◇許婷婷（江蘇：蘇州市寶帶實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

數(shù)學(xué)有其特有的學(xué)科基本結(jié)構(gòu)。布魯納認(rèn)為，掌握一門(mén)學(xué)科就是要掌握其基本結(jié)構(gòu)。當(dāng)數(shù)學(xué)知識(shí)以教材形式呈現(xiàn)給學(xué)生們時(shí)，由于編排時(shí)會(huì)考慮知識(shí)之間的邏輯性、學(xué)生的認(rèn)知能力和學(xué)習(xí)心理等，相關(guān)聯(lián)的知識(shí)會(huì)被分散在不同的單元、年級(jí)和學(xué)段，甚至跨學(xué)科中。加之一線教師的教學(xué)水平參差不齊，學(xué)生的能力水平也各不相同，導(dǎo)致小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在一些問(wèn)題：教師以課時(shí)為單位，就教材內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，忽視知識(shí)之間的聯(lián)系，缺乏解讀教材的能力，沒(méi)有體現(xiàn)知識(shí)的整體性、結(jié)構(gòu)性；學(xué)生接收到的是離散的、冗雜的、淺表的知識(shí)點(diǎn)，知識(shí)量是在增加，但沒(méi)有實(shí)現(xiàn)真正的理解，把知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系成系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)存在困難，不利于形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)化教學(xué)有助于解決這些教學(xué)問(wèn)題。結(jié)構(gòu)化教學(xué)是以學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，以學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為起點(diǎn)，從整體和宏觀角度，有組織、有系統(tǒng)地安排教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生超越知識(shí)表層的符號(hào)表征，走入知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效迀移和靈活應(yīng)用。

一、顯化知識(shí)結(jié)構(gòu)，從本質(zhì)上分析教學(xué)內(nèi)容

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》在課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)上進(jìn)行了整合和調(diào)整，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性和學(xué)科本質(zhì)的一致性。整體性主要反映在四個(gè)領(lǐng)域的主題的統(tǒng)整，目的是體現(xiàn)學(xué)科內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)特征。一致性主要體現(xiàn)在同一個(gè)主題以一個(gè)或少數(shù)幾個(gè)核心概念為統(tǒng)領(lǐng)，貫穿于不同的學(xué)段。

知識(shí)之間不是孤立存在的，小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法之間是有聯(lián)系的，這種聯(lián)系是以核心概念相互串聯(lián)起來(lái)的。核心概念如同一個(gè)錨點(diǎn)，用來(lái)系住即將學(xué)習(xí)的新知識(shí)，“系”的過(guò)程就是產(chǎn)生聯(lián)系的過(guò)程；核心概念如同一個(gè)認(rèn)知文件夾，用來(lái)歸檔不同的知識(shí)，“歸檔”的過(guò)程就是產(chǎn)生聯(lián)系的過(guò)程。這樣，通過(guò)核心概念使同一主題內(nèi)以及不同主題之間的知識(shí)與方法形成了一個(gè)連貫的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，使學(xué)生不再接收到碎片化的知識(shí)。學(xué)生通過(guò)核心概念構(gòu)建自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，在學(xué)習(xí)相關(guān)聯(lián)的知識(shí)時(shí)，會(huì)主動(dòng)提取相關(guān)的核心概念，深刻理解并掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)知識(shí)和方法的遷移應(yīng)用。以核心概念為中心組織結(jié)構(gòu)化教學(xué)，有利于教師更好地把握課程內(nèi)容的本質(zhì)，利用少而精的核心概念改變“知識(shí)覆蓋型”的課堂，提升教學(xué)質(zhì)量；對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，則可促進(jìn)其對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)理解，在積極的情感體驗(yàn)中讓學(xué)習(xí)過(guò)程更輕松持久，使數(shù)學(xué)理解和能力成為相互關(guān)聯(lián)的整體，逐步形成核心素養(yǎng)。

下面就以“圖形與幾何”領(lǐng)域中的核心概念度量為例，分析課程內(nèi)容本質(zhì)。

（一）知識(shí)的“來(lái)”與“去”

了解度量單位的產(chǎn)生和發(fā)展有利于把握度量的本質(zhì)。最初，人們?yōu)榱朔奖?，利用身體的一部分作為長(zhǎng)度單位進(jìn)行度量，且在不同的國(guó)家都有相似的做法，例如：伸展手臂時(shí)從鼻尖到大拇指間的跨度叫作碼，拇指與食指伸開(kāi)之間的距離叫作拃，等等。但這樣的長(zhǎng)度單位在不同國(guó)家、不同文化環(huán)境中不統(tǒng)一，不便于交流和傳播，因此必須把度量單位標(biāo)準(zhǔn)化，即統(tǒng)一度量單位，這樣才能描述可測(cè)量物體的大小關(guān)系。而精確定義1 米是依靠先進(jìn)的科技。從以上歷史發(fā)展的過(guò)程來(lái)看，度量是借助工具得到的，是人實(shí)踐的產(chǎn)物，學(xué)生的學(xué)習(xí)也應(yīng)順著歷史脈絡(luò)經(jīng)歷這樣的真實(shí)情境，經(jīng)歷從多元到統(tǒng)一、從粗略到精細(xì)的過(guò)程，體會(huì)形成過(guò)程蘊(yùn)含的思維形式。

（二）知識(shí)的“穴”與“脈”

一般認(rèn)為，幾何學(xué)的興起源自對(duì)圖形大小的測(cè)量。在某種意義上，測(cè)量不僅推動(dòng)了數(shù)的發(fā)展，也推動(dòng)了形的發(fā)展。圖形的屬性包括度量屬性(主要指長(zhǎng)度、面積、體積、角度)和非度量屬性。在小學(xué)階段，主要涉及度量屬性的學(xué)習(xí)。根據(jù)維數(shù)，用長(zhǎng)度、面積、體積分別表示一維、二維、三維圖形的大小。圖形測(cè)量的本質(zhì)是確定圖形的大小，確定圖形的大小就是與標(biāo)準(zhǔn)尺進(jìn)行比較。度量的本質(zhì)是計(jì)量單位的累加。無(wú)論標(biāo)準(zhǔn)尺的單位是什么，都是用1 來(lái)表示一個(gè)度量單位，這是因?yàn)? 是任何自然數(shù)的公因數(shù)，把度量單位設(shè)為1，可以使測(cè)量結(jié)果的表示最為容易。長(zhǎng)度的本質(zhì)是線段長(zhǎng)度，把長(zhǎng)度定義為線段兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離，是為了使兩點(diǎn)之間的長(zhǎng)度唯一。數(shù)學(xué)內(nèi)部的和諧統(tǒng)一無(wú)處不在。

（三）知識(shí)的“根”與“魂”

對(duì)線段的細(xì)分和倍增又可以派生出其他的長(zhǎng)度單位，而產(chǎn)生新單位都是實(shí)際測(cè)量的需要。長(zhǎng)度是面積、體積測(cè)量的出發(fā)點(diǎn)，三者具有內(nèi)在的邏輯關(guān)系。通過(guò)對(duì)兩個(gè)長(zhǎng)度單位施加乘法運(yùn)算可以得到新的數(shù)學(xué)意義，即面積；對(duì)三個(gè)長(zhǎng)度單位施加乘法運(yùn)算可以得到體積。其基礎(chǔ)是圖形的密鋪以及通過(guò)割補(bǔ)把圖形轉(zhuǎn)化。涉及圖形測(cè)量部分的課程內(nèi)容其結(jié)構(gòu)是相似的，教師在教學(xué)時(shí)要牢牢把握核心概念，讓學(xué)生真實(shí)體驗(yàn)單位的產(chǎn)生、累加過(guò)程，積累度量的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、量感、幾何直觀等核心素養(yǎng)。

二、基于已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行分析

學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是影響學(xué)生學(xué)習(xí)的最重要因素，這一觀點(diǎn)已被廣泛認(rèn)同。結(jié)構(gòu)化教學(xué)需要教師格外重視學(xué)習(xí)者分析，這是有效教學(xué)的前提。讓學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)要通過(guò)有意義的學(xué)習(xí)，就是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有觀念與新知識(shí)發(fā)生相互作用。同時(shí)，教師還必須認(rèn)識(shí)到不同學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)化的能力也不同。教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系整合一些課時(shí)內(nèi)容進(jìn)行大單元教學(xué)時(shí)，學(xué)生的個(gè)體認(rèn)知差異也是一個(gè)非常重要的考量因素。如果整合的單元內(nèi)容過(guò)于簡(jiǎn)單，則會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)沒(méi)有得到發(fā)展，反之，學(xué)生在學(xué)習(xí)中無(wú)法通過(guò)已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)、情感經(jīng)驗(yàn)、動(dòng)作經(jīng)驗(yàn)對(duì)單元內(nèi)容進(jìn)行深度理解，認(rèn)知結(jié)構(gòu)也得不到延伸。因此，教師要從多個(gè)角度進(jìn)行認(rèn)知結(jié)構(gòu)的摸底，借助分析的結(jié)果對(duì)學(xué)生有一個(gè)全面的、深入的了解，由此，其在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)自然也能有理有據(jù)地選擇教學(xué)內(nèi)容，確立教學(xué)目標(biāo)、編制單元檢測(cè)、設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生由知識(shí)結(jié)構(gòu)向認(rèn)知結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化和融合。

（一）“借”——借助理論成果，把握認(rèn)知特征

教師利用當(dāng)下較為成熟的教育學(xué)理論、心理學(xué)理論、學(xué)習(xí)理論等的研究成果及新的進(jìn)展，能夠?yàn)榱私鈱W(xué)生的認(rèn)知特征提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。例如皮亞杰的兒童認(rèn)知發(fā)展理論就兒童把握各種數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的發(fā)展過(guò)程做了具體的分析。他對(duì)兒童度量觀念的心理發(fā)生研究表明，測(cè)量概念的發(fā)展是同基本的守恒概念有關(guān)的。進(jìn)行線性測(cè)量時(shí)，兒童必須發(fā)展長(zhǎng)度守恒的觀念，而這些觀念對(duì)大多數(shù)兒童來(lái)說(shuō)在七八歲之前是不會(huì)出現(xiàn)的；在學(xué)習(xí)面積、體積測(cè)量時(shí)又涉及守恒性問(wèn)題，這些觀念的出現(xiàn)要更晚一些。并且同一年齡的兒童在認(rèn)知水平上也是不同的，面積守恒使兒童能數(shù)出圖形中包含有多少個(gè)基本測(cè)量單位，高水平的兒童能運(yùn)用等分進(jìn)行計(jì)數(shù)的方法來(lái)確定面積大小，更復(fù)雜的思維則是用長(zhǎng)度乘寬度來(lái)計(jì)算一個(gè)長(zhǎng)方形的面積。因此，教師在教學(xué)中必須關(guān)注兒童認(rèn)知的發(fā)展規(guī)律，把握認(rèn)知特征，抓住學(xué)習(xí)起點(diǎn)。

（二）“研”——研讀教材分析，了解學(xué)習(xí)基礎(chǔ)

教材內(nèi)容具有承前啟后的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，通過(guò)縱向的分析，教師可以在全局上把握與本教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的已學(xué)知識(shí)和未學(xué)知識(shí)的關(guān)系，以及其在小學(xué)知識(shí)體系中的地位與作用，了解學(xué)生應(yīng)該掌握的知識(shí)技能、問(wèn)題解決能力等。例如，我們可以進(jìn)行面積大單元的結(jié)構(gòu)化教學(xué)是因?yàn)檫@部分內(nèi)容建立在學(xué)生已經(jīng)體會(huì)并認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)度單位，能進(jìn)行長(zhǎng)度單位的簡(jiǎn)單換算、能估測(cè)一些物體的長(zhǎng)度并會(huì)進(jìn)行一定的測(cè)量、初步認(rèn)識(shí)了一些平面圖形知識(shí)等的基礎(chǔ)上。在橫向上，可以對(duì)比不同版本的教材在相同內(nèi)容編排上的特點(diǎn)、方式和目的，為教學(xué)設(shè)計(jì)提供參考。仍以這一內(nèi)容舉例，可以對(duì)比各個(gè)教材在“引導(dǎo)學(xué)生建立基本概念”“感受度量單位實(shí)際大小”“常用度量單位間的進(jìn)率關(guān)系”“設(shè)計(jì)的練習(xí)題”等體驗(yàn)活動(dòng)、方式方法方面的異同，取長(zhǎng)補(bǔ)短。

（三）“聯(lián)”——聯(lián)合經(jīng)驗(yàn)判斷，抓住個(gè)體差異

借助理論成果和研讀教材分析是科學(xué)可靠的方法，在實(shí)際教學(xué)中，教師根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)判斷來(lái)評(píng)估學(xué)生現(xiàn)在和未來(lái)的學(xué)習(xí)情況，往往是更高效、更有用的方法。并且，教師的資歷越深，對(duì)學(xué)生越了解，評(píng)估的結(jié)果就越準(zhǔn)確。在平時(shí)與學(xué)生的相處中，教師對(duì)每一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格、動(dòng)機(jī)、習(xí)慣、態(tài)度、興趣、方法等非智力因素方面和知識(shí)技能、生活經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知特征等智力因素方面都有一定的了解，要利用好這些分析并服務(wù)于自己的教學(xué)。

（四）“編”——編制科學(xué)前測(cè)，解決學(xué)習(xí)困惑

由于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)各不相同，接觸到的信息多樣化，由此形成的“前概念”可能是不科學(xué)的，這可能會(huì)對(duì)即將學(xué)習(xí)的新知識(shí)產(chǎn)生負(fù)遷移。而且在面積教學(xué)之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)度及長(zhǎng)度單位的相關(guān)知識(shí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)也可能受到“前攝抑制”的干擾。因此，基于學(xué)生的真實(shí)情況編制科學(xué)的前測(cè)，有利于教師了解學(xué)生的學(xué)習(xí)困惑，量身定制教學(xué)活動(dòng)，對(duì)癥下藥。以“面積”內(nèi)容為例，編制的要點(diǎn)可以從以下幾方面考慮：學(xué)生在生活經(jīng)驗(yàn)中形成的對(duì)面積和面積單位的前概念狀態(tài)；對(duì)封閉圖形及怎樣的圖形有大小的理解；長(zhǎng)度及周長(zhǎng)的學(xué)習(xí)對(duì)面積學(xué)習(xí)是否有前攝干擾等。

三、優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)，打通知識(shí)間的聯(lián)系

教材的編排是螺旋上升式的，教學(xué)內(nèi)容交織在各個(gè)學(xué)段中，幫助學(xué)生掌握知識(shí)結(jié)構(gòu)、形成數(shù)學(xué)學(xué)科觀念，是一個(gè)逐步積累的過(guò)程。因此，教師需要有高站位、高觀點(diǎn)，重整體、重結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生打通知識(shí)間的聯(lián)系，提高結(jié)構(gòu)化的能力，建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，逐步走向思想和意義的理解與掌握。

（一）以核心概念為主線，將課時(shí)組成單元

教師要有全局性的認(rèn)識(shí)，整體把握知識(shí)的結(jié)構(gòu)體系，圍繞核心概念明確每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)是怎樣串聯(lián)起來(lái)的，再結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，整合教學(xué)內(nèi)容。例如平面圖形面積計(jì)算教學(xué)可以在長(zhǎng)方形(正方形)面積基礎(chǔ)上按照教材編排順序組成大單元。也可以緊扣“面積”的度量意義，在教學(xué)面積單位的基礎(chǔ)上，根據(jù)乘法模型得出長(zhǎng)方形的面積計(jì)算法則。連接長(zhǎng)方形的對(duì)角線可以分成兩個(gè)完全相等的直角三角形，易得到直角三角形的面積等于對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方形面積的一半，進(jìn)一步可推導(dǎo)出任意三角形面積的算法，得出三角形面積=底×高×。平行四邊形、梯形也都可通過(guò)對(duì)角線分成兩個(gè)三角形，以此推導(dǎo)出它們的面積計(jì)算方法。最后，將圓無(wú)限細(xì)分成近似三角形，化曲為直，以三角形面積之和來(lái)求圓面積。

（二）以思想方法為統(tǒng)領(lǐng)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)到能力的轉(zhuǎn)化

轉(zhuǎn)化的方法貫穿于“圖形與幾何”領(lǐng)域，小學(xué)生的幾何推理能力主要是在圖形的轉(zhuǎn)化中得到發(fā)展的。學(xué)生掌握方法結(jié)構(gòu)，就能夠提高自身結(jié)構(gòu)化的能力，進(jìn)而把所學(xué)到的知識(shí)遷移應(yīng)用于新的情境，最終解決問(wèn)題。因此，教師在教學(xué)中要著重引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)的操作活動(dòng)中，經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程。只有這樣，學(xué)生才能真正理解公式背后所蘊(yùn)含的思想方法，并且在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，能夠主動(dòng)提取思想方法解決類(lèi)似的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)到能力的轉(zhuǎn)化，而不會(huì)死記硬背、套用公式，真正從“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”。