楊維

(桂林理工大學(xué)理學(xué)院,桂林 541004)

由于 SL(n,R) 戶(hù)田黑洞具有很好的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),是研究黑洞物理較為理想的場(chǎng)所.本文主要研究其黑洞的霍金輻射,以及相關(guān)信息丟失問(wèn)題.為了簡(jiǎn)單,只考慮在四維靜態(tài)球?qū)ΨQ(chēng) SL(n,R) 戶(hù)田黑洞下,通過(guò)計(jì)算靜止質(zhì)量為零的粒子在事件視界附近隧穿效應(yīng)來(lái)研究霍金輻射.在粒子的隧穿過(guò)程中,利用能量守恒并考慮了隧穿粒子對(duì)背景時(shí)空的反作用.獲得粒子通過(guò)事件視界的隧穿概率取決于粒子出射前后黑洞熵的變化,并在此基礎(chǔ)上討論了其信息丟失問(wèn)題,在滿(mǎn)足一定條件下,我們的結(jié)果與RN 黑洞和施瓦茨黑洞的結(jié)果一致.

1 引 言

20 世紀(jì)70 年代,自從史蒂芬·霍金[1]發(fā)現(xiàn)黑洞具有熱輻射以來(lái),霍金輻射就一直備受理論物理學(xué)家的關(guān)注.在此基礎(chǔ)上,建立了起來(lái)的黑洞信息丟失問(wèn)題[2?4]更是當(dāng)今研究的熱點(diǎn).Parikh 和Wilczek曾經(jīng)提出了一種研究霍金輻射的半經(jīng)典方法[5?9],該方法滿(mǎn)足量子力學(xué)幺正性和信息守恒,對(duì)黑洞信息丟失問(wèn)題具有一定的解釋.盡管這一解釋受到一些質(zhì)疑[7],但對(duì)我們理解霍金輻射提供了一些新思路.該半經(jīng)典方法將黑洞事件視界視為一個(gè)勢(shì)壘,霍金輻射源于事件視界附近粒子的量子隧穿效應(yīng).為了消除事件視界上奇異性而使用Painleve 坐標(biāo)[10],是該方法的關(guān)鍵.隨后文獻(xiàn)[11,12]從半經(jīng)典的Hamilton-Jacobi 方程出發(fā),也簡(jiǎn)化了黑洞輻射的研究.進(jìn)一步有大量的文獻(xiàn)研究了Dirac 粒子的隧穿輻射[13?20],也得到了很多有趣的結(jié)果.

在文獻(xiàn)[21]中計(jì)算了一系列的 SL(n,R) 戶(hù)田黑洞的精確解,并給出了相應(yīng)的熱力學(xué)性質(zhì).該理論由愛(ài)因斯坦理論耦合 (n ?1) 個(gè)U(1) 場(chǎng)和(n ?2)個(gè)標(biāo)量場(chǎng)組成,最一般的解包括 2 (n ?1) 個(gè)非平凡的積分常數(shù),消除 (n ?2) 個(gè)導(dǎo)致裸奇點(diǎn)和破壞漸進(jìn)平直的標(biāo)量荷,可獲得帶 (n ?1) 個(gè)獨(dú)立電荷和質(zhì)量的黑洞解.黑洞在近視界極限下的極端幾何為AdS2×SD?2,這類(lèi)黑洞的熱力量能夠普遍的獲得,并滿(mǎn)足熱力學(xué)第一定律.戶(hù)田方程也出現(xiàn)在p-膜超引力,像四維的Kaluza-Klein dyonic 黑洞如[22]屬于一系列 SL(3,R) 戶(hù)田方程.引力約化下 SL(n,R) 戶(hù)田瞬子或 (D ?3) -膜攜帶的軸子荷被構(gòu)造[23]等.

本文中,將通過(guò)量子隧穿效應(yīng)來(lái)重新研究SL(n,R)戶(hù)田黑洞的霍金輻射,考慮無(wú)質(zhì)量的粒子隧穿黑洞視界,結(jié)果表明隧穿概率與隧穿前后霍金熵的變化有關(guān),并在此基礎(chǔ)上簡(jiǎn)單分析了此黑洞的信息丟失問(wèn)題.第2 節(jié),先對(duì) SL(3,R) 戶(hù)田黑洞的情況做相應(yīng)的研究.第3 節(jié),利用 SL(n,R) 戶(hù)田黑洞的通解獲得半經(jīng)典隧穿輻射率.第4 節(jié),給出SL(n,R)戶(hù)田黑洞的信息丟失問(wèn)題的一個(gè)具體分析.最后給出本文的總結(jié).

2 SL(3,R)戶(hù)田黑洞

為了簡(jiǎn)單讓我們先考慮愛(ài)因斯坦引力理論耦合兩個(gè)U(1) 場(chǎng)和一個(gè)伸縮子場(chǎng)?,其拉格朗日量表述為

這里Fi電磁場(chǎng)強(qiáng),其運(yùn)動(dòng)方程滿(mǎn)足 SL(3,R) 戶(hù)田方程,可以得到在四維情況下有解:

兩個(gè)U(1) 電磁場(chǎng)和一個(gè)伸縮子場(chǎng)分別給出:

現(xiàn)在對(duì)自由下落的觀測(cè)者穿過(guò)事件視界是非奇異的,于是徑向零超曲面方程:

通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算可得

這里正負(fù)號(hào)分別對(duì)應(yīng)沿測(cè)地線方向的出射和入射.不失一般性,假設(shè)時(shí)間方向是朝未來(lái)增加的,這意味著我們?nèi)≌?hào).討論粒子穿過(guò)事件視界,當(dāng)考慮粒子自引力時(shí),方程(7)將修改為

3 SL(n,R) 戶(hù)田黑洞

現(xiàn)在考慮愛(ài)因斯坦理論耦合 (n ?1) 個(gè)U(1) 場(chǎng)和 (n ?2) 個(gè)伸縮子場(chǎng)?,其拉格朗日量表述為[21]

這里Fi=dAi是二形式場(chǎng)強(qiáng),ai是耦合常矢量,并滿(mǎn)足下面關(guān)系:

其運(yùn)動(dòng)方程滿(mǎn)足 SL(n,R) 戶(hù)田方程,可以得在四維情況下有解:

考慮靜止質(zhì)量為零的粒子,它的運(yùn)動(dòng)方程為徑向類(lèi)光測(cè)地線方程,考慮粒子自引力時(shí)有

其中ω是輻射粒子能量.同樣有粒子的輻射率Γ與經(jīng)典作用量的虛部 I mS的關(guān)系?！豦?2ImS,從ri到rf穿過(guò)事件視界作用虛部可以表示為

這里取ri=2M,rf=2(M ?ω) .即黑洞視界處的隧穿輻射率:

4 黑洞信息悖論的討論

本節(jié)我們來(lái)討論 SL(n,R) 戶(hù)田黑洞的信息丟失問(wèn)題.從上兩節(jié)的計(jì)算我們可以看出利用Parikh 和Wilczek 提出的隧穿模型計(jì)算的黑洞輻射譜并非純熱譜,而是有一個(gè)小的偏離.Zhang 等[24]曾證明非熱譜之間存在關(guān)聯(lián)過(guò)程,在此基礎(chǔ)上我們對(duì)戶(hù)田黑洞的信息丟失問(wèn)題做一個(gè)簡(jiǎn)短的說(shuō)明.考慮相繼輻射兩個(gè)能量為ω1和ω2中性粒子的概率為

這說(shuō)明黑洞輻射粒子之間不是相互獨(dú)立的,而是存在相互關(guān)聯(lián).根據(jù)香農(nóng)熵的定義:

利用信息論中互信息I(A:B)=S(A)+S(B)?S(A,B) 的概念,可以精確定義A,B兩個(gè)系統(tǒng)之間的關(guān)聯(lián).于是可以定義輻射粒子ω1,ω2之間的關(guān)聯(lián)為

正好等于 SL(n,R) 戶(hù)田黑洞的熵S=,這表明黑洞在輻射過(guò)程中熵是保持守恒的,也即信息是守恒的.而引起這個(gè)熵守恒的原因正是由于黑洞輻射之間的關(guān)聯(lián),其的產(chǎn)生機(jī)制,以及關(guān)聯(lián)的方式如何尚存在問(wèn)題.或許當(dāng)前研究的Page 曲線和量子糾纏能給出具體回答[25,26].

5 結(jié) 論

本文研究了 SL(n,R) 戶(hù)田黑洞的霍金輻射可以作為一種量子隧穿效應(yīng).當(dāng)粒子穿過(guò)黑洞時(shí),由于能量守恒,黑洞將改變其質(zhì)量,并導(dǎo)致尺寸收縮.因此,背景度量是動(dòng)態(tài)的,勢(shì)壘是由粒子的自引力作用產(chǎn)生的.計(jì)算表明,在 SL(n,R) 戶(hù)田黑洞時(shí)空中,粒子通過(guò)事件視界的隧穿概率取決于粒子出射前后黑洞熵的變化,我們計(jì)算結(jié)果也再一次支持Parikh 和Wilczek 提出的隧穿模型.我們?cè)谶@種半經(jīng)典圖像的基礎(chǔ)上,利用香農(nóng)熵定義對(duì)SL(n,R)戶(hù)田黑洞信息悖論作了具體的計(jì)算,發(fā)現(xiàn)由黑洞輻射粒子之間的關(guān)聯(lián)能夠攜帶信息并維持黑洞信息的守恒.這種關(guān)聯(lián)的具體來(lái)源,以及產(chǎn)生機(jī)制還有待進(jìn)一步的研究.