孫雪梅，包廣啟

(1. 曲靖師范學院教師教育學院，云南曲靖，655011 2. 云南省曲靖市第二中學，云南曲靖，655000)

《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要(2010—2020)》明確指出：“加快民族教育事業(yè)發(fā)展，對于推動少數(shù)民族和民族地區(qū)經(jīng)濟社會發(fā)展，促進各民族共同團結(jié)奮斗、共同繁榮發(fā)展，具有重大而深遠的意義.”數(shù)學教育在促進學生智力發(fā)展和形成理性思維方面具有獨特的、不可替代的重要作用，但因為數(shù)學學科的抽象性、嚴謹性，數(shù)學語言的形式化特點，數(shù)學思維的特殊性，以及不同的歷史文化經(jīng)濟背景，導致少數(shù)民族地區(qū)的數(shù)學教育水平與發(fā)達地區(qū)相比還有一定差距.

統(tǒng)一的、以主流文化以及漢語言思維習慣為背景的國家課程忽略少數(shù)民族學生所處的歷史文化背景和思維模式，現(xiàn)行教材所提供的問題情境、實例等對他們來說都是不太熟悉的，使得少數(shù)民族學生在學習中面臨著“文化沖突”的問題，也給他們的數(shù)學學習造成了困難[1].因此，如何結(jié)合當?shù)匚幕Y源，積極開發(fā)和有效利用各種文化資源來補充和銜接現(xiàn)行數(shù)學教材，使少數(shù)民族學生借助熟悉的當?shù)匚幕榫尺M行數(shù)學學習，從而提高少數(shù)民族學生數(shù)學學習的興趣，提升數(shù)學課堂教學的效益是值得少數(shù)民族地區(qū)教師思考的問題.

文章第一作者參加曲靖市高中數(shù)學教師課堂教學比賽的評委工作，聽了第二作者任教的人教版(A版)高中數(shù)學必修第一冊第四章第二節(jié)的“指數(shù)函數(shù)的概念”一課，受到啟發(fā)，在他的教學設計的基礎上，嘗試將楚雄彝族自治州的地方文化資源融入此節(jié)課.現(xiàn)將教學過程設計的主要環(huán)節(jié)呈現(xiàn)出來，對于問題和例題的解答，教材中已有詳細解答，就不再呈現(xiàn).

1 教學案例及設計分析

1.1 引入文化資源，銜接教材

情境一：萬家壩古墓群位于楚雄市城南的青龍河畔，是周朝時期的古墓葬遺址.1975年，云南省文物工作隊對遺址進行了清理發(fā)掘，共發(fā)掘79座古墓.出土的隨葬品有兵器、生產(chǎn)工具、生活用具、樂器、裝飾品等文物共1 245件，其中青銅器1 002件，尤以5件銅鼓最為珍貴，被命名為“萬家壩型銅鼓”(如圖1所示).經(jīng)“碳-14測年法”測定，銅鼓距今已有二千六百年左右，是迄今為止科學發(fā)掘所獲銅鼓中最早的銅鼓.它在研究銅鼓的起源和發(fā)展、我國鎏金技術的產(chǎn)生和發(fā)展、我國古代五聲和七聲音階的形成發(fā)展以及我省滇青銅文化的歷史等方面有著重要的意義和參考價值.

圖1 萬家壩型銅鼓之一

根據(jù)情境一中的相關史料，教師說明：考古中經(jīng)常會使用“碳-14測年法”來測定文物年代.“碳-14測年法”是根據(jù)生物體死亡后停止新陳代謝和該生物體中碳14的衰變程度來推算生物體死亡年代的一種測量方法.然后，教師提出問題：生物體死亡后，其體內(nèi)的碳14的量衰變的規(guī)律是什么呢？請大家閱讀課本第115頁的《閱讀與思考》，并思考課本第113頁的問題2.

設計意圖：教師結(jié)合當?shù)乜脊攀妨?，通過對“萬家壩型銅鼓”及其在歷史及科學研究中的重要意義和價值的介紹，自然引出 “碳-14測年法”， 無縫銜接教材.這不僅增強了數(shù)學教學的針對性，而且將地方文化滲透到數(shù)學課堂教學中，增強了學生的自豪感.

1.2 模型建立，概念抽象

問題一：當生物死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的衰減比率(簡稱為衰減率)衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關系？

問題1：生物死亡后體內(nèi)碳14含量的年衰減率p是多少？

解：略.

問題2：求出生物體內(nèi)碳14含量y隨死亡年數(shù)x變化的函數(shù)解析式？

解：略.

情境二：呈現(xiàn)楚雄州的旅游風景名勝資源：楚雄世界恐龍谷旅游區(qū)(如圖2所示)、元謀土林(如圖3所示)等風光照.

圖2 楚雄世界恐龍谷

圖3 元謀土林

根據(jù)情境二，自然引出課本中的問題1作為探究問題二.

問題二：隨著中國經(jīng)濟高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式．由于旅游人數(shù)的不斷增加，楚雄世界恐龍谷旅游區(qū)(A地)、元謀土林(B地)兩景區(qū)自2001年起采取了不同的應對措施，A地提高了景區(qū)門票價格，而B地則取消了景區(qū)門票．

設計意圖：結(jié)合當?shù)芈糜钨Y源，找到與教材中問題1聯(lián)系的結(jié)合點，順勢引入問題二，符合學生的實際生活背景，并且也讓學生有親切感和代入感.這開啟了良好的開端，為后面的數(shù)學作鋪墊，起到了“未譜曲調(diào)先有情”的效果.

1.2.1 發(fā)現(xiàn)和提出問題

問題3：假如你是地方政府工作人員，面對游客人數(shù)的變化，你該關注什么問題？

解：略.

設計意圖：將學生代入角色，引導學生發(fā)現(xiàn)和提出問題，巧妙引出探究A、B兩種方案對應的游客人次的年增長量問題.緊緊圍繞教材內(nèi)容，但又不拘泥于教材，步步為營，將學生置身問題情境中，激起學生的求知欲和認知沖突.

1.2.2 建立和求解模型

呈現(xiàn)教材中的數(shù)據(jù)(如表1所示)：A、B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次及逐年增加量．

表1 A、B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次及年增加量

引導學生通過對數(shù)據(jù)的觀察和分析，試著去比較A、B兩種方案對應游客人次的年增長量并發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

問題4：比較兩地景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的變化規(guī)律？

引導學生利用數(shù)形結(jié)合的方法探尋規(guī)律.根據(jù)上表分別畫出A，B兩地景區(qū)采取不同措施后15年的游客人次變化圖象.

解：略.

設計意圖：引導學生觀察圖4可以得出A地景區(qū)游客人次近似直線上升，年增加量約為10萬次，為后面的例3中求圖4的函數(shù)解析式f(x)奠定基礎；觀察圖5可以看出B地景區(qū)游客人次為非線性增長，年增加量越來越大，用現(xiàn)有的知識求不出圖5的函數(shù)解析式，為接下來探求此函數(shù)解析式埋下伏筆.

圖4

圖5

問題5：求出圖5的函數(shù)解析式.

引導學生分組探究：通過對B地景區(qū)每年的游客人次做相應的運算(一些組做減法，一些組做除法)去發(fā)現(xiàn)游客人次的變化規(guī)律，從而建立相應的數(shù)學模型描述出此變化規(guī)律.最后，通過學生的探究能找出刻畫圖5的函數(shù)解析式：y=1.11x(x∈[0,+∞)).

解：略.

設計意圖：A地有相同的增長量(年增加量大致為10萬次)，但B地游客增長量不同，不能憑借增長量求出B地游客人數(shù)y與年數(shù)x的關系式，應該尋找相同的量(增長率)來刻畫圖5的函數(shù)解析式.通過分組探究，讓學生掌握做減法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增長率.增加量、增長率是兩個很重要的刻畫事物變化規(guī)律的量.

1.2.3 指數(shù)函數(shù)概念的引入

結(jié)合這兩個函數(shù)解析式的求解過程，教師引導學生思考：這兩個函數(shù)刻畫了哪類運動變化現(xiàn)象？決定這類運動變化現(xiàn)象的要素是什么？要素之間的相互關系如何？可以用怎樣的數(shù)學模型來刻畫？然后，歸納這兩個函數(shù)的共性，并指出指數(shù)x∈R時ax(a>0，且a≠1)有意義，從而給出刻畫這類現(xiàn)象變化規(guī)律的函數(shù)的定義：

一般地，函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R．

讓學生自主探究問題6.

問題6：指數(shù)函數(shù)定義中為什么規(guī)定a大于0且不等于1?

設計意圖：引導學生觀察兩個函數(shù)解析式的共同特點，抽象出指數(shù)函數(shù)定義，并通過對指數(shù)函數(shù)定義中底數(shù)a的范圍探究，讓學生感悟抽象思維、分類討論的數(shù)學思想.結(jié)合函數(shù)解析式：y=1.11x(x∈[0,+∞))的求解過程分析，讓學生理解指數(shù)函數(shù)刻畫的現(xiàn)實事物變化規(guī)律的關鍵詞是“增長率為常數(shù)”，發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法是做除法運算.這為后續(xù)學生懂得哪些實際問題可以通過建立指數(shù)函數(shù)型來解決做好鋪墊.

以上教學圍繞兩個情境(情境一、情境二)及一系列環(huán)環(huán)相扣的問題鏈(三個大問題(問題一、問題二、問題三)和6個小問題(問題1—問題6))的探究，使教學不再僅僅停留在指數(shù)函數(shù)概念的知識表層，而且深入到知識產(chǎn)生過程中所嵌入的思想、方法與思維，并賦予知識和問題文化內(nèi)涵，使學生在主動學習和探究的過程中，積累了分析和解決問題的經(jīng)驗，使其數(shù)學建模、數(shù)學抽象、數(shù)學運算、直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng)得以提升.

1.3 概念鞏固，模型應用

1.3.1 指數(shù)函數(shù)概念的理解鞏固

例1判斷下列函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)：

總結(jié)：.

例2已知函數(shù)f(x)=ax(a>0，且a≠1)且f(3)=π，求f(0)，f(1)，f(-3)的值．

解：略.

設計意圖：通過辨析指數(shù)函數(shù)和求解指數(shù)函數(shù)解析式及其函數(shù)值，強化對指數(shù)函數(shù)概念的理解.

1.3.2 應用指數(shù)函數(shù)模型分析和解決問題

進一步呼應情境一及問題一，引導學生進一步利用指數(shù)函數(shù)模型分析和解決問題.

例3(1) 在學習活動一中，某生物死亡后，過了10 000年，它體內(nèi)碳14的含量衰減為原來的多少倍？

解：略.

進一步呼應情境二及問題二，引導學生進一步利用指數(shù)函數(shù)模型分析和解決問題.

(2) 在學習活動二中，如果平均每位游客出游一次可給當?shù)貛? 000元門票之外的收入，A地景區(qū)的門票價格為150元，設經(jīng)過x年，游客給A，B兩地帶來的收入分別為f(x)和g(x)，請求出f(x)和g(x).

解：略.

(3) 在(2)的基礎上，請比較這15年間A，B兩地旅游收入變化情況．

解：略.

設計意圖：利用指數(shù)函數(shù)模型進一步解決與問題一和問題二相關的問題，讓學生進一步了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，從而加深對指數(shù)函數(shù)概念的理解和應用.同時引出形如y=kax(k∈R，且k≠0，a>0，且a≠1)的函數(shù)是刻畫指數(shù)增長或指數(shù)衰減變化規(guī)律的常用函數(shù)模型.

在以上例題講解的基礎上，讓學生自主完成以下練習題：

楚雄市2020年底人口為63萬，人均住房面積為46 m2，計劃2025年底人均住房達到50 m2，如果該市將每年人口平均增長率控制在1%，那么要實現(xiàn)上述計劃，這個城市平均每年至少要增加住房萬m2.(精確到整數(shù)，注：1.015≈1.05)

解：略.

設計意圖：利用指數(shù)函數(shù)型模型，進一步解決和學生家庭相關的實際問題，培養(yǎng)學生的應用意識，幫助學生切實感受數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，認識數(shù)學在社會、科學、經(jīng)濟等領域的作用，發(fā)展學生數(shù)學建模素養(yǎng)，提高實踐能力，進而讓學生逐步學會用數(shù)學語言表達世界.

2 思考和建議

數(shù)學教育與歷史文化密切相關，不同的文化導致不同的教與學.少數(shù)學民族學生在主流文化中學習面臨的困難是由文化沖突和文化差異造成的[2].文化背景凝聚著民族智慧和文化烙印[3].把地方文化資源從“文化學術形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”，將地方文化(特別是民族文化)引進數(shù)學課堂，既擴大了學生的數(shù)學學習資源，又能使學生體驗到數(shù)學就在身邊，能增強學生對民族文化的認同和民族自豪感，還利于激發(fā)少數(shù)民族學生數(shù)學學習的興趣和自信心.

我國少數(shù)民族文化多姿多彩、特色鮮明、形式多樣，具有濃郁的地域特色.在其歷史發(fā)展進程中，他們創(chuàng)造了大量有價值的文化、藝術、科學等文獻典籍，建造了富有民族特色的建筑，產(chǎn)生了絢麗多彩的民俗文化，它們或源于生產(chǎn)實踐，或源于宗教信仰，或源于活動儀式，或源于居住環(huán)境和服飾等.少數(shù)民族地區(qū)的數(shù)學教育工作者要以文化為視角，從當?shù)厣贁?shù)民族族源文化、傳統(tǒng)文化和現(xiàn)代旅游、休閑文化中，搜集整理其民族的宗教、天文歷法、建筑、服飾、科技、工藝等民族文化文獻典籍、實物等，從中整理和挖掘民族文化資源，得到第一手鮮活的民族文化資料.然后，在對民族文化中數(shù)學文化的挖掘的基礎上，將這些文化資源結(jié)合主流數(shù)學教材編寫相關教學案例，并應用于數(shù)學課堂教學和地方、校本課程資源開發(fā)中.

現(xiàn)行數(shù)學教材不可能滿足各民族地區(qū)多種文化背景的教育需求.如何在具有濃厚和豐富文化底蘊的地方(民族)文化中選擇和開發(fā)符合民族學生生活環(huán)境、思維方式、數(shù)學學習的素材和文化資源融入數(shù)學課堂教學？這對民族地區(qū)的數(shù)學教育工作來說，是值得思考的問題.以上案例只是在現(xiàn)行數(shù)學教材中的情境、實例、問題中尋找銜接少數(shù)民族地區(qū)學生的生活經(jīng)驗和文化背景的契合點的一些嘗試，借此拋磚引玉，讓更多數(shù)學教育工作者能參與其中，為提升少數(shù)民族地區(qū)的數(shù)學教育教學質(zhì)量貢獻自己的智慧！