王喜敏,袁 杰,寇巧媛

(新疆大學 電氣工程學院，新疆 烏魯木齊 830017)

群智能優(yōu)化算法包括2個搜索階段： 勘探階段和開發(fā)階段[1]?？碧诫A段是指盡可能廣泛、隨機和全局地搜索解空間的過程；開發(fā)階段是指算法在勘探階段獲得區(qū)域內(nèi)搜索更精確解的能力，隨機性降低，精確度提高。當算法的勘探能力占優(yōu)時，可以更好地搜索解空間，產(chǎn)生更多的差異化解集，從而快速收斂。當算法的開發(fā)能力占優(yōu)時，更多地進行局部搜索，以提高解集的質量和精度。然而，當勘探能力得到改善時，會導致開發(fā)能力的降低，反之亦然。因此，對優(yōu)化問題有效的2個階段之間取得適當?shù)钠胶馐蔷哂刑魬?zhàn)性的。典型群智能優(yōu)化算法包括粒子群優(yōu)化算法(PSO)[2]、灰狼優(yōu)化算法(GWO)[3-4]、鯨魚優(yōu)化算法(WOA)[5]、螢火蟲算法[6-7]、布谷鳥算法[8]等。黏菌算法(SMA)是由Li等[9]于2020年提出的一種基于種群的元啟發(fā)式算法，黏菌的振蕩行為類似于細菌覓食優(yōu)化算法[10-11]。該算法相比其他群智能算法具有更優(yōu)的搜索能力，應用于太陽能光伏電池參數(shù)優(yōu)化[12-13]、電力系統(tǒng)穩(wěn)定器參數(shù)優(yōu)化[14]、路徑規(guī)劃[15]、任務調度[16-17]、旅行商問題[18]等領域。

SMA算法仍存在一些缺點，比如算法隨著搜索增加會陷入局部最優(yōu)、收斂性能下降，所以，研究人員對SMA算法進行了一定的改進。肖亞寧等[19]提出一種基于混沌精英黏菌算法(CESMA)，提高了算法的搜索能力，用于優(yōu)化PID控制參數(shù)；Chen等[20]提出混沌SMA(CSMA)，集成Logistic混沌映射，提高搜索效率，提供了更好的開發(fā)模式；Zhao等[21]開發(fā)基于Levy飛行的改進SMA，引入Levy flight來代替均勻分布和高斯分布調用的隨機權值，在探索開發(fā)階段取得良好的性能；Zhao等[22]提出混合SMA和Harris hawk優(yōu)化(HHO)，利用更多的方式更新個體；Gao等[23]提出混合GWO算法與SMA算法，以改善原有SMA算法，的早熟收斂性能；Wu等[24]提出一種基于正交學習策略(OLS)和邊界重啟策略(BRS)的OBSMA算法，提高了算法的全局優(yōu)化能力；Hu等[25]提出一種離散覓食策略的DFSMA算法，應用于生物醫(yī)學數(shù)據(jù)的特征選擇，提高了全局搜索能力，但是存在執(zhí)行時間過長的問題；Wei等[26]提出一種基于領導者和跟隨者機制的ISMA算法，較好地解決了無功優(yōu)化調度(ORPD)問題中的精度和計算時間上的不足；Naik等[27]開發(fā)了一個領導者SMA(LSMA)以改善SMA的搜索過程，選擇最優(yōu)的候選解作為LSMA的領導者進行指導，應用于多光譜圖像，取得了良好性能。雖然目前改進方法對算法全局勘探能力和開發(fā)能力有所優(yōu)化，但在平衡算法的勘探和開發(fā)能力上還有待提高。

基于上述研究，為了均衡SMA算法的勘探能力和開發(fā)能力，本文在SMA中引入Tent混沌映射反向學習策略，生成反向種群，選擇多樣性好的種群作為初始種群來提高搜索效率，更好地利用解的局域性；引入自適應權值策略和擾動策略更新黏菌位置，平衡算法全局搜索能力和局部開發(fā)能力，避免算法早熟，快速獲得全局最優(yōu)位置。最后，對經(jīng)典測試函數(shù)的尋優(yōu)曲線進行分析，相較于其他算法，改進SMA算法收斂速度和收斂精度均得到提升。

1 基本黏菌算法

SMA算法是一種隨機優(yōu)化方法，模擬黏菌尋找食物過程的3個階段：發(fā)現(xiàn)食物、接近食物和包圍食物[28]。SMA算法利用適應性權值W來模擬基于生物振蕩器的黏菌傳播波的正負反饋系統(tǒng)結合產(chǎn)生的過程，該生物振蕩器旨在展示連接食物的最優(yōu)路徑，權重發(fā)生變化，選擇不同的更新策略。但是基于隨機搜索的更新過程，導致種群多樣性差問題；其次，2個隨機個體的選擇導致算法可能會陷入局部最優(yōu)。

1.1 發(fā)現(xiàn)食物階段

當食物濃度滿足條件時，區(qū)域附近的權重較大；當食物濃度較低時，該區(qū)域的權重會降低，從而轉向其他區(qū)域探索。

(1)

式中：

νb=[-a,a]；

(2)

(3)

p=tanh|S(i)-FD|，i∈1,2,…,N。

(4)

W權重更新策略為

(5)

SmellIndex=sort(S)。

(6)

式(1)中：r表示[0,1]區(qū)間內(nèi)的隨機值；Xb(t)表示當前獲得的最佳位置；W為權重；XA(t)和XB(t)是隨機選擇的2個個體；vb是控制參數(shù)；vc從1線性減小到0；t代表當前迭代次數(shù)；X(t)表示當前位置；p是選擇開關。式(3)中：t表示當前迭代次數(shù)；tmax表示最大迭代次數(shù)。式(4)中：S(i)是進行排序后的種群；FD是所有迭代中最佳值。式(5)為權重W更新，其中：矢量Fb表示當前迭代過程中獲得的最優(yōu)適應值；Fω表示當前迭代過程中得到的最差適應值；condition表示S(i)是種群的前半部分，i=N/2。式(6)中SmellIndex對適應度值進行排序。

1.2 接近食物階段

接近食物階段是模擬黏菌靜脈結構內(nèi)的收縮方法，位置根據(jù)食物質量進行調整，也就是說，食物的濃度越高，該區(qū)域的權重就越大。否則，根據(jù)式(7)將該區(qū)域的權值轉換為其他區(qū)域。位置更新策略為

(7)

式中：R表示[0,1]區(qū)間內(nèi)的隨機值；Bl和Bu表示搜索空間范圍的下界和上界；z表示切換概率，決定SMA是探索其他食物源還是圍繞最佳個體搜索；其他變量同公式(1)。

1.3 包圍食物階段

包圍食物階段是模擬vb的行為，vb在區(qū)間[-a,a]中以隨機方式浮動，并隨著迭代次數(shù)的增加逐漸減小到零。vc的值在[0,1]之間浮動，最終到達0。

2 多策略的改進黏菌算法

2.1 基于Tent映射反向學習的初始化種群策略

在SMA算法中，對初始種群使用了隨機策略，通過一定范圍的上下界實現(xiàn)隨機取值，但這種隨機策略使得最優(yōu)解質量和收斂速度等方面不太理想。為了盡可能充分利用解的空間信息，提高最優(yōu)解的質量和增強初始解搜索空間的勘探能力，本文針對SMA算法的缺點，采用Tent映射反向學習策略對種群進行重新初始化，以便獲得更優(yōu)的初始種群。

2.1.1 Tent映射

研究表明，利用混沌運動的隨機性、規(guī)律性和遍歷性的優(yōu)勢，能夠產(chǎn)生豐富且多樣性的初始種群。已知的混沌映射有Tent映射、Logistic映射等，Tent映射的遍歷均勻性要明顯強于Logistic映射[29]，產(chǎn)生的初始值均勻分布在[0,1]區(qū)間，在提高算法的收斂速度方面有明顯的效果。Tent混沌映射表達式為

(8)

當φ∈(0,1)，且xk∈[0,1]時，系統(tǒng)(8)處于混沌狀態(tài)。

2.1.2 反向學習策略

豐富的種群多樣性能提高算法的搜索效率，減少計算時間，提高全局收斂能力。反向學習策略[30]是一種提高搜索效率的方法，采用對其初始種群求反向解的思想，增加搜索種群的多樣性，進而提高最佳點的質量。其基本思路是：如果在D維度空間X=(X1,X2,…,XD)上存在一點，并且xi(i=1,2,…,D)分布在[c,d]區(qū)間內(nèi)，反向點x′i=c+d-xi，i∈[0,D]。所以種群X′i為Xi的反向種群，反向種群的計算公式為

X′i=Li+Ui-Xi。

(9)

式中：Li和Ui分別為上下界；Xi為原初始種群；X′i為反向種群。

將原始種群和反向種群合并為一個新種群X=(Xi∪X′i)，然后計算適應度值并進行排序，選取前N個點作為初始種群X。

2.2 自適應權值策略

受群智能優(yōu)化算法的啟發(fā)，黏菌算法在搜索過程中的隨機分布限制了全局搜索范圍。位置更新中加入一個隨迭代次數(shù)變化的權值ω，ω的特點是迭代早期值較大，后期值較小。在算法迭代前期，選擇較大搜索步長，以提高全局搜索能力，提高算法遍歷全局的效果，避免出現(xiàn)早熟收斂；在迭代后期，選擇較小搜索步長，以提高局部搜索，加快收斂速度。姜天華[31]提出非線性調整收斂因子，采用帶有權重的個體位置更新和局部搜索算法，提高了算法的局部搜索能力。本文引入非線性變化的自適應權值策略，均衡算法勘探和開發(fā)能力，充分保證算法的有效性，自適應權值如式(10)[32]，式中：ωinitial、ωfinal表示初始值和最終值，ω的范圍為[0,1]；t是當前的迭代次數(shù)；T是最大迭代次數(shù)。

(10)

改進后的位置更新公式為

(11)

本文引入自適應權值策略的位置更新，隨著迭代次數(shù)增加，非線性動態(tài)改變權值。早期迭代中權值較大，能夠獲得較強的探索能力，快速向全局最優(yōu)值靠攏，從而提高算法的收斂速度；后期迭代中選擇較小權值，提高跳出局部最優(yōu)值的能力。

2.3 擾動策略

黏菌更新位置的時候，一般選擇當前最優(yōu)位置進行更新，使得搜索范圍變窄，迭代次數(shù)減少。為了提高全局搜索效率，選擇對當前最優(yōu)位置添加一個擾動，并對位置信息進行貪婪策略判斷，判斷當前位置是否最優(yōu)。對當前位置進行隨機擾動，公式為

(12)

采用貪婪機制策略進行判斷是否保留擾動，公式為

(13)

本文提出的改進SMA算法步驟如下：

Step1 初始化各參數(shù)，基于Tent混沌映射和反向學習策略生成初始種群X；

Step2 計算適應度值，進行排序；

Step3 根據(jù)迭代條件更新p、vb、vc；

Step4 每次迭代中通過式(5)、(7)、(11)更新位置、權重；

Step5 重新計算適應度值，同時選擇適應的更新位置公式，選擇最優(yōu)位置；

Step6 利用式(12)和(13)對當前最優(yōu)位置進行擾動更新；

Step7 判斷是否滿足設定的終止條件，如果是，輸出全局最優(yōu)值，算法結束，否則回到Step2。

3 仿真實驗及分析

本文仿真實驗的所有算法均在相同條件下進行，保證公平性。將PSO[2]、GWO[3]、WOA[5]、SMA[9]和本文多策略的改進SMA算法應用于選取的測試函數(shù)，并對結果進行對比分析。

3.1 測試函數(shù)

本文選取5個經(jīng)典測試函數(shù)來驗證算法的有效性，測試函數(shù)如表1所示。單峰函數(shù)f1和f2用來測試本文算法的局部開發(fā)能力，多峰函數(shù)f3、f4、f5用來測試本文算法的全局搜索能力。

表1 測試函數(shù)Tab. 1 Test function

算法的參數(shù)設置如表2所示，參數(shù)的選擇是基于原文作者使用的參數(shù)或各種研究人員廣泛使用的參數(shù)[6]。其中，設置種群的規(guī)模N=30，最大迭代次數(shù)T=1 000，維度D=30，為了減少算法運行隨機因素的影響，將算法在測試函數(shù)中單獨運行30次，取平均值作為最終運行結果。

表2 參數(shù)設置Tab. 2 Parameter settings

3.2 實驗對比與分析

所有仿真實驗在Windows10操作系統(tǒng)，Intel Core i5處理器上，基于MATLAB 2018b進行。通過結合算法迭代到最優(yōu)值的迭代次數(shù)和尋到最優(yōu)值所用時間來綜合評價收斂速度，通過數(shù)據(jù)分析收斂精度，本文從收斂速度和收斂精度2個角度分析算法的搜索效率。

3.2.1 改進SMA算法與SMA、PSO、GWO、WOA的對比

為了直觀清晰觀察算法的收斂性，給出測試函數(shù)f1～f5收斂曲線，如圖1所示。收斂曲線能直觀看出收斂速度和陷入局部最優(yōu)問題，橫坐標為迭代次數(shù)，縱坐標為適應度值。記錄最優(yōu)函數(shù)值的標準差和平均值數(shù)據(jù)，如表3所示。

圖1 與經(jīng)典算法對比時函數(shù)f1 ～ f5尋優(yōu)曲線Fig. 1 Optimization curve of functions f1 ～ f5 when the classicol algorithm compares

表3 改進的SMA算法與SMA、PSO、GWO、WOA算法實驗結果對比Tab. 3 Comparison of test function results between improved SMA algorithm and SMA, PSO, GWO and WOA algorithms

圖1給出各算法分別在30維度空間的尋優(yōu)曲線。從收斂速度分析，圖1(a)中，PSO、WOA、GWO在1 000次迭代過程中未搜索到極值點；SMA算法在迭代次數(shù)為50時出現(xiàn)陷入局部極值的情況，直到700次附近找到極值點0；而多策略的改進SMA算法的曲線平滑，沒有出現(xiàn)陷入局部極值點現(xiàn)象，在迭代次數(shù)達到300附近已經(jīng)尋得全局極值點0。

圖1(b)中存在陷入局部極值現(xiàn)象，PSO、WOA、GWO陷入不同的局部極值中；SMA算法在迭代中多次陷入局部最優(yōu)，到達1 000次迭代時出現(xiàn)平行于x軸的平行線，均未尋得極值點0；而改進的SMA算法由于策略的引入，避免陷入局部最優(yōu)，在迭代次數(shù)為600左右時，尋得全局極值點0，使得算法的收斂速度優(yōu)于其他算法。

觀察圖1(c)(多峰函數(shù)f3)，PSO算法陷入局部最優(yōu)值，WOA、GWO、SMA、改進的SMA算法找到全局最優(yōu)極值點0。WOA和GWO快速跳出局部現(xiàn)象，當?shù)螖?shù)達到300附近時找到全局最優(yōu)極值點0，SMA算法在200次附近找到全局極值點，而改進SMA算法比SMA算法提前約150代找到全局極值點0，迭代次數(shù)相較SMA算法減少約170代。

在圖1(d)中，PSO、WOA、GWO、SMA算法的收斂曲線均在多策略改進的SMA算法上方，已經(jīng)出現(xiàn)局部問題，收斂速度慢，而改進的SMA算法在搜索過程中未出現(xiàn)陷入局部極值現(xiàn)象，迭代次數(shù)在50左右快速收斂尋得全局最優(yōu)值8.882×10-16，改進的SMA算法相較于SMA算法收斂速度得到提高。

Griewank(f5)函數(shù)能夠測試算法跳出局部能力，改進的SMA算法在迭代次數(shù)50之前已經(jīng)找到全局極值點0，SMA算法出現(xiàn)陷入局部最優(yōu)的現(xiàn)象。圖1(e)說明引入多策略的改進SMA算法大幅度減少了算法收斂到全局最優(yōu)值的迭代次數(shù)。

從收斂精度分析，表3數(shù)據(jù)顯示，改進的SMA算法得到的平均值和標準差均優(yōu)于比較算法，找到f2函數(shù)全局極值點0，而SMA算法的最優(yōu)值為5.330×10-207，未找到全局極值點0，改進算法的收斂精度得到提高。

綜上所述，圖1(a)、(b)中表現(xiàn)出算法的局部開發(fā)能力明顯提高，圖1(c)、(d)、(e)在全局搜索方面表現(xiàn)較優(yōu)，PSO、WOA、GWO、SMA算法存在陷入局部最優(yōu)的現(xiàn)象，而多策略的改進SMA算法避免了局部極值問題，曲線的收斂速度優(yōu)于其他算法，能較快找到全局最優(yōu)值，收斂精度得到較大提高。

3.2.2 改進的SMA算法與SMA、CESMA的仿真實驗分析

為進一步充分驗證改進的SMA算法的有效性，選取SMA、CESMA與改進的SMA算法比較，結果如圖2所示。給出相關算法在30維空間運行30次的數(shù)據(jù)，記錄最優(yōu)函數(shù)值的標準差和平均值，如表4所示。

圖2 與改進算法對比時f1 ～ f5函數(shù)尋優(yōu)曲線Fig. 2 Optimization curve of function f1 ～ f5 when the improred algorithm compares

表4 改進的SMA算法與CESMA、SMA算法實驗結果對比Tab. 4 Comparison of test function results between improved SMA algorithm, CESMA algorithm and SMA algorithm

圖2給出測試函數(shù)在30維空間的尋優(yōu)曲線。從收斂速度分析，圖2(a)是Sphere(f1)函數(shù)仿真結果，改進的SMA算法的收斂曲線位于CESMA和SMA下方，迭代次數(shù)為300左右時尋得全局極值點0；而CESMA和SMA在搜索過程中出現(xiàn)較多的局部極值，由于CESMA算法引入Tent混沌映射反向學習策略，相較于SMA算法，更快找到全局最優(yōu)值。改進的SMA算法引入自適應權值策略和擾動策略，明顯提高了全局搜索能力，迅速朝著全局最優(yōu)值搜索，避開了局部最優(yōu)值，算法的收斂速度效果較佳，相較于CESMA算法，迭代次數(shù)減少約58%，收斂效果優(yōu)于CESMA和SMA算法。

圖2(b)是Schwefel 2.22函數(shù)仿真結果，改進的SMA在550次左右找到全局極值點0，此時CESMA和SMA陷入局部最優(yōu)值，無法避免局部極值點，最終未尋到全局極值點0。相較于CESMA和SMA算法，改進的SMA算法尋得全局極值點0，收斂精度相對較高。

在圖2(c)、圖2(e)中，改進的SMA收斂速度優(yōu)于CESMA和SMA算法，在迭代次數(shù)為30左右已經(jīng)尋得極值點0。CESMA和SMA算法雖然找到全局最優(yōu)值，但是SMA在迭代過程中經(jīng)過更多的迭代次數(shù)才跳出局部極值現(xiàn)象，跳出局部能力較弱；CESMA算法在迭代次數(shù)為60左右時迅速跳出局部，尋得全局最優(yōu)值0。引入Tent混沌反向學習策略的CESMA算法相較于SMA算法克服了陷入局部極值問題，引入自適應權值策略和擾動策略的改進SMA算法解決了早期容易陷入局部極值問題，同時算法的搜索效率相較于SMA算法和CESMA算法都有所提高。

圖2(d)中改進的SMA相較于CESMA算法尋到全局最優(yōu)值的迭代次數(shù)減少約75%，相較于SMA算法減少約76%。

從收斂精度分析，表4數(shù)據(jù)中，改進的SMA算法，除f4外均找到極值點0，而CESMA雖然精度高于SMA算法，但二者均未找到f2和f4函數(shù)極值點0，多策略的改進SMA算法收斂精度優(yōu)于CESMA和SMA算法。

綜上所述，圖2(a)、(b)中表現(xiàn)出改進的SMA算法的局部開發(fā)能力明顯提高，圖2(c)、(d)、(e)表現(xiàn)出其在全局搜索方面較優(yōu)。多策略的改進SMA算法通過引入映射反向學習策略提高了算法的收斂精度；引入自適應權值策略和擾動策略進一步提高算法的勘探能力，快速獲得全局最優(yōu)解。

本文還對算法的收斂速度通過該算法迭代到最優(yōu)值的迭代次數(shù)和平均總運行時間進行綜合評估。表5給出收斂精度較高的3種算法迭代到全局最優(yōu)值的迭代次數(shù)、每代消耗時間、平均總運行時間數(shù)據(jù)。從表5數(shù)據(jù)分析可知，改進的SMA算法尋到全局最優(yōu)值的迭代次數(shù)相對較少，在較短時間內(nèi)找到全局最優(yōu)值，平均總運行時間也相對較短，進一步說明改進的SMA算法在收斂速度上的優(yōu)越性。

表5 平均總運行時間Tab. 5 Average total running time

4 結語

針對黏菌算法(SMA)搜索效率低和易陷入局部最優(yōu)的問題，本文提出一種多策略的改進黏菌算法。通過Tent混沌映射反向學習策略優(yōu)化初始種群，提高了算法收斂速度。自適應權值策略避免了算法局部極值現(xiàn)象，提高了黏菌靠近和獲取食物的速度，算法的勘探能力和收斂精度得到較大提高。擾動策略對最優(yōu)位置進行擾動更新，找到較佳的全局最優(yōu)值，算法能夠避免早熟現(xiàn)象。通過分析測試函數(shù)的尋優(yōu)結果，表明多策略的改進SMA算法打破了早熟現(xiàn)象，獲得較高的搜索效率，不僅收斂速度得到提高，較快地找到全局最優(yōu)值，而且具有較高的收斂精度，尋得極值點。相較于對比算法，具有較好的全局搜索和跳出局部極值能力，充分驗證了改進算法的有效性。