李俊青 黃麗 崔世杰 王銀珠

(太原科技大學(xué),應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

量子關(guān)聯(lián)作為量子力學(xué)的奇特資源已經(jīng)被應(yīng)用在很多方面,相對(duì)熵作為研究量子關(guān)聯(lián)的關(guān)鍵概念之一,總是被用來度量物理系統(tǒng)狀態(tài)所包含的不確定性.本文在已知min 相對(duì)熵的一些基本性質(zhì)的前提下,分別提出了在兩體和k 體分劃下基于min 相對(duì)熵的關(guān)聯(lián)測(cè)度的定義.除此之外,本文證明了該定義滿足量子關(guān)聯(lián)測(cè)度的一些基本性質(zhì),包括非負(fù)性、在酉算子操作下保持不變性以及在完全正的保跡線性映射(CPTP)下的單調(diào)性.介紹了量子信道的概念,并且討論了量子信道對(duì)k 體分劃下基于min 相對(duì)熵的關(guān)聯(lián)測(cè)度的影響.通過提出新的關(guān)聯(lián)測(cè)度以及證明量子信道對(duì)該測(cè)度的影響,能夠更好刻畫物理系統(tǒng)狀態(tài)所包含的不確定性.

1 引 言

量子關(guān)聯(lián)[1?8]作為量子計(jì)算和量子信息中一種非常重要的物理資源,通過對(duì)量子關(guān)聯(lián)的研究,能更清楚地刻畫蘊(yùn)含在量子態(tài)之間的非經(jīng)典關(guān)聯(lián)特性,以及復(fù)合量子系統(tǒng)各子系統(tǒng)之間的關(guān)聯(lián)程度.量子糾纏作為量子關(guān)聯(lián)中的重要組成部分,首先,關(guān)于量子糾纏態(tài)的判別問題已經(jīng)提出了許多有用的糾纏判據(jù): 約化判據(jù)[9]、重排判據(jù)[10]、控制判據(jù)[11]、糾纏Witness 判據(jù)[12]等;其次,在刻畫量子態(tài)之間的糾纏程度方面,提出了許多糾纏測(cè)度: 形成糾纏測(cè)度[13]、concurrence 糾纏測(cè)度[14]、相對(duì)熵糾纏測(cè)度[15]等.但量子關(guān)聯(lián)遠(yuǎn)不止糾纏,為了更好地刻畫量子態(tài)之間的關(guān)聯(lián)程度,已經(jīng)提出了許多定義良好的關(guān)聯(lián)測(cè)度,如累積關(guān)聯(lián)測(cè)度[16],量子失協(xié)關(guān)聯(lián)測(cè)度[17],基于Tsallis 熵的量子關(guān)聯(lián)測(cè)度[18]等.相對(duì)熵作為研究量子關(guān)聯(lián)非常重要的一個(gè)物理量,目前,人們提出了越來越多的基于相對(duì)熵的關(guān)聯(lián)測(cè)度,以便更清楚地刻畫蘊(yùn)含在量子態(tài)之間的關(guān)聯(lián)特性以及刻畫復(fù)合量子系統(tǒng)各子系統(tǒng)之間的關(guān)聯(lián)程度.

在2008 年,Datta[19]提出了min 相對(duì)熵的定義,其定義如下:

目前提出的量子關(guān)聯(lián)測(cè)度比較少,因此,提出一個(gè)新的兩體復(fù)合量子系統(tǒng)下的關(guān)聯(lián)測(cè)度以及將關(guān)聯(lián)測(cè)度由兩體推到k 體分劃下是非常有意義的.本文主要考慮在兩體復(fù)合系統(tǒng)和k 體分劃下,分別給出基于min 相對(duì)熵的兩體和k 體分劃下關(guān)聯(lián)測(cè)度的定義,并且證明了其滿足量子關(guān)聯(lián)測(cè)度的一些必要性質(zhì).近幾年,雖然量子信道的應(yīng)用越來越廣泛,但是并沒有將量子信道與量子關(guān)聯(lián)測(cè)度聯(lián)系起來,本文將量子信道與量子關(guān)聯(lián)測(cè)度聯(lián)系起來,進(jìn)而給出了量子信道對(duì)k 體分劃下的關(guān)聯(lián)測(cè)度Ek(ρ‖σ)的影響.

2 基于兩體和k 體分劃下基于min相對(duì)熵的關(guān)聯(lián)測(cè)度

給出兩體和k 體分劃下關(guān)聯(lián)測(cè)度的定義之前,首先提出一些基本定義.

定義2.1(完全乘積態(tài)定義)設(shè)H=H1?H2?···?Hm,d imHi ＜+∞,S(H) 表 示H上 全體密度算子組成的集合,ρ∈S(H),如果:

證明由引理2.8 可得定理2.9 顯然成立.

定理2.5,2.7,2.9 分別證明了兩體下基于min 相對(duì)熵的量子關(guān)聯(lián)測(cè)度滿足酉不變性、非負(fù)性、在完全正的保跡映射下的單調(diào)性,接下來給出在k 體分劃下基于min 相對(duì)熵的量子關(guān)聯(lián)測(cè)度的定義,并且證明這個(gè)關(guān)聯(lián)測(cè)度滿足酉不變性、非負(fù)性、在完全正的保跡映射下的單調(diào)性.

證明由引理2.8 可得定理2.13 顯然成立.

第2 節(jié)定義了兩體和k 體分劃下基于min 相對(duì)熵的關(guān)聯(lián)測(cè)度,并且證明了其滿足了一些關(guān)聯(lián)測(cè)度必要的性質(zhì).該關(guān)聯(lián)測(cè)度的提出涉及了投影算子,從這一想法出發(fā),不禁讓人聯(lián)想到其他物理概念能否也通過投影來定義關(guān)聯(lián)測(cè)度,進(jìn)而將其歸為一類.除min 相對(duì)熵外,量子Fisher 信息同樣滿足非負(fù)性、酉不變性、在完全正的保跡操作下的單調(diào)性等性質(zhì),量子Fisher信息[21]可以表示為F=將其基于量子Fisher信息的關(guān)聯(lián)測(cè)度定義 為E(ρ)=min{Π?}(Tr(ΠρL2)?Tr(ρL2)) ,Π?表示對(duì)應(yīng)?系統(tǒng)上的正交投影組成的完備的投影測(cè)量集,可知投影測(cè)量增加熵.這樣定義的關(guān)聯(lián)測(cè)度不僅僅滿足非負(fù)性、酉不變性、在完全正的保跡操作下的單調(diào)性等性質(zhì),也滿足關(guān)聯(lián)測(cè)度等于零當(dāng)且僅當(dāng)ρ為經(jīng)典態(tài).通過該發(fā)現(xiàn),可認(rèn)為本文通過投影來定義的關(guān)聯(lián)測(cè)度,實(shí)際可以作為一類關(guān)聯(lián)測(cè)度的定義方式,這一發(fā)現(xiàn)有助于提出更多關(guān)聯(lián)測(cè)度.這些關(guān)聯(lián)測(cè)度的提出都是刻畫蘊(yùn)含在量子態(tài)之間的非經(jīng)典關(guān)聯(lián)特性,以及復(fù)合量子系統(tǒng)各子系統(tǒng)之間的關(guān)聯(lián)程度.

3 量子信道對(duì) E k(ρ‖σ) 的影響

證明由定理3.3 和定理3.4,定理3.5 顯然成立.

4 結(jié) 論

本文分別定義了兩體和k 體分劃下基于min相對(duì)熵的關(guān)聯(lián)測(cè)度的定義,并且證明了其滿足量子關(guān)聯(lián)測(cè)度的一些基本性質(zhì),包括非負(fù)性、酉不變性、在完全正的保跡操作下的單調(diào)性,說明了量子關(guān)聯(lián)測(cè)度定義良好.與已經(jīng)提出的關(guān)聯(lián)測(cè)度相比較,本文提出并且證明了在k 體分劃下該關(guān)聯(lián)測(cè)度也是定義良好的,并且本文給出了量子信道對(duì)Ek(ρ‖σ)的影響,對(duì)給出的性質(zhì)加以證明,從而將量子信道應(yīng)用在了關(guān)聯(lián)測(cè)度上.