余國暉，陳潔，李寶權(quán)，李玉麒

(新疆大學(xué)電氣工程學(xué)院，新疆烏魯木齊 830017)

0 引言

介電彈性體材料作為一種變形可控的電活性聚合物，可以在外加電壓的作用下表現(xiàn)出快速的驅(qū)動響應(yīng)和良好的發(fā)電響應(yīng)[1?3]. 介電彈性體具有能量密度高、重量輕、變形大、響應(yīng)快等優(yōu)點，可以制造出多種形狀以及成本低的材料. 這些特點使它們比其它電活性聚合物更具有競爭優(yōu)勢. 在過去的十幾年里，研究人員已經(jīng)提出了許多基于介電彈性體材料的執(zhí)行器[4]和發(fā)電機[5?8]的案例.

近年，人們通過優(yōu)化介電彈性體膜的材料性質(zhì)、拉伸方式和電路設(shè)計來提高介電彈性體發(fā)電機的發(fā)電性能[9?10]. 最常見的拉伸模式包括單軸拉伸、等軸拉伸、錐形拉伸和充氣圓形隔膜模式[11?12]. 與其它拉伸方式相比，雖然等軸拉伸模式能夠獲得最高的能量收集性能，但由于其拉伸結(jié)構(gòu)復(fù)雜和材料的高延展率，導(dǎo)致其缺乏實用性. 而錐形拉伸模式的結(jié)構(gòu)非常簡單，它僅要求直線運動，這是一種非常常見的運動模式，可以直接應(yīng)用于電機或者活塞運動，因此它可能是目前最有前途的介電彈性體發(fā)電機的應(yīng)用模式[13]. 所以本文采用等雙軸預(yù)拉伸和錐形拉伸相結(jié)合的方法，系統(tǒng)地研究了介電彈性體發(fā)電機在Neo-Hookean本構(gòu)模型下的機電不穩(wěn)定模型和能量收集性能.

1 介電彈性體發(fā)電理論

介電彈性體作為一種超彈性絕緣材料，在其上下表面涂覆上柔性電極即可作為可變電容器使用，通過拉伸收縮改變施加偏置電壓前后的電容來進行發(fā)電. 其可變電容表達(dá)式為：

其中：ε0是真空中的介電常數(shù)（約為8.85×10?12F/m）；εr是材料的相對介電常數(shù)；S是柔性電極的涂覆面積；d是薄膜的厚度.

在釋放機械變形的同時保持電容器上的電荷恒定，其電荷與電壓之間的關(guān)系為：

其中：C1是拉伸前的電容值；V1是一個循環(huán)后的輸出電壓；C2是拉伸到最大處的電容值；V2是施加的偏置電壓.

因此，介電彈性體發(fā)電機在一個循環(huán)內(nèi)從拉伸再到收縮后產(chǎn)生的電能為：

其中電能產(chǎn)生的多少由偏置電壓和變形前后電容比共同作用. 因此介電彈性體發(fā)電機的最大能量輸出取決于其拉伸極限和電擊穿強度，這通常被稱為邊界條件.有研究通過模擬計算優(yōu)化了基于邊界條件下的能量輸出[14]，但很少有關(guān)于邊界條件下的機電耦合模型[15]，故本文采用等雙軸預(yù)拉伸和錐形拉伸結(jié)構(gòu)相結(jié)合的方法，建立了基于Neo-Hookean模型的介電彈性體的機電不穩(wěn)定模型和機電耦合模型. 然后分析了在不同預(yù)拉伸條件下介電彈性體發(fā)電機的能量收集性能. 介電彈性體發(fā)電機制作流程如圖1所示.

圖 1 介電彈性體發(fā)電機制作流程

2 介電彈性體的機電不穩(wěn)定性模型

在未變形的初始狀態(tài)（X, Y, Z）采用等雙軸預(yù)拉伸，如圖1所示，預(yù)拉伸后的材料尺寸為（x′, y′, z′），即預(yù)拉伸比為：

將介電彈性體膜制成錐形介電彈性體發(fā)電機后，考慮到施加電壓后介電彈性體膜會沿內(nèi)框和外框的同軸方向延伸，但由于其固定在剛性圓盤上，所以在y軸方向上保持不變，其變形模式類似于純剪切拉伸，即有：

根據(jù)其熱力學(xué)系統(tǒng)的自由能和體積計算出單位體積的自由能密度函數(shù)為：

由公式（6）和（7）得出廣義機電不穩(wěn)定模型的一般表達(dá)式為：

該模型可直接應(yīng)用于Neo-Hookean模型：

其中：μ是材料參數(shù)，λ1、λ2、λ3是各方向上的拉伸率.

所以Neo-Hookean的機電不穩(wěn)定模型為：

3 機電耦合建模與仿真

進行實驗之前，利用Matlab/Simulink軟件建立了介電彈性體發(fā)電機系統(tǒng)的模型，并利用仿真模型解釋了該系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)換規(guī)律.

3.1 介電彈性體的力學(xué)模型

連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，介電彈性體被認(rèn)為是一種具有大變形的超彈性材料，即需要本構(gòu)模型來描述其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系. 本文選用Neo-Hookean本構(gòu)模型來描述其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，并結(jié)合電氣模型建立了介電彈性體發(fā)電機的機電耦合模型. 由于介電彈性體膜用亞克力板固定，所以其變形模式類似于純剪切拉伸模式，初始尺寸為：

介電彈性體材料在各個方向上的柯西應(yīng)力表示為：

其中：P為動力學(xué)的邊界條件靜水壓力. 由于在y方向上沒有變化，所以λy=1、σy=0.

在介電彈性體換能器兩端施加了偏置電壓U，所以z方向上存在麥克斯韋靜電力表示為：

其中：Q是介電彈性體發(fā)電機兩端的電荷.

聯(lián)立公式（9）、（12）和（13）可以求出σx為：

由于類似純剪切拉伸模式，所以：

把公式（15）代入（14）中可得：

根據(jù)牛頓第二定律，對介電彈性體發(fā)電機沿x軸進行受力分析可得：

將公式（16）代入（17）中可得：

其中：dv是阻尼系數(shù)，設(shè)置值為1.

3.2 介電彈性體的電學(xué)模型

介電彈性體發(fā)電機的本質(zhì)是通過可變電容結(jié)構(gòu)將機械能轉(zhuǎn)化為電能，其電容可表示為：

上、下表面的電勢差為：

對時間進行求導(dǎo)可得：

根據(jù)圖2建立的介電彈性體電氣模型可得：

其中：U0是介電彈性體發(fā)電機的初始電壓；i為回路電流；R1是等效電阻.

式（23）即為介電彈性體發(fā)電機在混合拉伸下的電學(xué)模型：

圖 2 介電彈性體電氣模型

3.3 仿真分析

式（18）和（23）構(gòu)成了介電彈性體發(fā)電機的機電耦合模型. 本文使用Matlab/Simulink建立其仿真模型，為了簡化運算過程，代入已知條件合并同類項，該模型被化簡為：

根據(jù)上述等式，在Matlab/Simulink中介電彈性體發(fā)電機的仿真模型如圖3所示.

圖 3 Matlab/Simulink仿真模型圖

仿真曲線如圖4所示，在介電彈性體發(fā)電機的發(fā)電循環(huán)中，介電彈性體膜將重復(fù)拉伸然后收縮，在收縮過程中，介電彈性體發(fā)電機克服電場力將機械能轉(zhuǎn)換為電能，因此電壓升高. 能量被收集后，又開始下一次新的拉伸收縮循環(huán).

圖 4 仿真模擬圖

3.4 實驗平臺

通過數(shù)字萬用表直接測量了不同拉伸位移下的錐形介電彈性體的電容值，并按電路圖連接在如圖5所示的實驗臺上. 介電彈性體材料選用3M公司的VHB4910型聚丙烯酸橡膠、柔性電極材料選用型號為DDG-A型的導(dǎo)電膏，選用示波器（TBS 1052B-EDU）、萬用表（VICTOR VC890D）、高壓發(fā)生器以及模擬電路實驗箱（THM-1型）.

圖 5 實驗平臺

圖 6 機電不穩(wěn)定性比較圖

基于前一節(jié)描述的能量產(chǎn)生原理，介電彈性體發(fā)電機可以通過拉伸收縮循環(huán)來收集能量. 其中兩種類型的能量涉及電能的增加和機械能的損耗. 對介電彈性體發(fā)電機的能量收集實驗步驟如下：（1）將介電彈性體發(fā)電機接入測量電路；（2）將錐形介電彈性體發(fā)電機拉伸到指定位移處，即輸入機械能；（3）施加偏置電壓給介電彈性體發(fā)電機充電；（4）釋放機械能讓薄膜收縮，將機械能轉(zhuǎn)換為電能；使用萬用表測量出其輸出電壓，即可以通過公式來計算產(chǎn)生的電能.

在該機械卸載期間，彈性體的厚度增加，并且通過增加介電彈性體膜的電位將機械能轉(zhuǎn)換為電能. 但在實際實驗中，少量的電荷泄露是不可避免的. 因此，選擇合適的電容和輸入偏置電壓可以控制系統(tǒng)的電壓大小，使得介電彈性體換能器仍然能在電擊穿電壓以下，同時還可以優(yōu)化產(chǎn)生的能量.

4 結(jié)果與討論

研究了介電彈性體發(fā)電機的電容、輸出電壓、產(chǎn)生的能量和能量密度. 此外還研究了預(yù)拉伸對模型機電不穩(wěn)定性的影響.由圖6可知，機電不穩(wěn)定現(xiàn)象出現(xiàn)在沒有預(yù)拉伸和預(yù)拉伸較小的情況下，也就是說預(yù)拉伸可以減小機電不穩(wěn)定現(xiàn)象對系統(tǒng)的影響.

4.1 電容與拉伸位移的關(guān)系

根據(jù)公式（3），電容的變化可以反映介電彈性體發(fā)電機的能量產(chǎn)生性能，在相同的輸入偏置電壓下，預(yù)拉伸可以在很大程度上提升介電彈性體發(fā)電機的能量產(chǎn)生性能，而且拉伸程度越大的介電彈性體發(fā)電機具有越高的電能和能量密度. 圖7給出了不同拉伸程度在不同預(yù)拉伸下的電容之間的增長趨勢.

圖 7 不同預(yù)拉伸下電容與拉伸位移關(guān)系

圖 8 不同施加偏置電壓下拉伸位移與輸出電壓關(guān)系

4.2 輸出電壓與拉伸位移的關(guān)系

4.3 優(yōu)化能量和能量密度

為了優(yōu)化能量的產(chǎn)生，將拉伸位移最大值設(shè)置為略小于介電彈性體薄膜的破裂位移. 圖9顯示了λP=2（圖9(a)）和λP=4（圖9(b)）在各種偏置電壓下一個工作循環(huán)中不同拉伸位移下的介電彈性體發(fā)電機產(chǎn)生的能量. 由于拉伸位移的增加，所產(chǎn)生的能量急劇增加. 例如：在λP=2、施加電壓為2 500 V、拉伸位移為70 mm的情況下，一個工作循環(huán)所產(chǎn)生的能量為44.45 mJ，大約是相同的電壓下，拉伸位移為20 mm所產(chǎn)生能量的21倍. 在λP=4、拉伸位移僅為60 mm時，一個工作循環(huán)所產(chǎn)生的能量為114.49 mJ.所以預(yù)拉伸有助于提高系統(tǒng)的能量收集性能.盡管拉伸位移和預(yù)拉伸的增加降低了系統(tǒng)的臨界電壓，但在最大電壓下產(chǎn)生的能量仍然急劇增加.

能量密度也是一個非常重要的能量采集性能指標(biāo)，它可以通過將產(chǎn)生的能量除以介電彈性體膜的質(zhì)量來計算. 因此，除了縱坐標(biāo)的比例不同之外，其它圖表的趨勢與產(chǎn)生的能量趨勢非常相似. 由圖10可知，隨著偏置電壓的增加或者錐體拉伸位移的增加，能量密度顯著提高.

圖 9 不同預(yù)拉伸下不同偏置電壓和拉伸位移產(chǎn)生的能量

圖 10 不同預(yù)拉伸下不同偏置電壓和拉伸位移的能量密度

值得注意的是，預(yù)拉伸有助于在較短的拉伸位移和較低的偏置電壓下實現(xiàn)目標(biāo)能量收集性能，這表明可以在較小的器件結(jié)構(gòu)和較低輸入偏置電壓下實現(xiàn)高性能，使得整個器件更輕便、具有較高的應(yīng)用價值.

5 結(jié)論

在物理基本定律和熱力學(xué)理論的框架內(nèi)，推導(dǎo)了介電彈性體材料在等雙軸預(yù)拉伸和錐形拉伸相結(jié)合的情況下，將所建立的材料變形定律應(yīng)用于Neo-Hookean模型的介電彈性體材料的機電不穩(wěn)定模型. 結(jié)果表明：在使用前對介電彈性體材料進行預(yù)拉伸可以有效改善其機電不穩(wěn)定的影響，即預(yù)拉伸比越大，機電不穩(wěn)定性對模型的影響越小. 在本文所建立的機電耦合模型中，介電彈性體換能器能克服電場力將機械能轉(zhuǎn)換為電能，所產(chǎn)生的能量最高達(dá)到114.494 mJ，能量密度最高達(dá)到9.015 mJ/g，是預(yù)拉伸比為2時的4倍. 總而言之，混合拉伸模式下的介電彈性體發(fā)電性能得到了巨大的提升. 在較短的拉伸位移和較低的偏置電壓下，預(yù)拉伸對實現(xiàn)目標(biāo)能量收集性能起著至關(guān)重要的作用. 而且采用等雙軸預(yù)拉伸和錐形拉伸相結(jié)合的方式不僅有效地提高了介電彈性體換能器的能量收集性能，還具有較高的實用性.