摘 要 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是數(shù)學(xué)理解不斷進(jìn)階的過程，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升過程也與數(shù)學(xué)理解的進(jìn)階緊密相關(guān)。要實現(xiàn)數(shù)學(xué)理解的不斷進(jìn)階，需分解對象的要素、劃分理解的層次、明晰理解的內(nèi)涵。圍繞認(rèn)知要素設(shè)計合適的數(shù)學(xué)活動，能增加學(xué)生的具身體驗；設(shè)計恰當(dāng)?shù)乃急鎲栴}，能促進(jìn)學(xué)生深度感悟。以“簡單圖形的平移”一課為例，可以組織五個層次的體悟活動：一是借助觀察體驗活動，在辨識中感知平移要素；二是借助操作體驗活動，在解惑中感悟平移特征；三是借助畫圖體驗活動，在追溯中掌握平移方法；四是借助想象體驗活動，在比較中感悟轉(zhuǎn)化思想：五是借助探究體驗活動，在應(yīng)用中抵達(dá)創(chuàng)造生成的高度。

關(guān)? 鍵? 詞 數(shù)學(xué)理解進(jìn)階 體悟式教學(xué) 表象理解 解釋理解

引用格式 王廣科.指向數(shù)學(xué)理解進(jìn)階的體悟式教學(xué)實踐[J].教學(xué)與管理，2022（35）：49-53.

數(shù)學(xué)充滿著抽象的符號與嚴(yán)密的邏輯，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是數(shù)學(xué)理解不斷進(jìn)階的過程。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該深入學(xué)生的思維層，使思維的提升過程與數(shù)學(xué)理解進(jìn)階的過程同行并進(jìn)。學(xué)科素養(yǎng)的提升是學(xué)生持續(xù)發(fā)展的動力，數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)表達(dá)等數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的提升都和數(shù)學(xué)理解的進(jìn)階緊密相關(guān)。毋庸置疑，數(shù)學(xué)理解得到了廣泛的價值認(rèn)同。但如何實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的不斷進(jìn)階，路徑在哪里？教學(xué)如何優(yōu)化？依然是值得深入探討的問題。筆者認(rèn)為，教師深入解讀數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵，明晰數(shù)學(xué)理解的進(jìn)階路徑是數(shù)學(xué)理解不斷進(jìn)階的前提；設(shè)計出指向數(shù)學(xué)理解的教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生深度體悟數(shù)學(xué)理解的對象，是數(shù)學(xué)理解不斷進(jìn)階的基本路徑。

一、明晰數(shù)學(xué)理解進(jìn)階的內(nèi)涵

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為理解建立在學(xué)習(xí)者對信息傳輸與編碼的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)者根據(jù)自己的已有經(jīng)驗和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，主動建構(gòu)心理表征，進(jìn)而獲得心理意義。在此過程中原有知識與新的外界刺激相互作用，發(fā)生了意義同化[1]。從過程上看，數(shù)學(xué)理解是動詞，指的是學(xué)習(xí)者對學(xué)習(xí)對象進(jìn)行數(shù)學(xué)化的再造；從結(jié)果上看，數(shù)學(xué)理解是名詞，指的是學(xué)習(xí)者對學(xué)習(xí)對象的認(rèn)知層次。

國內(nèi)外學(xué)者對數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵、特征、層次和教學(xué)策略等進(jìn)行了廣泛的研究，在語言表述上各有不同，但主要觀點是趨同的。第一，對需要理解的對象進(jìn)行分解，把一個大的概念分解成若干要素逐步理解并建構(gòu)關(guān)聯(lián)。宏觀上看，可以分為數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)圖形。也有學(xué)者進(jìn)一步細(xì)分為數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想。當(dāng)然從微觀的角度，具體到一個概念，還需要根據(jù)具體課時進(jìn)行厘定。第二，對理解的程度進(jìn)行分層。二分法一般分為工具性理解和關(guān)系性理解[2]。SOLO分類理論根據(jù)理解的過程分為前結(jié)構(gòu)水平、單點結(jié)構(gòu)水平、多點結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平、抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平五個層次[3]。還有學(xué)者根據(jù)理解的深淺分為表象理解、解釋理解、建立聯(lián)系、思想運(yùn)用、創(chuàng)造生成[4]。本文在研究“簡單圖形的平移”這一課時，采取第三種分層的方式。在橫向上將“簡單圖形的平移”拆分成平移現(xiàn)象、平移要素、平移特征、平移方法和平移思想，在縱向上，沿著“表象理解—解釋理解—建立聯(lián)系—思想運(yùn)用—創(chuàng)設(shè)生成”的臺階不斷提升，以理解對象為經(jīng)，理解層次為緯，經(jīng)緯交織，升華學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，發(fā)展學(xué)生的高階思維，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

二、探明數(shù)學(xué)理解進(jìn)階的路徑

如何幫助學(xué)生不斷進(jìn)階數(shù)學(xué)理解？開展體悟式教學(xué)是一條重要路徑。體悟式教學(xué)就是把具身體驗和離身感悟這兩種學(xué)習(xí)方式結(jié)合起來的一種教學(xué)樣態(tài)，包括兩層含義：一是“體”，二是“悟”?！绑w”指向身體和體驗，強(qiáng)調(diào)對細(xì)節(jié)的具身認(rèn)知，“悟”指向心靈和沉浸，強(qiáng)調(diào)對整體的全身心感悟。體悟式教學(xué)能夠充分發(fā)揮師生生命的自主性和自覺性，通過共同體驗、反思與感悟把認(rèn)知對象融入到師生的內(nèi)心世界中，并與原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、生活經(jīng)驗相結(jié)合，以生成新的意義，最終實現(xiàn)學(xué)生的全面發(fā)展。

由此，我們可以探明數(shù)學(xué)理解不斷進(jìn)階的路徑：從“具身認(rèn)知的體”走向“離身認(rèn)知的悟”，這需要做好兩件事：一是設(shè)計合適的數(shù)學(xué)活動，增加學(xué)生的具身體驗；二是給學(xué)生創(chuàng)設(shè)自主反思的時空，在“回頭看”的過程中洞察本質(zhì)，關(guān)聯(lián)知識、習(xí)得策略、感悟思想，不斷提高數(shù)學(xué)理解的水平。

三、明確數(shù)學(xué)理解進(jìn)階的操作步驟

借助以上觀點來分析“簡單圖形的平移”這一課時，可以分解出四個數(shù)學(xué)理解對象（平移現(xiàn)象在三年級已經(jīng)掌握，屬于學(xué)生的前概念）和理解的五階水平。對應(yīng)數(shù)學(xué)理解的對象可以選擇或者設(shè)計出對應(yīng)的體悟式數(shù)學(xué)活動（如圖1），借助這些活動給學(xué)生創(chuàng)造深層體驗的機(jī)會，引導(dǎo)學(xué)生在反思中獲得深度感悟，構(gòu)建“為理解而教，為理解而學(xué)”的數(shù)學(xué)課堂。

五輪體悟式數(shù)學(xué)活動的設(shè)計，拾級而上，指向不同的理解對象，將學(xué)生的理解層次引領(lǐng)到相應(yīng)的發(fā)展水平。五輪體悟式數(shù)學(xué)活動的開展，既充分尊重學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生入乎其中進(jìn)行沉浸體驗，實現(xiàn)“深入”；又充分發(fā)揮教師的組織引導(dǎo)作用，讓學(xué)生出乎其外，把握數(shù)學(xué)理解的關(guān)鍵，實現(xiàn)“簡出”。

1.表象理解：借助視覺體驗，辨識中感知平移要素

認(rèn)知過程是一個從模糊到清晰、從具體到抽象、從整體感知到聚焦關(guān)鍵的過程。認(rèn)識簡單圖形的平移，學(xué)生具備的前概念是“能辨別生活中的平移現(xiàn)象”，本課時的學(xué)習(xí)是一次從生活中的平移走向數(shù)學(xué)上的平移的一次飛躍，例1的“小船圖”和“金魚圖”（如圖2）既具備生活的元素，也具備平面圖形的特征。

“小船圖和金魚圖是怎樣運(yùn)動的”和“它們的運(yùn)動有什么相同點和不同點”這兩個問題指向平移的兩個要素：方向和距離。為了給學(xué)生帶來更加強(qiáng)烈的視覺沖擊，教學(xué)時，可以將靜態(tài)的素材做動態(tài)化處理，在觀察中形成簡單圖形的平移表象，有了表象的支撐，學(xué)生比較容易發(fā)現(xiàn)平移的方向相同。但對另一個要素——平移的距離，會產(chǎn)生一定的分歧，有的學(xué)生回答“平移的速度不同”，有的學(xué)生回答“平移的時間不同”，還有學(xué)生回答“平移的距離不同”等等。對此，教師可以再次慢放平移的過程，看清楚是“平移速度相同”“平移時間不同”“平移距離不同”。接著引導(dǎo)學(xué)生說一說速度、時間和距離的關(guān)系，借助數(shù)量關(guān)系“速度×?xí)r間=距離”，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到它們是相關(guān)聯(lián)的三個量，研究圖形時，數(shù)學(xué)更關(guān)注的是距離這個要素。這樣，學(xué)生就從圖形的大小、平移速度、平移時間、平移距離、平移方向等眾多要素中抽離出方向和距離，對平移現(xiàn)象的整體辨別上升到對平移要素的準(zhǔn)確辨識，數(shù)學(xué)理解水平實現(xiàn)了第一次進(jìn)階。

2.解釋理解：借助操作體驗，解惑中感悟平移特征

兒童的思維在他們的指尖上，將學(xué)生的思維從平移的外部特征引向?qū)ζ揭苾?nèi)部特征的探究，離不開動手操作這一關(guān)鍵環(huán)節(jié)。教材設(shè)計的第二個環(huán)節(jié)是“數(shù)簡單圖形平移的距離”（如圖3）。

數(shù)一數(shù)，下面的小船圖向右平移的距離是幾格？

教師把這個問題拋給學(xué)生之后，出現(xiàn)了三個答案：4格、5格、9格。面對三種情況，教師要謹(jǐn)防“一鳥入林，百鳥壓音”的現(xiàn)象。切記不要讓回答正確的學(xué)生先發(fā)言，否則其他學(xué)生就不會表達(dá)出自己的真實想法，“病癥”就會被掩蓋。教師應(yīng)該先讓平移4格、平移5格的同學(xué)說出自己的想法，最后再讓平移9格的同學(xué)回答。平移4格的同學(xué)認(rèn)為應(yīng)該數(shù)平移前后兩條船之間的間隔長度（如圖4），平移5格的同學(xué)認(rèn)為應(yīng)該數(shù)平移前后兩條船之間的間隔格數(shù)（如圖5），平移9格的同學(xué)認(rèn)為應(yīng)該數(shù)對應(yīng)點之間的距離（如圖6）。由此，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)分歧的關(guān)鍵點是對平移距離這一概念的理解不同。要解開學(xué)生心中的疑惑，需要回歸平移距離這一核心要素，引導(dǎo)學(xué)生重新思考：“平移距離是什么意思？”聚焦了關(guān)鍵點，學(xué)生就會在合作交流中認(rèn)識到以下兩點：第一，距離是長短而非大小，平移幾格，不能數(shù)方格，而要數(shù)長度，平移5格的想法是在數(shù)方格，對距離的理解認(rèn)知不到位，所以是錯誤的。第二，不能把間隔距離當(dāng)作平移距離，否則會出現(xiàn)矛盾，比如“船帆之間的間隔”“甲板之間的間隔”和“船底部之間的間隔”都不一樣。另外，回歸到初始狀態(tài)進(jìn)行二次操作驗證，能夠發(fā)現(xiàn)小船圖實際上平移了9格。在獲得正確答案之后，進(jìn)一步追問：“除了數(shù)船頭這一組對應(yīng)點之外，請你再選擇一組對應(yīng)點，數(shù)一數(shù)平移的距離，看一看還是9格嗎？小船圖上有多少組對應(yīng)點？”通過選擇不同的對應(yīng)點數(shù)平移距離，容易發(fā)現(xiàn)平移的特征：每組對應(yīng)點之間的距離都相等 。

基于上述教學(xué)片段，我們能夠得出這樣的教學(xué)經(jīng)驗：結(jié)果源于方法，方法源于概念，學(xué)生的方法出現(xiàn)問題，要溯源到概念上進(jìn)行解決。因為學(xué)生對概念的理解不同，解決問題的方法才會出現(xiàn)差異，推演出的結(jié)果才會各不相同。僅僅著眼于方法，用正確去覆蓋錯誤，不能真正解決學(xué)生的困惑。引導(dǎo)學(xué)生回歸概念，緊扣“什么是平移距離”進(jìn)行思考，準(zhǔn)確把握內(nèi)涵之后，數(shù)平移距離的方法以及平移的特征也就在概念認(rèn)知的基礎(chǔ)上自然而然地生長出來。學(xué)生數(shù)學(xué)理解也從表象理解的水平發(fā)展到了解釋理解的水平。

3.建立聯(lián)系：借助畫圖體驗，追溯中掌握平移方法

“簡單圖形的平移”需要學(xué)生理解和掌握的第三個對象是：畫平移后圖形的方法。思考怎么畫的過程本質(zhì)上是在應(yīng)用中再次認(rèn)知平移要素、感知平移特征的過程（如圖7）。第一種畫法是錯誤的，可以追溯到平移距離，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)平移距離是對應(yīng)點距離而非間隔距離。第二種畫法也是錯誤的，可以追溯到平移方向，實線圖形是平移后的圖形，應(yīng)該畫在右側(cè)。第三種畫法也是錯誤的，可以追溯到平移的特征，學(xué)生對錯誤的認(rèn)知往往只能達(dá)到第一層水平：平移前后圖形的形狀不能改變。教師可以做進(jìn)一步的追問：為什么圖形的形狀會發(fā)生變化呢？從整幅圖聚焦到關(guān)鍵點，引導(dǎo)學(xué)生從平移的核心特征——所有對應(yīng)點平移相同的格數(shù)去思考，進(jìn)而理解圖形變形的內(nèi)在原因是沒有按照平移的特征進(jìn)行操作，平行四邊形上面的邊平移了6格，而下面的邊平移了7格，每組對應(yīng)點平移的格數(shù)不同，因而發(fā)生了形狀變化的問題。

畫出平行四邊形向右平移6格后的圖形，下面的三種畫法對嗎？

借助對錯因的追溯，不僅深化了對畫平移后圖形的方法的理解：把每組關(guān)鍵對應(yīng)點平移相同的格數(shù)，再依次連線。而且巧妙地將平移要素、平移特征和畫平移后圖形的方法這些認(rèn)知點聯(lián)系在一起，學(xué)生對“簡單圖形平移”的理解也上升到了建立聯(lián)系的認(rèn)知水平。

4.思想運(yùn)用：借助想象體驗，比較中明晰轉(zhuǎn)化方法

“簡單圖形的平移”是數(shù)學(xué)認(rèn)知的對象，具有獨(dú)立性，同時也是認(rèn)知其他數(shù)學(xué)對象的手段。平移不僅僅是一種運(yùn)動，也是一種策略。因此，對“簡單圖形的平移”的認(rèn)知，不能僅僅停留在概念的內(nèi)部，而應(yīng)該放在“圖形與運(yùn)動”這個領(lǐng)域去認(rèn)知。平移是將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的重要方法，雖然這節(jié)課的教學(xué)是在學(xué)習(xí)平行四邊形的面積之前，但在練習(xí)環(huán)節(jié)，可以做出適當(dāng)?shù)耐卣梗ㄈ鐖D8）。

（1）將第一幅圖中左邊的三角形向右平移（? ? ）格可以把平行四邊形轉(zhuǎn)化成（? ? ?）形。

（2）將第二幅圖中左邊的梯形向右平移（? ? ）格可以把平行四邊形轉(zhuǎn)化成（? ? ?）形。

處理這個問題時，可以引導(dǎo)學(xué)生借助想象在大腦中進(jìn)行簡單圖形的平移。學(xué)生借助表象平移，能夠想象出平移后拼成的是長方形，但容易產(chǎn)生“第二幅圖平移距離更遠(yuǎn)”的錯覺。此時可以引導(dǎo)學(xué)生聚焦關(guān)鍵點思考，借助平行四邊形左側(cè)斜邊上的點，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)：不管是切下直角三角形，還是切下直角梯形，都是把切下的圖形向右平移6格。這樣處理，一方面發(fā)展了學(xué)生的空間觀念，另一方面體會到將面轉(zhuǎn)化成點進(jìn)行思考的價值，并為后續(xù)推導(dǎo)平行四邊形的面積公式做好思想層面的鋪墊。其數(shù)學(xué)理解也從建立聯(lián)系的理解水平發(fā)展到思想運(yùn)用的理解水平。

5.創(chuàng)設(shè)生成：借助探究體驗，應(yīng)用中創(chuàng)生解題策略

對平移的理解，不僅要跳出平移這一節(jié)課，在“圖形與運(yùn)動”領(lǐng)域進(jìn)行研究；還可以跳出“圖形與運(yùn)動”的知識領(lǐng)域，與解決問題相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，在應(yīng)用平移思想的過程中， 引領(lǐng)學(xué)生將數(shù)學(xué)理解升華到創(chuàng)設(shè)生成的高度。例如圖9中的問題。

小船的速度是每秒5格，小魚的速度是每秒4格，它們同時出發(fā)，通過一段5格的深水區(qū)，誰先通過？

解決“誰先通過”這個問題，也就是計算穿越深水區(qū)的時間問題。根據(jù)“時間=路程÷速度”，很顯然，需要先明確小船圖和金魚圖平移的距離，這就需要本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容的支撐。首先需要引導(dǎo)學(xué)生明確“穿越深水區(qū)”是“船尾”和“魚尾”都要通過深水區(qū)，因此應(yīng)該選擇船尾和魚尾上的一個點作為觀測點進(jìn)行思考，得出小船圖需要平移10格，每秒5格，需要2秒。金魚圖需要平移8格，每秒4格，也是需要2秒。在這個問題的解決過程中，需要借助數(shù)量關(guān)系，將“誰先通過”這個實際問題轉(zhuǎn)化成計算時間這一數(shù)學(xué)問題，再將計算時間的問題化歸為確定平移距離的問題，最后將確定圖形平移距離的問題轉(zhuǎn)化成確定關(guān)鍵點平移距離的問題，學(xué)生獲得了豐富的解題經(jīng)驗，同時又深化了對平移的理解，在平移解決問題的過程中，抵達(dá)了創(chuàng)設(shè)生成的高度。

數(shù)學(xué)理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，內(nèi)隱于學(xué)生思維之中，不易察覺，但依然可以通過合理的教學(xué)設(shè)計促進(jìn)它不斷地進(jìn)階?？梢栽O(shè)計適合具身認(rèn)知的數(shù)學(xué)活動，激活學(xué)生的思考；可以組織有效的交流，體察學(xué)生數(shù)學(xué)理解的水平；可以提出思辨性的問題，引發(fā)學(xué)生感悟，實現(xiàn)最后一公里的提升。我們應(yīng)該認(rèn)識到：在小學(xué)階段，很多時候教師的高度就是學(xué)生的“天花板”。因此，教師提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)尤為重要。我們更應(yīng)該認(rèn)識到，數(shù)學(xué)理解的不斷進(jìn)階必須由學(xué)生自己來完成，因而教學(xué)不應(yīng)該是教師“曲高和寡”的一味灌輸，而應(yīng)該是教師引導(dǎo)下的具身體驗加離身感悟。

參考文獻(xiàn)

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[4] 王瑞霖，綦春霞.數(shù)學(xué)理解的五層遞進(jìn)及教學(xué)策略[J].中國教育學(xué)刊，2014（12）：40-45.

*該文為江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃青年專項重點課題“基于具身認(rèn)知的小學(xué)數(shù)學(xué)‘體悟式教學(xué)研究”（C-b/2021/02/57）的研究成果