呂國(guó)亮

（華東工程咨詢有限公司，浙江 杭州，310014）

水錘現(xiàn)象是指輸水系統(tǒng)運(yùn)行過程中，因水力機(jī)組意外斷電、閥門等部件的誤操作或水文因素導(dǎo)致水池水位的大突變等原因，造成流速劇烈變化，致使水體壓力出現(xiàn)較大波動(dòng)。水錘壓力與管道參數(shù)、管內(nèi)流體參數(shù)、管道工作環(huán)境有關(guān)，上述變量均為不確定變量，因此水錘壓力也是不確定變量。郭強(qiáng)[1]研究了泵站出水管，假設(shè)參數(shù)的不確定性，采用蒙特卡洛法模擬，得出水錘變異性是引起管道風(fēng)險(xiǎn)主要因素。郭文鑄等[2]考慮水-機(jī)-電相關(guān)參數(shù)的不確定性，揭示水錘極值服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。在郭文鑄基礎(chǔ)上，張芹芬[3]考慮了導(dǎo)葉初始開度不確定性，模擬分析管道輸水系統(tǒng)極限水擊壓力分布。上述成果表明，水錘不確定分析已經(jīng)取得一定成果，但流固耦合現(xiàn)象在研究中考慮較少。

由于材料泊松比的存在，管道徑向的膨脹或收縮導(dǎo)致管壁軸向振動(dòng)，反作用于水錘壓力，這叫流固耦合現(xiàn)象，同時(shí)考慮耦合現(xiàn)象進(jìn)行計(jì)算的水錘叫耦合水錘。水錘荷載引起流固耦合現(xiàn)象較為明顯，為更精確地預(yù)測(cè)水錘壓力，需考慮流固耦合[4]。

耦合水錘與流體及輸水系統(tǒng)參數(shù)密切相關(guān)，且兩者均為不確定變量，故耦合水錘不確定性復(fù)雜，有必要對(duì)其進(jìn)行不確定性分析。

1 數(shù)值模型及求解方法

1.1 控制方程

假定徑向管道為準(zhǔn)靜態(tài)運(yùn)動(dòng)[5]，不考慮液體和管壁中徑向慣性力及重力，管壁材料均勻、各向同性、線彈性強(qiáng)、變形小，考慮流體粘性。流體軸向運(yùn)動(dòng)方程：

考慮可壓縮性的流體連續(xù)性方程[6]：

考慮管道結(jié)構(gòu)對(duì)流體的阻抗，根據(jù)文獻(xiàn)[7]得管道軸向運(yùn)動(dòng)方程[8]：

流體的壓力變化與管道的應(yīng)力、速率之間的關(guān)系是：

式中，P為流體壓力；V為流體速度；σz為軸向管應(yīng)力；uz為軸向管速；E為管材楊氏彈性模量；ν為管材泊松比，e為管壁厚度；At、Af分別為管壁截面積和管道內(nèi)截面積；ρt、ρf分別為管材和流體密度；K為流體體積模量；R f為流體的粘滯系數(shù)；R為管道半徑。

1.2 數(shù)值方法

由于輸水系統(tǒng)中存在水錘波和應(yīng)力波，特征線法不易求解。若采用有限體積法求解，每個(gè)控制容積進(jìn)行積分求解，且積分方程具有明確物理意義，則其計(jì)算結(jié)果較精確。故采用有限體積法求解模型，利用控制容積在控制體內(nèi)進(jìn)行積分，此時(shí)輸水系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和流體作為一個(gè)整體，隨后在控制容積內(nèi)從時(shí)間t到t+Δt對(duì)控制方程積分。以方程（1）為例，控制容積內(nèi)積分方程：

同時(shí)應(yīng)用時(shí)間中心差分的Crank-Nicolson隱式格式對(duì)偏微分項(xiàng)進(jìn)行處理[9]，得到具有二階精度且無條件穩(wěn)定的水錘方程離散格式：

相同原理可得交錯(cuò)計(jì)算節(jié)點(diǎn)差分方程：

2 結(jié)果及討論

2.1 確定性分析

考慮輸水系統(tǒng)中流固耦合響應(yīng)，進(jìn)行耦合水錘計(jì)算，結(jié)果如圖1所示。管道長(zhǎng)L=30 m，管道內(nèi)徑R=0.1 m，管壁厚度e=0.01 m。管道入口與水庫剛性連接，管道出口與閥門剛性連接。閥門關(guān)閉，導(dǎo)致應(yīng)力波和壓力波，均向上游傳播，且兩種波相互影響。由圖1可知，管道振動(dòng)引起管內(nèi)流體擾動(dòng)，導(dǎo)致耦合壓力曲線呈不規(guī)則變化。其中應(yīng)力波作用導(dǎo)致壓力在變化過程中產(chǎn)生局部突變。具體原因?yàn)椋河捎趹?yīng)力波速近似為壓力波速三倍，故在半個(gè)周期內(nèi)，壓力變化可分為三部分：（1）管道膨脹，釋放壓力，形成壓降；（2）當(dāng)管道處于壓縮狀態(tài)，對(duì)管內(nèi)流體形成一種“泵”效應(yīng)；（3）隨后管道又處于膨脹狀態(tài)，形成壓降。故考慮流固耦合，管內(nèi)水錘變化曲線更加尖銳（“泵”效應(yīng)導(dǎo)致考慮流固耦合的水錘峰值更高，水錘頻率也更大，引起更大的風(fēng)險(xiǎn)）。

圖1 考慮流固耦合水錘壓力隨時(shí)間變化Fig.1 Curve of water hammer taking FSI into account

將數(shù)值計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[10]實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證有限體積法求解適用性（實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)由英國(guó)Dudee大學(xué)所得，管內(nèi)剛好無壓滿流，由于現(xiàn)實(shí)中流固耦合時(shí)刻存在，無法通過實(shí)驗(yàn)獲得不考慮流固耦合的水錘，故此實(shí)驗(yàn)僅驗(yàn)證了數(shù)值模型可靠性）。由圖2可知，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合，表明流固耦合四方程適用于耦合水錘分析，且計(jì)算結(jié)果精確度較高，誤差較小。

圖2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值結(jié)果相吻合Fig.2 Experimental data and numerical d ata are identical

2.2 不確定性分析

耦合水錘與輸水系統(tǒng)和流體參數(shù)相關(guān)，且依賴于輸水管道工作環(huán)境。輸水系統(tǒng)和流體參數(shù)具有不確定性，且輸水系統(tǒng)工作環(huán)境復(fù)雜，這些因素導(dǎo)致耦合水錘具有不確定性。

楊惠蓮和張濤[11]對(duì)多組鋼材強(qiáng)度實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，得到鋼材強(qiáng)度σR服從正態(tài)分布，變異系數(shù)為0.095。在實(shí)際工程中，輸水系統(tǒng)與許多參數(shù)相關(guān)，但參數(shù)相關(guān)性分析和參數(shù)概率分布情況在數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析方面鮮有研究。根據(jù)誤差理論、中心極限定理[12]和王長(zhǎng)新[13]等研究成果，將難以確定的分布視為正態(tài)分布，并認(rèn)為均值為設(shè)計(jì)值，標(biāo)準(zhǔn)差按均值的5%選取。隨機(jī)變量的分布特性與統(tǒng)計(jì)特征值見表1。

根據(jù)表1所示隨機(jī)值，耦合水錘不確定性分析結(jié)果如圖3所示。當(dāng)管內(nèi)壓力大時(shí)，管道導(dǎo)致的壓降和“泵”效應(yīng)更加明顯，耦合水錘變異性增大。故為了更好地分析耦合水錘，可僅分析耦合水錘峰值的不確定性。對(duì)比圖1和圖3可知，不確定性分析相對(duì)耦合水錘數(shù)值（不確定性分析結(jié)果/確定性分析結(jié)果）在0.95~1.05之間變化。但在相對(duì)耦合水錘為1.05僅出現(xiàn)1次，其概率可忽略，如圖4所示。為保證輸水系統(tǒng)在水錘荷載下正常運(yùn)行，設(shè)計(jì)時(shí)考慮相對(duì)耦合水錘為1.04。

表1 主要隨機(jī)變量的分布特性與統(tǒng)計(jì)特征值Table 1 Distribution characteristics and statistical eigenvalues of main random variables

圖3 耦合水錘不確定性分析結(jié)果Fig.3 Uncertainty analysis results of coupled water hammer

圖4 耦合水錘不確定性分析結(jié)果直方圖Fig.4 Histogram of uncertainty of coupled water hammer

不確定分析結(jié)果的直方圖如圖4所示。在置信水平為90%、95%和99%進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，得到耦合水錘為P-Ⅲ型分布，且相對(duì)耦合水錘的均值為0.99，相對(duì)耦合水錘標(biāo)準(zhǔn)差為0.18。

2.3 耦合水錘荷載下管道風(fēng)險(xiǎn)分析

建立極限狀態(tài)方程Z=[σ]-max(σθ)[14-15],其中[σ]為管道容許最大環(huán)向應(yīng)力；σθ為考慮流固耦合環(huán)向應(yīng)力，σθ=PR/e。采用蒙特卡洛法計(jì)算[15]，得出主要不確定因素與輸水管道風(fēng)險(xiǎn)值Pf關(guān)系如圖5所示。相對(duì)于其他參數(shù)，耦合水錘變異系數(shù)大于0.05時(shí)，輸水系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)隨耦合水錘變異系數(shù)變化明顯，進(jìn)一步說明了耦合水錘不確定性分析的必要性。但耦合水錘變異系數(shù)小于0.05時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)值變化較小，此時(shí)的耦合水錘可視為確定變量。由圖4統(tǒng)計(jì)結(jié)果，簡(jiǎn)單輸水系統(tǒng)中耦合水錘變異系數(shù)為0.18，其導(dǎo)致的風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)該更加被重視。相對(duì)于耦合水錘，液體壓縮體積模量和管道參數(shù)對(duì)輸水系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)影響較小，可視為確定性量[16]。

圖5 輸水管道風(fēng)險(xiǎn)隨變異系數(shù)變化Fig.5 Variation of pipeline risk with coefficient of variation of pa?rameters

分別考慮耦合水錘為確定性變量和不確定性變量，模擬次數(shù)為103~106，不同模擬次數(shù)下輸水系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)值如表2所示。當(dāng)模擬次數(shù)較少時(shí)，由于精度不夠，導(dǎo)致不確定性分析和確定性分析相差不大，甚至風(fēng)險(xiǎn)值相等。隨著模擬次數(shù)增加，兩種情況下風(fēng)險(xiǎn)值差距增大。不考慮水錘隨機(jī)性計(jì)算所得風(fēng)險(xiǎn)值偏小，可能造成設(shè)計(jì)上的冒進(jìn)，從而增大事故概率。同時(shí)，當(dāng)模擬次數(shù)大于105時(shí)，輸水系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)值相對(duì)誤差小于1%。故為保證結(jié)果精度，模擬次數(shù)應(yīng)大于105。

表2 不同模擬次數(shù)的確定性與不確定性分析結(jié)果Table 2 The certainty and uncertainty results with different cal?culation times

3 結(jié)語

（1）不確定性分析獲得最大耦合水錘比確定性分析結(jié)果大4%，若依據(jù)傳統(tǒng)的確定性分析結(jié)果進(jìn)行設(shè)計(jì)，會(huì)增大輸水系統(tǒng)失效概率。

（2）考慮輸水系統(tǒng)參數(shù)和工作環(huán)境的不確定性，相對(duì)耦合水錘服從均值0.99、標(biāo)準(zhǔn)差為0.18的P-Ⅲ型分布。

（3）耦合水錘的不確定性是輸水系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的主要起因，為更準(zhǔn)確分析風(fēng)險(xiǎn)值，模擬次數(shù)應(yīng)大于105。