摘要 計算教學(xué)的關(guān)鍵是強(qiáng)化與計算相關(guān)的概念、公式、命題的理解，幫助學(xué)生從程序化操作走向理解性應(yīng)用，形成靈活合理運(yùn)算的自覺意識。結(jié)構(gòu)圖譜能通過層次明晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)圖的呈現(xiàn)，幫助學(xué)生經(jīng)歷知識動態(tài)發(fā)展的過程，進(jìn)行不同表征內(nèi)部的轉(zhuǎn)換，體現(xiàn)了知識產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的順序，在知識表征過程中形成結(jié)構(gòu)化、直觀化的理解，實(shí)現(xiàn)對知識的理解進(jìn)階。教學(xué)中針對不同知識點(diǎn)，以多層結(jié)構(gòu)圖譜促進(jìn)計算方法生長化，以多元結(jié)構(gòu)圖譜促進(jìn)計算理解結(jié)構(gòu)化，以多維結(jié)構(gòu)圖譜促進(jìn)計算應(yīng)用多樣化。

關(guān)? 鍵? 詞 結(jié)構(gòu)圖譜 小學(xué)數(shù)學(xué) 計算教學(xué) 理解進(jìn)階

引用格式 楊熠.基于結(jié)構(gòu)圖譜的小學(xué)數(shù)學(xué)計算教學(xué)新范式[J].教學(xué)與管理，2022（35）：38-41.

結(jié)構(gòu)圖譜是學(xué)習(xí)者針對某一學(xué)習(xí)內(nèi)容，根據(jù)自己的思維過程并依據(jù)一定的關(guān)系，用簡要的文字、符號、圖形等畫出層次明晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)圖的過程[1]。有別于幾何直觀或思維導(dǎo)圖，結(jié)構(gòu)圖譜并不只是一張靜態(tài)的圖示，而是由多種、多張圖示動態(tài)發(fā)展而成，有直線型、網(wǎng)狀型、輻射型等表現(xiàn)形態(tài)。結(jié)構(gòu)圖譜可以幫助學(xué)生經(jīng)歷知識動態(tài)發(fā)展的過程，進(jìn)行不同表征內(nèi)部的轉(zhuǎn)換，體現(xiàn)知識產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的順序，在知識表征過程中形成結(jié)構(gòu)化、直觀化的理解，實(shí)現(xiàn)對知識的理解進(jìn)階。

計算是抽象的，計算教學(xué)要強(qiáng)化與計算相關(guān)的概念、公式、命題的理解，幫助學(xué)生從程序化操作走向理解性應(yīng)用，形成靈活合理運(yùn)算的自覺意識。計算的理解與應(yīng)用是一個過程，從基于已有經(jīng)驗的初始理解，到思維碰撞產(chǎn)生的生生互動，再到結(jié)構(gòu)化的理解關(guān)聯(lián)形成，最后到基于理解的遷移和運(yùn)用，無不需要在多元表征基礎(chǔ)上建立相互之間的聯(lián)系。因此，我們需要通過直觀、結(jié)構(gòu)化、生長性的結(jié)構(gòu)圖譜，改進(jìn)和促進(jìn)小學(xué)計算教學(xué)。

一、以多層結(jié)構(gòu)圖譜促進(jìn)計算方法生長化

依據(jù)知識發(fā)生發(fā)展的順序和學(xué)生對知識的理解過程，可以形成線性發(fā)展的結(jié)構(gòu)圖譜。學(xué)生對計算的理解是一個漸進(jìn)的過程：先依據(jù)生活經(jīng)驗和已有知識產(chǎn)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的初步理解，接著通過交流、比較后得到計算的一般方法，再在實(shí)際應(yīng)用中達(dá)成對“算法”的反復(fù)理解，實(shí)現(xiàn)“算法”內(nèi)化。但教學(xué)中教師往往只重視通過一次圖示幫助學(xué)生理解“為什么要這樣算”，而忽略了在思維可視化背景下前期和后期的思維結(jié)構(gòu)化，從而造成學(xué)生沒有經(jīng)歷計算思維的生長過程，對運(yùn)算意義的理解不全面。因此，在計算方法的學(xué)習(xí)過程中，需要通過思維線性推進(jìn)的路徑實(shí)現(xiàn)理解進(jìn)階。從展示學(xué)生初始思維狀況到歸納比較得出合理算法再到深入理解算法背后的算理，再到打破固定思維模式，形成靈活運(yùn)算意識，最后感受算法發(fā)展歷史，體驗數(shù)學(xué)文化。

如人教版《數(shù)學(xué)》三年級下冊兩位數(shù)筆算乘法“18×12”的教學(xué)。

第一次，算法層面，鼓勵學(xué)生自由表征算法并分析不同算法的聯(lián)系與區(qū)別。

（1）學(xué)生思考，交流，匯報。教師出示點(diǎn)子圖，引導(dǎo)學(xué)生在點(diǎn)子圖上圈一圈，用直觀圖示表示自己的想法。

（2）小結(jié)：把其中一個因數(shù)拆成兩數(shù)相乘、相加或相減的形式，不同方法的計算結(jié)果都是相同的。按照所應(yīng)用的不同運(yùn)算定律進(jìn)行分類，得到類似18×2×6的一類或18×10＋14×2的一類，進(jìn)而明白不同計算方法背后算理的區(qū)別，加深理解。

（3）結(jié)合17×11，思考哪一種方法是計算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的通用方法。學(xué)生討論后得出：把其中一個兩位數(shù)拆成整十?dāng)?shù)加一位數(shù)的方式是通用的計算方法。

第二次，算理層面。怎樣把上面的通用算法用豎式的形式表示出來？學(xué)生嘗試、討論，把點(diǎn)子圖和乘法豎式相結(jié)合，理解乘法豎式的算理（如圖2），掌握乘法豎式計算方法。

第三次，靈活應(yīng)用。兩位數(shù)乘兩位數(shù)不一定要用豎式計算，如計算25×12，轉(zhuǎn)化為25×4×3計算最簡便；計算37×19，轉(zhuǎn)化為37×20－37×1最簡便（如圖3）。歸納得出：要根據(jù)數(shù)字特征，靈活選擇運(yùn)算定律，使計算更簡便。

第四次，數(shù)學(xué)文化。把現(xiàn)在的筆算乘法和古代中國的“鋪地錦”、古意大利的“格子乘法”、古印度的“畫線法”聯(lián)系起來[2]，理解不同方法背后的道理都是一樣的，感受人民群眾的智慧和數(shù)學(xué)的魅力。

四次構(gòu)圖形成關(guān)于兩位數(shù)乘兩位數(shù)的線性結(jié)構(gòu)圖譜，實(shí)現(xiàn)了“特定題目的多樣算法→從不同算法之間的區(qū)別與聯(lián)系中找通用算法→算理理解→特定題目的靈活應(yīng)用→理解數(shù)學(xué)文化”的理解進(jìn)階（如圖5）。學(xué)生理解了筆算乘法作為普適性方法背后的道理，又培養(yǎng)了他們根據(jù)數(shù)字特征靈活運(yùn)算的意識。

小學(xué)數(shù)學(xué)計算和生活聯(lián)系比較緊密，且教學(xué)內(nèi)容以螺旋上升的形式編排，學(xué)生在學(xué)習(xí)計算前一般都會有一定的基礎(chǔ)。因此，學(xué)習(xí)計算方法時要開展多層構(gòu)圖，激發(fā)學(xué)生主動參與算理理解、實(shí)踐體驗、文化滲透等活動，引發(fā)積極的內(nèi)心體驗，形成靈活的運(yùn)算意識，促進(jìn)計算思維的生長。

二、以多元結(jié)構(gòu)圖譜促使計算理解立體化

數(shù)學(xué)理解就是實(shí)現(xiàn)不同表征之間的轉(zhuǎn)換。計算理解需要實(shí)現(xiàn)文字符號、算式、實(shí)物、圖形、生活實(shí)例等多元數(shù)學(xué)表征形式的內(nèi)在聯(lián)結(jié)，構(gòu)成水平層面的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)圖譜；同時要聯(lián)系前后相關(guān)知識點(diǎn)，形成縱向?qū)用娴闹R發(fā)展脈絡(luò)。兩者相結(jié)合，構(gòu)建立體知識體系，促進(jìn)學(xué)生對算理的立體化理解。

以人教版《數(shù)學(xué)》四年級下冊乘法分配律的學(xué)習(xí)為例。

（1）不同表征方式的橫向聯(lián)結(jié)。用來說明、解釋乘法分配律的方式有很多，但其作用和論證方式不同。如通過算式驗證，是運(yùn)用不完全歸納推理；舉生活實(shí)例和畫矩陣圖說明，是運(yùn)用類比推理；用乘法的意義進(jìn)行算理解釋，則運(yùn)用了演繹推理。在小學(xué)階段，這些方式都可以用來說明和解釋乘法分配律，也都存在各自的片面和局限。而把這些表征方式聯(lián)系起來，形成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)圖譜（如圖6），不同表征之間就可以互相映襯、互相解釋，融為一個整體。

（2）知識發(fā)展的縱向聯(lián)結(jié)。接著，聯(lián)系教材中與之相關(guān)的前后知識，形成知識發(fā)展脈絡(luò)圖（如圖7）?？梢钥吹?，從三年級上冊的兩位數(shù)乘一位數(shù)到多位數(shù)乘一位數(shù)，再到三年級下冊的兩位數(shù)乘兩位數(shù)，都在運(yùn)用乘法分配律，而乘法分配律后續(xù)又將應(yīng)用于五年級多邊形面積的計算等眾多內(nèi)容。這樣，就可以建立前后知識之間的聯(lián)系，使學(xué)生理解乘法分配律在學(xué)習(xí)中的重要地位。

（3）不同運(yùn)算定律的區(qū)別。把乘法分配律和最容易混淆的乘法結(jié)合律放在一起進(jìn)行比較。以2×3×4和2×（3＋4）為例，通過圖形表征，幫助學(xué)生形成與算式相對應(yīng)的圖形表象，使學(xué)生理解，乘法結(jié)合律相當(dāng)于求若干個相同長方形的總面積（如圖8-1），乘法分配率相當(dāng)于求兩個寬相等的小長方形的面積之和（如圖8-2）。避免兩者情況混淆。

（4）正誤辨析。把學(xué)生解答時的易錯點(diǎn)進(jìn)行比較。如25×（8＋40）×125，通過下面的圖形表征，讓學(xué)生明白為什么25×（8＋40）×125=25×125×8＋25×125×40（如圖9-1）。而如果寫成：25×40＋8×125，其中25×40還可以在圖中表示，8×125則無法在圖中表示（如圖9-2）。

以上教學(xué)，基于系統(tǒng)化的邏輯關(guān)系，通過建立乘法分配律不同表征形式的橫向網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)、不同學(xué)習(xí)時期的縱向發(fā)展脈絡(luò)、不同運(yùn)算定律之間的區(qū)別、正誤辨析等結(jié)構(gòu)模型，形成關(guān)于乘法分配律的立體結(jié)構(gòu)圖譜，促使學(xué)生更好地理解乘法分配律的意義，在實(shí)際運(yùn)用時不再是機(jī)械地模仿，而是基于運(yùn)算定律意義理解的活動。

多元構(gòu)圖促使學(xué)生在比較和聯(lián)系中進(jìn)行分析、綜合、創(chuàng)造，培養(yǎng)了學(xué)生探究數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律的高層次數(shù)學(xué)思維能力，把計算學(xué)習(xí)重心由計算訓(xùn)練引向核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)基于理解的學(xué)習(xí)。

三、以多維結(jié)構(gòu)圖譜促成計算應(yīng)用輻射化

數(shù)學(xué)知識只有在廣闊的場景中反復(fù)應(yīng)用，才能幫助學(xué)生更好地掌握。從不同維度描述知識結(jié)構(gòu)，可以使知識的作用輻射得更廣、更深刻。當(dāng)前對計算應(yīng)用的場景拓展程度不夠，仍處于“為計算而計算”，沒有形成“自覺運(yùn)用計算知識解決問題”的意識。教師要開展創(chuàng)造性的實(shí)踐應(yīng)用，通過輻射狀的多維結(jié)構(gòu)圖譜，統(tǒng)籌計算內(nèi)容和其他知識的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)教學(xué)全過程深度優(yōu)化融合，給學(xué)生提供從整體上思考的情境，使學(xué)習(xí)超越計算范疇，在問題解決中升華運(yùn)算思維，建立計算教學(xué)新體系。

如“等差數(shù)列求和”，如果學(xué)生僅學(xué)習(xí)到“（首項＋尾項）×項數(shù)÷2”的計算公式，并不能幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的運(yùn)算思維。教學(xué)中應(yīng)聯(lián)系更廣闊的應(yīng)用場景，以促進(jìn)學(xué)生更高層面思維的發(fā)展。

（1）求和。以計算“3＋5＋7＋…＋13”為例，結(jié)合梯形面積公式（上底＋下底）×高÷2，理解兩者之間的共同之處（如圖10-1）?；仡櫶菪蚊娣e公式的推導(dǎo)過程，數(shù)形相結(jié)合，進(jìn)一步加深對等差數(shù)列求和方法的理解，使學(xué)生的思維從有限到無限。

（2）求項數(shù)。結(jié)合植樹問題，理解求等差數(shù)列的項數(shù)相當(dāng)于求植樹問題中的棵數(shù)。如要知道數(shù)列“3＋5＋7＋…＋13”中共有幾個數(shù)，相當(dāng)于求“每隔2米種一棵樹，從第3米一直種到第13米（兩端都種），一共有幾棵樹？”（如圖10-2）

（3）拓展。把等差數(shù)列與“數(shù)線段條數(shù)”“數(shù)角的個數(shù)”“數(shù)長方形個數(shù)”等相聯(lián)系，增加等差數(shù)列求和的應(yīng)用場景。如解答圖10-3中的問題，都只需要計算等差數(shù)列“6＋5＋4＋3＋2＋1”的和。

這樣的教學(xué)，把看似分屬不同知識體系的“等差數(shù)列求和”“梯形面積”“植樹問題”“數(shù)圖形”等通過計算融合在一起，促使計算應(yīng)用場景創(chuàng)新，促進(jìn)學(xué)生思維聯(lián)結(jié)，提升教學(xué)效果。

又如，在“比的應(yīng)用”中聯(lián)系生活應(yīng)用、國旗制作、圖形知識、行程問題等，讓學(xué)生初步體會到比的知識的廣泛應(yīng)用場景（如圖11）。

結(jié)構(gòu)圖譜清晰地描繪出計算知識層級遞進(jìn)、互聯(lián)互通、應(yīng)用輻射的狀況，實(shí)現(xiàn)了計算教學(xué)更新教育理念、變革教學(xué)方法的深層變革[3]，構(gòu)建了教與學(xué)的新范式。學(xué)生在描繪知識結(jié)構(gòu)圖譜的過程中促進(jìn)了不同知識之間的聯(lián)通，形成計算的理解模型，把計算和問題解決相結(jié)合，從更高、更廣的層面形成問題解決的能力，培養(yǎng)高階思維能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 葛敏輝.概念構(gòu)圖：讓數(shù)學(xué)理解看得見——基于“數(shù)學(xué)理解層次”的可視化學(xué)習(xí)新探索[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2021（12）：5-11+2.

[2] 楊熠.立足教材資源，指向素養(yǎng)提升——小學(xué)數(shù)學(xué)“你知道嗎”的深度閱讀策略[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版：數(shù)學(xué)，2020（11）：48-50.

[3] 李永智.教育數(shù)字化轉(zhuǎn)型的構(gòu)想與實(shí)踐探索[J].人民教育，2022（07）：13-21.