戚鋮愷， 吳嘉敏， 黃金山， 楊 寧

(1. 廈門大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，福建 廈門 361005； 2. 廈門大學(xué) 航空航天學(xué)院，福建 廈門 361005；3. 科廷大學(xué) 土木與機(jī)械工程學(xué)院，澳大利亞 珀斯 6102)

實(shí)時掌握結(jié)構(gòu)狀態(tài)信息和地震激勵信息是進(jìn)行結(jié)構(gòu)抗震安全評估和優(yōu)化振動控制的前提[1-8]。地震信息通?？梢詮牡卣鹋_網(wǎng)或安裝在結(jié)構(gòu)上的健康監(jiān)測(structure health monitoring，SHM)系統(tǒng)獲取[9]，但是傳播介質(zhì)可能影響監(jiān)測系統(tǒng)的測量精度[10]，而且并非所有被監(jiān)測的結(jié)構(gòu)都安裝了測量基底激勵的加速度計。過去已有很多學(xué)者提出了利用結(jié)構(gòu)響應(yīng)的實(shí)測值反演未知激勵的方法[11-15]，但這些方法多適用于非地震荷載的識別。這是因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)在地震作用下的運(yùn)動方程為相對于地面坐標(biāo)系下的相對運(yùn)動方程，現(xiàn)行方法的實(shí)現(xiàn)依賴于結(jié)構(gòu)相對響應(yīng)的觀測值[16-19]，而SHM系統(tǒng)測得的是結(jié)構(gòu)的絕對響應(yīng)，在未知地震動下無法直接轉(zhuǎn)換為相對于地面的響應(yīng)，給地震激勵的識別帶來困難。因此，基于絕對坐標(biāo)系下建立運(yùn)動方程的識別方法受到關(guān)注。Zhao等[20-21]在絕對坐標(biāo)系下建立運(yùn)動方程，利用所有自由度的全部響應(yīng)觀測值同時識別結(jié)構(gòu)參數(shù)和未知地面荷載。但隨著現(xiàn)代結(jié)構(gòu)日益大型化和復(fù)雜化，獲取全部響應(yīng)信息是不現(xiàn)實(shí)的。Li等[22-23]結(jié)合模態(tài)方法，在絕對坐標(biāo)系中建立動力學(xué)方程以避免將絕對加速度觀測值轉(zhuǎn)換為相對模態(tài)加速度的困難，但僅限用于結(jié)構(gòu)參數(shù)已知的情況下進(jìn)行未知地面激勵的識別。此外，此類在絕對坐標(biāo)系下建立運(yùn)動方程的識別方法往往需要建立近似假設(shè)，故只適用于剪切型建筑的識別。最近，Huang等[24]和Lei等[25]提出了未知激勵下的卡爾曼濾波(generalized Kalman filter with unknown input，GKF-UI)方法和未知激勵下的擴(kuò)展卡爾曼濾波(generalized extended Kalman filter with unknown input，GEKF-UI)方法。這些方法在相對坐標(biāo)系下建立運(yùn)動方程，觀測量為部分自由度的絕對加速度，有效地實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)參數(shù)與未知地面激勵的同時在線識別，且克服了需要建立近似假設(shè)的問題。但是，GEKF-UI基于傳統(tǒng)擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter，EKF)方法的框架推導(dǎo)，需要每一時間步都計算雅可比矩陣，當(dāng)結(jié)構(gòu)自由度增多時，會增加識別困難，甚至無法得到識別結(jié)果，因此不適用于自由度較多的結(jié)構(gòu)，尤其是未知地震激勵下的高層建筑識別。

地震作用下采用部分觀測結(jié)構(gòu)響應(yīng)對高層建筑進(jìn)行識別一直是許多學(xué)者研究的重點(diǎn)。高層建筑因其多自由度的特點(diǎn)，往往存在計算過程復(fù)雜，識別誤差易累積等問題。當(dāng)?shù)卣鸺钶^強(qiáng)時，高層建筑結(jié)構(gòu)將出現(xiàn)非線性變形，現(xiàn)有的模態(tài)展開方法將難以適用。子結(jié)構(gòu)方法的“分而治之”思想給高層建筑的識別提供了另一種思路。Koh等[26]將大型結(jié)構(gòu)劃分為若干子結(jié)構(gòu)，提出了基于EKF的子結(jié)構(gòu)識別方法，但需要觀測子結(jié)構(gòu)界面上所有加速度、速度及位移響應(yīng)。另外，Koh等[27]改進(jìn)了該方法，同樣將大型結(jié)構(gòu)劃分為若干子結(jié)構(gòu)，僅采用部分加速度觀測值實(shí)現(xiàn)未知激勵下大型結(jié)構(gòu)的識別，但該法同樣需要子結(jié)構(gòu)邊界處的加速度響應(yīng)觀測值。國內(nèi)外一些研究者亦將子結(jié)構(gòu)方法運(yùn)用到非線性工況中，Kumar等[28]運(yùn)用遺傳算法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)濾波算法的結(jié)合算法，觀測子結(jié)構(gòu)的邊界響應(yīng)識別結(jié)構(gòu)參數(shù)及非線性阻尼系數(shù)。陶冬旺等[29]將整體結(jié)構(gòu)劃分為線性子結(jié)構(gòu)和非線性子結(jié)構(gòu)，通過EKF和無跡卡爾曼濾波進(jìn)行識別。Al-Hussein等[30]先選取一個子結(jié)構(gòu)運(yùn)用未知激勵下的最小二乘法進(jìn)行識別，然后利用已被識別的子結(jié)構(gòu)信息識別整體結(jié)構(gòu)，該法也難以避免誤差累積。

作者所在的課題組也已針對高層建筑結(jié)構(gòu)系統(tǒng)識別和未知地面激勵識別做了一些研究。在結(jié)構(gòu)參數(shù)已知方面：Huang等提出了在絕對坐標(biāo)系下建立運(yùn)動方程，結(jié)合模態(tài)展開的方法識別未知地面激勵；Huang等還提出了GKF-UI方法，實(shí)現(xiàn)了在相對坐標(biāo)系下建立運(yùn)動方程，基于絕對加速度響應(yīng)量識別未知地面激勵。在結(jié)構(gòu)參數(shù)未知方面：文獻(xiàn)[31]中提出了將模態(tài)展開與GEKF-UI相結(jié)合的方法，降低了識別過程中結(jié)構(gòu)狀態(tài)的維度且不增加未知地面激勵的維度，避免了誤差累積的問題，從而提高了高層建筑結(jié)構(gòu)系統(tǒng)識別的效率與精度，但該法僅適用于線性工況；文獻(xiàn)[32-34]的基本思想是將EKF和子結(jié)構(gòu)方法相結(jié)合，文獻(xiàn)[32]中基于部分觀測信息實(shí)現(xiàn)對未知地面激勵下線性高層建筑結(jié)構(gòu)的識別，文獻(xiàn)[33]中將方法推廣到結(jié)構(gòu)損傷識別的應(yīng)用中，文獻(xiàn)[34]中考慮高層建筑結(jié)構(gòu)在非線性工況下的識別，雖然上述方法識別結(jié)果都較好，但是存在相鄰子結(jié)構(gòu)之間狀態(tài)識別信息傳遞的情況，造成識別誤差累積。

本文的目的在于進(jìn)一步將子結(jié)構(gòu)方法運(yùn)用到非線性高層剪切框架結(jié)構(gòu)的狀態(tài)、參數(shù)與未知地震作用的識別上，克服目前大多數(shù)方法仍存在需要子結(jié)構(gòu)邊界處觀測信息、無法獨(dú)立并行識別、存在累積誤差等不足。為此，本文在對整體結(jié)構(gòu)劃分后，把相鄰子結(jié)構(gòu)之間的作用視為子結(jié)構(gòu)的附加未知激勵，并根據(jù)受力情況將地震作用下的剪切框架子結(jié)構(gòu)進(jìn)行分類分析，各子結(jié)構(gòu)基于內(nèi)部的部分觀測量運(yùn)用GEKF-UI方法識別子結(jié)構(gòu)的狀態(tài)、參數(shù)和未知激勵。通過一個12層的非線性剪切框架來驗(yàn)證該方法的有效性。

1 方法提出

1.1 子結(jié)構(gòu)在相對坐標(biāo)系下的運(yùn)動方程

地震作用下n自由度非線性結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程可寫為

(1)

第一類子結(jié)構(gòu)(圖1 Sub.1)

(2)

式中：下標(biāo)“u”為未知；下標(biāo)“S”為子結(jié)構(gòu)，其包含的自由度為s(s≤n)；IS為s×1的單位向量；fS,u，ηS,u分別為未知激勵矩陣(np×nt)和未知激勵定位矩陣(s×np)，其中np為未知激勵數(shù)，nt為采樣時間維度；fSB為未知邊界力，其大小等于該子結(jié)構(gòu)上部樓層的層間力，相應(yīng)于圖1 Sub.1，則有fSB=fq+1，其余子結(jié)構(gòu)類似；ηSB為未知邊界力定位矩陣。

第二類子結(jié)構(gòu)(圖1 Sub.2～Sub.m-1)

(3)

第三類子結(jié)構(gòu)(圖1 Sub.m)

(4)

圖1 子結(jié)構(gòu)劃分示意圖Fig.1 Substructure division

1.2 子結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程的建立

(5)

(6)

其中

(7)

(8)

在對未知激勵進(jìn)行線性化時，采用了Ding等提出的一階保持假定,則將狀態(tài)方程線性化和離散化后可表示為

Zk+1=AkZk+BkfS,u,k+Bk+1fS,u,k+1+gk |k+wk

(9)

式中：Ak=eGk | kΔt，Δt為采樣間隔；wk為均值為0，方差為Q的模型誤差。

gk |k=(Ak-IS)(Gk |kΔt)-1·

(10)

(11)

1.3 子結(jié)構(gòu)觀測方程的建立

三類子結(jié)構(gòu)因受力情況有差異，其觀測方程的表達(dá)方式亦有區(qū)別。

(1) 第三類子結(jié)構(gòu)只在底部受到激勵，只需觀測子結(jié)構(gòu)中的部分絕對加速度，觀測方程可表示為。

(12)

(2) 第一類和第二類子結(jié)構(gòu)不僅受到地震激勵，還在邊界處有上部子結(jié)構(gòu)對其產(chǎn)生的邊界作用力，因此在識別這兩類子結(jié)構(gòu)時，觀測方程中除絕對加速度外，還需融合部分層間位移數(shù)據(jù)防止識別結(jié)果的漂移，于是觀測方程可寫為

(13)

將式(12)觀測方程線性化后可表示為

(14)

式中：vk+1為均值0,方差為R的觀測誤差

(15)

由于本文觀測的是絕對加速度響應(yīng)，且不觀測子結(jié)構(gòu)邊界處響應(yīng)，所以Dk+1 |k實(shí)際上是一個零矩陣，即輸入與輸出之間無直接饋通。

1.4 基于GEKF-UI的識別過程

限于篇幅，本文簡要給出GEKF-UI方法的主要公式，詳細(xì)的推導(dǎo)過程可參考Lei等的研究。

首先進(jìn)行結(jié)構(gòu)狀態(tài)估計

(16)

(17)

(18)

(19)

然后對誤差運(yùn)用加權(quán)最小二乘求解未知激勵

(20)

(21)

其中

(22)

(23)

誤差矩陣計算如下

(24)

(25)

(26)

誤差協(xié)方差矩陣計算結(jié)果如下

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

傳統(tǒng)的剪切型子結(jié)構(gòu)識別過程中往往會將某一子結(jié)構(gòu)已識別得到的結(jié)果用于下一子結(jié)構(gòu)的識別中，上一子結(jié)構(gòu)已識別得到的結(jié)果與真實(shí)值之間的誤差就會傳遞給下一子結(jié)構(gòu)，從而出現(xiàn)誤差累積。子結(jié)構(gòu)與GEKF-UI相結(jié)合的方法將子結(jié)構(gòu)間的相互作用作為子結(jié)構(gòu)的附加未知激勵識別，也即各子結(jié)構(gòu)成為獨(dú)立的待識別體，識別結(jié)果互不傳遞，可實(shí)現(xiàn)子結(jié)構(gòu)的并行識別，避免識別誤差的累積。

2 數(shù)值算例與分析

高層結(jié)構(gòu)變形模式受高寬比控制，高寬比較小的框架結(jié)構(gòu)(H/B≤3)的變形模式以剪切變形為主，本文的算例模型是基于高寬比較小的剪切型框架。為驗(yàn)證提出的方法識別非線性剪切框架結(jié)構(gòu)的有效性，設(shè)計了一12層剪切框架，每層質(zhì)量，剛度及阻尼參數(shù)分別為mi=3.2×105kg，ki=2.5×108N/m，ci=5.2×105N·s/m,i=1, 2,…,12。該結(jié)構(gòu)受到El-Centro地震波的N-S分量激勵， 地面峰值加速度為0.3g。本算例的地震激勵幅值較強(qiáng)，極有可能在底層產(chǎn)生非線性變形。假設(shè)第i層非線性滯回分量zi符合Bouc-Wen模型

(32)

(33)

αi為結(jié)構(gòu)第i層柱屈服后與屈服前剛度之比；在本算例中，結(jié)構(gòu)非線性參數(shù)取值：βi=4 000 m-2，γi=2 000 m-2，ni=2，αi=0.1(i=1,…,4)。

將該12層剪切框架劃分為兩個獨(dú)立的子結(jié)構(gòu)，第1層～第6層為子結(jié)構(gòu)1，屬于第一類子結(jié)構(gòu)；第7層～第12層為子結(jié)構(gòu)2，屬于第三類子結(jié)構(gòu)。子結(jié)構(gòu)的識別流程圖，如圖2所示。

圖2 子結(jié)構(gòu)識別流程圖Fig.2 Flow chart of substructure identification

2.1 子結(jié)構(gòu)1

在識別子結(jié)構(gòu)1時，非線性層的位置未知，假設(shè)每層都發(fā)生非線性變形，通過識別的非線性模型參數(shù)大小判斷是否發(fā)生非線性。該子結(jié)構(gòu)受到未知地震激勵和未知邊界力。僅觀測第1、第3、第5層的絕對加速度和第1、第2、第4層的層間位移，所有觀測數(shù)據(jù)均加上2%均方根(root mean square,RMS)水平的噪聲。地震激勵識別圖，如圖3(a)所示。為了更清晰展示識別值與理論值的對比，圖中僅列出了前15 s的地震激勵時程，總體符合程度較高。邊界力識別圖，如圖3(b)所示。其識別效果要好于地震激勵，可以看到，識別值與真實(shí)值高度吻合。結(jié)構(gòu)的第4層位移、第6層速度和第1層恢復(fù)力滯回曲線識別圖，分別如圖3(c)～圖3(e)所示。識別結(jié)果均很好。

圖3 未知地震作用和邊界力作用下子結(jié)構(gòu)1識別結(jié)果Fig.3 Identification of the substructure 1 under unknown seismic excitation and unknown boundary force

第3層剛度識別，如圖4(a)所示。識別值能快速收斂且誤差小。第3層阻尼系數(shù)識別，如圖4(b)所示。識別值誤差較小，但收斂速度比剛度識別慢。非線性參數(shù)的識別圖，如圖5所示，其收斂速度較快，其中γ的識別誤差比β大，但仍在可接受范圍內(nèi)。

圖4 第3層剛度和第3層阻尼系數(shù)識別對比Fig.4 Comparison of the identified stiffness and damping coefficient of the 3rd floor

圖5 非線性模型參數(shù)β和γ的識別對比Fig.5 Comparison of the identified non-linear modal parameters β and γ

子結(jié)構(gòu)1所有樓層的剛度、阻尼系數(shù)和非線性參數(shù)的識別情況，如表1所示。剛度識別誤差不超過2%，阻尼系數(shù)識別誤差基本在3%以內(nèi)；第5層和第6層的非線性參數(shù)識別值近似為0，表明只有第1～第4層發(fā)生了非線性變形。

表1 子結(jié)構(gòu)1剛度、阻尼系數(shù)及非線性參數(shù)識別情況Tab.1 Comparison of identified structural stiffness, damping coefficients and non-linear parameters of the substructure 1

2.2 子結(jié)構(gòu)2

在地震作用下，剪切框架結(jié)構(gòu)下部的剪切變形大于上部，較容易進(jìn)入非線性。由子結(jié)構(gòu)1的識別結(jié)果可知，非線性行為發(fā)生于底層1～4層，第5、第6層仍處于線性狀態(tài)，所以剪切框架的7～12層也為線性體，因此將子結(jié)構(gòu)2作為線性結(jié)構(gòu)識別，但本文提出的方法也同樣適用于結(jié)構(gòu)下部和上部均發(fā)生非線性的情況。

根據(jù)式(4)，該子結(jié)構(gòu)只受到在底部輸入的第6層絕對加速度引起的未知激勵。僅觀測第7、第8、第11層的絕對加速度，所有觀測數(shù)據(jù)均加上2%RMS水平的噪聲。可以看到，圖6中的未知激勵以及結(jié)構(gòu)第9層與第8層的層間位移、第12層與第11層的層間速度識別值與真實(shí)值均符合好。

圖6 子結(jié)構(gòu)2識別結(jié)果Fig.6 Identification results of the substructure 2

第8層和第12層剛度識別圖，分別如圖7(a)、圖7(b)所示，兩者識別誤差均很小且收斂速度很快。

圖7 第8層和第12層剛度的識別對比Fig.7 Comparison of the identified stiffness of the 8th and 12th floors

第9層和第10層阻尼系數(shù)的識別圖，分別如圖8(a)、圖8(b)所示，收斂速度較快，識別誤差分別為-2.03%和2.23%。

圖8 第9層和第10層阻尼系數(shù)的識別對比Fig.8 Comparison of the identified damping coefficients of the 9th and 10th floors

子結(jié)構(gòu)2所有樓層的剛度和阻尼系數(shù)識別情況，如表2所示。剛度識別誤差均在3%以內(nèi)，阻尼系數(shù)識別誤差均在7%以內(nèi)，總體而言，剛度的識別誤差要小于阻尼系數(shù)。

表2 子結(jié)構(gòu)2剛度和阻尼系數(shù)識別情況Tab.2 Comparison of identified structural stiffness and damping coefficients of the substructure 2

由算例結(jié)果可知，在僅觀測部分絕對響應(yīng)的條件下，無需其他子結(jié)構(gòu)和邊界處的觀測信息，可以獨(dú)立地識別每個子結(jié)構(gòu)的參數(shù)、狀態(tài)及輸入，證明提出的子結(jié)構(gòu)與GEKF-UI相結(jié)合的方法可有效應(yīng)用于未知激勵及高層非線性結(jié)構(gòu)的識別中。此外，本文采用的觀測數(shù)據(jù)在進(jìn)行識別時沒有進(jìn)行前處理，而是直接輸入所提方法框架中，由此可見所包含的噪聲水平已經(jīng)能很好地驗(yàn)證所提方法的魯棒性。

3 結(jié) 論

本文采用實(shí)際工程中直接采集的結(jié)構(gòu)絕對響應(yīng)部分觀測值，針對未知地震作用下的非線性剪切框架結(jié)構(gòu)，提出子結(jié)構(gòu)與GEKF-UI相結(jié)合的方法同時識別未知的地震激勵及系統(tǒng)狀態(tài)與參數(shù)，并通過數(shù)值算例驗(yàn)證。主要得到了以下結(jié)論：

(1) 所提方法的運(yùn)動方程均在相對坐標(biāo)系下建立，避免了建立近似假設(shè)，且識別過程基于結(jié)構(gòu)的絕對加速度響應(yīng)的部分觀測量，符合實(shí)際要求。

(2) 重點(diǎn)分析了地震作用下剪切框架的三類子結(jié)構(gòu)受力情況，針對第一、第二類子結(jié)構(gòu)采用數(shù)據(jù)融合的方法防止識別結(jié)果的漂移，第三類子結(jié)構(gòu)的識別僅需采用絕對加速度的部分響應(yīng)即可。

(3) 提出的子結(jié)構(gòu)與GEKF-UI相結(jié)合的方法避免了以往剪切型子結(jié)構(gòu)識別過程的誤差累積，實(shí)現(xiàn)了獨(dú)立并行識別。非線性剪切框架的數(shù)值算例表明，在不需要觀測邊界處響應(yīng)、各子結(jié)構(gòu)觀測信息及識別結(jié)果不互相傳遞的情況下，結(jié)構(gòu)的狀態(tài)、參數(shù)以及未知地震作用的識別值均與真實(shí)值符合較好。

值得指出的是，識別結(jié)果依賴于傳感器的位置以及個數(shù)，國內(nèi)外一些學(xué)者已對傳感器優(yōu)化布置問題做了較多研究，本文限于篇幅沒有對此討論。此外，本文所提方法只針對地震作用下的剪切框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了討論驗(yàn)證，未來還需研究推廣至其他更為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)識別與未知激勵識別，也需開展試驗(yàn)驗(yàn)證工作。