魯正，周超杰，陳蕓菲

（1.同濟大學土木工程學院，上海 200092；2.同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092）

引言

隨著城市化進程的快速發(fā)展，高層建筑等工程結構越來越多，人們抵抗自然災害的需求變得愈發(fā)迫切。地震和臺風作用下建筑結構會受到嚴重的損壞甚至倒塌，從而造成大量的人員傷亡和財產損失。因此可以采用結構振動控制的方法，減小結構在地震和風荷載下的動力響應。結構振動控制按其控制方式的不同分為4類：被動控制［1－2］、主動控制［3－4］、半主動控制［5－6］和混合控制［7－8］。而被動控制因其概念簡單、機理明確同時無需外部能量等優(yōu)點被廣泛應用于實際工程中［9－11］。

顆粒調諧質量阻尼器（particle tuned mass damper，PTMD）是顆粒阻尼器與調諧質量阻尼器的結合，利用調諧質量阻尼器的調諧機制，吸收主體結構的震動能量并放大顆粒阻尼器的震動幅值，從而提高顆粒阻尼器在主體結構震動幅值較小時的減震性能，同時增加減震魯棒性［12－13］。在土木工程領域，魯正等［14］研究了參數(shù)對于PTMD結構控制效果的影響。此外，魯正等［15］還對附加PTMD的5層鋼框架結構進行了試驗研究，結果表明，PTMD具有較好的減震效果。

顆粒調諧質量阻尼器往往需要達到一定質量比才能夠起到較好的結構響應控制效果，但附加質量過大可能會引起主體結構所受到的地震作用變大，進而影響阻尼器的控制效果。同時在實際應用時，腔體內顆粒數(shù)量的增加會帶來更大的噪聲，質量塊體型較大不便于實際安裝應用。因此，將慣容系統(tǒng)引入PTMD，利用慣容元件質量放大效應，能夠很好地解決這個問題并實現(xiàn)輕質化設計，同時慣容系統(tǒng)有放大阻尼的作用，對于結構響應控制能夠起到更好的效果。

1 慣容系統(tǒng)動力分析

慣容器是一種具有輕質物理質量的兩端點慣性元件，其物理模型如圖1所示。慣性可以讓慣容器的物理質量效應放大數(shù)千倍［14－15］，因此慣容器是一種非常有效的減震裝置，其并不需要過大的質量，就能夠實現(xiàn)輕量化控制［16－18］。

圖1 慣容器的示意圖Fig.1 Diagram of the inerter

慣容器的輸出力與其兩端的相對加速度相關：

式中：Fin為慣容器輸出力；比例系數(shù)min為慣質系數(shù)分別為慣容器兩端加速度。

慣容器在簡諧激勵下滯回曲線如圖2所示，可見慣容要實現(xiàn)更好的結構減震的效果，需要與消能裝置（阻尼器）配合工作。此外，慣容系統(tǒng)還能夠使慣容單元共振以放大阻尼單元的位移，從而提高阻尼單元的耗能效率。

圖2 簡諧激勵下慣容單元滯回曲線Fig.2 Hysteresis loop of inerter under harmonic excitation

然而不同慣容系統(tǒng)表現(xiàn)出不同的性能，目前有3種典型慣容系統(tǒng)［11］Combination 1（C1）、Combination 2（C2）、Combination 3（C3），如圖3所示。文中以慣容系統(tǒng)C2為例，探究其性能及其動力特性，為將慣容系統(tǒng)和PTMD結合提供理論基礎。分析時，將慣容系統(tǒng)一端接地，另一端附加簡諧荷載u=umsin(ω0t)，其中ω0為簡諧荷載的激勵圓頻率，um為激勵幅值。

圖3 慣容系統(tǒng)C1、C2和C3在簡諧激勵下示意圖Fig.3 Schematic diagram of inerter systems C1，C2 and C3 under harmonic excitation

慣容系統(tǒng)C2中，慣容元件與阻尼元件并聯(lián)后與彈簧元件串聯(lián)，如圖3（b）所示，在其運動方程中位移未知量為xd。此時，慣容系統(tǒng)C2的運動方程為：

式中：min為慣容單元的慣質系數(shù)；cd為阻尼單元的阻尼系數(shù)；ks為彈簧單元的彈性系數(shù)；xd分別為慣容元件的位移、速度和加速度響應。

其特解為xd=Acos(ω0t)+Bsin(ω0t)，將其代入至運動方程，與C1解法相同，可以得到慣容系統(tǒng)C2的等效質量系數(shù)為：

等效阻尼系數(shù)為：

式中，η為頻率比η=，其中ω為慣容系統(tǒng)的圓頻率ω=為阻尼比ξ=

慣容系統(tǒng)C2在不同頻率比η下的等效質量系數(shù)和等效阻尼系數(shù)如圖4所示。對于慣容系統(tǒng)C2來說，當頻率比小于1時，大部分區(qū)間等效質量系數(shù)大于1，同時當頻率比略大于1時，也能夠起到質量放大的作用。從圖4可以看出慣容系統(tǒng)C2能夠有效起到阻尼放大作用，其原因是慣容器具有吸收能量的作用并轉移能量至阻尼單元，同時阻尼單元與慣容單元相連能放大位移，從而提高了阻尼耗能效率。從質量放大效應和阻尼放大效應兩方面來看，慣容系統(tǒng)C2具有較好的減震控制性能。

圖4 慣容系統(tǒng)C2的等效系數(shù)Fig.4 Equivalent coefficient of C2 inerter system

2 雙調諧顆粒慣容系統(tǒng)理論分析

2.1 雙調諧顆粒慣容系統(tǒng)力學模型

經過上述分析發(fā)現(xiàn)，慣容系統(tǒng)C2能有效地產生阻尼放大效應，選擇將慣容系統(tǒng)C2替換PTMD中的阻尼單元（如圖5（a）所示），利用慣容單元的質量放大效應和阻尼放大效應，形成雙調諧顆粒慣容系統(tǒng)PIS，一種具有更佳減震性能的輕質化被動控制系統(tǒng)。它由慣容系統(tǒng)、調諧彈簧和含有顆粒的腔體構成，其中慣容系統(tǒng)與調諧彈簧并聯(lián)后與腔體串聯(lián)，PIS附加于主體結構上，其力學模型如圖5（b）所示。

圖5 PTMD及PIS力學模型示意圖Fig.5 Mechanical models of a structure with PTMD and PIS

2.2 顆粒阻尼器簡化模型

由于多顆粒阻尼器的減震效果及魯棒性都較單顆粒好，因此在實際應用中通常采用多顆粒調諧質量阻尼器。然而，顆粒和顆粒之間的碰撞十分復雜，其非線性特征十分明顯，因此文中將多顆粒阻尼器簡化為單顆粒阻尼器進行模擬［19］。其非線性彈性力方程G(z)和非線性阻尼力方程H(z,z)分別為：

通過使用碰撞彈簧剛度kp和顆粒阻尼系數(shù)cp來模擬顆粒與腔體壁之間的碰撞行為，則顆粒－腔體壁的非線性控制力為：

2.3 附加PIS單自由度結構體系運動方程

當雙調諧顆粒慣容系統(tǒng)附加在單自由度結構體系，受到外力作用下的運動方程為：

作為對比，PTMD的運動方程為：

式中：x分別為主體結構的位移、速度和加速度；xc分別為腔體的位移、速度和加速度：xp分別為顆粒的位移、速度和加速度；xd分別為慣容系統(tǒng)中阻尼單元和慣容單元的相對位移、速度和加速度；m、c、k為主體結構的質量、阻尼系數(shù)及剛度系數(shù)；mc、cc、kc分別為腔體的質量、阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)；cc和kc代表腔體與主體結構的相互作用；mp、cp、kp分別為等效單顆粒的質量、顆粒阻尼系數(shù)和顆粒碰撞彈簧剛度；kp和cp代表顆粒與腔體壁之間的碰撞行為。顆粒與腔體的控制力為如式（7）所示，P為外力，F(xiàn)IS為慣容系統(tǒng)的輸出力，其既等于阻尼單元和慣容單元出力之和，又等于彈簧單元的出力。與傳統(tǒng)PTMD的運動方程相比，慣容系統(tǒng)的輸出力FIS替代了傳統(tǒng)PTMD阻尼單元的出力，由先前對于慣容系統(tǒng)C2的研究，可以發(fā)現(xiàn)其能夠起到質量放大效應以外，還能夠提高阻尼單元的阻尼，從而具有更好的減震控制能力。

使用PIS的目的是控制結構的動態(tài)響應，其主要包括結構的位移和加速度。通常，判斷阻尼系統(tǒng)的控制效果的主要評估指標為峰值響應和均方根響應，其分別能夠評估結構的在時間歷程上位于某一時刻的最大響應和整個時間歷程上的減震效果。而減震率可以直接評估阻尼系統(tǒng)的減震效果，其定義為：

式中：αPIS為PIS的減震率；αPTMD為PTMD的減震率；RUC為無控狀態(tài)下結構的響應；其可以是響應的峰值、均方根；RPIS為附加PIS的結構響應；RPTMD為附加PTMD的結構響應。為了能夠定量比較PIS與PTMD的減震性能，定義PIS較PTMD相對減震性能優(yōu)勢為：

式中：β為PIS相對于PTMD的減震性能優(yōu)勢。

3 減震效果分析

3.1 數(shù)值模擬參數(shù)設計

本節(jié)將選取單自由度結構體系對PIS結構響應控制性能進行初探。主體結構的參數(shù)［19］為：質量7.6 kg，抗側剛度為k=500 N/m，自振頻率f為2.58 Hz，阻尼比ξ為0.014。

在研究PIS的減震效果時，需要對其慣質比μin、附加質量比μPIS、腔體質量占比μc、頻率比、慣容系統(tǒng)頻率比IS、系統(tǒng)阻尼比ξPIS、慣容系統(tǒng)阻尼比ξIS和顆粒阻尼比ξd進行設計分析，其計算式如式（12）所示：

式中：慣質比μin為慣質系數(shù)min與主體結構質量m的比值；附加質量比μPIS由于慣容物理質量較小可以忽略不計；因此可定義為腔體與顆粒質量之和與主體結構質量的比值；頻率比為系統(tǒng)圓頻率ωPIS與主體結構的頻率ω的比值；慣容系統(tǒng)頻率比IS為慣容系統(tǒng)圓頻率ωIS與系統(tǒng)圓頻率ωPIS的比值；系統(tǒng)阻尼比ξPIS中的阻尼為慣容系統(tǒng)中阻尼單元的阻尼cd；其計算質量為系統(tǒng)總質量；慣容系統(tǒng)阻尼比ξIS中的阻尼為慣容系統(tǒng)中阻尼單元的阻尼cd；其計算質量為慣質系數(shù)min；所設計的參數(shù)取值范圍詳見表1［20－21］。

表1 雙調諧顆粒慣容系統(tǒng)參數(shù)取值Table 1 Parameters value of PIS

3.2 減震控制性能

選用3條地震波作為輸入的外界激勵，以探究雙調諧顆粒慣容系統(tǒng)附加于單自由度結構體系在地震激勵下的減震控制性能，其分別為El Centro地震波、Taft地震波和Northridge地震波，并將3條地震波的峰值加速度調整為0.1 g。圖6給出了地震激勵的加速度時程曲線及頻譜曲線，可以發(fā)現(xiàn)3條地震波的頻率主要集中在0～5 Hz，且分布表現(xiàn)各不相同。

圖6 地震波加速度時程曲線及頻譜曲線Fig.6 Acceleration time history curve and spectrum curve of seismic wave

在地震激勵下，得到主體結構附加雙調諧顆粒慣容系統(tǒng)的位移時程響應和加速度時程響應，并將PIS附加于主體結構的時程曲線與無控狀態(tài)、附加PTMD的時程曲線作對比，如圖7所示。在相同參數(shù)下，PIS對主體結構動力響應的減震控制性能較PTMD好，尤其是整個時程中的均方根響應控制性能。在時程初期，與PTMD相比，PIS能夠更快地降低位移幅值，并且對位移峰值控制效果更佳。而在時程后期，PIS較PTMD可以更大幅度地降低主體結構的均方根位移、加速度響應。PTMD引入慣容系統(tǒng)后減震控制性能提高的主要原因在于，傳統(tǒng)PTMD通過阻尼單元和顆粒－腔體、顆粒－顆粒之間的非彈性碰撞與摩擦進行能量耗散，而慣容系統(tǒng)的引入，一方面可以放大阻尼單元的線性耗能效率，即等效阻尼系數(shù)變大，另一方面慣容單元還可以吸收存儲能量并將能量傳遞至腔體及其內部顆粒，激勵顆粒與腔體的碰撞運動，從而產生更多的非線性耗能，提高其耗能能力。

圖7 地震激勵下附加PIS、PTMD和無控狀態(tài)的主體結構響應曲線Fig.7 Seismic responses of a SDOF structure with PTMD，PIS and without control under El Centro wave

表2列出了2種阻尼器對主體結構的減震率?？梢钥闯?，在3條地震波激勵下，PIS較PTMD表現(xiàn)出更好的均方根響應控制效果，對峰值響應的控制也具有一定優(yōu)勢。在Northridge波作用下，PIS與PTMD相比峰值位移響應減震率提高了27.86%，峰值加速度響應減震率提高了26.57%。然而在El Centro波作用下PIS的峰值加速度控制效果不明顯，這是由于PIS的啟動存在一定的時滯效應，但從整個時程來看，減震效果仍保持良好。

表2 El Centro波激勵下附加PIS、PTMD結構的峰值響應、均方根響應減震率Table 2 Seismic responses reduction ratio of a SDOF structure with PTMD，PIS under El Centro wave

3.3 阻尼器運行行程

在實際工程應用時，阻尼器的運行行程會影響主體結構的空間設計，當阻尼器的運行行程較大時，主體結構需要預留更多空間給阻尼器，從而導致成本提高。因此，除了阻尼器的減震控制性能需要被研究外，阻尼器運行行程也是重要指標。選取El Centro波作為地震激勵，圖8繪制了阻尼器腔體與主體結構之間的相對位移時程曲線。由于慣容的引入，PIS的腔體相對位移峰值較PTMD有顯著的下降，在El Centro波地震激勵作用下減少了57.21%。其下降的原因主要是由于慣容系統(tǒng)會出力限制腔體的位移，而慣容系統(tǒng)的儲能使得腔體與顆粒的碰撞更加劇烈，從而導致PIS能夠在提高顆粒碰撞摩擦耗能效率的同時使得阻尼器的腔體相對主體結構位移減小。

圖8 El Centro波激勵下附加PIS和PTMD的腔體相對位移時程圖Fig.8 Relative displacement responses of the container in PTMD and PIS under El Centro wave

3.4 輕質化特點

從上述研究可以發(fā)現(xiàn)，當雙調諧顆粒慣容系統(tǒng)和顆粒調諧質量阻尼器具有相同的附加質量比時，雙調諧顆粒慣容系統(tǒng)的減震效果優(yōu)于PTMD，同時能夠減小阻尼器運行行程。利用慣容元件可以產生比其物理質量高達數(shù)千倍表觀質量的特性，從而解決傳統(tǒng)PTMD附加質量比過大時導致主體結構所受到的地震作用力變大及實際工程中無法符合噪聲要求、阻尼器安裝空間的問題，同時實現(xiàn)輕質化設計。以輸入El Centro波為例，研究PIS的輕質化特點。

表3給出了在地震波作用下當PIS和PTMD附加于同一單自由度結構時，PIS的輕質化優(yōu)勢可高達95%，顯著減小了阻尼器的附加質量比，即PIS可以實現(xiàn)輕質化減震控制并產生較好的控制效果。此外，阻尼器的附加質量比越小，PIS的輕質化優(yōu)勢越大；而隨著阻尼器附加質量比的增大，附加質量比中質量的減少量進一步增大（表3第5列數(shù)據），也就是說在附加大質量比情況下PTMD的輕質化更加有效可觀。

表3 El Centro波激勵下PIS和PTMD達到相近減震效果時附加質量對比Table 3 Comparison of additional mass of PTMD and PIS under excitation by the El Centro earthquake with the same control performance

4 結論

文中提出的雙調諧顆粒慣容系統(tǒng)，能進一步增強顆粒調諧質量阻尼器震動控制性能，具有輕質化特點。主要結論如下：

（1）基于簡諧激勵分析典型的慣容系統(tǒng)C2的動力響應特性，發(fā)現(xiàn)慣容系統(tǒng)C2能夠實現(xiàn)質量放大及阻尼放大的效果，具有較好的減震控制性能。

（2）雙調諧顆粒慣容系統(tǒng)較調諧質量阻尼器具有更好的減震控制效果，Northridge波作用下，PIS與PTMD相比峰值位移響應減震率提高了27.86%，峰值加速度響應減震率提高了26.57%。其主要是由于慣容具有良好的能量儲存能力，可將能量傳遞到PTMD，進一步激發(fā)顆粒與腔體之間的碰撞，產生更多的非線性耗能，提高其耗能效率。

（3）雙調諧顆粒慣容系統(tǒng)能夠減小阻尼器腔體位移，在El Centro波地震激勵作用下PIS相對于PTMD的阻尼器行程可減少57.21%，這是由于慣容系統(tǒng)會出力以限制腔體的位移，在實際應用中可以降低阻尼器對主體結構空間預留的需求。

（4）雙調諧顆粒慣容系統(tǒng)具有輕質化特點，以輸入El Centro波為例，當阻尼器在達到同樣的減震效果時所需要的附加質量更小，且阻尼器的附加質量比越小，PIS的輕質化優(yōu)勢越大。