分析時產(chǎn)生一定誤差。文獻［3］對城軌交通直線感應(yīng)電機電磁性能進行了分析，采用了瞬態(tài)三維仿真方法；由于仿真時間過長，計算推力及法向力沒有達到穩(wěn)定。文獻［4］為了縮短計算時間，減小了次級長度，并使用零矢量邊界條件，因此該模型只能用于評估靜態(tài)電磁性能。文獻［5］在文獻［4］的基礎(chǔ)上延長了仿真周期，通過三維有限元仿真計算了次級間斷對直線電機電磁性能的影響；但是由于采用零矢量邊界條件，次級感應(yīng)板長度有限，該方法只能計算低速工況下的電機電磁性能，且計算量大、計算時間長。

磁路法、二維有限元法在數(shù)學模型上無法完全等效實際電機模型，需要對計算過程或計算結(jié)果進行修正，對設(shè)計經(jīng)驗要求較高。三維瞬態(tài)仿真中的電機模型理論上可以與實際電機完全一致，如考慮了繞組端部形狀、感應(yīng)板延長彎折部分、感應(yīng)板無限長等，具有磁路法計算及二維仿真無法達到的準確性；但是目前直線感應(yīng)電機三維瞬態(tài)仿真研究相對較少且不完善。造成這種現(xiàn)象的主要原因包括：（1）中低速磁浮用直線電機模型尺寸較大，一般初級長度為2 m左右，次級感應(yīng)板實際長度遠大于初級的，而電機氣隙長度及感應(yīng)板厚度為毫米級，剖分后會產(chǎn)生數(shù)量龐大的網(wǎng)格，對計算資源要求極高；（2）與旋轉(zhuǎn)電機不同，直線電機運動范圍大，且性能隨速度變化較大，需要較大的模型范圍供初級運動，也將導(dǎo)致網(wǎng)格數(shù)量龐大，計算困難。此外，目前已公開文獻中涉及因溫度通過影響感應(yīng)板特性進而影響電機特性的研究較少，這也影響了性能計算的準確性。

本文針對以上中低速磁浮直線感應(yīng)電機性能計算中的難點，分別采用磁路法、二維有限元法及三維有限元法進行性能計算，并提出采用周期性半模型三維有限元仿真方法，在保證計算精度不變的前提下提高了計算速度和性能計算效率，為三維有限元仿真在直線感應(yīng)電機設(shè)計中的工程化應(yīng)用奠定基礎(chǔ)；最后，搭建了直線電機靜態(tài)測試平臺，對計算數(shù)據(jù)與測試數(shù)據(jù)進行分析。

1 直線感應(yīng)電機性能計算磁路法

與旋轉(zhuǎn)感應(yīng)電機相似，直線感應(yīng)電機的電磁性能可以通過等效電路模型計算［6］。圖1所示為Duncan提出的直線感應(yīng)電機并聯(lián)等效電路，其中R1為初級相電阻［7］，其計算如式（1）所示；圖2為直線電機結(jié)構(gòu)。

圖1 直線感應(yīng)電機Duncan等效電路Fig.1 Duncan equivalent circuit of linear induction motor

圖2直線感應(yīng)電機結(jié)構(gòu)模型Fig.2 Structure model of linear induction motor

式中：σw——初級繞組導(dǎo)體電導(dǎo)率；lec——初級繞組端部長度；Ws——初級鐵心寬度；N——初級繞組每相串聯(lián)匝數(shù)；Aw——初級繞組導(dǎo)體截面積。

初級側(cè)定子漏抗X1［7］如式（2）所示。

式中：μ0——真空磁導(dǎo)率；p——電機極對數(shù)；q——每極每相槽數(shù)；ω1——初級角頻率；λs——槽比漏磁導(dǎo)；λd——端部漏磁導(dǎo)；λe——諧波漏磁導(dǎo)。

每相勵磁電抗通過式（3）計算［7］。

式中：kw——繞組系數(shù)；τ——直線感應(yīng)電機極距；Wse——初級鐵心等效寬度；ge——氣隙等效長度。

其中：

式中：gm——電磁氣隙；kl——氣隙漏抗系數(shù)；kc——卡特系數(shù)；ktm——邊緣效應(yīng)引起的磁阻系數(shù)；ks——次級鐵心飽和系數(shù)［8-10］；g——機械氣隙；d——次級感應(yīng)板厚度；c——次級單邊超出初級鐵心長度；τs——初級槽距；G——電機的品質(zhì)因數(shù)；f1——初級供電頻率；δi——次級鐵心磁場透入深度；μi——通過迭代算法計算的次級鐵心磁導(dǎo)率。

對于次級鐵心，由于邊端效應(yīng)的影響，需要對次級鐵心材料電導(dǎo)率進行折算［11］。

式中：σ——次級導(dǎo)電鋁板電導(dǎo)率；δs——次級鋁板的磁場透入深度，可以通過式（22）計算。

由于次級導(dǎo)電板存在集膚效應(yīng)，其電導(dǎo)率通過ksk進行折算，邊緣效應(yīng)導(dǎo)致的電導(dǎo)率變化通過系數(shù)ktr進行折算。如果將次級鐵心中的電流傳導(dǎo)也考慮進去，那么其等效電導(dǎo)率由式（23）計算［8-10］。

式中：σi——次級鐵心電導(dǎo)率。

次級折算到初級側(cè)的電阻為

式中：Ge——修正后的品質(zhì)因數(shù)。

對于直線感應(yīng)電機，次級漏抗可通過式（26）～式（29）進行計算［9-10］。

Q是標幺化的電機長度，可以通過式（30）進行計算［7］：

式中：Ls——初級側(cè)長度；vr——電機運行速度；Lm——勵磁電感；L'2——次級漏感。

氣隙磁密可以通過式（31）計算［7］：

式中：Jm——等效電流層幅值［7］。

式中：I1——相電流。

根據(jù)等效電路可以計算出電機輸出的牽引力Fx：

電機法向力F y可以通過式（36）計算［7］。

式中：vs——同步速度。

2 直線感應(yīng)電機性能計算有限元法

2.1 二維有限元模型

本節(jié)針對一款中低速磁浮直線感應(yīng)電機進行二維及三維建模，并對其進行基于有限元法的三維仿真研究，所研究電機的基本參數(shù)如表1所示。圖3給出了直線電機起動點二維仿真磁密分布云圖，計算輸入電流為450 A，感應(yīng)板溫度為60℃、電導(dǎo)率為32 500 000 S/m，轉(zhuǎn)差頻率為15 Hz，電機運行速度為0。

圖3 直線電機二維模型起動點磁密分布Fig.3 Flux density distribution of the linear induction motor at starting point by 2D model

表1 直線電機基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of the linear induction motor

二維模型只能描述沿電機運動方向的幾何模型，不能反映垂直于運動方向的幾何模型，因此無法考慮橫向邊端效應(yīng)對電極性能的影響，但可以通過感應(yīng)板等效電導(dǎo)率對計算結(jié)果進行修正，并通過式（23）計算材料的等效電導(dǎo)率。修正后的牽引力及法向力仿真結(jié)果如圖4所示，穩(wěn)定后的牽引力為3.74 kN，穩(wěn)定后的法向力為1.91 kN。

圖4 直線電機二維模型有限元仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of the linear induction motor by 2D model

2.2 三維有限元模型

為了使仿真模型更加接近實際電機，建立了直線電機三維周期性全模型并進行有限元仿真。與二維模型相比，三維周期性全模型對電機繞組端部進行了建模，其感應(yīng)板寬度與實際電機的一致，次級感應(yīng)板鋁板形狀與實際電機的一致，均為杯狀，其磁密分布如圖5所示。在有限元求解過程中，在次級感應(yīng)板左右兩側(cè)施加了周期性主從邊界條件，這樣可以將次級感應(yīng)板等效為無限長結(jié)構(gòu)，與實際情況一致。仿真模型網(wǎng)格數(shù)量達到了3 360 000，求解時長達到了4 h 13 min；由于仿真工況點為起動點，電機工作頻率較低，牽引力穩(wěn)定較快；如果進行高速段仿真，計算網(wǎng)格需要加密，計算結(jié)果穩(wěn)定較慢，求解時間會繼續(xù)增加。直線電機在實際工程應(yīng)用中需要進行多工況計算，而目前的求解時間很難滿足工程化需求。

圖5 直線電機三維周期性全模型起動點磁場分布Fig.5 Flux density distribution of the linear motor at starting point by 3D whole model

為了提高求解速度、縮短求解時間，需要將模型進行簡化。直線感應(yīng)電機沿運動方向軸對稱，因此可以將模型簡化為半模型，在有限元計算中保持全模型中的周期性主從邊界條件不變，重點是電流激勵不能落在中心切面上，需要將電流面沿導(dǎo)體移動一小段距離，這樣電流激勵會保持在導(dǎo)體中而不會流入空氣。圖6所示為周期性半模型起動點磁密分布，圖7為三維模型剖分網(wǎng)格。為了保證計算精度，對次級感應(yīng)板網(wǎng)格進行了加密，網(wǎng)格數(shù)量為1 840 000，求解時長為2 h 32 min，仿真時間縮短了約40%，直線電機三維半模型與全模型仿真數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 直線電機三維半模型與全模型仿真數(shù)據(jù)對比Tab.2 Simulation parameter comparison between the half model and whole model for linear motor

圖6 直線電機三維周期性半模型起動點磁場分布Fig.6 Flux density distribution of the linear motor at starting point by 3D periodic half model

圖7 直線電機三維有限元仿真剖分Fig.7 Mesh of the EMF mode for linear motor

分別計算得到半模型和全模型起動點牽引力曲線（圖8），可以看出，使用半模型計算的起動點牽引力與全模型計算的起動點牽引力完全吻合，曲線穩(wěn)定后牽引力均為4.11 kN。通過計算分別得到半模型和全模型起動點法向力曲線（圖9），可以看出，使用半模型計算的起動點法向力與全模型計算的起動點法向力完全吻合，曲線穩(wěn)定后法向力均為2.00 kN。通過對比以上仿真結(jié)果可以認為，周期性半模型可以完全替代周期性全模型，在保證仿真結(jié)果一致的前提下減少運算時間。

圖8 直線電機牽引力三維有限元仿真結(jié)果對比Fig.8 Simulation result of thrust of the linear motor by 3D model

圖9 直線電機法向力三維有限元仿真結(jié)果對比Fig.9 Simulation result of normal force of the linear motor by 3D model

3 試驗驗證

為了測試直線電機靜態(tài)特性，搭建了直線電機試驗臺架，試驗現(xiàn)場如圖10所示，試驗系統(tǒng)包括被測直線電機、感應(yīng)板、冷卻風機、變流器、拉力傳感器、壓力傳感器和數(shù)據(jù)采集裝置等。將直線電機的初級安裝于靜止試驗臺上，調(diào)節(jié)初級與感應(yīng)板的氣隙，使之達到要求值，并通過與直線電機配套的逆變器供電。測量電機的頻率、牽引力、法向力、電流、電壓、基波功率因數(shù)、輸入功率。試驗時調(diào)整電機的氣隙值，試驗中氣隙的取值分別為9 mm和13 mm，電機的額定氣隙為13 mm。將測力傳感器負載端與初級一端固定，沿著與感應(yīng)板水平方向均勻緩慢地向前推動（或拉動）測力傳感器。直到初級與感應(yīng)板開始產(chǎn)生相對位移，讀取測力傳感器的讀數(shù)，測試3次取其平均值。將初級與測力傳感器一端相連，傳感器另一端與測試臺的構(gòu)架固定，保持傳感器水平方向受力，并施加適當?shù)念A(yù)推力，以防止對傳感器造成沖擊，然后啟動直線電機，及時記錄牽引力、電壓、電流、功率等參數(shù)。

圖10 測試現(xiàn)場Fig.10 Test platform

利用本文中給出的磁路法、二維有限元法、三維有限元方法分別對磁浮直線感應(yīng)電機進行了不同氣隙下起動點性能計算，計算結(jié)果及測試結(jié)果如表3所示。通過計算結(jié)果與測試結(jié)果對比分析可知，磁路法牽引力計算結(jié)果與二維有限元法的相近，與前文的原理分析結(jié)果一致；三維有限元法的計算結(jié)果與實際測試結(jié)果相近，計算準確性較高。磁路法與二維有限元法的計算結(jié)果雖然誤差相對較大，但仍可用于快速評估及特性曲線計算等場景，周期性半模型三維有限元法可以用于性能的精確評估與方案優(yōu)化。4種方法計算的法向力與試驗測試值均有一定偏差。影響法向力的因素較多，如直線電機及感應(yīng)板靜態(tài)測試時可以等效為電機短路狀態(tài)，因此感應(yīng)板及背鐵溫度升高較快，在法向力的作用下電機初級及次級都會發(fā)生一定形變，導(dǎo)致氣隙變小，影響測試結(jié)果；其次，隨著溫度的變化，材料特性會發(fā)生一定程度的改變，而仿真模型中僅能考慮溫度對材料電阻率的影響，無法全面考慮材料屬性改變的影響。后續(xù)將在測試臺的剛度和材料特性的準確性兩個方面進行改進。

表3 電機電流450 A時牽引力及法向力Tab.3 Thrust and normal force of the linear motor at 450 A

4 結(jié)語

本文針對中低速磁浮直線感應(yīng)電機分別進行了磁路法、二維有限元法、三維有限元法性能計算研究，并搭建了測試平臺，對計算結(jié)果進行了驗證。通過對計算數(shù)據(jù)與測試數(shù)據(jù)的對比分析得出，3種計算方法可在電機設(shè)計的不同階段使用，以實現(xiàn)電機設(shè)計快速與準確兼顧的目的。本文提出的周期性半模型三維有限元法兼顧了計算準確性及計算速度，且隨著有限元求解方法的不斷改進及計算設(shè)備性能的不斷提升，該方法的實用性會進一步增強，可實現(xiàn)電機設(shè)計全流程的三維仿真，并提高性能計算準確性。