朱 灑 曾 峰 陸劍波 于吉坤 梁 欣

考慮PWM諧波損耗的車用扁線內(nèi)嵌式永磁同步電機效率圖簡化工程計算

朱 灑1曾 峰1陸劍波1于吉坤2梁 欣2

（1. 河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院 南京 211100 2. 蘇州匯川聯(lián)合動力系統(tǒng)有限公司 蘇州 215104）

該文提出一種快速計算脈沖寬度調(diào)制（PWM）電壓源型逆變器供電下扁線內(nèi)嵌式永磁同步電機中PWM諧波損耗的簡化工程算法。該算法是作者前期提出的硅鋼片與永磁體中PWM諧波損耗快速算法的簡化，它基于諧波損耗正比于電壓二次方的基本規(guī)律，無需采用復(fù)雜的解析模型，直接使用頻域小信號時諧場分析法提取各部分諧波損耗與諧波電壓二次方之間的函數(shù)關(guān)系，最終實現(xiàn)以定、轉(zhuǎn)子坐標系下的PWM電壓頻譜為輸入快速計算定、轉(zhuǎn)子上各部分的PWM諧波損耗。除了硅鋼片與永磁體中的PWM諧波損耗之外，針對扁線電機，該文還將基于頻域小信號分析的PWM諧波損耗快速算法首次推廣用于實現(xiàn)PWM諧波交流銅耗的快速計算。應(yīng)用該快速算法，僅需幾分鐘的計算時間即可實現(xiàn)全工況PWM諧波損耗的快速計算。通過對比正弦電流供電下計算的效率圖、考慮PWM諧波損耗計算的效率圖和實測效率圖，發(fā)現(xiàn)將所提方法計算的PWM諧波損耗考慮在內(nèi)，不僅在低速輕載時可將正弦電流供電下最大4個百分點的計算效率偏差降至1個百分點左右，而且有效提升了整個工作區(qū)內(nèi)效率的計算精度。

內(nèi)嵌式永磁同步電機 脈沖寬度調(diào)制 諧波損耗 效率圖 工程計算

0 引言

內(nèi)嵌式永磁同步電機（Interior Permanent Magnet Synchronous Machines, IPMSMs）因具有高功率密度、高效率、寬調(diào)速范圍的優(yōu)點，被廣泛用于電動汽車中[1-5]。為實時控制IPMSMs的轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速，大部分的車用IPMSMs都是和脈沖寬度調(diào)制（Pulse Width Modulation, PWM）電壓源型逆變器（Voltage Source Inverter, VSI）配合使用的。PWM VSI在實時控制基波電流的同時，會不可避免地在IPMSMs中注入PWM諧波電壓，進而引起PWM諧波損耗[6-12]。車用IPMSMs中的PWM諧波損耗尤其不可忽略，這主要是因為車用永磁電機為滿足寬調(diào)速范圍的需求，直流母線電壓較高而電機的電感較小，此時PWM諧波電壓會在電機中感應(yīng)出幅值較大的高頻磁通密度，進而產(chǎn)生明顯的PWM諧波損耗。文獻[12]中指出，在低速輕載時，IPMSM中的PWM諧波損耗可以占到總損耗的40%以上。因此，為準確地計算IPMSM效率，需考慮PWM諧波損耗。

由于IPMSMs具有較強的非線性，其電磁性能與損耗一般都需要采用有限元法進行準確計算。目前，采用瞬態(tài)有限元法計算IPMSMs中PWM諧波損耗的方法主要分為含諧波電流源輸入法[7-9]和PWM線電壓直接輸入法[10-11]兩種。含諧波電流源輸入法需要首先計算或測量PWM諧波電流。PWM諧波電流受渦流反應(yīng)影響，本身難以準確計算[13]，而對其進行直接測量又無法在電機設(shè)計階段實現(xiàn)。而PWM線電壓相對容易準確計算，在IPMSMs運行于不同工況時，其計算值與實測值均取得了較好的一致[10-11]，且以其作為輸入計算更接近于PWM VSI供電的實際情況。但這兩種方法都需要非常小的時間步長來分辨高頻諧波，這使得在一個電周期內(nèi)需進行上千步瞬態(tài)非線性計算，導(dǎo)致耗時過長。尤其是當(dāng)需要在不同母線電壓、開關(guān)頻率下，對IPMSMs進行全工況效率計算時，這些瞬態(tài)方法難以用于工程實踐。

近年來，朱灑等提出了基于頻域小信號分析的永磁電機PWM諧波損耗快速算法[14-18]，該方法基于PWM諧波電流較小，不足以影響硅鋼片飽和狀態(tài)的事實，以凍結(jié)增量磁導(dǎo)率法（Frozen Differential Permeability Method, FDPM）或凍結(jié)增量張量磁阻率法（Frozen Differential Reluctivity Tensor Method, FDRTM）構(gòu)造永磁電機小信號模型，采用時諧場-路耦合分析研究并量化諧波電壓與永磁體及硅鋼片中諧波損耗的函數(shù)關(guān)系，基于此實現(xiàn)分別以定、轉(zhuǎn)子上的PWM諧波電壓頻譜為輸入快速計算定、轉(zhuǎn)子上的PWM諧波損耗。這種方法近期還被進一步推廣應(yīng)用于邊帶電磁力的快速計算[19]。同一時期，日本學(xué)者K. Yamazaki等也通過結(jié)合FDPM和線性時諧場分析實現(xiàn)以線電壓頻譜為輸入快速計算永磁體與硅鋼片中的PWM諧波損耗[20]。盡管根據(jù)Zhu Sa等的研究，對轉(zhuǎn)子永磁體中的PWM諧波損耗，采用轉(zhuǎn)子坐標系下電壓頻譜輸入法比采用線電壓頻譜輸入法的計算精度更高[15]，而且硅鋼片中準確的高頻鐵耗模型相當(dāng)復(fù)雜[9, 16, 21]，需考慮鐵耗系數(shù)和增量磁導(dǎo)率隨磁通密度的變化，但相比純正弦供電的計算結(jié)果，采用線電壓頻譜為輸入和簡單的常系數(shù)鐵耗模型計算PWM諧波損耗，仍能有效提升IPMSM效率圖的計算精度[20]。

近年來，扁線發(fā)卡繞組IPMSM因具有更高的槽滿率、更容易自動化加工的優(yōu)點，正逐步取代散線繞組電機，成為車用IPMSM的主流選擇[22]。在發(fā)卡繞組中，PWM諧波電流會產(chǎn)生較大的PWM諧波交流銅耗，文獻[23]中指出，采用PWM電壓輸入法計算的繞組交流銅耗會比以正弦基波電流輸入法計算的結(jié)果高出30%。因此，快速準確計算發(fā)卡繞組中的PWM諧波損耗對于準確計算IPMSM的效率同樣至關(guān)重要。

本文將進一步拓展永磁電機頻域小信號分析法用于實現(xiàn)PWM諧波交流銅耗的快速計算，并結(jié)合PWM諧波鐵耗與永磁體渦流損耗計算結(jié)果，修正正弦電流供電下計算的效率圖，并將考慮PWM諧波損耗時的計算效率圖與不同母線電壓下的測試值進行對比，以驗證所提算法的正確性。在進行PWM諧波交流銅耗計算時，將根據(jù)時諧場-路耦合計算結(jié)果，建立諧波電壓與扁銅線中PWM諧波交流銅耗之間的函數(shù)關(guān)系，從而實現(xiàn)以PWM諧波電壓頻譜為輸入直接快速計算不同工況下的PWM諧波交流銅耗。這種方法無需計算PWM諧波電流，無需復(fù)雜的交流電阻解析公式，非常適合用于快速工程計算。在進行PWM諧波鐵耗計算時，直接使用廠家提供的硅鋼片鐵耗系數(shù)并進行適當(dāng)?shù)母哳l修正，使得在應(yīng)用本方法時，用戶無需另外進行硅鋼片高頻損耗測試[21]。在計算永磁體中PWM諧波損耗時，提出了通過修正二維電導(dǎo)率近似計算三維渦流損耗的方法，而無需使用復(fù)雜的永磁體三維渦流損耗模型。本文將建立一種快速、簡便、適合工程推廣應(yīng)用的PWM諧波損耗計算方法，以有效提升IPMSM效率圖的計算精度。盡管沒有使用一些復(fù)雜精確的模型，但通過和實測效率圖的對比，仍說明本文建立的簡化工程算法具有較高計算精度。

1 正弦電流供電下IPMSM性能計算

圖1中給出本文計算的發(fā)卡繞組IPMSM有限元模型截面圖和定、轉(zhuǎn)子照片。每個槽中有五層導(dǎo)體，圖1a中給出了ABC三相繞組中導(dǎo)體的排布方式；圖1b給出了含扁線繞組的定子照片，定子共有120槽；圖1c給出了轉(zhuǎn)子照片。

對于扁線繞組，為計算交流銅耗，需將每根導(dǎo)條都建模成導(dǎo)電體。表1給出了IPMSM樣機的詳細參數(shù)。

圖1 IPMSM樣機橫截面示意圖

表1 IPMSM樣機參數(shù)

1.1 掃描不同d、q軸電流激勵下的電機參數(shù)

由于IPMSM具有較強的非線性，且d、q軸存在交叉耦合的影響，模擬電機電磁特性最準確的方法是對IPMSM在不同d、q軸電流激勵下的磁鏈、轉(zhuǎn)矩和損耗特性進行掃描計算。設(shè)電機轉(zhuǎn)速為最高轉(zhuǎn)速的一半，即3 000r/min，掃描不同dq軸電流激勵下的磁鏈、轉(zhuǎn)矩與損耗如圖2所示。

圖2 轉(zhuǎn)速為3 000r/min時不同dq軸電流激勵下二維有限元掃描分析結(jié)果

在計算過程中磁鏈、轉(zhuǎn)矩和渦流損耗均取一個周期的平均，而由于采用動態(tài)磁滯損耗模型計算磁滯損耗[25]，磁滯損耗則取最后1/6個電周期的平均值。在計算鐵耗時，為了工程計算方便，直接采用忽略了異常損耗的常系數(shù)鐵耗模型[26]，即

式中，iron為鐵耗密度；e和h分別為渦流損耗系數(shù)和磁滯損耗系數(shù)；為頻率；m為交變磁通密度幅值。硅鋼片型號及鐵耗系數(shù)見表2，這里的損耗系數(shù)直接由廠家提供的低頻損耗曲線采用最小二乘法擬合得到。

表2 IPMSM樣機硅鋼片型號與鐵耗系數(shù)

考慮到在實際測試過程中，整個電機冷卻油的溫度為80℃，永磁體溫度比冷卻油高，在計算過程中假設(shè)永磁體溫度為110℃，對應(yīng)參數(shù)見表2。在進行二維瞬態(tài)有限元計算時，采用多截面有限元模型串聯(lián)的方法考慮分段斜極的影響[29]。

槽導(dǎo)體中交流銅耗隨dq軸電流和轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律如圖3所示。對于扁線繞組，通過將繞組建模成導(dǎo)電體，可在不同dq軸電流激勵下的二維有限元掃描分析過程中，同時計算槽導(dǎo)體交流銅耗，如圖3a所示。有限元計算過程中，繞組的溫度假設(shè)為 80℃，其他溫度下的銅耗通過考慮銅電導(dǎo)率隨溫度變化的方法進行簡單修正，具體方法將在下文中介紹。從圖3a中可以看出，在相同轉(zhuǎn)速下，交流銅耗正比于電流的二次方，dq軸電流對于交流電阻的影響可近似忽略。而對于發(fā)卡繞組，交流電阻隨轉(zhuǎn)速或頻率的變化則必須考慮。此處作為簡化工程計算，同樣直接通過有限元計算掃描槽導(dǎo)體交流銅耗隨轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律，而無需采用復(fù)雜的解析模型[24, 27-28]。由于交流電阻受dq軸電流的影響不大，這里僅計算一個固定工作點即d=-m/2，q=m/2時，交流銅耗隨轉(zhuǎn)速的增加規(guī)律以獲取交流電阻隨轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律，同時節(jié)省有限元計算時間。

圖3 槽導(dǎo)體中交流銅耗隨dq軸電流和轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律

1.2 工作區(qū)dq軸電流的確定

通過有限元掃描分析的結(jié)果，可進一步確定不同母線電壓下、不同工作點的基波電流，作為效率計算的輸入值。這里采用最大轉(zhuǎn)矩電流比（Maximum Torque Per Ampere, MTPA）的算法，用于計算不同工作點的dq軸電流，它可轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問題[30]，即

其中

為驗證采用式（2）計算不同工況下電流的準確性，將dc=219V時計算的線電流與實測值進行了對比，如圖4所示。

圖4中，“_M”為實測值，“_C”為計算值，可以看出，在不同轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速下兩者取得了較好的一致性。注意到圖4的橫坐標為機械轉(zhuǎn)矩m，而通過式（2）計算得到的是電磁轉(zhuǎn)矩e，m可計算為

式中，m()為轉(zhuǎn)速為時的機械損耗。

在樣機加工之前，機械損耗可通過經(jīng)驗公式進行估算[31]。最準確測量機械損耗的方法是在轉(zhuǎn)子上安裝未充磁的永磁體進行實際測量，但這需要額外的加工成本。本文中通過反拖測試，測量空載鐵耗與機械損耗之和，再減去有限元法計算的空載鐵耗得到機械損耗。所得不同轉(zhuǎn)速下的機械損耗如圖5所示。

圖4 Udc=219V時不同工況下計算與實測線電流對比

圖5 IPMSM樣機機械損耗

1.3 正弦電流激勵下效率計算

在完成上面兩節(jié)的計算之后，就可以計算出正弦電流激勵下的電機效率。不同轉(zhuǎn)速下的鐵耗計算方法為

進行不同dq軸電流激勵下掃描分析時的轉(zhuǎn)速，在本文中0=3 000r/min，此時計算的鐵耗如圖2d～圖2f所示。當(dāng)采用常系數(shù)鐵耗模型時，可利用渦流損耗正比于頻率的二次方、磁滯損耗正比于頻率的規(guī)律推算其他轉(zhuǎn)速下的鐵耗。在鐵耗計算中，溫度變化的影響被忽略。

繞組交流銅耗的計算分為端部繞組和槽內(nèi)繞組分別進行，這是由于端部繞組和槽內(nèi)繞組的交流電阻隨轉(zhuǎn)速增加趨勢差別較大，槽導(dǎo)體交流電阻隨頻率的增加趨勢明顯大于端部導(dǎo)體[32]。槽內(nèi)繞組交流銅耗計算方法為

端部繞組所處的漏磁環(huán)境更加復(fù)雜，若對其進行準確計算需要采用三維有限元法，這會使得計算耗時過長。在最高轉(zhuǎn)速為6 000r/min，交變電流頻率為1 000Hz時，銅的趨膚深度為2.4mm，大于銅導(dǎo)線的最大寬度2.23mm，說明此時趨膚效應(yīng)并不明顯。為簡化計算，此處直接忽略了端部繞組電阻隨頻率的變化[32]。這樣端部繞組銅耗計算表達式為

這樣，正弦電流供電下IPMSMs電動運行時的效率可計算為

2 PWM諧波損耗快速簡化工程計算

傳統(tǒng)基于瞬態(tài)有限元法計算IPMSM中PWM諧波損耗耗時過長，為實現(xiàn)快速計算，本文采用基于頻域小信號分析的PWM諧波損耗快速計算方法[15-18]，同時將扁銅線中的PWM諧波交流銅耗也考慮在內(nèi)。

2.1 IPMSM頻域小信號模型的構(gòu)建

基于FDRTM法構(gòu)建永磁電機頻域小信號模型與永磁電機頻域小信號分析的流程已經(jīng)在文獻[15]被詳述，在此不再贅述。此處不同的是三相繞組中每個導(dǎo)體都被獨立建模成考慮渦流的粗導(dǎo)體區(qū)域[35]，并串聯(lián)起來，三相諧波電壓激勵下時諧場-路耦合模型示意圖如圖6所示，這樣可以在小信號時諧場分析中，直接同時計算出不同諧波電壓激勵下的高頻交流銅耗。此處與文獻[10-13]中另一點不同的是，將端部漏感0考慮在了小信號模型中，而不再像文獻[15]中一樣采用端部漏磁系數(shù)考慮端部漏磁。

圖6 三相諧波電壓激勵下時諧場-路耦合模型示意圖

另外，根據(jù)近期研究，硅鋼片與永磁體的高頻渦流反應(yīng)會導(dǎo)致電機高頻電感隨著頻率的增加而降低[13]，且在PWM電壓激勵下由于硅鋼片的磁滯特性，硅鋼片的增量磁導(dǎo)率與基于傳統(tǒng)-計算的結(jié)果有較大區(qū)別[16, 21]。因此，按照文獻[15]中基于硅鋼片單值-曲線，采用FDRTM構(gòu)造的永磁電機頻域小信號模型并不能非常準確地模擬永磁電機的高頻特性，更加準確的永磁電機高頻小信號模型仍需進一步研究，此處仍采用文獻[15]中的FDRTM構(gòu)造的頻域小信號模型計算，至少該方法可準確考慮硅鋼片的飽和特性。

在采用該模型計算永磁體高頻渦流損耗時，為了工程簡化計算，不使用文獻[15]中以平均磁通密度為輸入的永磁體三維渦流損耗模型，而是通過修正二維模型中永磁體的電導(dǎo)率來考慮分段對永磁體渦流損耗的影響。文獻[18]中給出了根據(jù)三維時諧場有限元分析結(jié)果修正永磁體電導(dǎo)率的方法，本文中為了避免進行三維有限元計算，直接從描述永磁體中渦流反應(yīng)強度的解析模型出發(fā)[15]，提出了永磁體二維等效電導(dǎo)率修正方法為

式中，PM為永磁體磁導(dǎo)率；PM為永磁體真實電導(dǎo)率；為永磁體寬度；為一塊永磁體軸向長度；mod為二維模型修正之后的電導(dǎo)率；為頻率；2d和3d分別為二維和三維模型中反應(yīng)永磁體渦流反應(yīng)強弱的參數(shù)，而此處通過修正二維模型中mod使得2d和3d相等，以獲得能夠準確反映永磁體中渦流反應(yīng)強弱的永磁體二維等效電導(dǎo)率。這樣可在小信號時諧場有限元分析中直接計算出永磁體渦流損耗，而無需使用以平均磁通密度為輸入的永磁體解析渦流損耗模型。

通過采用數(shù)值方法使用式（13）可計算不同頻率下的修正電導(dǎo)率。需要指出的是，由于2d和3d都是復(fù)數(shù)，想要找到一個mod使得兩者完全相等是不可能的，而只能尋找mod使得2d和3d之差最小。定義兩者之差為

兩種不同方式確定的修正電導(dǎo)率如圖7所示?？梢钥闯觯瑑煞N方式確定的mod僅在頻率非常低的情況下才完全相同，但很難確定哪種方式更加合理，而且從整體上看，兩種方式確定的電導(dǎo)率差別不大?？梢詫⒉煌l率下的等效電導(dǎo)率代入對應(yīng)頻率下的時諧場分析中，但考慮到永磁體中的PWM諧波損耗主要集中在c和2c附近[15]，本文直接選取3c2時計算的mod代入頻域小信號分析模型中進行計算，這也有利于降低編程的復(fù)雜程度。此外，選擇方式①計算的mod用于后續(xù)計算，這是因為在3c/2時方式①計算的mod偏大，采用它計算的永磁體渦流損耗更大，計算的效率更保守。

圖7 寬度為10.8mm、軸向長度為19mm的永磁體在不同頻率下的二維等效電導(dǎo)率smod

2.2 PWM諧波損耗簡化工程模型

基于頻域小信號分析建立的描述諧波電壓與硅鋼片鐵耗與諧波損耗關(guān)系的模型已經(jīng)在文獻[16]中給出，主要依據(jù)諧波損耗正比于諧波電壓的二次方，即

式中，e為低頻時擬合得到的硅鋼片渦流損耗系數(shù)；fe(,)反映的是渦流損耗系數(shù)隨頻率的衰減；為趨膚深度；為硅鋼片厚度；為硅鋼片的電導(dǎo)率；為硅鋼片磁導(dǎo)率。由于高頻時磁滯損耗占比不高，本文中直接忽略磁滯損耗系數(shù)隨頻率的變化。B35AV1900的厚度為0.35mm，電導(dǎo)率根據(jù)文獻[21]中的測量值取為2.841 4×106S/m。而根據(jù)文獻[16, 21]中的研究，的選取非常復(fù)雜，且對于PWM諧波鐵耗的準確計算也至關(guān)重要。當(dāng)考慮磁滯影響時，變成復(fù)數(shù)且式（17）將變得更加復(fù)雜[21]。根據(jù)文獻[16]中的研究經(jīng)驗，由于磁滯效應(yīng)，采用初始磁導(dǎo)率代入式（17）比使用基于單值-曲線得到的增量磁導(dǎo)率能更加準確地計算PWM諧波鐵耗。根據(jù)文獻[16]中的圖22，本文中直接選取1 000×4π×10-7代入式（17）進行簡化工程計算，忽略了隨著磁通密度幅值和直流偏磁的變化，以及直流偏磁對鐵耗的影響[34]，這樣就可以先以常系數(shù)渦流損耗模型根據(jù)時諧場分析結(jié)果，計算不同諧波電壓激勵下的損耗，最后將總損耗乘以式（17）進行修正即可，而無需考慮每個網(wǎng)格偏磁與磁通密度幅值對渦流損耗的影響。

在計算永磁體渦流損耗時，不再使用文獻[15]中以平均磁通密度為輸入的復(fù)雜解析渦流損耗模型，而是借鑒文獻[18]中計算表貼式永磁電機中永磁體渦流損耗的方法，直接以d、q軸諧波電壓為輸入計算永磁體中的PWM諧波損耗，即

類似于定子鐵耗的計算方法，本文提出采用定子坐標系下的諧波電壓直接計算槽導(dǎo)體中PWM諧波交流銅耗Cu為

系數(shù)。為提升計算精度，在計算過程中對不同轉(zhuǎn)子位置的比例系數(shù)進行計算并取平均值，圖8中給出了對應(yīng)的流程。由于這些損耗系數(shù)隨轉(zhuǎn)子位置的變化周期是60°電角度[16]，本文中通過在60°內(nèi)均勻選取5個點進行計算取平均來考慮轉(zhuǎn)子位置的影響。

圖8 提取一個工作點損耗系數(shù)流程

2.3 不同工作點損耗系數(shù)變化規(guī)律

基波電流會影響硅鋼片的飽和狀態(tài)，進而影響損耗系數(shù)，為實現(xiàn)快速準確地計算全工況PWM諧波損耗圖，需要擬合損耗系數(shù)隨基波電流的變化規(guī)律[16]。根據(jù)文獻[16]中的研究，這些損耗系數(shù)隨基波電流的變化并不是特別明顯，可以僅通過對6個典型工作點的計算，采用二次多項式擬合損耗系數(shù)隨基波電流的變化規(guī)律。在文獻[15-16]中選取了均勻分布在工作區(qū)上的6個點，但是考慮到直流母線電壓發(fā)生變化時，工作區(qū)本身也會發(fā)生變化，因此本文采用新的方法選取6個典型工作點，如圖9所示。首先未進入弱磁區(qū)之前，電流軌跡都是在MTPA曲線上，因此在這條曲線上選取3個平均分布的點A、B、C。而進入弱磁區(qū)后，工作電流軌跡都是位于MTPA曲線下方，新的3個點由特征電流sc定義，其表達式為

圖9 6個典型工作點選取方式示意圖

Fig.9 Diagram for the six typical working conditions

在表3中以10kHz時的數(shù)據(jù)為例，給出了損耗系數(shù)隨基波電流的變化，可以看出，d軸損耗系數(shù)隨基波電流的變化不明顯，而q軸的損耗系數(shù)隨工作點的變化相對較大。將6個工作點的損耗系數(shù)隨d、q的變化規(guī)律采用簡單的二次多項式擬合[16]，有

式中，coef可以為表3中任意的損耗系數(shù)；1～6為6個待擬合的系數(shù)，可根據(jù)表3中6個工作點計算的損耗系數(shù)進行擬合。根據(jù)擬合的系數(shù)即可計算任意工況下的損耗系數(shù)。從快速工程計算的角度出發(fā)，僅采用6個工作點計算全工況的系數(shù)可能會降低計算精度，但考慮到損耗系數(shù)本身隨基波電流變化不大，采用這種方式進行擬合是可接受的，在文獻[15-16]中，已對這種方式擬合的精度進行過檢驗。

表3 10kHz時高頻損耗系數(shù)隨基波電流的變化

2.4 考慮PWM諧波損耗的效率計算

在得出表3中不同工作點的損耗系數(shù)之后，即可快速計算全工況的諧波損耗圖，具體流程如圖10所示。PWM電壓直接通過數(shù)值方法生成[15]，忽略了死區(qū)和管壓降。PWM總諧波損耗可表示為

3 簡化工程計算與瞬態(tài)有限元計算對比

表4 簡化工程算法與瞬態(tài)有限元法計算結(jié)果對比

當(dāng)采用二維不斜極模型時，有限元模型節(jié)點數(shù)為6 741，網(wǎng)格數(shù)為13 237；當(dāng)采用二維斜極模型時，節(jié)點數(shù)變?yōu)? 741×2，網(wǎng)格數(shù)變?yōu)?3 237×2。乘2的原因是分段斜極數(shù)為2。所采用的三維有限元模型如圖11所示。為了簡化三維有限元模型，未考慮斜極的影響，這樣可以選取完整電機模型的1/80進行計算。為了分析端部繞組中的PWM諧波損耗，對端部導(dǎo)體進行了建模，而為了簡化三維有限元模型，端部導(dǎo)體被建模成直立的，端部高度的確定原則是確保三維模型中總的單相直流電阻值和實測值相同。但需要指出的是，這種端部模型與圖1a中實際端部繞組結(jié)構(gòu)存在偏差。此時三維模型中的端部漏感值無法保證和表1中的解析值0相同。在本文中，三維有限元模型的網(wǎng)格數(shù)為609 243，節(jié)點數(shù)為118 561。

圖11 三維有限元模型

分別進行正弦電流激勵下的瞬態(tài)有限元計算和PWM線電壓為輸入的瞬態(tài)有限元計算[10-11]。在二維模型中，端部漏感用場-路耦合模型中的集總參數(shù)電感表示，如圖6所示，且永磁體電導(dǎo)率使用的是考慮分段影響的修正值mod。而在三維模型中，端部漏感被包含在有限元模型中，永磁體電導(dǎo)率則直接使用真實值PM。在計算過程中端部和槽導(dǎo)體溫度均被設(shè)置為80℃。

從計算步數(shù)和時間上看，PWM線電壓輸入法在一個電周期內(nèi)需進行數(shù)千步瞬態(tài)有限元計算，耗時較長。而所提算法無需使用小步長瞬態(tài)計算，且不需要采用三維模型，計算速度大大提升。由于所提算法直接針對全工況損耗圖計算，在正弦電流供電下有限元計算的基礎(chǔ)上只需要增加額外6個工作點的線性時諧場分析，具體整個效率圖的計算時間將在第4節(jié)中給出，表4中不再給出每個工作點所需的額外計算時間。表中所列的計算時間是在一臺CPU為Intel(R) Core(TM) i7-9750H @ 2.60GHz的個人計算機上計算時統(tǒng)計的，二維有限元計算使用的是自主開發(fā)的場-路耦合仿真軟件[35]，而三維有限元計算則是借助商用有限元軟件完成。

式中，avpwm1為PWM電壓輸入法計算的三相電流基波幅值二次方的平均值，此處的修正是考慮到基波電流產(chǎn)生的交流銅耗正比于電流的二次方。在二維有限元計算中不考慮端部繞組銅耗，而在本文所提快速算法中，由于不容易直接建立起諧波電壓與端部繞組銅耗之間關(guān)系，同樣忽略了端部繞組的PWM諧波銅耗。而通過三維有限元計算則能夠得到端部與槽導(dǎo)體交流銅耗的總和，以檢驗忽略端部PWM諧波銅耗是否會造成較大的計算誤差。

在分離永磁體中PWM諧波損耗時，由于正弦電流輸入時的永磁體渦流損耗很小，且基波電流只是影響它的次要因素，直接采用兩種供電模式下永磁體渦流損耗的差值作為瞬態(tài)有限元法計算的永磁體PWM諧波損耗，不再進行額外的修正。

在表4中對比所提算法與瞬態(tài)有限元法計算的永磁體PWM諧波損耗可以發(fā)現(xiàn)，二維有限元法計算值與所提算法計算值很接近，最大相對誤差不超過11%，這說明式（18）可用于內(nèi)嵌式永磁電機中永磁體渦流損耗的快速準確計算，在之前的研究中只是證明了它可以被用于表貼式永磁電機永磁體PWM諧波損耗的快速計算[18]。三維有限元計算永磁體渦流損耗明顯小于本方法計算值，這里的原因主要有：①由于在三維模型中除了繞組的端部漏感，還考慮了從永磁體端部空氣中穿過的漏磁通[10]，這部分漏磁通在所提算法中并未考慮，會造成所提算法高估永磁體中的PWM諧波損耗；②圖11中三維有限元模型的端部漏感會明顯高于表1中解析計算值，而高估繞組端部漏感會造成低估永磁體中的PWM諧波損耗。由于實際繞組端部結(jié)構(gòu)與圖11中的端部繞組有明顯區(qū)別，這里不能簡單認為三維有限元模型中的端部漏感比解析值更加準確，也就不能簡單認為三維有限元計算結(jié)果就是最接近于實際值。因此，所提算法計算永磁體中PWM諧波損耗的精度仍需實驗值的進一步檢驗。

在表4中對比兩種方法計算的繞組PWM諧波損耗可以發(fā)現(xiàn)，即使是采用二維模型，在電磁轉(zhuǎn)矩較低時，式（19）中直接以定子坐標系下電壓頻譜為輸入，快速計算槽導(dǎo)體中PWM諧波損耗的方法也存在較大誤差。不同于硅鋼片與永磁體中諧波損耗直接正比于高頻交變磁通密度的二次方，而磁通密度又正比于電壓，因此可直接以諧波電壓為輸入計算其中的諧波損耗，繞組中的交流銅耗是正比于諧波電流的二次方，而諧波電壓中各次分量與諧波電流中各次分量并非存在一一對應(yīng)的正比關(guān)系，因此采用式（19）直接計算繞組PWM諧波損耗從理論上可能存在偏差。為獲得更加準確的PWM諧波交流銅耗，需先準確計算PWM諧波電流再結(jié)合準確的高頻交流電阻模型進行計算，而這種方法目前還未完全建立，仍需進一步研究，且其復(fù)雜度會高于本文所提算法。此外，三維有限元法計算的繞組交流銅耗明顯高于所提算法的計算值，這主要是由于三維模型同時計算了槽內(nèi)與端部繞組中的PWM諧波損耗，而所提算法只是考慮了槽導(dǎo)體的PWM諧波損耗，這可能會導(dǎo)致所提算法低估總的PWM諧波銅耗。這說明本算法未來仍需進一步改進以考慮端部繞組中PWM諧波損耗的影響。但同樣需要指出的是，并不能簡單認為這里的三維有限元結(jié)果更接近于實際值，這是因為圖11中的三維有限元模型端部繞組結(jié)構(gòu)與實際情況有很大區(qū)別，端部繞組的結(jié)構(gòu)會影響端部繞組中的交流銅耗。因此，所提算法計算PWM諧波銅耗的準確性同樣需要實驗值的進一步檢驗。

盡管通過分別對比每種類型的損耗說明了所提算法的精度仍需進一步改進，但從整體上看，所提算法計算的PWM諧波損耗不會存在數(shù)量級上的顯著誤差，相比于純正弦電流輸入法的計算結(jié)果，用所提算法將PWM諧波損耗考慮在內(nèi)得到的總損耗會更接近于直接以PWM電壓為輸入瞬態(tài)有限元計算得到的總損耗。這說明采用所提算法將PWM諧波損耗考慮在內(nèi)仍能有效提升PWM逆變器供電下永磁電機損耗效率的計算精度。

4 實測值與計算值對比

為了進一步驗證所提快速工程算法計算PWM諧波損耗的正確性，將不同直流母線電壓下，scs、PWM和實測效率進行了對比。圖12中給出了樣機效率測試照片，測試時為了工作人員的安全舒適，對拖測試臺架與控制測量設(shè)備分別被放在了不同的房間。在測試時，冷卻油溫為80℃，控制冷卻油流速確保繞組溫度不超過120℃（在電流較大時無法完全保證）。在效率測試過程中，永磁體溫度與繞組溫度都會隨著電機工況的變化而變化，而由于永磁體溫度無法監(jiān)測且繞組只能通過傳感器測得一個點的溫度，也無法考慮到整個繞組上溫度的不均勻分布，這會造成計算效率與實測值之間的偏差。另外，由于未進行假轉(zhuǎn)子實驗，按照1.3節(jié)確定的機械損耗可能也會與實際值存在一定的偏差。在本文中永磁體溫度被統(tǒng)一設(shè)定為110℃，繞組溫度被分別設(shè)定為80℃和120℃進行計算。

圖13中對比了直流母線電壓為450V時的情況，此時絕大多數(shù)工作點均位于MTPA區(qū)域，在計算過程中將繞組溫度設(shè)置為120℃，可以看出，scs遠高于實測值，且差別較大，而PWM明顯更加接近于實測效率，這說明PWM諧波損耗會對電機效率產(chǎn)生明顯的影響。

圖12 樣機效率測試照片

圖14對比了電機在輕載（輸出20N·m機械轉(zhuǎn)矩）時效率隨著直流母線電壓的變化。在計算電機效率時考慮到輕載時繞組溫升不高，將繞組溫度按照80℃進行計算?？梢钥闯?，在轉(zhuǎn)速低于4 000r/min、IPMSM均工作在MTPA區(qū)域時，電機效率隨著直流母線電壓的降低而升高，這主要是由于PWM諧波損耗隨著母線電壓的降低而降低。且采用純正弦電流供電假設(shè)計算的效率可比電機實測值最大高出4個百分點，而考慮PWM諧波損耗時的計算效率偏差都在1個百分點之內(nèi)。

圖13 Udc=450V時計算與實測效率對比

圖14 比較不同直流母線下樣機輕載運行時的計算與測試效率

為了進一步驗證本文中考慮PWM諧波損耗效率圖快速工程算法的正確性，將直流母線電壓為350V時，不同轉(zhuǎn)速下的計算效率與實測值進行對比。在計算時，將繞組溫度設(shè)置為80℃和120℃分別計算。所得不同轉(zhuǎn)速下計算與實測效率之間的對比如圖15所示?？梢院苊黠@看出，實測效率與考慮PWM諧波損耗的計算效率更接近，且在輸出轉(zhuǎn)矩較小時，計算效率與繞組溫度為80℃的情況更接近，而在轉(zhuǎn)矩較大時，則和120℃時的計算效率更加接近，這與實際繞組溫度隨著輸出轉(zhuǎn)矩的變化趨勢一致?？梢院苊黠@看出，考慮PWM諧波損耗的工程計算方法有效提升了整個工作區(qū)內(nèi)IPMSM效率的計算精度。

圖15 Udc=350V時計算與實測效率對比

最后，在表5中總結(jié)了為計算PWM諧波損耗所需要額外增加的時間。所使用的有限元模型的節(jié)點數(shù)為6 741×2，網(wǎng)格數(shù)為13 237×2。需要指出的是，在進行了一次頻域小信號分析獲取不同工況的損耗系數(shù)后，再進行不同直流母線電壓下的PWM諧波損耗計算時，可直接使用已經(jīng)提取的系數(shù)，而無需重復(fù)進行頻域小信號分析。

表5 PWM諧波損耗快速工程計算所需時間

5 結(jié)論

本文在前期研究IPMSM永磁體與硅鋼片中PWM諧波損耗的基礎(chǔ)上[14-18]，首次將其推廣應(yīng)用于PWM諧波交流銅耗的計算，并建立了一套完整的PWM諧波損耗快速工程算法。這種方法只需要利用諧波損耗正比于諧波電壓二次方的基本規(guī)律，通過頻域小信號分析提取相關(guān)損耗系數(shù)即可。相比只計算正弦電流供電下得到的效率圖，考慮PWM諧波損耗計算的效率圖明顯更加接近于實測值，將4個百分點的最大效率計算誤差縮減至1個百分點左右。更加準確的計算效率精度定量比較需記錄每個工作點實測繞組溫度，這仍需在未來的工作中繼續(xù)進行。此外，本文所提方法只是一種快速工程算法，從提升計算精度的角度還有多個方面的工作需要繼續(xù)進行：

1）基于硅鋼片單值-曲線，采用FDRTM構(gòu)建的永磁電機小信號模型無法準確模擬硅鋼片中的磁滯效應(yīng)和高頻渦流反應(yīng)，也無法準確模擬永磁電機高頻電感隨著頻率的下降[13]，這會間接影響PWM諧波損耗的計算精度，因此需要研究更加準確的IPMSM小信號模型。

2）本文采用硅鋼片低頻損耗系數(shù)結(jié)合簡單的高頻解析模型修正計算PWM諧波鐵耗，且在所有工況下都假設(shè)相對磁導(dǎo)率為1 000，這些近似處理會影響PWM諧波鐵耗的計算精度。而采用更加準確的高頻鐵耗模型可進一步提升PWM諧波損耗的計算精度。

3）更加準確的PWM諧波交流銅耗計算應(yīng)采用諧波電流和交流電阻進行計算，而準確計算PWM諧波電流，仍需研究更加準確的IPMSM小信號模型。直接使用定子坐標系下PWM諧波電壓計算交流銅耗的方法的準確性仍需更加完整的計算驗證。

4）端部繞組中的PWM諧波交流銅耗仍需進一步研究。

5）本文中的PWM諧波電壓是根據(jù)不同轉(zhuǎn)速、負載情況下的d、q軸基波電壓采用開環(huán)的方法計算得到的，并未考慮閉環(huán)控制、死區(qū)、逆變器非線性等因素的影響，這會導(dǎo)致實際PWM諧波電壓與計算值存在誤差，未來仍需進一步研究這些因素的 影響。

6）本文中的快速工程算法僅適用計算開關(guān)頻率及其倍頻附近的高次諧波電壓所產(chǎn)生的諧波損耗，對于變頻電機中5、7、11次等低頻諧波電流產(chǎn)生的損耗，不適合采用該快速工程算法計算，對于它們所產(chǎn)生的損耗仍需進行進一步研究。

盡管本文提出的快速工程算法仍存在上述計算精度上的問題，但本方法只需使用廠家提供的數(shù)據(jù)，無需采用額外的雙愛潑斯坦方圈系統(tǒng)進行高頻測 試[21]，使用起來較為方便，且容易編寫成一般通用程序，能夠有效提升PWM逆變器供電下IPMSM效率的計算精度。因此，所提方法仍具有較高的工程應(yīng)用價值。

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Simplified Engineering Calculation of Efficiency Map of Interior Permanent Magnet Synchronous Machines with Hairpin Windings Considering PWM-Induced Harmonic Losses

11122

（1. College of Energy and Electrical Engineering Hohai University Nanjing 211100 China 2. Suzhou Inovance Automotive Co. Ltd Suzhou 215104 China）

This paper proposes an engineering method for fast calculating the PWM-induced harmonic losses in interior permanent magnet synchronous machines (IPMSMs) with hairpin windings obtained from the simplification of the quick calculation method of PWM-induced harmonic losses in permanent magnets and silicon steel sheets proposed earlier. Based on the basic rule that harmonic losses are proportional to the square of harmonic voltages, the frequency-domain small-signal time-harmonic finite element analysis is used to establish the functional relationships between harmonic losses and the square of harmonic voltages. Thus, harmonic losses in the stator and rotor with the spectra of harmonic voltages in the stator and rotor reference frames can be fast calculated, respectively. In addition, the proposed algorithm based on the frequency-domain small-signal analysis is applied to calculate PWM-induced harmonic AC copper losses for the IPMSMs with hairpin windings. As a result, the PWM-induced harmonic losses over the entire working condition can be estimated in a few minutes. The efficiency maps are compared under the sinusoidal current source (SCS) supply, considering PWM-induced harmonic losses and the measured efficiency, the proposed method can reduce the maximum deviation of the computational efficiency under SCS supply from 4% to about 1% at low speed and light load working conditions and improve the calculation accuracy of efficiency in the entire working area.

Interior permanent magnet synchronous machines, pulse-width modulation, harmonic losses, efficiency map, engineering calculation

TM351

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.220912

國家自然科學(xué)基金（51907053）、江蘇省自然科學(xué)基金（BK20190489）和中國博士后科學(xué)基金（2019M661708）資助項目。

2022-05-26

2022-06-20

朱 灑 男，1990年生，博士，講師，研究方向為永磁電機損耗計算與多物理場分析及軟件開發(fā)。

E-mail: zhusa@hhu.edu.cn（通信作者）

曾 峰 男，1997年生，碩士研究生，研究方向為永磁電機優(yōu)化設(shè)計。

E-mail: 211306080045@hhu.edu.cn

（編輯 崔文靜）