甘肅省靜寧縣第一中學(xué) 鮑曉霞

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，函數(shù)的思想和應(yīng)用是貫穿整個高中數(shù)學(xué)的一條主線.運(yùn)用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題，這種思路就是函數(shù)思想.不等式也是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，它幾乎涵蓋了高中數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，中學(xué)數(shù)學(xué)的各部分內(nèi)容都與不等式有著千絲萬縷的聯(lián)系；由于不等式的證明類問題，對邏輯推理能力的要求較高，加之題型廣泛，方法靈活，考查面廣，深受命題者的青睞，既是近年來高考的熱點(diǎn)問題，也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).人教版選修4-5的第二講“證明不等式的基本方法”中，集中介紹和講解了“比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法”等常見的幾種證明方法，在第四講中還補(bǔ)充了“用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式”等內(nèi)容.看起來證明不等式的方法學(xué)得很多了，但是當(dāng)我們用這些方法去證明一些非常規(guī)類不等式時(shí)，常常會感到力不從心，這也是許多考生對不等式證明題懷有畏難情緒的主要原因之一.看來我們還有必要學(xué)習(xí)和掌握一些應(yīng)對非常規(guī)類不等式證明的方法與技巧.

運(yùn)用函數(shù)思想證明不等式，就是應(yīng)對那些非常規(guī)類不等式證明的一種策略，就是對那些本身沒有明顯函數(shù)關(guān)系的不等式，通過類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化等方法，合理地引進(jìn)函數(shù)[1]，并通過對所引進(jìn)函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、連續(xù)性、有界性等性質(zhì)的研究，使不等式最終得證.

1 利用函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性，在具體的函數(shù)中不難判別；對有些涉及到數(shù)列以及以自然數(shù)n為變量的證明題時(shí)，如果能與函數(shù)的單調(diào)性聯(lián)系起來，往往能夠找到更簡捷的證明方法.

證明：當(dāng)n>1,n∈N時(shí)，不妨令

f(n+1)

故f(n+1)>f(n).

即f(n)是單調(diào)增函數(shù)(n=2,3，……).

2 利用函數(shù)的奇偶性

利用偶函數(shù)的軸對稱性和奇函數(shù)的中心對稱性，常能使不等式的證明過程變得簡捷，還能避免復(fù)雜的討論.

故f(x)為偶函數(shù).

當(dāng)x>0時(shí)，2x>1，即1-2x<0，則f(x)<0.

由偶函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x<0時(shí)，亦有f(x)<0.

方法與技巧：本題先把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，然后利用偶函數(shù)的對稱性進(jìn)行證明，收到了化繁為簡的奇效.

3 利用三角函數(shù)的有界性

如果x∈R，那么|sinx|≤1，|cosx|≤1，這就是三角函數(shù)的有界性.對于一些與三角函數(shù)有關(guān)的不等式，如果能很好地利用其有界性，往往能夠幫助我們快速找到解題的突破口，從而使問題順利解決.

證明：因α，β為銳角，可把α，β，π-(α+β)看作三角形的三個內(nèi)角，且其對邊分別為a，b，c.

因?yàn)閨sin(α+β)|≤1，所以sin2α+sin2β=sin(α+β)≥sin2(α+β)=sin2[π-(α+β)].

根據(jù)正弦定理，得a2+b2≥c2，從而可得

所以sin(α+β)=sin2α+sin2β>cos2β+sin2β=1，這與|sin(α+β)|≤1矛盾.

方法與技巧：從本題的證明過程可以看出，三角函數(shù)的有界性在證明不等式的過程中起到了關(guān)鍵的橋梁作用.所以說，運(yùn)用正、余弦定理將邊角關(guān)系進(jìn)行巧妙轉(zhuǎn)化，是函數(shù)思想的運(yùn)用之妙.

4 利用二次函數(shù)的性質(zhì)

根據(jù)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)，若Δ≤0，則恒有f(x)≥0；反之，若恒有f(x)≥0，則Δ≤0.依此來構(gòu)造二次函數(shù)解題是常用的方法.

例4α，β，γ為任意三角形的三個內(nèi)角，求證：x2+y2+z2≥2xycosα+2yzcosβ+2zxcosγ對于任意實(shí)數(shù)x，y，z總成立.

證明：令f(x)=x2-2x(ycosα+zcosγ)+y2+z2-2yzcosβ，則

Δ=4(ycosα+zcosγ)2-4(y2+z2-2yzcosβ)

=4y2(cos2α-1)+8yz(cosαcosγ+cosβ)+4z2(cos2γ-1)

=-4y2sin2α+8yz[cosαcosγ-cos(α+γ)]-4z2sin2γ

=-4y2sin2α+8yzsinαsinγ-4z2sin2γ=-4(ysinα-zsinγ)2≤0.

所以f(x)≥0.

故x2+y2+z2≥2xycosα+2yzcosβ+2zxcosγ.

方法與技巧：首先將待證的不等式整理變形為x的二次函數(shù)式f(x)=x2-2x(ycosα+zcosγ)+y2+z2-2yzcosβ≥0，只要能證明f(x)的圖象不在x軸的下方即可.

5 利用二項(xiàng)式定理

除了直接使用二項(xiàng)式定理和適當(dāng)變形后再運(yùn)用二項(xiàng)式定理證明不等式的方法外，我們還可以通過利用二項(xiàng)式定理構(gòu)造函數(shù)f(x)=(a+x)n(n∈N)的方法進(jìn)行證明，這種方法在證明不等式、組合數(shù)恒等式、組合數(shù)求和等題型中得到廣泛應(yīng)用[2].

例5證明：當(dāng)n≥3，n∈N時(shí)，2n≥2(n+1).

=2n.

當(dāng)n=3時(shí)，2n=2(1+n)；

綜上可知，當(dāng)n≥3時(shí)，2n≥2(n+1).

方法與技巧：本題就是靈活運(yùn)用二項(xiàng)式定理把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，然后采用分步討論證明方法的典型實(shí)例.

綜上所述，證明非常規(guī)類不等式就要采用非常規(guī)的方法，運(yùn)用函數(shù)思想證明非常規(guī)類不等式具有極大的便捷性與實(shí)用性，“運(yùn)用之妙存乎一心”，在具體的解題過程中，我們要根據(jù)題目提供的信息靈活選擇合適的方法與技巧進(jìn)行證明，解題時(shí)既要充分利用已知條件和函數(shù)的性質(zhì)，又要時(shí)刻牢記解題目標(biāo).