鄧大勇, 唐雨朋, 杜巧連

(1.浙江師范大學(xué) 行知學(xué)院,浙江 蘭溪 321100;2.浙江師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

粒計(jì)算理論[1-2]自被提出二十多年以來(lái)，取得了豐碩的研究成果，它已經(jīng)成為人工智能的重要研究方向．在粒計(jì)算基本的組成理論中，粗糙集理論[3-4]是其基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)．近四十年的粗糙集理論研究和發(fā)展中，產(chǎn)生了可變精度粗糙集[5-6]、鄰域粗糙集[7-9]、覆蓋粗糙集[10-11]、三支決策[12-14]、F-粗糙集[15-17]等眾多粗糙集模型，這些粗糙集模型大部分從關(guān)系角度對(duì)粗糙集進(jìn)行擴(kuò)展.例如：鄰域粗糙集用鄰域關(guān)系代替等價(jià)關(guān)系，覆蓋粗糙集用一般關(guān)系代替等價(jià)關(guān)系等；三支決策的關(guān)注點(diǎn)從經(jīng)典粗糙集模型重點(diǎn)考慮的正區(qū)域擴(kuò)大為正區(qū)域、負(fù)區(qū)域和邊界區(qū)域，并給出了它們新的語(yǔ)義解釋；F-粗糙集把粗糙集模型動(dòng)態(tài)化，以方便處理動(dòng)態(tài)變化的數(shù)據(jù)和大數(shù)據(jù)．

但是粒計(jì)算本身是一個(gè)直觀的概念，缺乏嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，很多粒計(jì)算的基本問(wèn)題沒有得到解決，比如：什么是信息粒？各種粗糙集模型是否可以統(tǒng)一？

針對(duì)這些問(wèn)題，從傳統(tǒng)集合論和離散數(shù)學(xué)出發(fā)，探索信息粒的基本含義，在信息系統(tǒng)中定義了信息?；妥钚⌒畔⒘；雀拍睿岢隽死硐胄畔⑾到y(tǒng)假設(shè)，探討了信息?；谋硎灸芰八鼈冎g的關(guān)系．初步回答了“什么是信息粒？”“各種粗糙集模型是否可以統(tǒng)一？”等問(wèn)題．本研究結(jié)果為粒計(jì)算的進(jìn)一步發(fā)展奠定了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

1 相關(guān)基本概念

假設(shè)讀者對(duì)離散數(shù)學(xué)知識(shí)和粗糙集知識(shí)比較熟悉，下面僅簡(jiǎn)單介紹粗糙集[3-4]的基本知識(shí)．

設(shè)IS=(U,A)是一個(gè)信息系統(tǒng)，U為論域，A為屬性或關(guān)系,X?U是一個(gè)概念，記

定義1[3-4]設(shè)DS=(U,A,d)是一個(gè)決策系統(tǒng)，U為論域,A為屬性或關(guān)系，d為決策屬性，稱B?A為屬性約簡(jiǎn)當(dāng)且僅當(dāng)它滿足以下條件：

1)POS(U,B,d)=POS(U,A,d)；

2)對(duì)于任意的S?B，都有

POS(U,S,d)≠POS(U,A,d)．

2 信息粒和理想信息系統(tǒng)

下面探討信息粒定義，提出理想信息系統(tǒng)假設(shè)．

定義2信息粒是某種關(guān)系下對(duì)論域的分類或聚類．

在論域U下，U的任何子集都是一個(gè)信息粒,即信息粒的本質(zhì)是論域中個(gè)體的集合．但信息粒與集合有一定的區(qū)別，集合強(qiáng)調(diào)個(gè)體元素的組成，而信息粒強(qiáng)調(diào)集合中個(gè)體所包含的共同信息．此外，信息粒具有一定的動(dòng)態(tài)性和不確定性．例如，集合{1,-1}和集合{x:x2-1=0∧x∈R}從集合論的角度來(lái)看完全相等,但是從信息粒的角度來(lái)看就有些不同，前者僅僅表示2個(gè)數(shù)組成了一個(gè)集合；后者帶有更豐富的信息，表示一元二次方程的2個(gè)根組成一個(gè)集合．2個(gè)集合所包含的信息并不相等，也就是說(shuō)，從信息粒的角度看，集合{1,-1}和集合{x:x2-1=0∧x∈R}并不完全相等．所以，所謂信息粒就是帶有特定信息的集合，換句話說(shuō)，信息粒=集合+信息．如果忽略信息或者不特別考慮信息，那么信息粒就是集合．

?和U是平凡信息粒．空集?是一個(gè)特殊的信息粒，它是不包含任何個(gè)體的信息粒.U是包含所有個(gè)體的信息粒，它包含U中全體個(gè)體的特質(zhì)信息.

概念是與信息粒的意義最接近的一個(gè)詞.每一個(gè)概念都是一個(gè)信息粒，粒計(jì)算的研究者往往把概念和信息粒混用，但信息粒與概念有一定的區(qū)別.主要區(qū)別在于：信息粒比概念意義更廣，信息粒不一定能夠明確表示，更不一定具有標(biāo)簽.例如，“好人”這個(gè)詞,人們往往把它看成一個(gè)概念，但是它具有太強(qiáng)的不確定性，沒有明顯的外延和內(nèi)涵，具有很強(qiáng)的動(dòng)態(tài)性和不穩(wěn)定性.如果把它當(dāng)成一個(gè)信息粒，理解起來(lái)更容易些.不同的人、不同的時(shí)間、不同的空間，甚至同一個(gè)人在不同的條件下，“好人”這個(gè)詞表示的意義都有可能不同，它的內(nèi)涵和外延都有可能發(fā)生變化.

所有表示集合的方法都可以用來(lái)表示信息粒，包括：枚舉法、謂詞法、文氏圖等.

理想信息系統(tǒng)假設(shè)：設(shè)U為論域，則關(guān)于論域U的理想信息系統(tǒng)為IS=P(U)(U的冪集)．

理想信息系統(tǒng)IS=P(U)中的每個(gè)元素都是一個(gè)信息粒，P(U)包含關(guān)于論域U的所有的信息粒，這是一種理想的情況.實(shí)際的信息系統(tǒng)往往僅包括P(U)的部分元素．

容易得到下列關(guān)于理想信息系統(tǒng)的結(jié)論：

命題1理想信息系統(tǒng)IS=P(U)關(guān)于∪運(yùn)算構(gòu)成幺半群．

命題2理想信息系統(tǒng)IS=P(U)關(guān)于∩運(yùn)算構(gòu)成幺半群．

命題3理想信息系統(tǒng)IS=P(U)中信息粒的個(gè)數(shù)為2|U|，其中|U|表示U的勢(shì)．

命題4〈P(U),∪,∩,,?,U〉是一個(gè)布爾代數(shù)，其中偏序關(guān)系為?，為補(bǔ)集運(yùn)算．

3 信息粒之間的關(guān)系及相互表示

文獻(xiàn)[18]從鄰域角度定義了信息粒向量，粗糙集[3-4]從等價(jià)關(guān)系角度定義了粗糙集意義下的基本知識(shí).本節(jié)將從更廣泛意義上定義信息粒向量、信息粒基，并探討它們的性質(zhì)．

定義3設(shè)X1,X2∈P(U)是2個(gè)信息粒，若X1?X2，則稱X1是X2的細(xì)化，X2是X1的粗化．

∩運(yùn)算是信息粒細(xì)化操作符，∪運(yùn)算是一種信息粒粗化操作符．當(dāng)2個(gè)信息粒X1=X2時(shí)，可以看成信息粒特殊的細(xì)化或粗化．

定義4稱〈X1,X2,…,Xk〉為信息粒向量，其中Xi∈P(U)(i=1,2,…,k)．當(dāng)不考慮信息粒的順序時(shí)，信息粒向量〈X1,X2,…,Xk〉可用標(biāo)量形式表示，即E={X1,X2,…,Xk}．

對(duì)信息粒向量E1,E2，若任意X∈E1都存在X′∈E2，使得X?X′，且對(duì)于任意X′∈E2，存在X∈E1，使得X?X′，則稱E1是E2的細(xì)化，E2是E1的粗化．

定義5設(shè)E?P(U)是一個(gè)信息粒向量，X∈P(U)是一個(gè)信息粒，X被E表示分為2種情況：確定性表示和不確定性表示．

1)確定性表示：存在N?E，使得X=∪N．

2)不確定性表示：X關(guān)于E的上、下近似是不確定性表示，即

一般情況下表示的信息粒向量E相對(duì)于被表示的信息粒X∈P(U)來(lái)說(shuō)比較細(xì)，所以人們習(xí)慣于用∪運(yùn)算定義信息粒之間的表示關(guān)系．根據(jù)需要∩運(yùn)算也可用于定義信息粒之間的表示關(guān)系．∪運(yùn)算或∩運(yùn)算在表示信息粒之間的關(guān)系時(shí)不需要額外的信息．例如, 在一個(gè)決策系統(tǒng)中，用條件屬性的信息粒表示決策屬性的信息粒，前者往往比后者更細(xì)，而且條件屬性的信息粒之間往往通過(guò)∩運(yùn)算進(jìn)行細(xì)化.在表示決策屬性信息粒時(shí)，無(wú)論是確定性表示還是不確定性表示都是通過(guò)∪運(yùn)算實(shí)現(xiàn)的．

定義6設(shè)E?P(U)是一個(gè)信息粒向量，若E中任何信息粒都不能由信息粒向量E中其他信息粒表示，則稱信息粒向量E內(nèi)部獨(dú)立．

注1信息粒內(nèi)部表示都是∪運(yùn)算下的確定性表示．

定義7稱能夠被信息粒向量E表示的信息粒的個(gè)數(shù)為信息粒向量的信息表示量．稱信息粒向量的表示量與所有理想信息系統(tǒng)信息粒的量之比為信息粒向量的表示率．

信息粒向量的表示量和信息粒向量的表示率都能表示信息粒向量的表示能力．信息系統(tǒng)IS中信息粒的個(gè)數(shù)是信息系統(tǒng)中包含的信息量的一種表示．信息系統(tǒng)IS中包含的信息粒越多，它所包含的信息量就越大．信息系統(tǒng)IS的信息量第2種表示方法是信息粒向量的表示率，即IS中信息粒的個(gè)數(shù)與理想信息系統(tǒng)中信息粒的個(gè)數(shù)之比，

其中，|G(IS)|表示信息系統(tǒng)IS包含信息粒的個(gè)數(shù).用γINF(IS)表示信息系統(tǒng)IS的信息量可以方便地比較不同論域信息系統(tǒng)中的信息量.

例1如表1所示，若

G(IS)={?,{x1,x2},{x3,x4},{x1,x2,x3}，{x3},{x4},{x1,x2,x4},U},

表1 信息系統(tǒng)IS

信息粒向量的表示量表示了信息粒向量表示的信息粒的多少，意義直觀，但不方便比較不同系統(tǒng)中的信息粒向量的表示能力，信息粒向量的表示率剛好彌補(bǔ)了這個(gè)缺陷.

定義8在論域U中，稱滿足以下2個(gè)條件的信息粒向量E為信息?；?/p>

1)E內(nèi)部獨(dú)立；

2)∪E=U．

定義9當(dāng)信息?；鶟M足“任何2個(gè)信息粒要么相等，要么相交為空”時(shí)，就稱其為信息粒劃分基．稱最細(xì)的信息粒劃分基為最小信息粒基.

信息粒劃分基對(duì)應(yīng)著一個(gè)等價(jià)關(guān)系，而信息粒基對(duì)應(yīng)任意關(guān)系，所以信息粒劃分基是一種特殊的信息?；?

定理1任何信息?；ㄟ^(guò)∩運(yùn)算和運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為信息粒劃分基，也可轉(zhuǎn)化為最小信息?；?

證明結(jié)果顯然成立.證略.

例2如表1所示，設(shè)

={{x3,x4},{x1,x2,x3},{x1,x2,x4}}

′={{x1,x2},{x3},{x4}}.

定理1表明，在論域U上通過(guò)任意關(guān)系形成的信息?；伎梢酝ㄟ^(guò)∩運(yùn)算和運(yùn)算轉(zhuǎn)化為等價(jià)關(guān)系形成的最小信息?；?，鄰域粗糙集中鄰域關(guān)系形成的信息粒基和優(yōu)勢(shì)粗糙集中優(yōu)勢(shì)關(guān)系形成的信息?；伎梢赞D(zhuǎn)化為基于等價(jià)關(guān)系的最小信息粒基．由此，可得下面結(jié)論：

推論1任何粗糙集模型都可以轉(zhuǎn)化為Pawlak粗糙集模型．

Pawlak粗糙集模型是粗糙集的起源，是所有粗糙集模型的出發(fā)點(diǎn)，根據(jù)這個(gè)推論，其他粗糙集模型都可以回歸到這個(gè)出發(fā)點(diǎn)．

定義10信息粒基的信息粒表示能力等于相應(yīng)的最小信息?；谋硎灸芰Γ?/p>

命題5在論域?yàn)閁的信息系統(tǒng)IS中，設(shè)為最小信息?；?，則可以表示的信息粒個(gè)數(shù)等于2，信息表示率為

推論2信息?；郊?xì)，則其表示能力越強(qiáng).

例如，基因可以準(zhǔn)確區(qū)分每一個(gè)個(gè)體，它比指紋、足印等能更好地表示和區(qū)分人，也能更好地區(qū)分人類群體.

4 結(jié)論及進(jìn)一步研究

本研究定義了信息粒、信息粒向量、信息粒基等概念，提出了理想信息系統(tǒng)假設(shè)，給出了一種信息系統(tǒng)信息表示能力的計(jì)算方法，探討了信息粒向量之間的相互表示，得出了“任何粗糙集模型都可以轉(zhuǎn)化為Pawlak粗糙集”等有趣結(jié)論.

接下來(lái)可進(jìn)一步對(duì)本研究方法和結(jié)論展開深入的理論及應(yīng)用研究,比如：用粗糙集模型優(yōu)化計(jì)算，用信息粒向量的表示率進(jìn)行概念漂移探測(cè)等.