?安徽省淮北市淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 雷紅艷

?安徽省合肥市合肥師范學(xué)院附屬西安路學(xué)校 喻 悅

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022版)》(簡稱課標(biāo))在2022年4月22日正式頒布，課標(biāo)指出：“在教材內(nèi)容編寫時(shí)，要注重教材創(chuàng)新，就要拓展視野，如教材中介紹數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)發(fā)展前沿等，內(nèi)容設(shè)計(jì)要反映數(shù)學(xué)在自然與社會(huì)中的應(yīng)用，展現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展史中偉大數(shù)學(xué)家，特別是中國古代與現(xiàn)代著名數(shù)學(xué)家，以及他們的數(shù)學(xué)成果在人類文明發(fā)展中的作用，增強(qiáng)學(xué)生的愛國情懷和民族自豪感”[1].為此，“閱讀與思考”等成為各版本教材不可或缺的欄目.

在實(shí)際教學(xué)過程中，“閱讀與思考”等類似欄目的設(shè)置初衷并沒有得到有效落實(shí)，主要原因包括不少教師忽視欄目價(jià)值、缺少應(yīng)用指導(dǎo)等.為有效落實(shí)數(shù)學(xué)文化的育人功能，本文中以人教版“勾股定理”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，分析了HPM視角下“閱讀與思考”在情境創(chuàng)設(shè)、新知探究、新知應(yīng)用和課后拓展等不同環(huán)節(jié)的四種處理方式.

1 人教版教材中“閱讀與思考”的統(tǒng)計(jì)分析

“閱讀與思考”欄目是人教版初中數(shù)學(xué)教材凸顯數(shù)學(xué)文化育人的特色欄目.筆者對(duì)人教版教材涉及到數(shù)學(xué)史素材的“閱讀與思考”進(jìn)行了統(tǒng)計(jì):共26個(gè)“ 閱讀與思考”欄目，涉及數(shù)學(xué)史素材的有12個(gè)，占比將近一半.數(shù)與代數(shù)中包括：從算術(shù)發(fā)展到代數(shù)歷史；《九章算術(shù)》中的“正負(fù)術(shù)”；方程的起源與發(fā)展；《九章算術(shù)》比例算法；引發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)；《九章算術(shù)》中的“方程術(shù)”；勾股定理的三種證明方法；托勒密《天文學(xué)大成》.圖形與幾何中包括：幾何學(xué)的起源；金字塔《畫法幾何》；《周脾算經(jīng)》徑一周三、劉徽“割圓術(shù)”.

這表明，作為落實(shí)數(shù)學(xué)文化綜合育人價(jià)值的重要載體，數(shù)學(xué)史素材是“閱讀與思考”欄目的重要組成內(nèi)容.這些素材是教材編寫者集體智慧的結(jié)晶.教師不應(yīng)輕易脫離教材去重新選擇其他素材，應(yīng)深入研究這些素材，以達(dá)到綜合育人的價(jià)值與實(shí)現(xiàn)途徑.對(duì)此欄目教師可以有效改進(jìn)教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，感受古人智慧的魅力，養(yǎng)成民族自豪感.

2 HPM視角下的四種處理方式

汪曉勤[2]提出了將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的四種方式——附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式.

“勾股定理”位于人教版八年級(jí)下冊(cè)第17章，包含“勾股定理的證明”“費(fèi)馬大定理”兩個(gè)“閱讀與思考”欄目.在上述四種處理方式的指導(dǎo)下，以“勾股定理”教學(xué)為例，本文中分別展現(xiàn)“勾股定理的證明”在情境創(chuàng)設(shè)、新知探究、新知應(yīng)用和課后拓展等教學(xué)環(huán)節(jié)的四種創(chuàng)新應(yīng)用.

2.1 附加式——巧用數(shù)學(xué)故事，創(chuàng)設(shè)問題情境

“情境創(chuàng)設(shè)”是數(shù)學(xué)教學(xué)的起始環(huán)節(jié).適當(dāng)?shù)那榫呈?以數(shù)學(xué)故事、歷史事件、生活情境等)導(dǎo)入，學(xué)生更能投入到問題情境中，為新知探究做好鋪墊.但是，對(duì)于問題情境的有效創(chuàng)設(shè)，不少教師出現(xiàn)平鋪直敘和一味追求創(chuàng)新性兩種極端，導(dǎo)致情境與學(xué)生認(rèn)知、興趣并不匹配，反而令教學(xué)效果大打折扣.在教學(xué)實(shí)踐中，合適的數(shù)學(xué)故事蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)文化信息，有利于學(xué)生更好地體會(huì)故事中的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵，升華學(xué)生的情感態(tài)度以及價(jià)值觀念.

在“勾股定理”教學(xué)伊始，教師可將“勾股定理的證明”加工成蘊(yùn)含豐富中國元素的數(shù)學(xué)故事，創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歷史故事的興趣并引發(fā)數(shù)學(xué)思考.

師：若未來技術(shù)可以實(shí)現(xiàn)黑洞穿越，我們回到西周開國時(shí)期的朝堂上，同學(xué)們可以聽到周公與商高討論勾股測量的對(duì)話.來看一段據(jù)《周髀算經(jīng)》記載的對(duì)話視頻.展示視頻內(nèi)容[3](以動(dòng)畫展示)：

(周公知商高精通數(shù)學(xué)，謙虛詢問其如何測定“日高”和“地寬” ，商高答道：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.故折矩，以為句 (同勾)廣三，股修四，徑隅五.既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五.兩矩共長二十有五，是謂積矩”.)展示故事中的“勾廣三，股修四，徑隅五”的圖形(圖1、圖2和圖3).

圖1 既方之

圖2 外半其一炬

圖3 環(huán)而共盤

師：同學(xué)們，視頻中有哪些數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)呢？

生1：在測量“日高”時(shí)，提到句 (同勾)廣三，股修四，徑隅五，這是刻畫某個(gè)圖形的關(guān)系量.

師：生1提到的視頻中的勾廣三，股修四，徑隅五，其實(shí)，這是我們今天要學(xué)習(xí)的新知識(shí)——勾股定理.什么是勾股定理呢？又如何證明它呢？

全班學(xué)生陷入了思考……

設(shè)計(jì)意圖：首先，教師以情境導(dǎo)入數(shù)學(xué)故事，并用多媒體展示其內(nèi)容，從教學(xué)起始就抓住學(xué)生的感知，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考.其次，以問題驅(qū)動(dòng)的形式“提取”視頻中的關(guān)鍵內(nèi)容，精準(zhǔn)定位學(xué)生要學(xué)習(xí)的目標(biāo)與任務(wù).

2.2 重構(gòu)式——巧設(shè)驅(qū)動(dòng)問題，引導(dǎo)新知探究

“探究新知”是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心環(huán)節(jié).一個(gè)好的探究過程是學(xué)生高效掌握知識(shí)、實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的基本保障.探究過程的科學(xué)設(shè)計(jì)，既需要分析教材與學(xué)情，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的邏輯線與學(xué)生的認(rèn)知線的統(tǒng)一，還需要注意認(rèn)知負(fù)荷理論的運(yùn)用，不能給與學(xué)生過多的額外認(rèn)知負(fù)擔(dān).

圖4

在“勾股定理證明”的教學(xué)過程中，證明思路的自然獲得是教學(xué)難點(diǎn)，不少教師選擇趙爽弦圖(圖 4).該方法涉及到的基本圖形數(shù)量、拼圖情況都較多，給學(xué)生的探究與發(fā)現(xiàn)帶來較大困難.以人教版“閱讀與思考”中勾股定理的第三種證明方法——美國第20任總統(tǒng)詹姆斯·加菲爾德的證法為素材，筆者對(duì)其進(jìn)行重構(gòu)，改進(jìn)了傳統(tǒng)的探究過程.

圖5 拼接圖

師：同學(xué)們，你們能用手中的兩個(gè)全等三角形來證明剛剛的猜想嗎？

(學(xué)生利用課前準(zhǔn)備的兩個(gè)相同的直角三角形分組嘗試不同的拼接方法，得到如圖5所示的圖形.)

師追問：圖5中的白色三角形的面積與兩個(gè)陰影直角三角形的面積之和之間有什么關(guān)系[3]？

生2：我認(rèn)為白色三角形的面積等于兩個(gè)陰影直角三角形的面積之和.(其他學(xué)生肯定生2的回答.)

師：為什么呢？

師：生3詳細(xì)地展示了證明過程，但最后的結(jié)果并不是面積相等，而是得到了c2=a2+b2，即直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即得到并證明了勾股定理.

設(shè)計(jì)意圖：課前讓學(xué)生準(zhǔn)備教具(2個(gè)相同的直角三角形)，引發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)內(nèi)容的積極性和好奇心.利用兩個(gè)相同三角形拼接的方法，既符合數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式，還降低了學(xué)生的認(rèn)知負(fù)擔(dān)，提高了教學(xué)效益.同時(shí)，學(xué)生經(jīng)歷了完整的“問題—猜想—證明”的過程，有效提升了合情推理與演繹推理素養(yǎng).

2.3 順應(yīng)式——巧設(shè)活動(dòng)支架，體會(huì)數(shù)學(xué)精神

“新知應(yīng)用”是促進(jìn)學(xué)生對(duì)新知的深入理解和檢驗(yàn)學(xué)生掌握知識(shí)的重要環(huán)節(jié).例題和練習(xí)題的有效設(shè)置與變式是傳統(tǒng)教學(xué)的優(yōu)勢.在這里，緊跟“新知探究”環(huán)節(jié)，可以繼續(xù)運(yùn)用數(shù)學(xué)史素材，在新知應(yīng)用中融入數(shù)學(xué)故事，讓學(xué)生親身體會(huì)數(shù)學(xué)故事所蘊(yùn)含的精神.

師：剛才已經(jīng)證明了勾股定理.如果已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長分別為7 cm和12 cm，那么斜邊的長度是多少？(題目較簡單，多數(shù)同學(xué)可知.)

圖6

師：接下來，請(qǐng)同學(xué)們思考如下問題.三個(gè)邊長分別為a，b，c的正方形，拼接為如右圖6所示的圖形，其中∠C=90°.連接BF，CD，過點(diǎn)C作CL⊥DE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L，連接CL.證明正方形ADEB的面積等于正方形AFHC與正方形BIGC的面積之和.

全班學(xué)生再次陷入深思……

題目難度稍大，學(xué)生不能直接想到解題思路.教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生觀察圖中三個(gè)正方形的位置和數(shù)量關(guān)系，尋找合適的支架，將上面兩個(gè)正方形和下面的正方形進(jìn)行聯(lián)結(jié)，思考是否可以利用三角形的性質(zhì)來研究正方形的性質(zhì).

學(xué)生分組討論之后，派代表回答，由此證明了結(jié)論a2+b2=c2，得出勾股定理.

設(shè)計(jì)意圖：勾股定理的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致無理數(shù)的誕生，產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機(jī),《幾何原本》記載了西方畢達(dá)哥拉斯對(duì)勾股定理的證明.利用數(shù)學(xué)史中有趣且真實(shí)的數(shù)學(xué)故事，融入新知應(yīng)用的課堂中，學(xué)生更能從中領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)精神，感受教學(xué)背后的數(shù)學(xué)史價(jià)值.同時(shí)，由易到難、層層推進(jìn)的練習(xí)，使學(xué)生能熟練掌握新知，激發(fā)起學(xué)生更高知識(shí)水平的求知欲.

2.4 復(fù)制式——巧設(shè)拓展項(xiàng)目，提升文化修養(yǎng)

“課后拓展”是檢驗(yàn)教師教學(xué)效果、拓展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑.從古至今，勾股定理不僅應(yīng)用廣泛，最重要的是它貼近人們的實(shí)際生活，因此對(duì)它的證明從未停止探索.新的證法不斷出現(xiàn)，其證明方法至今已有500余種.由此，教師可拓展課后學(xué)習(xí)項(xiàng)目，布置拓展項(xiàng)目作業(yè)：查閱相關(guān)資料，探究勾股定理的證明方法(至少兩種).通過在教室設(shè)置“勾股定理展覽區(qū)”、勾股定理證明方法微視頻或PPT、講故事等方式進(jìn)行展示匯報(bào).

設(shè)計(jì)意圖:通過拓展項(xiàng)目作業(yè)的完成過程，學(xué)生可以跨越時(shí)空，與古代數(shù)學(xué)家隔空“對(duì)話”，從中感受數(shù)學(xué)史帶來的文化沖擊，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，了解數(shù)學(xué)史背后蘊(yùn)含的價(jià)值，培養(yǎng)良好的資料檢索、表達(dá)交流等能力.

3 結(jié)語

著名數(shù)學(xué)史家李文林[4]曾提出“為教育而歷史”.數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育，具有深刻的教育價(jià)值.基于教材“閱讀與思考”中的“勾股定理”一節(jié)內(nèi)容，以數(shù)學(xué)史作為輔助教學(xué)工具，形象展示了數(shù)學(xué)知識(shí)形成的背景以及發(fā)展過程.筆者以“勾股定理”中融入數(shù)學(xué)史的四種方式，巧妙地處理“閱讀與思考”環(huán)節(jié)并進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究新知的好奇心、體會(huì)數(shù)學(xué)精神、提升數(shù)學(xué)修養(yǎng)，真正地落實(shí)數(shù)學(xué)文化育人功能；同時(shí)，還可提高教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，其內(nèi)在專業(yè)知識(shí)結(jié)構(gòu)也能不斷得到更新和豐富；對(duì)數(shù)學(xué)課程也具有一定的實(shí)用價(jià)值，一些優(yōu)秀案例可為數(shù)學(xué)課程增添教學(xué)素材，實(shí)現(xiàn)其教學(xué)價(jià)值.一線教師切不可忽視教材中的“閱讀與思考”欄目，合理運(yùn)用并將其中的數(shù)學(xué)史融入教學(xué)中，是當(dāng)代教師課堂教學(xué)研究的重中之重.