【摘 要】 核心素養(yǎng)是2014年以來我國基礎(chǔ)教育課程改革的熱點(diǎn)問題. 當(dāng)前，以核心素養(yǎng)、學(xué)科育人為導(dǎo)向的基礎(chǔ)教育課程體系（包括課程方案、課程標(biāo)準(zhǔn)、教材、高考評(píng)價(jià)體系等）已基本建立. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究取得了從“六核”觀到“三會(huì)”觀的新進(jìn)展，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的概念體系基本形成. 今后數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究工作應(yīng)深化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概念體系的科學(xué)架構(gòu)、完善數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的測評(píng)方案、夯實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)途徑，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的學(xué)科價(jià)值與育人價(jià)值.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；研究進(jìn)展；六核；三會(huì)

核心素養(yǎng)是2014年以來我國基礎(chǔ)教育課程改革的熱點(diǎn)問題. 當(dāng)前，以核心素養(yǎng)、學(xué)科育人為導(dǎo)向的基礎(chǔ)教育課程體系（包括課程方案、課程標(biāo)準(zhǔn)、教材、高考評(píng)價(jià)體系等）已基本建立，這以2017年版普通高中課程方案及各科課程標(biāo)準(zhǔn)、2019年版中國高考評(píng)價(jià)體系、2022年版義務(wù)教育課程方案及各科課程標(biāo)準(zhǔn)為標(biāo)志.

具體到數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，筆者曾在2016年撰文論述了我國數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究進(jìn)展：從“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”到“數(shù)學(xué)核心詞”再到“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，該文已被中國知網(wǎng)（CNKI）收錄的文獻(xiàn)引用150余次（截至2022年10月的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)）. 經(jīng)過6年的發(fā)展，我國數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究已從“六核”觀進(jìn)展到“三會(huì)”觀，下面論述之.

1 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“六核”觀

1.1 “六核”觀的內(nèi)容概要

2017年12月頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱“2017年版課標(biāo)”）指出：“學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力. 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的. 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析. 這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立、又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體.”

這段引文不僅明確提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的概念，界定了其內(nèi)涵，還指出了其外延：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析. 我們稱之為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“六核”觀.

至此，自2014年以來歷時(shí)近3年的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概念修成正果，基本平息了關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概念的爭論. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的這一概念包括幾個(gè)要點(diǎn)：其一，它是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，這是其“課程”特征；其二，它是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，這是其“學(xué)科”和“素養(yǎng)”特征；其三，它是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的，這是其“形成”特征.

1.2 “六核”觀的由來探尋

2017年版課標(biāo)修訂組組長史寧中教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)基本思想（抽象、推理、模型）與數(shù)學(xué)“雙基”“四基”、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“六核”觀都是一脈相承的，基于“四基”的數(shù)學(xué)教學(xué)就是基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué). 相對(duì)于我們的數(shù)學(xué)教育傳統(tǒng)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)并沒有另起爐灶，這也是我們一以貫之的事情. 20世紀(jì)九十年代，我們國家的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱是把數(shù)學(xué)思想和方法含在數(shù)學(xué)“雙基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能）里面的，大綱里有明確的表述；2011年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)開始出現(xiàn)數(shù)學(xué)“四基”，是把“數(shù)學(xué)基本思想”從數(shù)學(xué)“雙基”中單列出來，另加“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，這是對(duì)“雙基”的繼承與發(fā)展. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“六核”觀中的前三個(gè)就是數(shù)學(xué)基本思想，也是傳承，后三個(gè)是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)能力. 據(jù)此，我們可以認(rèn)為，“六核”觀來源于數(shù)學(xué)基本思想，數(shù)學(xué)基本思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“六核”觀的“基底”.1.3 “六核”觀的模型建構(gòu)

研究者們嘗試構(gòu)建了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“六核”觀的諸多幾何模型，如三棱臺(tái)模型（曹培英，2015）、魔方模型（孫成成、胡典順，2016）、金字塔模型（呂世虎、吳振英，2017）、九宮格模型（寧銳、李昌勇、羅宗緒，2019）等比較有代表性，但大多數(shù)模型停留在“閱讀理解”層面，沒有形成強(qiáng)有力的邏輯結(jié)構(gòu). 究其原因，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“六核”觀還缺乏嚴(yán)密的實(shí)證研究，“六核”之于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的完備性（是否足夠）與“六核”之間的純粹性（是否相互獨(dú)立或相關(guān)）有待考證.1.4 “六核”觀的實(shí)證研究

南京師范大學(xué)喻平教授在理論分析基礎(chǔ)上，通過實(shí)證研究析出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要素，他采用大樣本問卷，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行因素分析和不同的聚類分析，得到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的兩種結(jié)構(gòu). 第一種結(jié)構(gòu)由8個(gè)成分組成：數(shù)學(xué)抽象、運(yùn)算能力、推理能力、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)處理、空間能力、問題解決能力、數(shù)學(xué)文化品格. 第二種結(jié)構(gòu)由7個(gè)成分組成：數(shù)學(xué)抽象、運(yùn)算能力、推理能力、建模與數(shù)據(jù)處理、空間能力、問題解決能力、數(shù)學(xué)文化品格. 這一實(shí)證工作既佐證了“六核”觀，又對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的外延提出了建議：增加“數(shù)學(xué)文化品格”. 這符合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)涵表述中的“情感態(tài)度價(jià)值觀”.

北京師范大學(xué)張淑梅、何雅涵、保繼光等學(xué)者的實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，“六核”之間均具有顯著的相關(guān)性，其中邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的相關(guān)性最大，并且數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)邏輯推理的影響比邏輯推理對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的影響更大. 數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析這兩種素養(yǎng)對(duì)其他四種數(shù)學(xué)素養(yǎng)的依賴程度明顯大于其他四種數(shù)學(xué)素養(yǎng)對(duì)它們的依賴程度. 說明數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算是基本數(shù)學(xué)素養(yǎng). 據(jù)此可將“六核”分為三類：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算作為基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)為一類，數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析各成一類. 這一研究工作既佐證了“六核”觀，又對(duì)“六核”的相關(guān)性、層次性給出了實(shí)證.

另外，關(guān)于“六核”的測評(píng)研究已取得一定成效. 2017年版課標(biāo)給出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)只是一個(gè)描述性的標(biāo)準(zhǔn)，要落實(shí)到試題、試卷中，還需要更進(jìn)一步的細(xì)化與完善. 許多研究者參考PISA的測評(píng)框架提出不同于課程標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)價(jià)方案，比如以“六核”為一級(jí)指標(biāo)并分解出若干二級(jí)指標(biāo)，或增加若干與“六核”并列的指標(biāo)（均為一級(jí)指標(biāo)），對(duì)中高考試卷或自編測試卷進(jìn)行編碼、賦值，然后進(jìn)行內(nèi)容分析和量化分析，從而開展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“六核”的實(shí)證研究.

2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“三會(huì)”觀

2.1 “三會(huì)”觀的內(nèi)容概要

2022年4月頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）指出，數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)主要包括以下三個(gè)方面：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界. 核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現(xiàn). 小學(xué)階段側(cè)重對(duì)經(jīng)驗(yàn)的感悟，初中階段側(cè)重對(duì)概念的理解. 小學(xué)階段核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識(shí)、數(shù)據(jù)意識(shí)、模型意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí). 初中階段核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí).

這段話在默認(rèn)、延續(xù)2017年版課標(biāo)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概念及其內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，明確提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“三會(huì)”觀（會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界），并補(bǔ)充說明了小學(xué)、初中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)（高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)為2017年版課標(biāo)所給的“六核”，外加應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)）.

至此，歷時(shí)近8年（自2014年以來）的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概念體系基本建立（如表1），我國數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究從“六核”觀進(jìn)展到“三會(huì)”觀. 表1中，“應(yīng)用意識(shí)”與“創(chuàng)新意識(shí)”對(duì)應(yīng)“思維品質(zhì)表現(xiàn)”的觀點(diǎn)來自北京師范大學(xué)曹一鳴教授，“應(yīng)用意識(shí)”與“創(chuàng)新意識(shí)”對(duì)應(yīng)“跨學(xué)科表現(xiàn)”的觀點(diǎn)來自華東師范大學(xué)鮑建生教授.

2.2 “三會(huì)”觀的由來探尋

“三會(huì)”最初是作為數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)被提出來的. 2017年版課標(biāo)修訂組組長史寧中教授在2016年4月接受訪談時(shí)說：“我們?cè)谛抻喐咧校〝?shù)學(xué)）課標(biāo)的時(shí)候，有人提出了‘?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的終極目標(biāo)是什么’這一問題. 我認(rèn)為不能這么提，數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)不能是終極目標(biāo)，不過我們可以討論數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是什么. 我提出了三個(gè)會(huì)：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.”理由是一個(gè)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之后，即便未來從事的工作和數(shù)學(xué)無關(guān)，也應(yīng)當(dāng)“三會(huì)”. 本質(zhì)上這“三會(huì)”就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，也就是說這“三會(huì)”是超越具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo). 因此，到了2022年版課標(biāo)，史寧中教授主持的課標(biāo)修訂組就把數(shù)學(xué)教育所應(yīng)形成和發(fā)展的核心素養(yǎng)統(tǒng)一表述為“三會(huì)”.

2.3 “三會(huì)”觀的模型建構(gòu)

到目前為止，研究者給出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“三會(huì)”觀的幾何模型還不多.圖1是中央民族大學(xué)孫曉天教授構(gòu)建的圓環(huán)模型，該模型不僅直觀顯示了“三會(huì)”居于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系的核心層，環(huán)繞核心層的第二層是小學(xué)階段核心素養(yǎng)的11種主要表現(xiàn)（初中階段的9種表現(xiàn)、高中階段的8種表現(xiàn)可類似處理），而且還用箭頭動(dòng)態(tài)描繪了以“情境”為載體的“四基”“四能”形成過程（即第三層）. 其中，“四基”是指數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；“四能”是指發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力. 華東師范大學(xué)鮑建生教授在多次的公開講座中也構(gòu)建了類似的幾何模型.

筆者借鑒學(xué)者李藝、鐘柏昌的研究給出圖2的圓柱模型，該模型由“四基”“四能”“三精”“三會(huì)”構(gòu)成，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)貫穿始終，其中“四基”“四能”是核心素養(yǎng)的底座與支撐，“三精”（情感、態(tài)度、價(jià)值觀）是核心素養(yǎng)的升華，“三會(huì)”是核心素養(yǎng)的統(tǒng)領(lǐng)（終極目標(biāo)）.

這些模型都反映“三會(huì)”的達(dá)成要以數(shù)學(xué)具體知識(shí)、技能、方法、經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)（即“四基”）為載體，以數(shù)學(xué)問題解決的能力形成（即“四能”）為依托，從而將“三會(huì)”延伸到數(shù)學(xué)教學(xué)的方方面面、數(shù)學(xué)課堂的角角落落、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)時(shí)刻刻，避免“三會(huì)”觀停留在形而上的理論概括層面、脫離數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐.

2.4 “三會(huì)”觀的研究展望

當(dāng)前，關(guān)于“三會(huì)”的研究主要停留在思辨層面（比如“三會(huì)”何以成為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？何為“三會(huì)”中的“數(shù)學(xué)的眼光”？等等），還沒有看到相關(guān)的實(shí)證研究，期待研究者開展以下三方面的研究.

一是就“三會(huì)”內(nèi)部三要素（數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維、數(shù)學(xué)的語言）的獨(dú)立性（純粹性），以及“三會(huì)”外部具體表現(xiàn)（小學(xué)9+2種、初中7+2種、高中6+2種，具體見表1）的完備性等問題開展實(shí)證研究，從而保障“三會(huì)”統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的適切性.

二是以“三會(huì)”為一級(jí)指標(biāo)，以“三會(huì)”在各學(xué)段的具體表現(xiàn)為二級(jí)指標(biāo)，構(gòu)建行之有效的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（學(xué)業(yè)質(zhì)量）測評(píng)方案，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的可測、可教. 受2022年版課標(biāo)修訂組另一位組長、北京師范大學(xué)曹一鳴教授的研究啟發(fā)，筆者嘗試給出以下方案：選取課程內(nèi)容、核心素養(yǎng)、問題情境、作答水平、題目類型等五個(gè)維度構(gòu)建測評(píng)框架模型，如圖3所示（圖中圓點(diǎn)表示各維度二級(jí)指標(biāo)的不同賦值）.

其中，“課程內(nèi)容”維度劃分為若干個(gè)學(xué)習(xí)主題（具體見數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的課程內(nèi)容），“問題情境”維度劃分為“生活情境”“社會(huì)情境”“數(shù)學(xué)情境”“科學(xué)（跨學(xué)科）情境”等，“核心素養(yǎng)”維度劃分為若干種具體表現(xiàn)（小學(xué)9+2種、初中7+2種、高中6+2種，具體見表1），“題目類型”維度劃分為“選擇題”“填空題”“解答題”等，“作答水平”維度劃分為“不達(dá)標(biāo)準(zhǔn)”“達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)”“超過標(biāo)準(zhǔn)”. 最后，五個(gè)維度的分值可通過加權(quán)平均等計(jì)算方法獲得總分值.

三是夯實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)途徑，如結(jié)構(gòu)化教學(xué)（也稱整體教學(xué)、主題教學(xué)、大單元教學(xué)、大概念教學(xué)、大觀念教學(xué)等）、綜合與實(shí)踐活動(dòng)、跨學(xué)科學(xué)習(xí)、項(xiàng)目式學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)建模等. 所有這些培養(yǎng)路徑都要因地制宜、因材施教，因?yàn)槿私邮芙逃倪^程不是定量發(fā)生的物理變化或化學(xué)反應(yīng)過程，它是人的技能、心智、思維、情感等綜合要素的復(fù)雜變化過程. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)過程要充分彰顯數(shù)學(xué)的學(xué)科價(jià)值與育人價(jià)值.

以上三點(diǎn)研究展望，在一些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)研究文獻(xiàn)綜述中已有零星的體現(xiàn). 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與“三會(huì)”的研究還沒有抵達(dá)終點(diǎn)，“三會(huì)”也可能還不是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“終點(diǎn)”，我們需要持續(xù)探索下去.

參考文獻(xiàn)

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作者簡介 劉祖希（1980—），男，湖北仙桃人，華東師范大學(xué)出版社副編審;新青年數(shù)學(xué)教師工作室創(chuàng)始人、全國數(shù)學(xué)科學(xué)方法論研究交流中心副秘書長兼學(xué)術(shù)委員會(huì)副主任、中國教育學(xué)會(huì)青少年創(chuàng)新思維教育分會(huì)常務(wù)理事、中國數(shù)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)教育分會(huì)中學(xué)工作組成員；主要從事數(shù)學(xué)教育研究與教師培訓(xùn)，倡導(dǎo)“讓數(shù)學(xué)教育研究更加平易近人”；主編《當(dāng)代中國數(shù)學(xué)教育名家訪談》《新青年教師文庫（數(shù)學(xué)卷）》《高中數(shù)學(xué)名師工作室叢書》《高中數(shù)學(xué)素養(yǎng)養(yǎng)成手冊(cè)》等著作，發(fā)表文章百余篇.