薛 飛|浙江省杭州市蕭山區(qū)第十高級(jí)中學(xué)

龔超群|浙江省武義第一中學(xué)

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)之一.數(shù)學(xué)運(yùn)算，即在明晰的運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，它是數(shù)學(xué)研究的主要內(nèi)容，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段.數(shù)學(xué)運(yùn)算能力特別注重運(yùn)算的幾何直觀化、模型歸納化、特殊到一般化、陌生到熟悉化.在這些轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，非智力因素的作用相當(dāng)重要.非智力因素主要指興趣、情感、意志等，其中，興趣、情感能直接轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，意志則在學(xué)生掌握知識(shí)的過(guò)程中起著積極的作用.教師可從激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、提升數(shù)學(xué)情感、加強(qiáng)意志力等角度來(lái)設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，優(yōu)化復(fù)雜的運(yùn)算，增強(qiáng)學(xué)生的信心，培養(yǎng)其自覺(jué)學(xué)習(xí)的習(xí)慣，最終提升其數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

一、興趣激發(fā)：建構(gòu)運(yùn)算模型，發(fā)展轉(zhuǎn)化思想

學(xué)習(xí)活動(dòng)能否順利開(kāi)展、達(dá)成預(yù)期目標(biāo)，固然要以學(xué)生的智力因素為基礎(chǔ)和主導(dǎo)，但也離不開(kāi)學(xué)生主體的興趣.濃厚的學(xué)習(xí)興趣是學(xué)習(xí)的原動(dòng)力，積極的興趣是從事學(xué)習(xí)活動(dòng)并取得成就的最初條件.興趣一般表現(xiàn)為人們力求認(rèn)識(shí)世界、渴望獲得科學(xué)文化知識(shí)和探求真理時(shí)帶有情緒色彩的心理[1].從心理上看，高中生的興趣指向事物的內(nèi)部規(guī)律，不斷由膚淺變得深刻；而由于學(xué)習(xí)任務(wù)和壓力變大，他們對(duì)學(xué)業(yè)相關(guān)的興趣變淡，其他方面的興趣變濃.因此，教師可創(chuàng)設(shè)學(xué)生喜歡的、熟悉的真實(shí)案例情境，如以生活常識(shí)、數(shù)學(xué)文化、競(jìng)技游戲、深度的思維結(jié)論等作為課堂引入情境，以激發(fā)學(xué)生主體的好奇心或競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)，促使學(xué)生自主學(xué)習(xí).需要注意的是，以非智力因素帶動(dòng)智力因素設(shè)計(jì)教學(xué)，選擇的情境必須內(nèi)容適當(dāng)、難度適中.

（一）以情境激發(fā)興趣，建構(gòu)模型化運(yùn)算

數(shù)學(xué)運(yùn)算表現(xiàn)為數(shù)字的計(jì)算和估算、變量式子的組合變形與分離、幾何圖形中各量的確定與計(jì)算等形式，教師可以采用模型化、熟悉化、直觀化和特殊化等策略來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力.數(shù)學(xué)模型是參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關(guān)系，采用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概括地或近似地表述出的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).建立數(shù)學(xué)模型，便于溝通實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)工具.因此，數(shù)學(xué)模型化是提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的重要途徑.

教師要做生活的有心人，積極利用課外時(shí)間，搜尋可促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的圖片、視頻、故事、有獎(jiǎng)競(jìng)賽等，仔細(xì)甄別梯度并歸類(lèi).然后根據(jù)教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生的學(xué)情、興趣點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)能引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的情境.如此引入相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，可讓學(xué)生在興趣的推動(dòng)下，將注意力從枯燥的數(shù)學(xué)概念、定理轉(zhuǎn)移到具體的數(shù)學(xué)模型上來(lái)，主動(dòng)去探究問(wèn)題.教師再適當(dāng)分析問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生挖掘條件，歸納數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行模型化、熟悉化的運(yùn)算，以提升運(yùn)算速度和學(xué)習(xí)效果.

例題1：在鐵路的附近，有一大型倉(cāng)庫(kù).現(xiàn)要修建一條公路與之連接起來(lái)，那么怎樣設(shè)計(jì)能使公路最短？最短路程又是多少？

師：構(gòu)成平面幾何圖形的基本元素是點(diǎn)和直線，有哪幾種距離的基本類(lèi)型？

生：點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)到直線的距離、兩條平行直線間的距離.

師：前面我們研究學(xué)習(xí)過(guò)哪種距離？有什么結(jié)論嗎？

生：兩點(diǎn)之間的距離，已知P(x1,y1)，

師：大家回憶一下，之前我們是如何探求平面中點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式的？

生：利用坐標(biāo)系，把點(diǎn)坐標(biāo)化.

師：很好，點(diǎn)可以在坐標(biāo)系中用坐標(biāo)量化，那么直線呢？

生：直線在坐標(biāo)系中有直線的方程.

師：那么，問(wèn)題就變成了平面坐標(biāo)系中一個(gè)點(diǎn)到一條直線的距離問(wèn)題.即把實(shí)際生活中的問(wèn)題數(shù)學(xué)化，建立平面直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)和直線分別量化為坐標(biāo)和方程，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型.

設(shè)計(jì)意圖：筆者以鐵路和倉(cāng)庫(kù)之間的直線距離這種實(shí)際生活中的應(yīng)用問(wèn)題，將抽象的“點(diǎn)到直線的距離”問(wèn)題具體化，引發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的興趣，然后引導(dǎo)學(xué)生逐步分析問(wèn)題、發(fā)掘條件等，使其思維向解析幾何問(wèn)題模型轉(zhuǎn)化，最后建立平面直角坐標(biāo)系，培養(yǎng)學(xué)生的模型歸納能力.

（二）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維轉(zhuǎn)化問(wèn)題，代入概念運(yùn)算

針對(duì)比較繁難的數(shù)學(xué)運(yùn)算，教師要讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察，學(xué)會(huì)換個(gè)思維或角度去思考運(yùn)算的方向，如從平面視角去觀察空間問(wèn)題，從空間視角去觀察平面問(wèn)題，代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化等.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、直觀想象等數(shù)學(xué)思維來(lái)思考，可以有效降低數(shù)學(xué)運(yùn)算的難度.

例題2：如果點(diǎn)M(x,y)在變化過(guò)程中，總滿足關(guān)系式10，試寫(xiě)出它的方程.

師：如果使用開(kāi)根號(hào)進(jìn)行代數(shù)化運(yùn)算，你有什么感受？

生：需要將左邊根式移項(xiàng)后平方，整理后再移項(xiàng)再平方，感覺(jué)非常復(fù)雜.

師：聯(lián)系兩個(gè)根號(hào)的幾何意義，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維思考一下.

生：好像是點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和，就是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到兩個(gè)定點(diǎn)F1(0,3)，F(xiàn)2(0,-3)的距離之和等于10的點(diǎn)的軌跡.

師：結(jié)合剛學(xué)過(guò)的橢圓的定義，再想想它的方程是什么？

生：就是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為6而且中心在遠(yuǎn)點(diǎn)的橢圓，那么整個(gè)式子化簡(jiǎn)后就是：

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣不僅源于對(duì)問(wèn)題的好奇，更源于對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的熟悉、親切.筆者以學(xué)生熟悉的課本習(xí)題為例，逐層分析，引導(dǎo)學(xué)生換位思考，根據(jù)橢圓的定義和距離的代數(shù)形式，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維進(jìn)行轉(zhuǎn)化，目的是激發(fā)學(xué)生的探索興趣，提升其圖形直觀想象能力.因?yàn)椋瑹o(wú)障礙理解、模型化的習(xí)題解答，不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更能增強(qiáng)學(xué)生解題過(guò)程中的自信和熱情，使其對(duì)解題產(chǎn)生極大的渴望.可以這么說(shuō)，興趣是提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的開(kāi)始，而熱情和成功的體驗(yàn)，則是提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的不竭動(dòng)力.

二、情感代入：梯度問(wèn)題導(dǎo)引，提升運(yùn)算能力

情感是課堂教學(xué)的第一要素，高中生處于情感認(rèn)知的懵懂時(shí)期，具有強(qiáng)烈的探求心理，但是生理上他們還處于青春發(fā)育的成長(zhǎng)階段，心智不夠成熟，自信心、成就感發(fā)展水平比較低.這具體表現(xiàn)為：害怕挫折失敗，承受能力比較差，提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的積極性比較低.因此，教師必須營(yíng)造積極和諧、主動(dòng)探究的課堂氛圍，使學(xué)生思維活躍、熱情高漲.低起點(diǎn)、深思維、有寬廣度的課堂往往受到學(xué)生的喜愛(ài).教師可采用變式教學(xué)、從特殊到一般、從陌生到熟悉等策略，營(yíng)造有思維、有變化、有深度的課堂氛圍，讓學(xué)生有“五步一景，十步一畫(huà)”的感覺(jué)，持續(xù)激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，在解題的過(guò)程中體驗(yàn)成功、收獲信心，并產(chǎn)生進(jìn)一步深入鉆研的熱情，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

（一）特殊例題引入，復(fù)雜計(jì)算熟悉化

從數(shù)學(xué)概念的定義開(kāi)始，設(shè)計(jì)特殊的“點(diǎn)到直線的距離”問(wèn)題，計(jì)算量更小，學(xué)生也有更高的興趣和熱情去發(fā)現(xiàn)解法的多樣性.

例題3：在平面直角坐標(biāo)系中，求點(diǎn)P（1，2）到直線l：x+y-5=0的距離.

師：談?wù)勀闶侨绾吻簏c(diǎn)P到直線l的距離的？

生：根據(jù)點(diǎn)到直線距離的定義，過(guò)P向直線l作垂線交于點(diǎn)Q，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)之間距離公式，求出PQ的長(zhǎng)度.

師：那么如何求點(diǎn)Q的坐標(biāo)？

生：利用點(diǎn)斜式求出過(guò)點(diǎn)P垂直于直線l的直線l′的方程，再聯(lián)立l與l′的方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)Q.

設(shè)計(jì)意圖：距離問(wèn)題是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象以及運(yùn)算能力的很好載體，而垂線段法是求點(diǎn)到直線距離的一種常見(jiàn)的方法.筆者先引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離求出點(diǎn)到直線的距離，目的是讓所有的學(xué)生都能夠積極參與，獲得解題成就感，激發(fā)自信心，營(yíng)造熱烈的課堂氛圍.再利用點(diǎn)斜式求出坐標(biāo)，使其思路逐步深化，以此引導(dǎo)學(xué)生深入研究直觀圖形，發(fā)掘更多更好的思路.

（二）學(xué)生自主展示，追求最優(yōu)算法

由于例題起點(diǎn)低，學(xué)生收獲了成功的喜悅，熱情高漲，筆者趁熱打鐵，引導(dǎo)學(xué)生自主設(shè)計(jì)不同的解法，然后上臺(tái)展示、講解.

師：上面的垂線段法，同學(xué)們?cè)诮獯鸬臅r(shí)候有什么感受？

生：計(jì)算有點(diǎn)麻煩.

師：有沒(méi)有其他簡(jiǎn)便些的思路？大家可以從最短距離這個(gè)角度考慮，再根據(jù)自己的想法來(lái)優(yōu)化運(yùn)算.

生：解直角三角形法，將“點(diǎn)到直線的距離”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題，在斜邊及角度（直線的傾斜角）已知的情況下，運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)可以輕松求解（解法略）.

生：等面積法，巧妙構(gòu)造直角三角形，避開(kāi)研究三角形的內(nèi)角，計(jì)算簡(jiǎn)潔、快捷（解法略）.

生：目標(biāo)函數(shù)法，“點(diǎn)到直線的距離”就是垂線段的長(zhǎng)度，而垂線段是直線上所有點(diǎn)到定點(diǎn)連線的線段中距離最短的一條，利用這個(gè)最短性，與函數(shù)的最值聯(lián)系起來(lái)，用函數(shù)法來(lái)解決（解法略）.

設(shè)計(jì)意圖：筆者讓學(xué)生思考垂線段法求“點(diǎn)到直線的距離”的弊端，引導(dǎo)他們從最短距離這個(gè)角度思考，使其認(rèn)識(shí)由幾何直觀的“形”向代數(shù)內(nèi)涵的“數(shù)”轉(zhuǎn)化，再現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、直觀轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算.而讓多個(gè)學(xué)生上臺(tái)展示、講解，既可以增加學(xué)生的優(yōu)化意識(shí)和競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)，又可以增強(qiáng)上臺(tái)講解學(xué)生的自信和成就感，并以此為激勵(lì)學(xué)生的學(xué)習(xí)意志作鋪墊.

三、意志磨礪：從特殊到一般，深化運(yùn)算素養(yǎng)

僅有興趣和情感，課堂氛圍固然良好，但學(xué)生能否帶著這樣的熱情深入學(xué)習(xí)還是未知數(shù)，這就需要學(xué)生具有持之以恒的意志.因此，在學(xué)生會(huì)解答特殊的、簡(jiǎn)單的、低起點(diǎn)的問(wèn)題之后，教師需要進(jìn)一步設(shè)計(jì)可持續(xù)研究、有一定高度并能讓學(xué)生保持探究熱情的問(wèn)題，以此鍛煉學(xué)生的意志，促使學(xué)生深化數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

我們知道，從初中到高中，數(shù)學(xué)運(yùn)算從數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算開(kāi)始轉(zhuǎn)向變量和字母的復(fù)雜運(yùn)算.而在經(jīng)歷了解特殊例題的獲得感和一題多解的成就感之后，學(xué)生亟須向新的高度發(fā)起挑戰(zhàn)，也具備了挑戰(zhàn)字母運(yùn)算的能力.因此，筆者適時(shí)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，帶領(lǐng)學(xué)生合作探究，由特殊向一般化遞進(jìn)，訓(xùn)練學(xué)生的字母運(yùn)算能力.

（一）分組合作探究，加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

例題4：在平面直角坐標(biāo)系中，求點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:ax+by+c=0的距離.

分組：指定班級(jí)里運(yùn)算能力最好的6個(gè)學(xué)生組成第一小組，要求必須用垂線段法；喜歡運(yùn)用解三角形法的組成第二小組，喜歡運(yùn)用等面積法的組成第三小組，喜歡運(yùn)用目標(biāo)函數(shù)法的組成第四小組，每組6~8人；還有其他想法的學(xué)生組成第五小組，并到講臺(tái)邊上來(lái)接受教師指導(dǎo).每組自主選擇一名組長(zhǎng).

要求1：每個(gè)組員運(yùn)用自己所選的方法獨(dú)立求解，規(guī)定8分鐘時(shí)間解答，解答完后，同組組員交換檢查，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題或錯(cuò)誤時(shí)及時(shí)更正.

設(shè)計(jì)意圖：筆者設(shè)計(jì)從具體數(shù)字運(yùn)算到抽象字母運(yùn)算的案例，讓學(xué)生經(jīng)由特殊的具體例題上升到一般的推理模式，掌握邏輯推理的基本形式，學(xué)會(huì)有邏輯地思考問(wèn)題，并能在比較復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián).按同種思維方法分組，可以培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)氛圍.每個(gè)學(xué)生先自主獨(dú)立運(yùn)算，可培養(yǎng)個(gè)體的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；同組互查，既可在互動(dòng)的氛圍中加深印象，又可發(fā)現(xiàn)各自運(yùn)算中的不足.在這一由具體到一般的計(jì)算過(guò)程中，大量的復(fù)雜運(yùn)算很能考驗(yàn)學(xué)生的意志品質(zhì)，而由于之前特殊例題的鋪墊，學(xué)生的算法思路一般不會(huì)出問(wèn)題，關(guān)鍵在于選擇合適的方法.此題還可以運(yùn)用向量法來(lái)求解，設(shè)計(jì)最后一個(gè)小組的目的即在此.

（二）各組相互點(diǎn)評(píng)，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

分組合作探究演算非?？简?yàn)學(xué)生的能力，但經(jīng)歷了自主運(yùn)算、合作探究的過(guò)程后，學(xué)生已經(jīng)收獲了信心以及解決問(wèn)題的方法，且磨礪了意志.因此，為進(jìn)一步鍛煉學(xué)生的運(yùn)算能力，筆者設(shè)計(jì)讓計(jì)算最快的小組優(yōu)先發(fā)言.

要求2：由組長(zhǎng)總結(jié)發(fā)言1分鐘，提出優(yōu)缺點(diǎn).計(jì)算時(shí)間最短的小組優(yōu)先上臺(tái)發(fā)言，談?wù)動(dòng)?jì)算過(guò)程中的想法和注意點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：四種方法中，以垂線段法的運(yùn)算最為復(fù)雜，所以設(shè)計(jì)班級(jí)里運(yùn)算能力最強(qiáng)的一組來(lái)應(yīng)對(duì)，以示公平.在這種競(jìng)爭(zhēng)氛圍中，學(xué)生“八仙過(guò)海，各顯神通”，計(jì)算能力展露無(wú)遺.組員之間可以?xún)?yōu)勢(shì)互補(bǔ)、查缺補(bǔ)漏，最后組長(zhǎng)總結(jié)發(fā)言，則相當(dāng)于對(duì)本組的思維方法再作一次歸納總結(jié)、思維升華.而各組相繼發(fā)言，也便于學(xué)生汲取長(zhǎng)處、互相學(xué)習(xí)，磨礪鉆研精神.

我們知道，人類(lèi)智慧活動(dòng)的心理結(jié)構(gòu)可分為智力和非智力兩大系統(tǒng)：智力是直接參與智慧活動(dòng)的操作系統(tǒng)；非智力是對(duì)智慧活動(dòng)起發(fā)動(dòng)、調(diào)節(jié)等作用的動(dòng)力系統(tǒng)，在學(xué)習(xí)活動(dòng)中體現(xiàn)為學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)熱情、學(xué)習(xí)毅力、意志品質(zhì)等.這些非智力因素雖不直接參與對(duì)知識(shí)的感知、理解、掌握和運(yùn)用等操作[2]，但能影響智力因素的作用.因此，教師應(yīng)將非智力因素融入課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，促使非智力因素和智力因素深度融合，讓學(xué)生獲得更多的知識(shí)體驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).□◢