鐘 華，汪為青，張文軍，鐘文芳

（1.浙江省春暉中學(xué)，浙江 紹興 312300；2.江西省景德鎮(zhèn)一中，江西 景德鎮(zhèn) 333000；3.佳木斯大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 佳木斯 154007）

一、問(wèn)題的產(chǎn)生

在地球運(yùn)動(dòng)一輪復(fù)習(xí)時(shí)，筆者搜集了一些例題用于課堂教學(xué)，如例1所示。

例1.圖1是某觀測(cè)者在當(dāng)?shù)叵闹寥諘r(shí)，根據(jù)觀測(cè)到豎直標(biāo)桿日影繪制的示意圖。請(qǐng)據(jù)此完成問(wèn)題。

（1）圖中表示正午的日影是

A.① B.② C.③ D.④

（2）觀測(cè)地的緯度最有可能是

A.20°N B.40°N C.20°S D.10°S

參考答案：（1）C（2）B

課堂中學(xué)生甲（后簡(jiǎn)稱(chēng)甲生）提出一系列疑問(wèn)，如一天內(nèi)的桿影是否都呈雙峰M形？不同緯度、不同日期又會(huì)有怎樣的變化？由于課堂討論時(shí)間有限，故與其約定課后再繼續(xù)探討。

二、桿影軌跡方程

桿影是指垂直于水平地面的直桿在太陽(yáng)光照射下的影子，該影子首端連著桿腳，桿頂?shù)挠白訛闂U影末端（圖2），一天內(nèi)桿影末端在地面劃過(guò)的路線為桿影軌跡。顯然，桿影的方位與太陽(yáng)方位相反，桿影的長(zhǎng)短取決于桿高和太陽(yáng)高度角。一天內(nèi)太陽(yáng)方位與高度在不斷變化，桿影也隨之變化。那么，桿影軌跡是什么曲線形態(tài)？有無(wú)規(guī)律可循？

帶著這個(gè)問(wèn)題，甲生與筆者分別行動(dòng)，查找相關(guān)著作和論文，發(fā)現(xiàn)有相關(guān)地理教學(xué)論文描述過(guò)桿影軌跡［1-2］，但并不精確且存在一定主觀性。繼而又發(fā)現(xiàn)《中學(xué)數(shù)學(xué)月刊》刊登的《探究日影運(yùn)動(dòng)軌跡》一文中有詳盡的數(shù)學(xué)分析，但并未繪制相關(guān)圖像。文中的桿影軌跡方程為：x2sin2δ－y2cos（φ＋δ）cos（φ－δ）＋hysin2φ－h(huán)2sin（φ＋δ）sin（φ－δ）＝0，其中φ和δ分別表示當(dāng)?shù)鼐暥?、太?yáng)直射點(diǎn)緯度，北緯為正，南緯為負(fù)，h表示桿高［3］。

三、桿影軌跡繪制

根據(jù)上述方程，繪制直角坐標(biāo)系中的軌跡曲線，“幾何畫(huà)板”“GeoGebra”和“Desmos”等軟件均可完成。因甲生軟件操作能力較強(qiáng)，筆者決定安排其完成網(wǎng)頁(yè)編程。甲生采用可視化效果較好的Desmos網(wǎng)頁(yè)進(jìn)行編程與繪制，將桿高統(tǒng)一輸入為1，通過(guò)互動(dòng)面板調(diào)節(jié)太陽(yáng)直射點(diǎn)緯度與演示地點(diǎn)的地理緯度可得到全球任意緯度在任意日期的桿影軌跡。將甲生開(kāi)發(fā)的演示網(wǎng)頁(yè)用于課堂教學(xué)，以解答上次課堂教學(xué)中遺留的困惑，經(jīng)過(guò)形象直觀的圖形演示，學(xué)生對(duì)直立桿影的軌跡有了全面深入的認(rèn)識(shí)。下面以六個(gè)不同緯度討論桿影軌跡形態(tài)。

1.赤道

春秋分日，赤道上的桿影軌跡為一條經(jīng)過(guò)桿腳（原點(diǎn)）的東西向直線，與x軸重合（圖3），因?yàn)樘?yáng)正東升，太陽(yáng)視運(yùn)動(dòng)軌跡垂直于地平面，故整個(gè)上午太陽(yáng)均在正東方向，影子在正西方向，正午太陽(yáng)在天頂無(wú)桿影，下午太陽(yáng)位于正西，桿影則在正東。值得一提的是，除極點(diǎn)外，全球任意緯度的春秋分桿影軌跡均為一條東西向直線，北半球該線位于桿腳以北，南半球則為以南，緯度越高則直線離桿腳越遠(yuǎn)。

非春秋分日，赤道上的桿影軌跡為雙曲線。春分至秋分，太陽(yáng)直射點(diǎn)位于北半球，赤道上觀察太陽(yáng)位于偏北方，故桿影軌跡位于桿腳的南側(cè)，開(kāi)口朝南。秋分至次年春分，桿影位于桿腳北側(cè)，開(kāi)口朝北。日期越接近春秋分則雙曲線的曲率越小，日期越接近二至日則曲率越大。二至日曲率最大，且離桿腳最遠(yuǎn)，假設(shè)桿高為1（下同），則正午桿影末端坐標(biāo)為（0，±0.435）。

2.回歸線之間（含回歸線）

以15°S為例，除春秋分外桿影軌跡為雙曲線（圖4）。春分至秋分，開(kāi)口朝南；秋分至次年春分，開(kāi)口朝北，其中太陽(yáng)直射15°S時(shí)，桿影軌跡過(guò)原點(diǎn)（即桿腳）。北回歸線上，夏至日軌跡過(guò)原點(diǎn)（圖5）。

3.回歸線至極晝區(qū)邊界

以45°N為例，除春秋分外桿影軌跡為雙曲線（圖6），曲率比低緯地區(qū)有所加大。春分至秋分，開(kāi)口朝南，夏至軌跡與x和y軸的交點(diǎn)分別為（±1.464，0）、（0，0.394）；秋分至次年春分，開(kāi)口朝北，冬至軌跡與y軸交點(diǎn)為（0，2.539）。在春秋分，軌跡為直線，該直線距x軸為1個(gè)單位，因?yàn)檎缬伴L(zhǎng)與桿高相等。顯然春秋分軌跡并不是兩至日軌跡的對(duì)稱(chēng)軸。

4.極晝區(qū)邊界

以南極圈為例，冬至日該地恰好出現(xiàn)極晝，軌跡為開(kāi)口向北的拋物線（圖7）。值得一提的是，凡是極晝區(qū)與非極晝區(qū)分界緯線上（即剛出現(xiàn)極晝的緯線），其軌跡為拋物線，而并非橢圓。南極圈其他日期為雙曲線或直線。

5.極晝區(qū)（除極點(diǎn)）

以75°N為例，極晝期間軌跡為橢圓，24小時(shí)均有桿影，正午與子夜太陽(yáng)高度分別為最大和最小，桿影分別為最短和最長(zhǎng)。橢圓長(zhǎng)軸位于南北方向，短軸位于東西方向，原點(diǎn)位于橢圓的焦點(diǎn)，越靠近極晝區(qū)的邊緣，則橢圓的偏心率越大（圖8）。

6.極點(diǎn)

春秋分日，太陽(yáng)在地平線上，理論上桿影無(wú)限長(zhǎng)，桿影軌跡無(wú)法表達(dá)。極晝期間，極點(diǎn)的桿影軌跡為正圓（圖9），圓心為桿腳，因?yàn)樘?yáng)平行于地平面，一天內(nèi)太陽(yáng)高度不變。越趨向夏至（或冬至日），圓的半徑越?。辉节呄虼呵锓?，則圓半徑趨向無(wú)窮大。

關(guān)于軌跡圖像的正確性，可選擇特定緯度、特定日期加以驗(yàn)證，如北回歸線夏至日正午無(wú)桿影，在圖5軌跡中則表現(xiàn)為過(guò)原點(diǎn)，兩者相符。再如，45°N在春分時(shí)正午桿影長(zhǎng)度與桿高相同，圖6所表示的情況符合。又如，秋分日軌跡為直線，與崔亞飛的校園實(shí)測(cè)［4］相符。驗(yàn)證表明本軌跡方程所繪制的軌跡圖像是正確且科學(xué)的。

通過(guò)對(duì)不同緯度的桿影軌跡繪制與分析，筆者發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：①桿影軌跡共有雙曲線、直線、拋物線、橢圓和圓5種線條類(lèi)型。直線是春秋分日的特有形態(tài)，全球（除兩極）皆為直線。拋物線是剛出現(xiàn)極晝地區(qū)（如太陽(yáng)直射10°N那天，80°N地區(qū)）的特有形態(tài)。橢圓是高緯地區(qū)在極晝時(shí)期的特有形態(tài)。圓是北極點(diǎn)和南極點(diǎn)的特有形態(tài)。雙曲線是全球各地的普遍形態(tài)，太陽(yáng)直射點(diǎn)在北半球時(shí)則雙曲線開(kāi)口朝南，反之則朝北。②桿影軌跡總是關(guān)于當(dāng)?shù)刈游缇€對(duì)稱(chēng)，因?yàn)樘?yáng)方位和高度關(guān)于正午對(duì)稱(chēng)。③雙曲線的曲率在趨近春秋分時(shí)最小，在趨近兩至日時(shí)最大。④若兩日期關(guān)于夏至（或冬至）對(duì)稱(chēng)，則桿影軌跡相同。⑤若兩日期關(guān)于秋分（或秋分）對(duì)稱(chēng)，則兩條開(kāi)口相反的雙曲線相互軸對(duì)稱(chēng)。⑥非極晝區(qū)，相同緯度而不同半球的兩地，每天的桿影軌跡形態(tài)相同，區(qū)別在于軌跡的坐標(biāo)位置不同。⑦桿影的移動(dòng)方向?yàn)樽晕飨驏|，北半球極晝區(qū)為順時(shí)針，南半球極晝區(qū)為逆時(shí)針。

四、桿影軌跡糾錯(cuò)

1.M形軌跡

例1中的圖1存在明顯的桿影軌跡錯(cuò)誤，錯(cuò)在“M形的軌跡形狀”，根據(jù)前述方程繪制曲線可知，全球任意緯度在任意日期內(nèi)的桿影軌跡均不可能為M形曲線，即正午前后無(wú)影長(zhǎng)的極值（圖像上表現(xiàn)為兩個(gè)凸起的小高峰），只有在正午才出現(xiàn)影長(zhǎng)的最小值。類(lèi)似的軌跡錯(cuò)誤還有“W形曲線”。這兩種錯(cuò)誤軌跡在當(dāng)前廣泛使用的各類(lèi)地圖冊(cè)中也常出現(xiàn)，應(yīng)修正為正午附近軌跡無(wú)凹陷的雙曲線軌跡。

2.雙曲線開(kāi)口朝向

例2.圖10為某地二分二至日旗桿頂端日影軌跡變化圖，請(qǐng)讀圖完成問(wèn)題。

（3）該地緯度位置可能為

A.20°N B.40°N

C.40°S D.60°S

（4）若在同一天中，該地與杭州（30°N）的正午太陽(yáng)高度的差值為ΔH（取絕對(duì)值），則太陽(yáng)直射點(diǎn)由節(jié)氣①向節(jié)氣③移動(dòng)的過(guò)程中，ΔH的變化為

A.先增大后減小 B.先增大后不變

C.先不變后增大 D.持續(xù)不斷增大

參考答案：（3）A（4）B

例2的圖10中存在兩個(gè)錯(cuò)誤，其一為③曲線開(kāi)口朝南，此曲線表示冬至日桿影軌跡，應(yīng)為開(kāi)口朝北的雙曲線（與圖4類(lèi)似），此類(lèi)錯(cuò)誤在多處高考模擬題、專(zhuān)題練習(xí)題中存在。其二為②曲線形態(tài)錯(cuò)誤，應(yīng)改為直線。

3.春秋分桿影軌跡

例3.我國(guó)某中學(xué)組織學(xué)生對(duì)直立物日影變化進(jìn)行觀測(cè)，具體做法是：先在一塊平坦的地面上直立一根標(biāo)桿，再以此桿直立點(diǎn)（甲）為圓心，以桿長(zhǎng)為半徑繪一個(gè)半圓。圖11為某日桿影變化圖，圖中陰影部分為標(biāo)桿影子范圍。請(qǐng)據(jù)此完成問(wèn)題。

（5）甲地位于

A.東北平原 B.華北平原

C.四川盆地 D.珠江三角洲

參考答案：（5）A

上題通過(guò)影子的范圍得到太陽(yáng)正東升、正西落的信息，即該日為春分日或秋分日，太陽(yáng)直射赤道。再通過(guò)正午桿影長(zhǎng)與桿高相等，得到正午太陽(yáng)高度角為45°，又位于我國(guó)境內(nèi)，則當(dāng)?shù)鼐暥葹?5°N，答案為A（東北平原）。從答題邏輯方面看，此題問(wèn)題不大。但作為高考題，應(yīng)盡可能保證科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性。此題圖（圖11）的瑕疵在于桿影軌跡為弧線，如上述所言，春秋分全球（除兩極）的桿影應(yīng)為一條東西方向的直線。此結(jié)論不僅有數(shù)學(xué)理論［3］與SketchUp軟件（圖12）、3D Sun-Path網(wǎng)頁(yè)［5］等高精準(zhǔn)度模擬結(jié)果支撐，還有實(shí)踐測(cè)量活動(dòng)［4］的強(qiáng)力支撐。

用SketchUp軟件對(duì)圖11進(jìn)行三維建模，模擬2022年春分日6個(gè)不同時(shí)刻的桿影，進(jìn)行圖像疊加后得到圖12，該圖顯示45°N春秋分桿影已超出圖11所繪制的桿影范圍，且桿影末端恰好位于平行于x軸、與半圓相切的直線上，支持本文結(jié)論。筆者曾于2021年9月23日（秋分）在校園進(jìn)行桿影觀測(cè)活動(dòng)，在拍照記錄中，能明顯觀察并測(cè)量出秋分日桿影軌跡呈一條直線分布（圖13）。

4.其他易錯(cuò)點(diǎn)

①桿影軌跡是太陽(yáng)光對(duì)桿頂?shù)牡孛嫱队凹?，?yīng)與太陽(yáng)視運(yùn)動(dòng)軌跡的地面投影相區(qū)分，兩者有一定聯(lián)系，但形態(tài)上有很大區(qū)別。②日出日落的瞬間，桿影無(wú)限長(zhǎng)，在圖中無(wú)法表達(dá)，因此只能繪制日出后、日落前的桿影。③每日桿影覆蓋范圍應(yīng)為從桿腳到桿影軌跡之間，而非桿影軌跡之外。④桿影移動(dòng)角速度并非15°/小時(shí)，因?yàn)樘?yáng)方位角的變化速度是不均勻的，日出日落時(shí)方位角變化慢，正午附近變化快，速度差異大。

五、總結(jié)與建議

地球運(yùn)動(dòng)是近年來(lái)各省高考卷的熱門(mén)考點(diǎn)，2021年高考卷中，涉及地球運(yùn)動(dòng)的試題有河北卷、山東卷和浙江卷，這三份高考卷均以桿影作為考點(diǎn)信息材料。桿影的方位、長(zhǎng)短及其日變化是太陽(yáng)視運(yùn)動(dòng)的表現(xiàn)，普通高中地理教材對(duì)桿影軌跡形態(tài)、位置并無(wú)相關(guān)論述，但各種模擬題、教輔資料、地圖冊(cè)乃至高考題中都常有涉及。因缺少標(biāo)準(zhǔn)，諸多試題和資料書(shū)籍對(duì)桿影軌跡繪制時(shí)存在主觀隨意性，導(dǎo)致不少錯(cuò)誤繪圖，與科學(xué)事實(shí)相悖，不利于地理教學(xué)。因此，厘清全球各緯度桿影軌跡的形態(tài)與變化顯得尤為必要。

本文通過(guò)科學(xué)的數(shù)學(xué)方程，用軟件模擬了精確的桿影軌跡，并加以分緯度分析，總結(jié)了桿影及其軌跡的分布變化規(guī)律，指出了常見(jiàn)桿影軌跡錯(cuò)誤并糾正，可作為日常教學(xué)參考。

“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，覺(jué)知此事要躬行”，建議地理教師在教學(xué)過(guò)程中積極設(shè)計(jì)桿影觀察與測(cè)量活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題，尋求工具，尋找規(guī)律，最后形成屬于自己的經(jīng)驗(yàn)性知識(shí)，教師參與過(guò)程引導(dǎo)，并給予結(jié)果評(píng)價(jià)。建議命題人在命制桿影類(lèi)試題時(shí)盡量保證科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性，可參考相關(guān)網(wǎng)頁(yè)［6］輔助命題。