錢有華 陳婭昵

(浙江師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,浙江金華 321004)

引言

能量俘獲(energy harvesting)是通過(guò)一定的方法從環(huán)境中提取能量的過(guò)程.眾所周知,環(huán)境中存在著各種形式的振動(dòng)能[1],如海上的巨浪、機(jī)器的工作、車輛的行駛、人的運(yùn)動(dòng)、樂器彈奏等都會(huì)產(chǎn)生大量振動(dòng).這些振動(dòng)不會(huì)受到地域、時(shí)間等的制約,通過(guò)收集振動(dòng)能可用于橋梁[2]、建筑、車輛等健康監(jiān)測(cè).

目前振動(dòng)能量收集主要有三種方法: 電磁式[3]、靜電式[4]以及壓電式[5-7]等,其中運(yùn)用較多的是壓電式.它的原理是將一層(單晶)或者兩層(雙晶)壓電材料附著于某種夾持結(jié)構(gòu)(懸臂梁)上,外部環(huán)境激勵(lì)通過(guò)基座傳遞給懸臂梁,使梁產(chǎn)生彎曲變形,該形變使得壓電材料中的正負(fù)電荷分離,產(chǎn)生電勢(shì)差,從而進(jìn)行能量收集.收集能量之后,還需要通過(guò)整流橋和濾波電容器將交變電壓轉(zhuǎn)化為整流電壓,以此進(jìn)行充能.

線性壓電俘能器只在共振頻率附近能夠收集到較多能量,其有效工作的頻率帶寬很窄.為了拓寬系統(tǒng)的工作帶寬,人們?cè)O(shè)計(jì)了多種方案來(lái)改善線性壓電俘能器.如陣列式,多自由度等.與線性技術(shù)相比,非線性技術(shù)可以在更大的連續(xù)頻率帶寬上輸出較大電流,從而提高能量收集的效率.非線性來(lái)源主要包括結(jié)構(gòu)變形、外加非線性力等.Moon 等[8]最早提出雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)是由懸臂梁及梁的自由端附近對(duì)稱放置的永磁體組成.其耦合動(dòng)力學(xué)可用負(fù)剛度Duffing 方程來(lái)描述,此時(shí)系統(tǒng)存在兩個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn),一個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn).Erturk 等[9]討論了系統(tǒng)處于高能軌道和混沌振動(dòng)時(shí)對(duì)輸出電壓的影響.Stanton 等[10-11]研究了磁斥力雙穩(wěn)態(tài)動(dòng)力系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)磁間距能夠使得系統(tǒng)在單穩(wěn)態(tài)、雙穩(wěn)態(tài)之間變化,并且雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中包含有單勢(shì)阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)、雙阱間混沌運(yùn)動(dòng)、雙阱間大幅周期運(yùn)動(dòng)等.高鳴源等[12]建立分?jǐn)?shù)階阻尼模型,通過(guò)實(shí)驗(yàn)揭示了多穩(wěn)態(tài)電磁俘能系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分岔、勢(shì)能阱逃逸、高能態(tài)軌道和混沌運(yùn)動(dòng)等非線性行為.田海港等[13]基于非定常氣動(dòng)力模型,推導(dǎo)翼型顫振壓電俘能器流?固?電耦合的數(shù)學(xué)模型并制作了壓電俘能器樣機(jī)來(lái)驗(yàn)證仿真結(jié)果.曹東興等[14-15]建立了一種附磁階梯變厚度壓電懸臂梁的動(dòng)力學(xué)模型并分析了系統(tǒng)的俘能特性,研究了流致振動(dòng),設(shè)計(jì)了一種附加磁力激勵(lì)的壓電懸臂梁流致振動(dòng)俘能器.張偉等[16]利用可移動(dòng)鉸支座和非線性磁力設(shè)計(jì)了一種具有雙穩(wěn)態(tài)特性的寬頻壓電俘能器使得其與環(huán)境相匹配.郭紀(jì)元等[17]提出一種線繩驅(qū)動(dòng)、具備轉(zhuǎn)速提升功能的電磁式俘能器,實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所能收集到的能量.陳楠等[18]總結(jié)了面向壓電振動(dòng)俘能器的電能管理電路的最新研究成果.Andreas 等[19]實(shí)現(xiàn)了可穿戴的電子設(shè)備設(shè)計(jì),提出了超柔性鐵電聚合物和有機(jī)二極管結(jié)合的俘能器,使得脈搏和血壓監(jiān)測(cè)更加精確.

在雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器的研究中,很多學(xué)者發(fā)現(xiàn)了低頻激勵(lì)下存在著簇發(fā)振蕩現(xiàn)象,也被稱之為跳變現(xiàn)象[20].簇發(fā)振蕩是一種復(fù)雜的振蕩模式,它的特征是小幅振蕩與大幅振蕩的結(jié)合.Rinzel[21]最先提出了凍結(jié)子系統(tǒng)的方法來(lái)解釋簇發(fā)振蕩.Izikevich[22]在他的工作中對(duì)簇發(fā)振蕩的類型進(jìn)行了分類.Qian等[23-24]利用快慢分析方法對(duì)歐拉離散后的系統(tǒng)進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)了豐富的動(dòng)力學(xué)行為.Chen 等[25]分析了具有周期激勵(lì)的耦合振蕩器,它會(huì)在靜息態(tài)與激發(fā)態(tài)之間發(fā)生簇發(fā)振蕩.Lin 等[26]研究了簡(jiǎn)單的三元記憶電路,并在電路信號(hào)中得到了簇發(fā)振蕩.Han 等[27-29]通過(guò)快慢分析法研究了不同時(shí)間尺度下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題,還發(fā)現(xiàn)了時(shí)滯周轉(zhuǎn)引起的新的簇發(fā)振蕩類型,叉式翻轉(zhuǎn)遲滯簇發(fā)振蕩以及復(fù)合叉式遲滯簇發(fā)振蕩,還分析了集中參數(shù)式俘能器的動(dòng)力學(xué)簇發(fā)振蕩.Jiang 等[30-34]分析了不同類型俘能器的簇發(fā)振蕩以及復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為.馬新東等[35]對(duì)三維非線性電機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行分岔分析,并得到了時(shí)滯subHopf/fold cycle簇發(fā)振蕩,焦點(diǎn)/焦點(diǎn)型對(duì)稱式叉形分岔滯后簇發(fā)振蕩等.鄭健康等[36]在三維混沌系統(tǒng)中引入?yún)?shù)激勵(lì)并分析了其簇發(fā)振蕩.

由于低激勵(lì)下壓電俘能器的理論的研究較少,因此,本文試圖從高低能軌道的角度來(lái)揭示俘能效率.先分析雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器在較高頻率下的動(dòng)力學(xué)特性,再考慮低頻環(huán)境下不同勢(shì)阱對(duì)系統(tǒng)簇發(fā)振蕩現(xiàn)象的影響,同時(shí)分析了其俘能效果.最后還考慮了環(huán)境中存在多個(gè)振動(dòng)源時(shí),系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為和俘能效果.

1 雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器的動(dòng)力學(xué)分析

壓電俘能器通過(guò)非線性恢復(fù)力產(chǎn)生大變形,它可以由結(jié)構(gòu)的大變形產(chǎn)生,也可以由外加的非線性力產(chǎn)生等.Ertuk 等[9]設(shè)計(jì)了磁鐵?梁結(jié)構(gòu)的壓電俘能器(如圖1).這個(gè)結(jié)構(gòu)中,梁具有彈性恢復(fù)力且梁的末端與兩側(cè)磁鐵之間有磁力作用,當(dāng)系統(tǒng)受到簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí),梁會(huì)在兩個(gè)磁鐵之間不停地?cái)[動(dòng).

圖1 雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structural diagram of bistable piezoelectric energy harvester

在以往的研究中,基于建模方法和實(shí)驗(yàn)測(cè)量,俘能器的一般控制機(jī)電模型可以寫成下式[9]

其中,x(t)是相對(duì)于基座的尖端位移;M是等效質(zhì)量;C等效阻尼;Cp,Rl,θ0分別是等效電容、負(fù)載電阻和等效機(jī)電耦合系數(shù).v(t)是通過(guò)Rl的輸出電壓.Fcos(?t)為等效外激勵(lì).Fr為等效非線性恢復(fù)力,包含線性恢復(fù)力和非線性磁力.為了使得系統(tǒng)出現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象,選取Fr=?ω02x+a10x3.并將系統(tǒng)進(jìn)行無(wú)量綱化

推導(dǎo)出以下無(wú)量綱模型

令 γ=fcos(?t),當(dāng) γ 變化時(shí)系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)行為.當(dāng)c=0.65,ω2=1,a1=1,θ=0.05,f=0.8,λ=0.05,g=0.5時(shí),可以得到系統(tǒng)外激勵(lì)頻率變化的分岔圖.

圖2表示當(dāng)?取不同的值時(shí),系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)或者混沌運(yùn)動(dòng).例如?<0.8 附近時(shí),系統(tǒng)呈現(xiàn)單極限環(huán)運(yùn)動(dòng),而當(dāng)0.8

圖2 當(dāng)c=0.65,ω2=1,a1=1,θ=0.05,f=0.8,λ=0.05,g=0.5時(shí)系統(tǒng)的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram of the system with c=0.65,ω2=1,a1=1,θ=0.05,f=0.8,λ=0.05,g=0.5

除此之外,當(dāng)頻率一定,外激勵(lì)強(qiáng)度變化,會(huì)使系統(tǒng)處于不同的軌道上,包括阱內(nèi)周期運(yùn)動(dòng),阱內(nèi)混沌運(yùn)動(dòng),阱間周期運(yùn)動(dòng),阱間混沌運(yùn)動(dòng)等.Paula 等[37]表示不同的軌道對(duì)系統(tǒng)能量收集效率的影響是顯著的.給定其他參數(shù)不變,當(dāng)?=1.5,f=0.6,0.7,0.716,0.75時(shí)系統(tǒng)的相圖見圖3,其中橫縱坐標(biāo)均為?2～ 2.

圖3 當(dāng) ?=1.5 時(shí)不同振幅下系統(tǒng)的相圖,紅點(diǎn)表Poincaré映射點(diǎn)Fig.3 When ?=1.5,the phase diagrams of the system with different amplitudes,and the red dots represent Poincaré maps

可以看出,當(dāng)振幅比較小時(shí),系統(tǒng)只在某個(gè)勢(shì)阱內(nèi)作周期運(yùn)動(dòng),隨著f的逐漸增大,系統(tǒng)開始在單勢(shì)阱內(nèi)做混沌運(yùn)動(dòng),到了f=0.75時(shí),系統(tǒng)在兩個(gè)勢(shì)阱之間作混沌運(yùn)動(dòng).隨著f的不斷變化,系統(tǒng)會(huì)在周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)之間搖擺.Lyapunov 指數(shù)圖也可以說(shuō)明系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng),圖4 中的紅色表示0,當(dāng)Lyapunov 指數(shù)大于0 時(shí)有混沌運(yùn)動(dòng).

圖4 當(dāng) c=0.65,ω2=1,a1=1,θ=0.05,f=0.8,λ=0.05,g=0.5,?=1.5時(shí)系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)圖Fig.4 Lyapunov exponent diagram of the system with c=0.65,ω2=1, a1=1,θ=0.05,f=0.8,λ=0.05,g=0.5,?=1.5

對(duì)于雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)來(lái)說(shuō),它最大的優(yōu)勢(shì)就是拓寬了系統(tǒng)高效收集能量的頻率帶寬,可以在一般頻率中找到高能軌道從而提高能量收集效率.選擇c=0.05,ω02=1,a1=1,θ=0.05,λ=0.05,g=0.5以及f=0.1,0.2,0.5,計(jì)算一段時(shí)間內(nèi)的輸出電壓均值(圖5),這可以作為系統(tǒng)在不同頻率下俘能效果的一個(gè)指標(biāo).

圖5 當(dāng) c=0.05,ω02=1,a1=1,θ=0.05,λ=0.05,g=0.5 以及f=0.1,0.2,0.5時(shí),系統(tǒng)輸出電壓均值圖Fig.5 When c=0.05,ω02=1,a1=1,θ=0.05,λ=0.05,g=0.5 and f=0.1,0.2,0.5,mean value diagram of system output voltage

從圖5 可以看到,當(dāng)f=0.1 時(shí),系統(tǒng)只在共振頻率附近有著較高的電壓輸出,而在大部分頻率下都只有低能輸出.隨著f的增大,系統(tǒng)在 ?∈(0.2,1) 之間的輸出電壓比f(wàn)=0.1 時(shí)有著較大的提高,這可能是獲得了高能軌道導(dǎo)致的.隨著f繼續(xù)增大,系統(tǒng)的輸出電壓在整體上有了較大的提高,這是因?yàn)檎穹脑龃笫沟孟到y(tǒng)更容易獲得高能軌道.值得注意的是在 ?∈(0.01,0.1) 之間,系統(tǒng)的輸出電壓相比起前兩者也有了一個(gè)明顯的提高,下面會(huì)詳細(xì)解釋這一現(xiàn)象的原因.

2 單激勵(lì)下雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器的高能軌道與俘能效率

在實(shí)際生活中,低頻率的振動(dòng)源處處存在,例如海浪、人體運(yùn)動(dòng)等.在雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器的研究中,可以發(fā)現(xiàn)它在低頻激勵(lì)下表現(xiàn)出簇發(fā)振蕩現(xiàn)象,而單穩(wěn)態(tài)壓電俘能器卻沒有這種現(xiàn)象.簇發(fā)振蕩指的是系統(tǒng)在某一時(shí)刻突然發(fā)生極大的振蕩,此時(shí)的能量也是巨大的.下面先進(jìn)行勢(shì)能分析,再考慮不同振幅的影響.

2.1 勢(shì)能分析

單穩(wěn)態(tài)俘能器的特征是具有全局最小的單勢(shì)阱,此時(shí)勢(shì)阱圖上表現(xiàn)為結(jié)點(diǎn);雙穩(wěn)態(tài)俘能器的特征是具有兩個(gè)勢(shì)阱,并且這兩個(gè)勢(shì)阱被局部最大值分隔,從極小值到極大值的這段距離也稱為勢(shì)壘,此時(shí)勢(shì)阱圖上存在兩個(gè)結(jié)點(diǎn),一個(gè)鞍點(diǎn).圖6 給出了雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)存在的兩種運(yùn)動(dòng)形式,單勢(shì)阱內(nèi)的低能振蕩和雙勢(shì)阱間的高能振蕩.

圖6 低能阱內(nèi)振蕩和高能阱間振蕩Fig.6 Low energy well oscillation and high energy inter well oscillation

現(xiàn)在考慮式(4),當(dāng)環(huán)境頻率很低時(shí),也就是 ?遠(yuǎn)小于固有頻率,此時(shí) γ 為慢變量,系統(tǒng)含有兩個(gè)時(shí)間尺度.對(duì)于該系統(tǒng),它的勢(shì)能函數(shù)為

2.2 相同勢(shì)阱下不同振幅的影響

取c=0.05,ω2=1,a1=0.778,θ=0.05,?=0.01,λ=1,g=1.首先考慮系統(tǒng)在平衡點(diǎn) (0,0,0) 處的情況.

隨著 γ 的改變,當(dāng)f滿足一定條件,例如f=0.5時(shí),式(3)的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)會(huì)在三個(gè)和一個(gè)之間變化.此時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)出靜息態(tài)和激發(fā)態(tài)之間的躍遷.系統(tǒng)在短時(shí)間內(nèi)可以達(dá)到很大的能量,如圖7 所示.

圖7 當(dāng) ?=0.01,f=0.5 時(shí)系統(tǒng)發(fā)生簇發(fā)振蕩時(shí)的轉(zhuǎn)換相圖Fig.7 Transformed phase diagram of bursting oscillation when?=0.01,f=0.5

同時(shí)這很好地展示了雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象,系統(tǒng)的上分支與下分支實(shí)線部分分別是兩個(gè)穩(wěn)態(tài),對(duì)應(yīng)于圖6中向下的兩個(gè)阱,而虛線部分對(duì)應(yīng)于圖6 中的狹窄高地.當(dāng) γ 經(jīng)過(guò)兩個(gè)分岔點(diǎn)之間時(shí),系統(tǒng)處于雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象,而一旦越過(guò)分岔點(diǎn),就會(huì)發(fā)生跳變,從一種狀態(tài)躍遷到另一種狀態(tài).

從轉(zhuǎn)換相圖上來(lái)看,系統(tǒng)一個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)先后經(jīng)過(guò)了兩次尖峰振蕩.尖峰振蕩在開始時(shí)表現(xiàn)出巨大的能量,然后慢慢減弱直至進(jìn)入靜息態(tài),接著進(jìn)入負(fù)半周期,在負(fù)半周期里也發(fā)生了類似的過(guò)程.事實(shí)上,系統(tǒng)大幅振蕩的原因是因?yàn)榕龅搅朔植睃c(diǎn).開始時(shí)系統(tǒng)在上分支沿著左側(cè)移動(dòng),到達(dá)FB1后,突然從上分支跳躍到下分支,并進(jìn)入尖峰振蕩,隨著系統(tǒng)繼續(xù)左移,尖峰振蕩減弱,在到達(dá)?0.5 后,系統(tǒng)開始向右運(yùn)動(dòng),直至進(jìn)入弛豫振蕩,一直到系統(tǒng)再次碰到分岔點(diǎn)FB2,系統(tǒng)從下分支跳躍到上分支,重新進(jìn)入尖峰振蕩,類似上半周期,這樣就完成了一整個(gè)周期的運(yùn)動(dòng).

但是,若f=0.4,系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)簇發(fā)振蕩現(xiàn)象,而只是簡(jiǎn)單的作周期運(yùn)動(dòng).如圖8.

圖8 當(dāng) ?=0.01,f=0.4,系統(tǒng)發(fā)生周期振蕩時(shí)的相圖,紅點(diǎn)表示Poincaré映射點(diǎn)Fig.8 Phase diagram of periodic oscillation when ?=0.01,f=0.4,red dot represents Poincaré point

將兩者進(jìn)行對(duì)比,可以看到系統(tǒng)周期振蕩時(shí)極限環(huán)非常小,縱坐標(biāo)大約在 ±0.01 內(nèi).這也就暗示著系統(tǒng)在f=0.4下產(chǎn)生的能量遠(yuǎn)小于f=0.5.可以理解為: 當(dāng)f=0.4 時(shí),系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)上下分支之間的跳躍,只能局限在上分支或者下分支上,此時(shí)它只能在單個(gè)勢(shì)阱中做低能阱內(nèi)運(yùn)動(dòng).而f=0.5 卻使得它實(shí)現(xiàn)了上下分支之間的躍遷,此時(shí)它獲得了高能阱間振蕩軌道.圖9 可以很好地表示系統(tǒng)在不同振幅下的軌道分布.

圖9 不同振幅下系統(tǒng)的軌道分布,黑色表示勢(shì)能函數(shù),藍(lán)色圓圈表示 f=0.4,紅點(diǎn)表示 f=0.5Fig.9 The orbit distribution of the system under different amplitudes.Black represents potential energy function,blue circle represents f=0.4 and red point represents f=0.5

下面探究繼續(xù)增大f,是否會(huì)獲得更高的能量.圖10 給出了不同f下輸出電壓的時(shí)間歷程圖.

圖10 當(dāng) ?=0.01 時(shí)不同振幅下俘能器輸出電壓的時(shí)間歷程圖Fig.10 Time history diagram of output voltage of energy harvester under different amplitude with ?=0.01

在圖10(a)f=0.5 時(shí)輸出電壓大約在 ± 1 間,而低能軌道上的輸出電壓近乎為一條直線,圖10(b)是局部放大圖,雖然也有振蕩,但是此時(shí)振蕩的振幅非常小,大約在 ± 0.02 上下,能量收集效率低下.而圖10(c)給出了當(dāng)f=1 時(shí)系統(tǒng)的輸出電壓,與圖10(a)進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)兩者輸出電壓的時(shí)間歷程圖非常相似,最高輸出電壓也近乎一樣,接近于1.這就說(shuō)明了增大系統(tǒng)的振幅并不能收集到更高的能量.事實(shí)上,在這種情況下,系統(tǒng)處于同一條高能軌道,對(duì)于同一條高能軌道而言,輸出電壓的上限也大致相同,振幅的改變能夠使得系統(tǒng)獲得這個(gè)高能軌道,而不能改變輸出電壓的上限.

2.3 勢(shì)阱深淺對(duì)輸出電壓的影響

再分析勢(shì)阱的深淺是否會(huì)對(duì)能量收集產(chǎn)生影響.選擇第二組數(shù)據(jù)a1=1.667,ω2=1 以及第三組數(shù)據(jù)a1=0.778,ω2=1.4,其他參數(shù)保持不變.與第一組數(shù)據(jù)相比,分別改變了 ω2和a1,改變這兩者都可以實(shí)現(xiàn)勢(shì)阱深度的變化(圖11).

圖11 不同勢(shì)阱對(duì)比圖.紅色表示 a1=1.667,ω2=1,藍(lán)色表示a1=0.778,ω2=1,黑色表示 a1=0.778,ω2=1.4Fig.11 Contrast diagram of different potential wells.Red represents a1=1.667,ω2=1,blue represents a1=0.778,ω2=1 and black represents a1=0.778,ω2=1.4

選擇f=1,選擇較大的振幅是為了確保這三組情況下的系統(tǒng)都能產(chǎn)生簇發(fā)振蕩.對(duì)比v(t) 的時(shí)間歷程圖,可以發(fā)現(xiàn)較深的勢(shì)阱確實(shí)會(huì)影響輸出電壓,見圖12.

圖12 當(dāng) f=1 時(shí)不同勢(shì)阱下俘能器輸出電壓的時(shí)間歷程圖Fig.12 Time history diagram of output voltage of energy harvester under different potential wells with f=1

將圖12 與圖10(a)進(jìn)行比較,注意兩者坐標(biāo)軸的不同.圖12 的縱坐標(biāo)都在 ± 1.5 間,而圖10(a)的坐標(biāo)在 ± 1 間.且圖12(a)對(duì)應(yīng)紅色勢(shì)阱,勢(shì)阱深度最小,它的輸出電壓的最高值接近0.7;圖10(a)對(duì)應(yīng)藍(lán)色勢(shì)阱,它的輸出電壓最高接近1;而圖12(b)對(duì)應(yīng)黑色勢(shì)阱,此時(shí)勢(shì)阱深度最大,它的輸出電壓最高可達(dá)1.2.可以看出勢(shì)阱越深,能夠達(dá)到的最高輸出電壓就會(huì)越大,但同時(shí),隨著勢(shì)阱加深,系統(tǒng)所需要的外激勵(lì)振幅也要相應(yīng)地增大才可以獲得阱間高能軌道.對(duì)于紅色勢(shì)阱來(lái)說(shuō),它的勢(shì)阱最淺,因此只需在振幅達(dá)到f=0.3 就可以獲得高能軌道;對(duì)于藍(lán)色勢(shì)阱來(lái)說(shuō),它要在振幅達(dá)到f=0.44 時(shí)才可以獲得高能軌道;而黑色勢(shì)阱由于其勢(shì)阱的深度,它的振幅至少要達(dá)到f=0.73 才可以獲得高能軌道.

由此看來(lái),在某些低頻環(huán)境里若振幅普遍較大,那么可以通過(guò)設(shè)計(jì)含有深勢(shì)阱的壓電俘能器來(lái)獲得更高的能量,但是若在某些環(huán)境中,振幅普遍較小,設(shè)計(jì)含有淺勢(shì)阱的雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器是一種非常好的選擇,它可以通過(guò)簇發(fā)振蕩直接實(shí)現(xiàn)輸出電壓量級(jí)上的提升且對(duì)振幅要求很低.

2.4 俘能效果分析

俘能效果受到磁鐵間距、懸臂梁的結(jié)構(gòu)阻尼比以及負(fù)載電阻等的影響.在懸臂梁結(jié)構(gòu)參數(shù)、磁鐵物理參數(shù)等確定的情況下,ω2,a1的影響磁鐵距已在2.3 中進(jìn)行了分析.這一部分主要探究懸臂梁的結(jié)構(gòu)阻尼,負(fù)載電阻對(duì)俘能效果的影響.為了更好地對(duì)俘能效果進(jìn)行評(píng)價(jià),選擇一段時(shí)間內(nèi)的平均功率作為衡量指標(biāo).

2.4.1 等效阻尼比對(duì)俘能效果的影響

懸臂梁等效阻尼比c的大小主要與懸臂梁的材料和固定端夾持條件有關(guān).若懸臂梁的材料阻尼系數(shù)比較大,或者夾持段預(yù)緊力太大,會(huì)限制懸臂梁實(shí)現(xiàn)阱間大幅振蕩;若懸臂梁的材料阻尼系數(shù)或夾持段預(yù)緊力太小,懸臂梁在高頻或者高激勵(lì)下振動(dòng)容易失穩(wěn)損壞.

保持 ?=0.01,ω2=1,a1=0.778,θ=0.05,f=0.5,λ=1,g=1 不變,分別選擇c=0.01,0.05,0.3 進(jìn)行對(duì)比.c=0.01,0.3 輸出電壓的時(shí)間歷程圖為圖13.

將圖13 與圖10(a)進(jìn)行比較,縱坐標(biāo)都為 ± 1,可以看到阻尼比越小,系統(tǒng)的輸出電壓越密集,隨著阻尼比的增大,盡管系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩行為還在,但其激發(fā)態(tài)的時(shí)間明顯縮短,而靜息態(tài)的時(shí)間越來(lái)越長(zhǎng),而希望的能量收集大多集中在激發(fā)態(tài),因此這并不利于收集能量.當(dāng)c=0.3 時(shí),系統(tǒng)大部分時(shí)間都處于靜息態(tài),此時(shí)的能量收集效率是非常低的.

圖13 當(dāng) ?=0.01,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f=0.5,λ=1,g=1時(shí)不同阻尼比下俘能器輸出電壓的時(shí)間歷程圖Fig.13 Time history diagram of output voltage of energy harvester under different damping ratio with ?=0.01,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f=0.5,λ=1,g=1

從圖14 中也可以看出,隨著阻尼比的變化,俘能器的輸出電壓逐漸降低,并且開始時(shí)輸出電壓的下降速度最快,而后慢慢趨于平穩(wěn).在阻尼比較大時(shí),俘能器的輸出電壓低于0.02.比較三者阻尼比之間的輸出電壓關(guān)系,可以得到當(dāng)c=0.01 時(shí),系統(tǒng)輸出電壓接近0.134 9;當(dāng)c=0.05 時(shí),系統(tǒng)的輸出電壓接近0.056 3;當(dāng)c=0.3 時(shí),系統(tǒng)的輸出電壓只有0.011 4,此時(shí)的輸出功率接近于0.由此可以發(fā)現(xiàn)在c∈(0,0.05)時(shí),俘能器的能量收集效率較為理想.隨著阻尼的增大,系統(tǒng)收集效率越來(lái)越低.同樣地,輸出功率與阻尼的關(guān)系也會(huì)表現(xiàn)出類似的變化規(guī)律.

圖14 當(dāng) ?=0.01,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f=0.5,λ=1,g=1時(shí)不同阻尼比下俘能器輸出電壓均方根變化圖Fig.14 When ?=0.01,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f=0.5,λ=1,g=1,the output voltage diagram.of energy harvester with different damping ratio

2.4.2 負(fù)載電阻對(duì)俘能效果的影響

在C p不變的情況下,若Rl逐漸增大,會(huì)導(dǎo)致 λ 減小,對(duì)于式(3)這個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō),λ 的減小會(huì)使得輸出電壓增大,而輸出功率又受到輸出電壓與負(fù)載電阻的共同影響.下面給出輸出功率隨負(fù)載電阻的變化圖(圖15).

圖15 當(dāng) ?=0.01,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f=0.5,g=1 時(shí)俘能器的輸出功率隨負(fù)載電阻變化圖Fig.15 When ?=0.01,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f=0.5,g=1,the output power diagram.of energy harvester with different load resistance

當(dāng)c=0.01,0.05 時(shí),隨著負(fù)載電阻Rl的不斷增大,俘能器的輸出功率均呈現(xiàn)出先上升后下降的特點(diǎn).并且,當(dāng)c=0.01 時(shí)系統(tǒng)輸出功率是波動(dòng)下降的.從圖15 中可以看到,當(dāng)c=0.01 時(shí),系統(tǒng)的輸出功率最高能達(dá)到約0.018,而當(dāng)c=0.05 時(shí),系統(tǒng)的輸出功率最高不超過(guò)0.004.這驗(yàn)證了之前的猜測(cè).

同時(shí),為了使系統(tǒng)的輸出功率達(dá)到最大,還需要匹配最優(yōu)電阻,此時(shí)最優(yōu)電阻應(yīng)該在1000～ 2000之間.

3 多頻激勵(lì)下雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器的簇發(fā)振蕩

實(shí)際環(huán)境中往往會(huì)出現(xiàn)多個(gè)振動(dòng)源的情況.這些振動(dòng)源可能有著不一樣的頻率,此時(shí)系統(tǒng)受到多頻激勵(lì)的作用,如果它們的頻率比接近整數(shù)倍而振幅又滿足一定的關(guān)系時(shí),會(huì)出現(xiàn)多條高能軌道.文章中考慮的振動(dòng)是相互獨(dú)立的.

3.1 動(dòng)力學(xué)分析

假設(shè)兩種頻率的比例接近2.系統(tǒng)可將兩個(gè)慢變量轉(zhuǎn)化為只包含一個(gè)慢變量.

重新將 γ 記作 γ=cos(?t).取 ?=0.01,ω2=1,a1=0.778,θ=0.05,f1=0.2,λ=1,g=1,c=0.05,分 別取f2=0.4,0.6,0.7.此時(shí)輸出電壓的時(shí)間歷程圖如下.

紅色方框表示的是一個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng),可以看到當(dāng)f2=0.4 時(shí),系統(tǒng)的輸出電壓在?0.004～0.004間近乎為0.而圖16(b,c)縱坐標(biāo)都在?1～1 之間.當(dāng)f2=0.6時(shí),系統(tǒng)只進(jìn)行了一次簇發(fā)振蕩,簇發(fā)振蕩后面緊跟著的是普通周期振蕩,由于振幅極小,看上去像是一條直線.不一樣的是當(dāng)f2=0.7 時(shí),系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩驟然增多,紅色方框內(nèi)的運(yùn)動(dòng)實(shí)際包含了兩次簇發(fā)振蕩,盡管這兩次簇發(fā)振蕩看上去很接近,但是左側(cè)的兩支連接的略微緊密,而右側(cè)的兩支進(jìn)入靜息態(tài)的時(shí)間似乎更長(zhǎng).

圖16 當(dāng) ?=0.01,c=0.05,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f1=0.2,λ=1,g=1 時(shí),不同 f2 下俘能器輸出電壓的時(shí)間歷程圖Fig.16 When ?=0.01,c=0.05,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f1=0.2,λ=1,g=1,time history diagram of output voltage of energy harvester under different f2

圖17 中給出了分岔圖以及它的運(yùn)動(dòng)軌線,藍(lán)色實(shí)線表示穩(wěn)定,黑色虛線表示不穩(wěn)定,并且此時(shí)分岔圖中存在四個(gè)分岔點(diǎn)F B1,F B2,F B3,F B4.假設(shè)系統(tǒng)在右上分支運(yùn)動(dòng),它沿著分岔曲線向左移動(dòng),在遇到F B3后,突然從上分支跳躍到下分支,并開始大幅振蕩.系統(tǒng)沿著下分支逐漸左移,振蕩開始減弱,接著進(jìn)入弛豫振蕩狀態(tài),直到到達(dá)分岔點(diǎn)F B2,它突然從下分支跳躍到上分支,又一次開始大幅振蕩,繼續(xù)向左移動(dòng),直到?1 后反向向右移動(dòng),遇到F B1又重新進(jìn)入大幅振蕩,繼續(xù)向右移動(dòng),振蕩減弱,再遇到了FB4才會(huì)進(jìn)入大幅振蕩.此時(shí)這四次跳躍構(gòu)成了一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng).

圖17 當(dāng) ?=0.01,c=0.05,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f1=0.2,f2=0.7,λ=1,g=1 時(shí)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換相圖,藍(lán)色實(shí)線表示穩(wěn)定,虛線表示不穩(wěn)定Fig.17 When ?=0.01,c=0.05,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f1=0.2,f2=0.7,λ=1,g=1,transformed phase diagram of system,blue solid line represents stability,dotted line represents instability

顯然,此時(shí)系統(tǒng)通過(guò)雙外激勵(lì)能夠獲得兩條高能軌道.通過(guò)對(duì)外激勵(lì)振幅的控制,可以實(shí)現(xiàn)低能阱內(nèi)振蕩、低能阱內(nèi)振蕩與高能阱間振蕩的組合,兩條高能阱間振蕩的組合等.

可以看到在f2=0.6 時(shí),系統(tǒng)獲得了一條高能軌道,一條低能軌道.通過(guò)外激勵(lì)的作用,系統(tǒng)會(huì)依次經(jīng)過(guò)高低能軌道.因此在圖18(b)的一個(gè)周期中,劇烈振蕩表示的就是高能軌道,而后半周期微小的振蕩(由于振蕩非常微小所以被壓縮成一條直線)表示的則是低能軌道.當(dāng)f2=0.7,得到了兩條高能軌道,區(qū)分這兩條高能軌道并不容易,那是因?yàn)楦吣苘壍酪话阍谧罡唿c(diǎn)處才表現(xiàn)差異,只有系統(tǒng)在兩次簇發(fā)振蕩中能夠達(dá)到的最高點(diǎn)有明顯的差異,才容易觀察到不同的高能軌道.而現(xiàn)在,系統(tǒng)的兩次振蕩形狀過(guò)于接近,特別是在最高點(diǎn)時(shí),也只有毫厘差距,顯示出的高能軌道也非常接近.

圖18 當(dāng) ?=0.01,c=0.05,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f1=0.2 時(shí)系統(tǒng)的軌道分布Fig.18 When ?=0.01,c=0.05,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f1=0.2,the orbit distribution of system

3.2 俘能效果分析

這一節(jié)來(lái)研究多條高能軌道對(duì)俘能效果的影響.圖19 為雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器輸出功率隨負(fù)載電阻的變化圖.為了說(shuō)明高能軌道在收集能量方面的高效率性,分別考慮三種情況,f2=0.4,0.6,0.7.

圖19 當(dāng) ?=0.01,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f1=0.2,f2=0.4,0.6,0.7時(shí)輸出功率隨等效負(fù)載的變化圖Fig.19 When ?=0.01,ω 2=1,a1=0.778,θ=0.05,f1=0.2,f2=0.4,0.6,0.7,the output power diagram of energy harvester with different load resistance

與單個(gè)激勵(lì)項(xiàng)的壓電俘能器進(jìn)行比較,可以得到大致的趨勢(shì)是類似的.圖19 從橫向來(lái)看,隨著負(fù)載電阻的增大,系統(tǒng)的輸出功率先增大后減小.此時(shí)可以匹配較優(yōu)的負(fù)載電阻,大約是1000～3000.縱向來(lái)看,當(dāng)f2=0.7 時(shí),系統(tǒng)得到兩條高能軌道,此時(shí)最高輸出功率接近0.012,遠(yuǎn)高于f2=0.6 時(shí)系統(tǒng)的最高輸出功率(不超過(guò)0.004).而沒有高能軌道的f2=0.4的最高輸出功率已經(jīng)接近于0,此時(shí)系統(tǒng)的俘能效果最差.

4 結(jié)論

本文旨在從理論上說(shuō)明雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器在高頻激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)行為和低頻激勵(lì)下的簇發(fā)振蕩.主要得到以下結(jié)論.

(1) 在高頻激勵(lì)下,雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器隨振幅的變化表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,包括阱內(nèi)周期運(yùn)動(dòng)、阱間混沌運(yùn)動(dòng)等.

(2) 在低頻單激勵(lì)下,通過(guò)分析相同勢(shì)阱下不同振幅的影響,發(fā)現(xiàn)簇發(fā)振蕩發(fā)生在高能軌道上而單阱周期運(yùn)動(dòng)只做簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng).并且振幅的大小只能導(dǎo)致簇發(fā)振蕩的發(fā)生而不能改變它的強(qiáng)度,簇發(fā)振蕩的強(qiáng)度受到勢(shì)阱深度的影響.接著討論了等效阻尼、輸出電阻都會(huì)對(duì)輸出電壓產(chǎn)生影響.

(3) 在低頻多激勵(lì)下,通過(guò)分析系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩,發(fā)現(xiàn)不同的振幅會(huì)使得系統(tǒng)獲得不同的振蕩,其中兩個(gè)高能簇發(fā)振蕩輸出的電壓最大,其次是高能簇發(fā)振蕩與低能周期振蕩的組合,輸出電壓最低的是兩個(gè)低能周期振蕩.