劉夢(mèng)哲 汪曉勤

(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

1 引言

圓心角、圓周角和弦切角的概念及相關(guān)定理是“圓”一章的重要內(nèi)容，深刻揭示了圓中的弧、弦、角之間的關(guān)系．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出，要求學(xué)生理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念；探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系，了解并證明圓周角定理及其推論[1]．

在已有的教學(xué)設(shè)計(jì)中，張安軍基于學(xué)生所學(xué)習(xí)過(guò)的垂徑定理，從圓的軸對(duì)稱性引出圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，從而探究弧、弦、圓心角之間的關(guān)系[2]．高建成基于學(xué)科大概念對(duì)圓周角的教學(xué)進(jìn)行重構(gòu)，由圓心角類比圓周角，由此形成定義，從分類討論中提煉模型，由此證明定理[3]．林秋華在圓周角定義的基礎(chǔ)上，得到弦切角的定義，并從動(dòng)態(tài)的角度引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、歸納得到弦切角定理[4]．可見(jiàn)，在實(shí)際教學(xué)中，教師會(huì)讓學(xué)生通過(guò)觀察，給出圓心角、圓周角和弦切角的定義；通過(guò)探究圓的旋轉(zhuǎn)不變性，發(fā)現(xiàn)弧、弦、圓心角之間的關(guān)系；通過(guò)分類討論并利用三角形外角定理，證明圓周角定理．

HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)于學(xué)生理解知識(shí)、掌握技能以及增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)過(guò)程與方法的理解起到了十分重要的作用[5]．然而，手頭無(wú)史料卻成為阻礙教師在教學(xué)過(guò)程中開(kāi)展HPM實(shí)踐的一大原因．教師對(duì)圓心角、圓周角和弦切角的歷史知之甚少，相關(guān)的HPM課例付之闕如．鑒于此，本文聚焦圓心角、圓周角和弦切角，對(duì)美英早期幾何教科書(shū)進(jìn)行考察，希望從中獲得恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)素材和思想啟迪，為今后的課例研究提供參考．

2 早期教科書(shū)的選取

本文選取1829—1948年間出版的87種美英早期幾何教科書(shū)作為研究對(duì)象，以20年為一個(gè)時(shí)間段進(jìn)行劃分，其出版時(shí)間分布情況如圖1所示．其中，對(duì)于同一作者再版的教科書(shū)，若內(nèi)容無(wú)顯著變化，則選取最早的版本，若內(nèi)容有顯著變化，則將其視為不同的教科書(shū)．

圖1 87種美英早期幾何教科書(shū)的出版時(shí)間分布

關(guān)于圓心角、圓周角和弦切角的內(nèi)容主要位于“圓”“直線和圓”“角度測(cè)量”“圓和正多邊形”等章節(jié)中．其中，圓心角和圓周角的概念大多出現(xiàn)在“圓”一章的“定義”一節(jié)，圓心角定理大多出現(xiàn)在“圓心角”一節(jié)，而圓周角定理和弦切角定理大多出現(xiàn)在“角度測(cè)量”一節(jié)．

3 圓心角的概念

在58種給出圓心角概念的教科書(shū)中，定義方法可以分為鄰邊定義、靜態(tài)定義和頂點(diǎn)定義3類，具體分類情況見(jiàn)表1．

表1 圓心角概念的定義分類

4 圓心角定理

所謂圓心角定理，即在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，相等的弧所對(duì)的圓心角相等．因此，證明圓心角定理需證明以下兩個(gè)命題：

命題1 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等；

命題2 在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等．

4.1 命題1的證明

·疊合法

圖2 命題1的證明

·弧弦關(guān)系法

·比例法

4.2 命題2的證明

·疊合法

類似于證明命題1的方法，通過(guò)平移和旋轉(zhuǎn)使兩扇形重合后同樣可以證明命題2．有46種教科書(shū)采用了疊合法，其中27種選擇從半徑重合出發(fā)，14種選擇從弧重合出發(fā)，5種僅提及使用這一方法．

·弧弦關(guān)系法

·反證法

通過(guò)假設(shè)在同圓或等圓中，等弧所對(duì)圓心角不相等，再利用命題1中的結(jié)論即可導(dǎo)出矛盾．有3種教科書(shū)采用了這一方法．

圖3 利用反證法證明命題2

·比例法

有2種教科書(shū)采用這一方法．在同圓或等圓中，因?yàn)閳A心角所對(duì)的弧相等，即兩弧的比值為1，而圓心角的比值等于其所對(duì)弧長(zhǎng)的比值，所以兩弧所對(duì)圓心角也相等[11]．

·圓周角法

圖4 利用圓周角法證明命題2

·逆定律法

所謂逆定律(law of converse)是指：若A>B?X>Y，A=B?X=Y，AY?A>B，X=Y?A=B，X

5 圓周角的概念

在87種美英早期教科書(shū)中，除5種沒(méi)有給出圓周角概念外，其余82種教科書(shū)通常將圓周角稱為an inscribed angle或an angle inscribed in a circle，并給出了詳細(xì)解釋．圓周角概念的定義方法可以分為靜態(tài)定義、鄰邊定義和動(dòng)態(tài)定義3類．表2是圓周角概念的定義分類情況．

表2 圓周角概念的定義分類

6 圓周角定理

在87種美英早期教科書(shū)中，78種教科書(shū)將圓周角定理表述為：圓周角等于其所對(duì)弧的一半；9種教科書(shū)將其表述為：一條弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)圓心角的一半.后者與現(xiàn)行教科書(shū)給出的表述相一致．其中，證明上述定理的方法可以分為三角形外角法、平行線法以及弦切角法3類．

6.1 三角形外角法

在給出圓周角定理證明過(guò)程的86種教科書(shū)中，有93%的教科書(shū)利用了三角形外角定理．如圖5，在⊙O上任取一個(gè)圓周角∠BAC，于是可以分三種情況進(jìn)行討論，即圓心O在∠BAC的邊上、內(nèi)部以及外部[17]．

圖5 利用三角形外角法證明圓周角定理

如圖5(1)，即圓心O在∠BAC的邊AB上的情況．連結(jié)OC，因?yàn)镺A=OC，所以∠BAC=∠C，于是，由三角形外角定理可知，∠BOC=∠BAC+∠C=2∠BAC．對(duì)于圖5(2)的情況，因?yàn)椤螧OD=2∠BAD，∠DOC=2∠DAC，故∠BOC=2∠BAC．同理，對(duì)于圖5(3)的情況，也可得∠BOC=2∠BAC．

6.2 平行線法

圖6 利用平行線法證明圓周角定理

有3種教科書(shū)采用了平行線法，即過(guò)圓心作圓心角一邊的平行線，進(jìn)而完成證明．對(duì)于圓周角一邊過(guò)圓心的情形，如圖6，過(guò)圓心O作OE∥AC，于是∠BAC=∠BOE，∠C=∠COE．又因?yàn)镺A=OC，所以∠BAC=∠C，于是∠BAC=∠BOE=∠COE，故∠BOC=2∠BAC．其他兩種情形的論證同6.1節(jié)[18]．

6.3 弦切角法

圖7 利用弦切角定理證明圓周角定理

另一種方法為Grund所采用．如圖7(2)，因?yàn)椤螧OA=2∠BAE，∠COA=2∠CAD，2(∠BAE+∠BAC+∠CAD)=360°，故得∠BOC=360°-(∠BOA+∠COA)=360°-2(∠BAE+∠CAD)=2∠BAC．[11]

7 弦切角及弦切角定理

在87種美英早期教科書(shū)中，并沒(méi)有直接給出弦切角的概念，而只是在弦切角定理中有所提及．其中，有54種教科書(shū)在定理或證明中將弦切角定義為由一條切線和一條過(guò)切點(diǎn)的弦所夾的角；有32種教科書(shū)將弦切角定義為由切線和弦所夾的角，但沒(méi)有指出弦切角的頂點(diǎn)在圓周上，而是在圖中指明弦切角；剩余1種教科書(shū)中沒(méi)有弦切角定理．

相比于弦切角概念的單一表述，弦切角定理的證明方法則非常豐富．所謂弦切角定理，即弦切角的大小等于它所夾的弧所對(duì)圓心角的一半，等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角．在84種給出弦切角定理證明的教科書(shū)中，證明方法可以分為圓周角法、平行線法、垂徑定理法和動(dòng)態(tài)法4類．

7.1 圓周角法

有超過(guò)半數(shù)的教科書(shū)在證明弦切角定理的時(shí)候，不約而同地用到了圓周角定理的3個(gè)推論，即 ①同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，②直徑所對(duì)的圓周角是直角，③圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．

圖8 利用圓周角法證明弦切角定理

7.2 平行線法

圖9 利用平行線法證明弦切角定理

7.3 垂徑定理法

圖10 利用垂徑定理法證明弦切角定理

7.4 動(dòng)態(tài)法

圖11 利用動(dòng)態(tài)法證明弦切角定理

8 教學(xué)啟示

綜上所述，在與圓有關(guān)的角這一主題上，美英早期教科書(shū)為我們呈現(xiàn)出圓心角、圓周角和弦切角的多種定義方式以及圓心角定理、圓周角定理和弦切角定理的多種證明方法，這些方式或方法為今日教學(xué)帶來(lái)了諸多啟示．

第一，在引入圓心角、圓周角和弦切角的概念時(shí)，可以先讓學(xué)生嘗試從這幾個(gè)角的名字出發(fā)進(jìn)行描述，隨后向?qū)W生指出圓中這三個(gè)角的位置并讓學(xué)生予以補(bǔ)充，最后教師對(duì)不同的定義方法進(jìn)行總結(jié)和完善．這樣循循善誘的教法，一方面給予了學(xué)生今后自學(xué)概念的方法，更重要的是讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，有助于構(gòu)建知識(shí)之諧．

第二，在證明圓心角定理、圓周角定理以及弦切角定理時(shí)，教科書(shū)上單一的證明方法可能會(huì)束縛學(xué)生的思維，形成思維定勢(shì)，這并不符合創(chuàng)新性人才培養(yǎng)的要求．教師可以引導(dǎo)學(xué)生一題多思、一題多解、一題多變，在掌握課本上的證明方法之后，開(kāi)展小組探究活動(dòng)，嘗試使用不同的工具來(lái)證明這些定理．一方面，“頭腦風(fēng)暴”式的數(shù)學(xué)課堂有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造能力，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，最終開(kāi)拓學(xué)生的思路，發(fā)展學(xué)生的智力．另一方面，學(xué)生在探究中能加深對(duì)于這幾個(gè)定理的理解，在豁然開(kāi)朗時(shí)體會(huì)到成功所帶來(lái)的喜悅，有助于營(yíng)造探究之樂(lè)．

第三，抽絲剝繭，深入挖掘定理證明背后的數(shù)學(xué)思想．例如，采用疊合法證明圓心角定理中的類比思想、利用三角形外角定理證明圓周角定理中的分類討論思想、采用平行線法證明弦切角定理中的化歸思想等，無(wú)疑是數(shù)學(xué)課堂上的寶貴思想養(yǎng)料．這一切不僅使原本枯燥的定理學(xué)習(xí)變得精彩紛呈，同時(shí)還有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)，有助于彰顯方法之美、實(shí)現(xiàn)能力之助．

第四，在介紹圓心角、圓周角和弦切角的概念及定理時(shí)，可以借助微視頻，展示各國(guó)數(shù)學(xué)家探索這三類角的概念和有關(guān)定理的過(guò)程，追溯知識(shí)源流，呈現(xiàn)多元文化．與此同時(shí)，數(shù)學(xué)家對(duì)于數(shù)學(xué)真理的不懈追求與熱愛(ài)，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)背后的理性精神，最終達(dá)成德育之效．