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含參一元一次不等式(組)問題求解策略

2022-12-27 16:40:20山東省廣饒縣英才中學(xué)徐樹光
中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年22期
關(guān)鍵詞:端點(diǎn)口訣整數(shù)

?山東省廣饒縣英才中學(xué) 徐樹光

1 引言

若一個不等式中除了含有未知數(shù)以外,還含有其他字母,則稱這個不等式為含參數(shù)的不等式.一般解題策略是先把不等式化為一邊是未知數(shù),另一邊是數(shù)字或含參數(shù)的表達(dá)式,再根據(jù)題目的其他條件對表達(dá)式的正負(fù)情況討論解答.下面以2020年中考題為例探求含參一元一次不等式(組)問題的求解策略[1].

2 直接使用口訣

由兩個一元一次不等式構(gòu)成的不等式組,共有四種情況.已知a

利用這個口訣,有時可以快速解題.

因此應(yīng)填:a≥1.

點(diǎn)評:用口訣解“不等式組有解或無解”問題比較方便,但需要注意解集中等號的取舍,這對初學(xué)不等式的學(xué)生是一個難點(diǎn).對此類問題還可以作以下變式:

3 分類討論

由于參數(shù)的存在,各不等式解集端點(diǎn)的值大小關(guān)系待定,用分類討論作答,可看出不同情況下的解集,符合題意的范圍即為要求的答案.

當(dāng)a=2時,原不等式組的解集是x>1;

當(dāng)a<2時,原不等式組的解集是x>1.

所以a的取值范圍是a≤2.

點(diǎn)評:分類討論將所求問題細(xì)化,多次使用口訣解答,找到滿足題意的參數(shù)的范圍;同時,也排除了不合題意的參數(shù)范圍.

4 數(shù)形結(jié)合

不等式中的參數(shù)問題本質(zhì)是在運(yùn)動與變化中尋找滿足題意的范圍,有時臨界點(diǎn)較多,利用數(shù)形結(jié)合可以使問題直觀形象,降低思維難度,尤其對等號的取舍有重要的支撐作用.

例3(2020年天水改編)若關(guān)于x的不等式3x+a<2的最大整數(shù)解為2,則a的取值范圍是.

圖1 圖2 圖3

因此,a的取值范圍是-7≤a<-4.

點(diǎn)評:數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的有力工具,利用數(shù)軸將不等式的解集直觀表示出來,可以快速準(zhǔn)確地建立含參不等式,對難于抉擇的端點(diǎn)也可一目了然.

5 補(bǔ)集思想

當(dāng)一個問題有多種可能性,或不易直接解答,可從問題的反面分析研究,即利用補(bǔ)集思想解決.

A.m>-1 B.m≥-1

C.m≤-1 D.m<-1

解析:解不等式組,得x>1,且x≤-m.考慮從反面出發(fā),求原不等式組無解時,a的取值范圍.由前面的口訣,知-m≤1,即m≥-1時,原不等式組無解,即不等式有解的范圍是m<-1.故選:D.

點(diǎn)評:正難則反是一種重要的思維方式,巧妙運(yùn)用這個策略,適當(dāng)轉(zhuǎn)變思路,嘗試逆向思維對題目進(jìn)行分析,能夠降低思維難度,減少運(yùn)算量.

6 端點(diǎn)驗(yàn)證

不等式中有關(guān)取值范圍的問題,對端點(diǎn)的取舍容易出錯,因此對于一些選擇題,只需把端點(diǎn)處理好,采取端點(diǎn)驗(yàn)證法,可以減少運(yùn)算量.

A.0≤a≤2 B.0≤a<2

C.0

解:從選項(xiàng)中發(fā)現(xiàn),解決本題的關(guān)鍵在于0和2是否可取.

由3x-5≥1,得x≥2.

當(dāng)a=0時,不等式組的解集是2≤x<4,有兩個整數(shù)解,不合題意,所以舍去a=0.排除A,B選項(xiàng).

當(dāng)a=2時,不等式組的解集為2≤x<5,有三個整數(shù)解,符合題意,所以a=2可取.

因此應(yīng)選:C.

點(diǎn)評:對于一個數(shù)學(xué)問題,能直接解答固然很好,而從不同角度思考問題,特別在考試的有限時間內(nèi)快速得出答案,既可節(jié)省時間,又可提高正確率,是非常有益可取的做法.

以上含參不等式的五種求解方法,要因題而異,根據(jù)題設(shè)靈活選用,尤其是等號的處理,要正確理解.下面讓我們運(yùn)用這幾種方法大顯身手吧!

A.a≥2 B.a<-2 C.a>2 D.a≤2

解析:解不等式組得x<2且x

解析:解不等式組,得x>2且x

解析:解不等式組,得x<4-a且x>-1.則不等式組有解時,滿足-1

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