福建省莆田市秀嶼區(qū)東嶠珠江小學(xué) 莊航海

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)量關(guān)系與空間形式是兩個(gè)學(xué)習(xí)主體，其中數(shù)量關(guān)系是最基礎(chǔ)、最重要的一對(duì)關(guān)系，把握好這一關(guān)系是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。正如同語文、英語等語言學(xué)科需要良好的語感作支撐，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也離不開良好的數(shù)感。新頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》分階段提出了小學(xué)與初中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體內(nèi)容，其中小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就包括了數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力等在內(nèi)的11個(gè)具體的核心素養(yǎng)，這是在高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)首次提出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)上的進(jìn)一步明確。在課程標(biāo)準(zhǔn)所提及的11項(xiàng)具體的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，數(shù)感與量感排在前兩位，這不是一種隨機(jī)性的表述，而是體現(xiàn)了兩者的基礎(chǔ)性與重要性。

一、數(shù)感與量感是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵品格與必備能力

數(shù)與量是既獨(dú)立又緊密聯(lián)系的兩個(gè)數(shù)學(xué)概念，數(shù)感與量感之間同樣具備這兩種關(guān)系。數(shù)感與量感作為小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的兩個(gè)重要方面，對(duì)小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言是十分重要和關(guān)鍵的，以下對(duì)兩者的內(nèi)涵及其意義分別進(jìn)行闡述。

1.數(shù)感及其重要性。

數(shù)感是指對(duì)數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果的直觀感悟。培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)感，有利于幫助他們更好地理解數(shù)的意義與數(shù)量關(guān)系，讓他們初步感受數(shù)學(xué)寓言表達(dá)的簡(jiǎn)潔與精確，提高他們的數(shù)學(xué)好奇心，培養(yǎng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對(duì)數(shù)和數(shù)量關(guān)系缺乏敏感性，如加法計(jì)算中，常常出現(xiàn)和小于其中一個(gè)加數(shù)的情況；減法計(jì)算中，常常出現(xiàn)差大于被減數(shù)的情況；一奇數(shù)一偶數(shù)的加減運(yùn)算常常為偶數(shù)，兩奇數(shù)相加減常常為奇數(shù)，或兩偶數(shù)相加減為奇數(shù)等等。如果學(xué)生具備基本的數(shù)感，就會(huì)對(duì)這些數(shù)以及數(shù)量關(guān)系有一定的敏感性，能避免很多錯(cuò)誤。如“20以內(nèi)數(shù)的退位減法”習(xí)題13-8，被減數(shù)13為奇數(shù)，減數(shù)8為偶數(shù)，其差一定是一個(gè)小于13的奇數(shù)。那么，小于13的奇數(shù)有哪些？其中哪些比較接近答案？只有3、5、7（1、9、11明顯差太多），再來看“3”，由于13-10=3，減數(shù)為8而不是10，所以正確答案為“5”。因此對(duì)于這樣的計(jì)算，只要有一定的數(shù)感，即便不借助破十法等傳統(tǒng)的算法來計(jì)算，學(xué)生也能夠輕松地算出答案。

2.量感及其重要性。

量感是指對(duì)事物的可測(cè)量屬性及大小關(guān)系的直觀感知。培養(yǎng)小學(xué)生的量感，有利于幫助他們養(yǎng)成定量的方法認(rèn)識(shí)和解決問題的習(xí)慣，這是形成抽象能力和應(yīng)用意識(shí)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。量是確定、計(jì)測(cè)數(shù)量、重量、面積、體積、角度、時(shí)間、日期等大小多少的工具，小學(xué)數(shù)學(xué)中的量只包含標(biāo)量，即只有大小的量（另一種為向量，不做討論）。對(duì)量的可測(cè)屬性尤其是大小關(guān)系的正確感知，能幫助學(xué)生順利地解決問題，如在“長(zhǎng)度單位”學(xué)習(xí)中，對(duì)10厘米、5分米、7米、2千米等長(zhǎng)度的大小有比較接近的估計(jì)，能夠?qū)ξ木吆?、書本、課桌等物品的長(zhǎng)度大小進(jìn)行大概的估計(jì)，能夠借助身體（如用拃來測(cè)量物體長(zhǎng)度、用踱步來測(cè)量一段距離）等等。又如在“重量單位”的克、千克、噸等單位的重量有直觀的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知，能就所給出的物體及提示的數(shù)的大小選擇正確的單位，如1只蘋果的重量為200（克），1袋大米的重量為15（千克），一頭成年大象的體重為4（噸），能夠根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)知識(shí)來估計(jì)不同物體的具體重量等等。對(duì)各種量的大小及其計(jì)測(cè)有比較直觀、正確的感知，能就各種事物、圖形的數(shù)量大小及其關(guān)系進(jìn)行理性的感知和判斷，具備以定量的方法認(rèn)識(shí)各種數(shù)學(xué)概念以及解決數(shù)學(xué)問題的能力。

二、數(shù)感與量感的培養(yǎng)需要貫穿于學(xué)生日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程

數(shù)感與量感對(duì)小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是不可或缺、極為重要的，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種關(guān)鍵品格與必備能力。小學(xué)生的數(shù)感與量感不是與身俱來的，需要在數(shù)學(xué)課堂中進(jìn)行有意識(shí)地滲透和培養(yǎng)，循序漸進(jìn)地養(yǎng)成與提高。本人在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，十分注重日常學(xué)習(xí)的數(shù)感與量感的滲透式培養(yǎng)，取得了一定的教學(xué)效果，具體做法如下。

1.借助數(shù)學(xué)游戲，培養(yǎng)數(shù)量興趣。

基于教育心理學(xué)的觀點(diǎn)不難分析出，內(nèi)心對(duì)數(shù)字有排斥心理甚至恐懼感的學(xué)生是不能形成良好的數(shù)感與量感的，也是無法學(xué)好數(shù)學(xué)的。開展學(xué)生積極參與、思維活躍的數(shù)學(xué)游戲，能有效地拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)的距離。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有了好奇心、有了探究的樂趣，數(shù)感、量感的培養(yǎng)才有基礎(chǔ)。游戲是打造趣味課堂的有效載體，游戲化教學(xué)是小學(xué)各學(xué)科教學(xué)的重要理念與有效手段。設(shè)計(jì)新穎有趣的數(shù)學(xué)游戲，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單、有趣，能很好地激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。怎樣圍繞數(shù)與量來設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)游戲呢？本人設(shè)計(jì)了如下幾種好玩的游戲，現(xiàn)分享其中常玩的3種。

一是“過目不忘”的數(shù)字游戲。數(shù)感中最基本的是讓學(xué)生具備用數(shù)來表示物體的個(gè)數(shù)與事物的順序的能力，這是數(shù)的基本認(rèn)知能力。如一年級(jí)上冊(cè)《認(rèn)識(shí)圖形（一）》的教學(xué)中，教師給學(xué)生播放一張圖，圖中有不同數(shù)量的長(zhǎng)方體、正方體、球、圓柱，給學(xué)生觀看3秒鐘后退出界面，讓學(xué)生正確地說出這四種立體圖形各有多少個(gè)。在認(rèn)識(shí)數(shù)字“8和9”的教學(xué)中，給學(xué)生展示一張十二生肖的動(dòng)物圖卡，同樣讓學(xué)生觀察3秒鐘，讓學(xué)生說說第8位是什么動(dòng)物、第9位是什么動(dòng)物。這樣的數(shù)學(xué)小游戲在簡(jiǎn)單的數(shù)數(shù)與觀察順序的基礎(chǔ)上增加了一點(diǎn)難度，同時(shí)也更具新意。通過觀看圖片，在學(xué)生頭腦中迅速建立起物體的數(shù)量與順序的感知，提高對(duì)數(shù)的敏感性。

二是“思維快車”的計(jì)算游戲。數(shù)感的培養(yǎng)要求學(xué)生體會(huì)并表達(dá)事物所蘊(yùn)含的簡(jiǎn)單數(shù)量規(guī)律，需要一定的數(shù)學(xué)思維，借助數(shù)學(xué)計(jì)算。如二年級(jí)上冊(cè)《連加、連減和加減混合》的教學(xué)中，進(jìn)行數(shù)字飛行棋的計(jì)算游戲：從數(shù)字0開始投骰子，0位置的算式為45+20，從1開始往后每一步都有不同的加法或者減法計(jì)算要求，如1是（+15），投出的骰子點(diǎn)數(shù)為1，則計(jì)算45+20+15；再投骰子，點(diǎn)數(shù)為4，此處的計(jì)算提示為（-12），則要計(jì)算45+20+15-12，以此類推。這樣的連加連減游戲讓學(xué)生充滿未知計(jì)算的期待，投入感十足。

三是“度量猜猜猜”的估算量值游戲。如學(xué)習(xí)長(zhǎng)度單位“厘米、分米、米”中，教師拿出一顆糖果，提問：“有誰猜出這顆糖長(zhǎng)度有多少？”學(xué)生根據(jù)自己對(duì)厘米這個(gè)長(zhǎng)度的感性認(rèn)識(shí)進(jìn)行估計(jì)，有猜5厘米的，有猜6厘米的，有猜7厘米的，最后教師進(jìn)行測(cè)量，答案最精確的學(xué)生獲得這顆糖果。又如如學(xué)習(xí)重量單位“克”的課堂中，教師準(zhǔn)備多種物品，如一個(gè)蘋果、一本書、一包零食等，先讓學(xué)生拿在手里掂量掂量，然后猜猜它們的重量。學(xué)生也會(huì)根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)以及掂量的親身感知進(jìn)行重量的猜測(cè)，如一個(gè)蘋果200克、一本書300克、一包零食85克等等。教師給學(xué)生進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)的測(cè)重，看看他們估計(jì)的重量與實(shí)際的重量有多少偏差。這種關(guān)于長(zhǎng)度、面積、體積、時(shí)間、重量等量的估計(jì)，對(duì)于學(xué)生感知量的大小很有幫助。

2.打好運(yùn)算基礎(chǔ)，強(qiáng)化數(shù)字敏感。

數(shù)與數(shù)量關(guān)系的外在表現(xiàn)形式主要在于數(shù)的運(yùn)算，要求學(xué)生在運(yùn)算法則、運(yùn)算律的運(yùn)用中正確計(jì)算解答算式，這是數(shù)感培養(yǎng)的基礎(chǔ)與關(guān)鍵。

一是強(qiáng)化口算練習(xí)。首先是在基礎(chǔ)口算中打好基礎(chǔ)?；A(chǔ)口算主要是指簡(jiǎn)單的加減乘除口算，旨在熟練運(yùn)用四則運(yùn)算的法則來口頭計(jì)算比較簡(jiǎn)單的少步驟（通常為一步）計(jì)算，100以內(nèi)的加減法，表內(nèi)乘法、表內(nèi)除法、簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算、小數(shù)與分?jǐn)?shù)的加減乘除運(yùn)算等等。要求學(xué)生不借助紙筆的情況下進(jìn)行口頭計(jì)算。這類基礎(chǔ)口算應(yīng)貫穿于小學(xué)低中高三個(gè)學(xué)段中，日復(fù)一日地練習(xí)，做到熟能生巧。其次是在高階口算中發(fā)展運(yùn)算思維。高階口算，是學(xué)生在借助運(yùn)算法則與運(yùn)算律的基礎(chǔ)之上，融入簡(jiǎn)便意識(shí)與簡(jiǎn)便算法，將復(fù)雜的計(jì)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)便的口算的過程，這對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有很好的鍛煉作用。如五年級(jí)上冊(cè)小數(shù)乘法學(xué)習(xí)中，學(xué)生要善于建立整數(shù)乘法與小數(shù)乘法之間的聯(lián)系，將整數(shù)乘法的運(yùn)算定律推廣到小數(shù)乘法中，降低計(jì)算難度，運(yùn)用簡(jiǎn)便計(jì)算來把復(fù)雜的筆算轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)易的口算。如8.1×3.7+1.9×3.7=___的計(jì)算中，看到8.1與1.9這兩個(gè)數(shù)字，以及它們的共同的乘數(shù)3.7，聯(lián)想到乘法的結(jié)合律，將其轉(zhuǎn)化為（9.1+1.9）×3.7=37，極大地簡(jiǎn)化了計(jì)算過程，提高了計(jì)算的精度。又如0.52×101=______的計(jì)算中，看到101這個(gè)特殊數(shù)字，想到運(yùn)用乘法分配率的算法，將其轉(zhuǎn)化為0.52×（100+1）=52+0.25=52.52。這比直接筆算無疑更快速、更準(zhǔn)確。學(xué)生建立審題意識(shí)，發(fā)現(xiàn)算式中的特點(diǎn)，知道出題者的意圖，靈活選擇簡(jiǎn)便計(jì)算方法來進(jìn)行高階化的口算解答，是數(shù)感提升的有效途徑。

二是重視科學(xué)估算。數(shù)感是對(duì)數(shù)量大小及其關(guān)系的直觀感受，是主觀性的直覺與判斷。估算不是猜測(cè)，而是基于算理下的科學(xué)推測(cè)，其對(duì)小學(xué)生數(shù)感的養(yǎng)成十分重要。教師在日常的數(shù)學(xué)課堂中應(yīng)重視估算，并以此為契機(jī)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)，闡述自身的思維過程，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性與科學(xué)性，形成更高的對(duì)數(shù)字的感知能力。如五年級(jí)下冊(cè)分?jǐn)?shù)的教學(xué)中經(jīng)常涉及分?jǐn)?shù)大小比較，在不通分的情況下是否能夠比較兩個(gè)分子、分母都不相同的分?jǐn)?shù)的大??？顯然是可以的，如，在不轉(zhuǎn)化為同分母的分?jǐn)?shù)的前提下，怎么判斷兩者大小？學(xué)生可以進(jìn)行這對(duì)分?jǐn)?shù)的類比思考，很顯然后者大于前者，以此類推也大于如果用代數(shù)的方式來表示，即

又如常見的工程問題，甲單獨(dú)完成一項(xiàng)工作需要24天，乙單獨(dú)完成一項(xiàng)工作需要18天，兩人合作完成這項(xiàng)工作需要多少天？學(xué)生在解決這個(gè)問題之前，也可以通過數(shù)學(xué)分析的方法來進(jìn)行估算：假設(shè)甲乙都需要18天，那么兩人合作需要9天；而甲的工作速度不及乙，乙拖了彼此后腿，可以推算兩人合作所需要的時(shí)間大于9天。再反過來假設(shè)，乙單獨(dú)做也需要24天，甲乙合作需要12天；而實(shí)際上乙的速度比甲快，故而兩人合作所需要的時(shí)間小于12天，所以答案在9~12之間。如果該題是選擇題，學(xué)生能夠輕松地排除部分顯而易見的錯(cuò)誤答案。這就是基于數(shù)理的科學(xué)估算，可見科學(xué)的估算蘊(yùn)含著正確的數(shù)學(xué)邏輯思維活動(dòng)，有助于小學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)。

3.開展度量實(shí)踐，增進(jìn)數(shù)量感知。

正如史寧中教授所說的：數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于度量，無論是數(shù)還是量，都是通過度量產(chǎn)生的。度量實(shí)踐對(duì)小學(xué)生數(shù)感與量感的培養(yǎng)都是大有裨益的，其是體驗(yàn)式、實(shí)踐性、情境化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形式，集游戲、實(shí)驗(yàn)與操作于一體，借助合理得到或者估計(jì)度量結(jié)果。

一是數(shù)量大小的猜想到實(shí)證。很多教師在教學(xué)與量相關(guān)的內(nèi)容時(shí)，通常缺乏了體驗(yàn)與探究這一教學(xué)環(huán)節(jié)的創(chuàng)設(shè)，而更多的是生硬地灌輸與講授。對(duì)小學(xué)生而言，他們對(duì)量的感知能力不強(qiáng)，對(duì)于一個(gè)物體，其長(zhǎng)度大小、其重量多少?zèng)]有概念。本人認(rèn)為，與其告訴學(xué)生一本書的寬度為21厘米、一只蘋果的重量大概為200克、一塊半圓式400米標(biāo)準(zhǔn)田徑場(chǎng)的面積為10400余平方米等等，不如讓學(xué)生自己利用度量工具去親自發(fā)現(xiàn)與證實(shí)。在度量之前先讓學(xué)生對(duì)所度量的物體進(jìn)行觀察、觸碰，感受其大小與質(zhì)量，進(jìn)行初步的數(shù)量大小的估計(jì)；再借助長(zhǎng)度、重量等度量的工具進(jìn)行測(cè)算，再與自己的預(yù)估進(jìn)行比較。如此對(duì)數(shù)量大小的感知就能夠趨于客觀真實(shí)，量感也能夠得到有效提升。

二是度量方案的制定到實(shí)施。對(duì)事物可測(cè)量屬性的感知是學(xué)生量感培養(yǎng)的一個(gè)重要方面，要求學(xué)生能夠針對(duì)所度量的具體內(nèi)容、現(xiàn)實(shí)情境來選擇適當(dāng)?shù)墓ぞ?、?jì)量單位，并制定科學(xué)適宜的度量計(jì)劃。如五年級(jí)下冊(cè)“容積和容積單位”這一教學(xué)內(nèi)容中，教師拋出問題：對(duì)于一只形狀不規(guī)則的鴨梨，有什么辦法能測(cè)量出它的體積？對(duì)于不規(guī)則物體體積的測(cè)量，最佳方式是將其轉(zhuǎn)化為液體體積測(cè)量。學(xué)生提出方案：用量杯量出一定體積的水，記好水的刻度；再將鴨梨完全沒入水中，再次記錄水的刻度；最后計(jì)算出水面上升的體積，則為鴨梨的體積。這種轉(zhuǎn)化思想幫助學(xué)生將不能以常規(guī)測(cè)量方法測(cè)量的物體轉(zhuǎn)化為方便測(cè)量的物體，順利解決問題。類似的，用比的知識(shí)來測(cè)量旗桿的高度，讓看似難以測(cè)量的旗桿的變得簡(jiǎn)單易得。

結(jié)束語

數(shù)感與量感是小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的兩個(gè)重要方面，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要的作用。將數(shù)感與量感的培養(yǎng)滲透到日常的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，通過趣味游戲來激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，通過數(shù)學(xué)運(yùn)算來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，通過度量實(shí)踐來提升學(xué)生的量感，一體兩翼，齊頭并進(jìn)，讓學(xué)生對(duì)數(shù)與量有更好的直觀感知，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得簡(jiǎn)單。