李 晨,陳思可,方兆麟

1. 廣東粵海珠三角供水有限公司，廣州 511455；2.廣東省水利水電科學(xué)研究院，廣州 510635；3.廣東省水利新材料與結(jié)構(gòu)工程技術(shù)研究中心，廣州 510635；4. 廣州市花都區(qū)灌區(qū)管理中心，廣州 510800)

1 概述

鋼纖維增強(qiáng)高性能混凝土(Fiber Reinforced High-performance Concrete，F(xiàn)RHPC)是一種具有高強(qiáng)度、高韌性和優(yōu)異耐久性的水泥基復(fù)合材料[1-2]。近年來(lái)，F(xiàn)RHPC因其突出的力學(xué)性能和耐久性，逐漸應(yīng)用于道路、建筑、核電、海洋和軍事等工程領(lǐng)域[3]。同時(shí)，F(xiàn)RHPC工程應(yīng)用節(jié)能減排效果顯著，貼合“綠水青山就是金山銀山”理念，符合社會(huì)可持續(xù)性發(fā)展要求，蘊(yùn)含巨大工程應(yīng)用價(jià)值。FRHPC為主體的建筑結(jié)構(gòu)在服役過(guò)程中常受到循環(huán)荷載作用(如車輛、行人、地震等)的影響，產(chǎn)生疲勞損傷。隨著服役周期的增長(zhǎng)，F(xiàn)RHPC疲勞損傷逐漸累積，導(dǎo)致其力學(xué)性能和耐久性降低，甚至影響建筑結(jié)構(gòu)安全性和可靠性[4]。因此，開展FRHPC疲勞損傷研究具有重要的工程意義。

目前，對(duì)混凝土疲勞性能的研究，集中利用經(jīng)驗(yàn)公式(見表1所示)[5-6]，建立應(yīng)力水平(S)和疲勞壽命之間的關(guān)系，預(yù)測(cè)混凝土在服役過(guò)程的疲勞壽命。Wholer建立了單對(duì)數(shù)疲勞方程，研究纖維摻量對(duì)普通混凝土疲勞壽命的影響，其中A=1.436和B=-0.105，并提出疲勞極限強(qiáng)度位于0.55-0.65之間[7-8]。文獻(xiàn)[9]引入應(yīng)力比R(=fmin/fmax)，模擬了實(shí)際結(jié)構(gòu)工程中最小循環(huán)荷載不等于零的實(shí)際加載情況；文獻(xiàn)[10]探討了不同應(yīng)力水平下纖維增強(qiáng)混凝土疲勞壽命，并對(duì)Wholer提出的單對(duì)數(shù)方程進(jìn)行改進(jìn)，引入材料系數(shù)β，定量預(yù)測(cè)纖維增強(qiáng)混凝土的疲勞壽命；文獻(xiàn)[11]通過(guò)FRC彎曲疲勞試驗(yàn)，建立了存活率P=50%時(shí)的雙對(duì)數(shù)疲勞曲線方程，A=0.339，B=0.138，得到了用于工程實(shí)際中不同存活率的S-N曲線方程。文獻(xiàn)[12]考慮混凝土結(jié)構(gòu)疲勞壽命的離散型，所以在S-N曲線中引入失效概率Pf表征疲勞壽命的離散型，預(yù)測(cè)了纖維增強(qiáng)混凝土疲勞壽命(見表1)。

表1 混凝土疲勞經(jīng)驗(yàn)公式總結(jié)

由上述可知，應(yīng)力水平S與疲勞壽命N之間的關(guān)系可以通過(guò)不同的經(jīng)驗(yàn)公式和誤差分析方法表征。目前，多數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式集中于建立應(yīng)力水平(S)和疲勞壽命(N)數(shù)學(xué)關(guān)系式，然而疲勞壽命影響因素眾多，即使在試驗(yàn)條件完全相同的情況下，試件的疲勞壽命也存在著很大的離散性，想要在實(shí)際應(yīng)用中用結(jié)構(gòu)材料的物理量定量的分析疲勞壽命具有一定難度。為了正確反映在不同纖維摻量下FRHPC疲勞壽命的變化規(guī)律，運(yùn)用概率理論對(duì)混凝土疲勞壽命與可靠性進(jìn)行宏觀分析和估計(jì)就顯示出邏輯上、理論上和實(shí)質(zhì)上的必要性和合理性。

因此，本研究針對(duì)FRHPC疲勞壽命的分散性，采用Weibull分布函數(shù)對(duì)其分布規(guī)律進(jìn)行表征；通過(guò)圖像法、矩量法和極大似然估計(jì)法定量評(píng)價(jià)了威布爾分?jǐn)?shù)函數(shù)中形狀參數(shù)α和特征疲勞壽命u，并結(jié)合Kolmogorov-Smirnov驗(yàn)證Weibull函數(shù)的可靠性；在此基礎(chǔ)上，建立了FRHPC疲勞壽命方程，確定方程中參數(shù)，量化應(yīng)力水平S和疲勞壽命N的關(guān)系，進(jìn)一步引入失效概率Pf，建立具有一定存活率的Pf-S-N方程。

2 原材料與試驗(yàn)方法

2.1 原材料

試驗(yàn)采用珠江水泥廠生產(chǎn)的PII 42.5硅酸鹽水泥，山東盈潤(rùn)智能新材料有限公司生產(chǎn)的平均粒徑為0.2 μm硅灰和一級(jí)粉煤灰，河源萬(wàn)川公司生產(chǎn)的粒徑范圍為0.9 mm～2 mm的石英砂和5 mm～20 mm連續(xù)級(jí)配碎石；減水劑為廣東瑞安高性能混凝土用Ls-PC(A)型減水劑，固含量為33.0%。鋼纖維采用贛州大業(yè)金屬纖維有限公司生產(chǎn)的WSF0206(B)型鋼纖維，長(zhǎng)度為13 mm，直徑均為0.2 mm，抗拉強(qiáng)度為2 850 MPa。FRHPC配合比為水泥：硅灰∶粉煤灰∶細(xì)骨料∶粗骨料∶水=460∶100∶40∶626∶1 021∶168，鋼纖維占總體材料的體積分?jǐn)?shù)摻量為0.5%，1.0%，1.5%。

2.2 試驗(yàn)方法

FRHPC彎曲疲勞試驗(yàn)在MTS Landmark 370.25 動(dòng)態(tài)疲勞試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行。MTS高性能動(dòng)態(tài)疲勞測(cè)試系統(tǒng)為250 kN全數(shù)字軸向電液伺服測(cè)試系統(tǒng)，集成MTS伺服液壓、多功能FlexTest控制器和成熟可靠的MTS應(yīng)用軟件和全套附件，可為混凝土提供高精度、良好重復(fù)性的動(dòng)靜態(tài)測(cè)試。MTS測(cè)試系統(tǒng)自動(dòng)采集疲勞循環(huán)次數(shù)、荷載變化過(guò)程及峰值荷載等基本參數(shù)。

FRHPC疲勞壽命樣本容量確定為8個(gè)。為了消除試樣受力面不平整而造成的試驗(yàn)誤差，在試樣上表面受壓部位，涂抹上一層高強(qiáng)石膏，然后對(duì)FRHPC梁進(jìn)行預(yù)加載(0.5 kN)，反復(fù)幾次，確保高強(qiáng)石膏壓實(shí)，并與疲勞試驗(yàn)機(jī)加載點(diǎn)完全接觸。

FRHPC采用力控制模式。疲勞荷載歷程先以10 kN/min的加載速率至平均荷載(最大應(yīng)力值σmax和最小應(yīng)力值σmin的平均值)，然后以正弦波的形式等幅值加載(最大應(yīng)力值σmax和最小應(yīng)力值σmin保持不變)，加載頻率為8 Hz(常用加載頻率為5～15 Hz)。循環(huán)特征值r(最小應(yīng)力值σmin和最大應(yīng)力值σmax的比值，r=σmin/σmax)取0.1，應(yīng)力水平S(最大應(yīng)力幅值σmax和靜載抗折強(qiáng)度f(wàn)r的比值，S=σmax/fr)取0.65、0.70、0.75和0.80。

3 試驗(yàn)結(jié)果與討論

3.1 疲勞試驗(yàn)結(jié)果

為了確定循環(huán)荷載應(yīng)力水平，需要首先評(píng)價(jià)FRHPC抗折強(qiáng)度，隨著纖維摻量的增加，F(xiàn)RHPC抗折強(qiáng)度隨著增大。當(dāng)纖維體積摻量Vf=0.0%時(shí)，F(xiàn)RHPC基體抗折強(qiáng)度為5.8 MPa，當(dāng)纖維體積摻量為0.5%、1.0%、1.5%和2.0%時(shí)，其抗折強(qiáng)度分別提高了44.20%、85.68%、99.21%。

不同應(yīng)力水平(S=fmax/fr；fmax=最大疲勞應(yīng)力；fr=靜態(tài)彎曲強(qiáng)度)作用下，摻入不同體積摻量(Vf=0.5%、1.0%和1.5%)鋼纖維的FRHPC疲勞壽命如表2～表4所示。從表2～表4可以看出，相同應(yīng)力水平作用下，隨著纖維體積摻量的增加，F(xiàn)RHPC的疲勞壽命逐漸增大；纖維摻量相同時(shí)，隨著應(yīng)力水平降低，F(xiàn)RHPC疲勞壽命逐漸增大。如應(yīng)力水平S=0.65時(shí)，F(xiàn)RHPC疲勞壽命隨著纖維摻量的增加，最大疲勞壽命由282 145次增大到1 020 000次；當(dāng)纖維體積摻量為0.5%時(shí)，隨著應(yīng)力水平的減小，最大疲勞循環(huán)次數(shù)由344增加到282 145次。文獻(xiàn)[13]研究了鋼纖維增強(qiáng)混凝土(Steel Fiber Reinforced Concrete，SFRC)彎曲疲勞性能，同樣發(fā)現(xiàn)SFRC的疲勞壽命隨著纖維摻量的增加而增大。

表2 FRHPC疲勞壽命(Vf=0.5%)

應(yīng)力水平S=0.85S=0.80S=0.75S=0.70S=0.65疲勞壽命40*1 75114 84325 57835 3591431 86915 16030 42676 2182262 91718 64544 672108 2362473 40425 18455 622144 4962704 40626 40076 218189 7823245 67933 52791 246207 4364266 94142 345105 376242 4965377 65451 640134 984289 2126818 91261 616179 240365 78983410 24576 117207 856420 385

表4 FRHPC疲勞壽命(Vf=1.5%)

3.2 疲勞壽命分析

3.2.1威布爾函數(shù)分布

由于混凝土結(jié)構(gòu)內(nèi)部缺陷的不確定性和纖維分布的不均勻性導(dǎo)致FRHPC疲勞壽命分散性較大，所以研究者提出各種數(shù)學(xué)概率模型用于統(tǒng)計(jì)分析混凝土疲勞壽命分布情況。目前，常用于分析混凝土疲勞壽命分布的數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)模型為威布爾分布函數(shù)(Weibull distribution)。

威布爾概率分布函數(shù)f(n)和累積分布函數(shù)Pf(n)如下式所示：

(1)

(2)

n≥no,s>0；α>0；且u≥no,s。

式中：

n——隨機(jī)變量N的具體數(shù)值；

α——特定應(yīng)力水平S作用下，威布爾分布的形狀參數(shù)；

u——疲勞壽命的特征值；

no,s——位置參數(shù)或疲勞壽命的最小值。

根據(jù)等式(2)可以得到疲勞壽命的生存函數(shù)即可靠性函數(shù)LR(n)：

(3)

對(duì)于SFRC而言，文獻(xiàn)[14]認(rèn)為可以假設(shè)威布爾分布函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中其最小疲勞壽命no,s=0，則可靠性函數(shù)LR(n)可以簡(jiǎn)化為兩參數(shù)威布爾函數(shù)分布：

(4)

等式(4)兩邊取2次對(duì)數(shù)可得：

(5)

圖1利用圖像法對(duì)不同應(yīng)力水平作用下FRHPC的疲勞壽命進(jìn)行線性回歸分析。由圖1可知：兩對(duì)數(shù)疲勞壽命基本呈線性分布，其最小相關(guān)系數(shù)為90.74%，即FRHPC的疲勞壽命符合威布爾參數(shù)分布。

Vf=0.5%

Vf=1.0%

Vf=1.5%圖1 圖像法分析分析FRHPC疲勞壽命示

3.2.2威布爾分布函數(shù)參數(shù)

利用圖像法不僅可以判斷FRHPC的疲勞壽命是否符合威布爾分布函數(shù)，而且可以根據(jù)線性回歸分析得到形狀參數(shù)α和特征疲勞壽命u。

利用矩量法評(píng)估威布爾函數(shù)分布參數(shù)需要適當(dāng)?shù)臉颖揪?威布爾函數(shù)分布的樣本矩可用下式表達(dá)[13]：

(6)

式中：

T(x)——伽馬函數(shù)；

E(n)——平均期望值。

極大釋然估計(jì)法在迭代過(guò)程中，以圖像法或矩量法得到的形狀參數(shù)α作為第一個(gè)估計(jì)值，然后逐步迭代出極大似然估計(jì)值α*；把形狀參數(shù)的極大似然估計(jì)值α*代入等式估計(jì)等式，可以計(jì)算得到θ*：

(7)

(8)

其中:α*和θ*分別為α、θ的極大似然估計(jì)值。

利用圖像法、矩量法和極大似然估計(jì)法所求FRHPC威布爾函數(shù)參數(shù)見表5～表7中。

表5 FRHPC的疲勞壽命威布爾函數(shù)分布參數(shù)(Vf=0.5%)

表6 FRHPC的疲勞壽命威布爾函數(shù)分布參數(shù)(Vf=1.0%)

表7 FRHPC的疲勞壽命威布爾函數(shù)分布參數(shù)(Vf=1.5%)

從表5～表7中可以看出，纖維體積摻量相同時(shí)，形狀參數(shù)α隨著應(yīng)力水平的減小而降低。對(duì)于表中的形狀參數(shù)而言，當(dāng)應(yīng)力水平較高時(shí)，形狀參數(shù)α減小的幅度較大；當(dāng)應(yīng)力水平較低時(shí)，形狀參數(shù)α減小的幅度降低。由此可以推斷出，高應(yīng)力水平作用下，F(xiàn)RHPC疲勞壽命的分散性較??；低應(yīng)力水平作用下，F(xiàn)RHPC疲勞壽命的離散型較大。纖維摻量相同時(shí)，隨著應(yīng)力水平的降低，F(xiàn)RHPC特征疲勞壽命增加；當(dāng)應(yīng)力水平相同時(shí)，隨著纖維摻量的增加，F(xiàn)RHPC特征疲勞壽命增加。

3.2.3引入失效概率Pf表征S-N關(guān)系

早期有關(guān)SFRC的S-N關(guān)系的研究，并沒(méi)有引入失效概率Pf的概念。威布爾分布函數(shù)被用于表征SFRC疲勞壽命以后，開始用于計(jì)算不同應(yīng)力水平下SFRC疲勞壽命的失效概率Pf。首先，不同應(yīng)力水平下的疲勞壽命由大到小依次排列。然后，利用計(jì)算不同應(yīng)力水平下FRHPC疲勞壽命所對(duì)應(yīng)的失效概率。根據(jù)上述步驟，繪制出失效概率Pf和FRHPC疲勞壽命關(guān)系圖(Pf-N)；然后計(jì)算失效概率Pf所對(duì)應(yīng)的不同應(yīng)力水平作用下FRHPC的疲勞壽命(S-N)；最后，在S-N回歸直線的基礎(chǔ)上，計(jì)算疲勞壽命相同時(shí)，不同應(yīng)力水平S對(duì)應(yīng)的失效概率Pf的數(shù)值(S-Pf)。圖2～圖4為一定失效概率下不同應(yīng)力水平下FRHPC疲勞壽命分布的S-N-Pf曲線族。

圖2 彎曲荷載作用下FRHPC的S-N-Pf示意(Vf=0.5%)

圖3 彎曲荷載作用下FRHPC的S-N-Pf示意(Vf=1.0%)

圖4 彎曲荷載作用下FRHPC的S-N-Pf示意(Vf=1.5%)

(9)

(10)

上述分析一定失效概率下不同應(yīng)力水平下FRHPC疲勞壽命分布的S-N-Pf曲線族。但是，并沒(méi)有給出定量預(yù)測(cè)不同失效概率下FRHPC的定量評(píng)價(jià)公式。

另一種描述S-N-Pf關(guān)系的方法是基于文獻(xiàn)[14]提出的數(shù)學(xué)等式：

L=(1-Pf)=(10)-a(S)b(logN)c

(11)

式中：

a、b、c——試驗(yàn)常數(shù)；

S——應(yīng)力水平；

L——生存概率函數(shù)，L=1-Pf，其中Pf為失效概率。

式(1)為生存概率函數(shù)L、應(yīng)力水平和疲勞壽命的關(guān)系式。為了準(zhǔn)確表征S-N-Pf的數(shù)學(xué)關(guān)系，首先根據(jù)FRHPC的疲勞壽命計(jì)算出試驗(yàn)常數(shù)a，b和c的值。

等式(11)兩邊取2次對(duì)數(shù)：

log(-logL)=log(a)+blog(S)+clog(logN)

(12)

上述等式可以簡(jiǎn)化為：

Y=A+bX+cZ

(13)

其中，Y=log(-logL)；A=log(a)；X=log(S)；Z=log(logN)。為確定特定應(yīng)力水平S下，具有一定生存概率L的FRHPC疲勞壽命N，式(13)變換為：

Z=A′+B′X+C′Y

(14)

式中，A′=-A/c；B′=-b/c；C′=-1/c。

基于樣本均值中計(jì)算試驗(yàn)常數(shù)的便捷性，上述表達(dá)式可以轉(zhuǎn)化為：

∑Z=∑A′+B′∑X+C′∑Y

(15)

(16)

(17)

等式(17)減去等式(15)可得：

(18)

或者：

z=b′x+c′y

(19)

根據(jù)FRHPC疲勞壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以統(tǒng)計(jì)計(jì)算∑x2、∑y2、∑z2、∑xy、∑xz和∑yz的值(見表8)。

表8 根據(jù)不同纖維摻量FRHPC的疲勞壽命統(tǒng)計(jì)參數(shù)

利用最小二乘法，可以得到以下方程：

b′∑x2+c′∑xy=∑xz

(20)

b′∑xy+c′∑y2=∑yz

(21)

將表8中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)代入等式(20)和(21)可以得到系數(shù)b′和c′的值。纖維體積摻量不同的FRHPC的S-N-Pf關(guān)系表達(dá)式為：

FRHPC(Vf=0.5%)：

L=(10)-1.768 8(S)34.608 2(logN)12.187 7

(22)

FRHPC(Vf=1.0%)：

L=(10)-2.035 29(S)73.526 5(logN)29.411 7

(23)

FRHPC(Vf=1.5%)：

L=(10)-2.692 8(S)30.259 1(logN)15.060 2

(24)

4 結(jié)語(yǔ)

1) 相同應(yīng)力水平作用下，隨著纖維體積摻量的增加，F(xiàn)RHPC的疲勞壽命逐漸增大；纖維摻量相同時(shí)，隨著應(yīng)力水平降低，F(xiàn)RHPC疲勞壽命逐漸增大。

2) 兩對(duì)數(shù)疲勞壽命基本呈線性分布，其最小相關(guān)系數(shù)為90.74%，即FRHPC的疲勞壽命符合威布爾參數(shù)分布。高應(yīng)力水平作用下，F(xiàn)RHPC疲勞壽命的分散性較?。坏蛻?yīng)力水平作用下，F(xiàn)RHPC疲勞壽命的離散型較大。

3) 一定失效概率下不同應(yīng)力水平下FRHPC疲勞壽命分布的S-N曲線可用下列等式計(jì)算：FRHPC(Vf=0.5%):L=(10)-1.768 8(S)34.608 2(logN)12.187 7、 FRHPC(Vf=1.0%)：L=(10)-2.035 29(S)73.526 5(logN)29.411 7、FRHPC(Vf=1.5%)：L=(10)-2.692 8(S)30.259 1(logN)15.060 2。