王洪慶，王亞男，宋云濤

(中國消防救援學院，北京 102202)

眾所周知，在當今競爭日益激烈的市場中，產(chǎn)品的保修政策對于產(chǎn)品的銷售起著至關重要的作用。為了保護消費者的權(quán)益，以及引起他們購買產(chǎn)品的興趣，耐用的產(chǎn)品在銷售的時候都會采用一定的保修政策。從消費者的角度來講，當然希望產(chǎn)品有較長的保修期。但是對于生產(chǎn)商來說，更長的保修期通常會伴隨著更大的保修費用的支出，這樣保修的費用在產(chǎn)品的完整生產(chǎn)、銷售過程成本中占有相當大的比重，所以如果產(chǎn)品在整個生命周期的早期具有較高的產(chǎn)品可靠度將會顯著的減少生產(chǎn)商的保修支出。

隨著產(chǎn)品市場的不斷發(fā)展，生產(chǎn)商已經(jīng)開始提供長期的保修政策，并且保修期越來越長，具體的例子可以參考文獻[1-3]。事實上，在現(xiàn)在的商品市場中，許多生產(chǎn)商已經(jīng)開始提供終身保修政策。例如，安裝在汽車電路系統(tǒng)上的繼電器的保修期，抽油煙機的過濾網(wǎng)的保修期等都是終身保修的，此處的“終身”指的就是汽車和抽油煙機的壽命，容易看出這個保修期是一個隨機變量。

G.Chattopadhyay和A.Rahman[1]定義了終身保修，生產(chǎn)商承諾如果售出的產(chǎn)品在使用期間由于設計缺陷或者制造缺陷等原因產(chǎn)生故障，那么生產(chǎn)商將提供免費或者分攤費用的維修或者更換服務。

1 保修策略

在本文中，我們研究與G.Chattopadhyay和A.Rahman[1]中不同的兩種典型終身保修策略。

保修策略①(終身免費保修)在此策略下，對于所有因為生產(chǎn)控制或者設計等原因造成的產(chǎn)品缺陷以及故障，生產(chǎn)商要承擔完全責任。如果可以修理就進行修理，不能修理直接更換。

保修策略②(單次保修費用有上限的終身保修)在此策略下，如果每次保修的花費不超過約定的費用上限，那么費用由生產(chǎn)商全部承擔；如果超過約定的費用上限，則由生產(chǎn)商承擔費用上限，超出的部分由消費者承擔。

以上兩種策略中的保修期與通常的保修期不同，終身保修的保修期是一個不確定的隨機變量。這兩種保修策略是非常有代表性的，在工業(yè)設備以及各種家用電器的生產(chǎn)銷售中有著廣泛的應用。

由于產(chǎn)品越早失效將會導致越高的保修費用，所以經(jīng)常采用預燒的辦法來避免產(chǎn)品在實際應用階段初期失效。也就是說，產(chǎn)品在生產(chǎn)出來之后，銷售之前在與現(xiàn)實工作近似相同的條件下模擬工作一段時間，在這段時間內(nèi)失效的產(chǎn)品將不會被出售。預燒測試起源1940年代晶體管被發(fā)明出來，關于預燒知識的介紹可參見文獻[4-8]，Cha[8]和Finkelstein[9]分別給出了新的預燒策略。由于預燒時間過長會對產(chǎn)品產(chǎn)生損害，過短起不到應有的作用，因此需要確定預燒測試所應持續(xù)的時間，即最佳預燒時間。Nguyen和Murthy[10]在20世紀80年代首先提出運用模型來確定帶有保修期的產(chǎn)品的最佳預燒時間，Mi[7]和Chou、Tang[11]在此模型基礎上進行了進一步的研究。

現(xiàn)在，由于科技進步和生產(chǎn)水平的提高，許多產(chǎn)品都具有較高的可靠度，其潛在的缺陷需要較長的時間來進行探測。為了節(jié)省預燒時間，Block和Savits[4]提出了在加速環(huán)境下進行預燒的方法。Cha[12]在加速環(huán)境下提出了一個新的失效率模型。

Block、Savits和Singh[13]指出，大量的實驗數(shù)據(jù)表明許多產(chǎn)品，特別是電子產(chǎn)品的失效率函數(shù)具有浴盆形狀。即失效率函數(shù)最初遞減，隨后的一段時間里保持不變，后期由于老化、磨損等原因而遞增。

定義1[13]一個失效率函數(shù)r(t)稱為浴盆形失效率函數(shù)，如果存在著0≤t1≤t2≤∞， 使得

此處t1，t2稱為r(t)的變點。區(qū)間[0,t1)稱為早期失效期；區(qū)間[t1,t2]稱為正常工作期，在此區(qū)間內(nèi)r(t)達到最小值而且保持不變，所以也稱為平穩(wěn)失效期；區(qū)間(t2,∞]稱為耗損失效期。

浴盆形失效率函數(shù)的圖像參看圖1。

圖1 浴盆型失效率函數(shù)

本文第2節(jié)介紹了所要使用的一些記號以及相關的假設,第3節(jié)描述了加速環(huán)境下的失效率模型,第4節(jié)通過4個定理給出了本文的重要結(jié)果,最后在第5節(jié)進行了簡要的總結(jié)。

2 記號及假設

2.1 記號

X，XA—非負、連續(xù)的隨機變量，分別用來表示產(chǎn)品在正常工作環(huán)境、加速工作環(huán)境下的壽命；

F(t)，F(xiàn)A(t)—X，XA的累積分布函數(shù)；

f(t)—X的密度函數(shù)；

r(t)，rA(t)—X，XA的失效率函數(shù)；

T—保修策略1及保修策略2中的“壽命”；

b—預燒時間；

Di—可修產(chǎn)品在保修期內(nèi)發(fā)生第i次失效時的隨機維修費用；

H(t)—Di的累積分布函數(shù)；

c0—每個產(chǎn)品的生產(chǎn)成本(沒有經(jīng)過預燒測試)；

c1—每個產(chǎn)品在加速環(huán)境下預燒單位時間的費用；

c2—不可修產(chǎn)品每次失效所需的替換費用；

c3—可修產(chǎn)品在預燒期間每次失效所需的維修費用；

c4—保修期間產(chǎn)品每次失效的維修或者替換所需的附加費用；

cI—保修策略2中約定的費用上限；

h1(b)—成功預燒一個不可修產(chǎn)品的隨機費用；

v1(b)=Eh1(b)；

W1(b)—不可修產(chǎn)品在保修期間的隨機費用；

C1(b)—預燒及保修一個不可修產(chǎn)品的總費用；

N1(T)—不可修產(chǎn)品在保修期間的失效次數(shù)；

h2(b),v2(b),W2(b),C2(b)，N2(T)分別是可修產(chǎn)品的相關記號；

2.2 假設

本文有如下合理假設

產(chǎn)品具有浴盆型失效率函數(shù)；

T與X獨立；

c1>c5；

Di(i=1,2,…，)具有相同的分布函數(shù)。

本文中的維修指的是最小維修，當維修結(jié)束時，經(jīng)過最小維修的產(chǎn)品的失效率與產(chǎn)品失效前的瞬時失效率相同。

3 加速環(huán)境下的失效率模型

在實際中，加速壽命測試(ALT)經(jīng)常用來在可接受的時間內(nèi)獲得可靠度較高的產(chǎn)品的壽命與時間之間的關系。在此測試過程中，被測試的產(chǎn)品的使用頻度要比實際工作環(huán)境更高，或者進行測試的環(huán)境比實際工作環(huán)境更惡劣。進而可以用在這種更強的工作環(huán)境下得到的產(chǎn)品的壽命信息預測產(chǎn)品在正常的工作環(huán)境下的壽命信息。Nelson[14]提供了加速測試的廣泛的背景材料、實踐方法、基本理論以及若干例子。Meeker和Escobar[15]對有關ALT的研究狀況進行了綜述。

加速失效時間(AFT)回歸模型是使用最廣泛的參數(shù)化失效時間回歸模型，這種模型可表達為

FA(t)=F(ρ·t)，?t≥0

(1)

其中ρ是依賴于加速環(huán)境的常數(shù)。Meeker和Escobar[15]給出了一個更加一般的模型

FA(t)=F(ρ(t))，?t≥0

(2)

此處ρ(t)依賴于加速環(huán)境。由于加速環(huán)境與產(chǎn)品的正常工作環(huán)境相比，工作壓力更大。因此假設在模型(1)中ρ≥1，在模型(2)里對所有的t，ρ(t)≥t，ρ(0)=0。 進一步假設ρ(t)是嚴格遞增，連續(xù)且可微的。對于模型(2)，產(chǎn)品在加速環(huán)境下的失效率為

對于一個在加速環(huán)境下預燒了一個固定的時間b的新產(chǎn)品，如果把它的壽命轉(zhuǎn)化為在一般的預燒環(huán)境下的壽命應該不小于b。因此，Cha[12]假設產(chǎn)品在加速環(huán)境下預燒了時間b之后，在正常的工作環(huán)境下繼續(xù)工作時壽命的生存函數(shù)為

(3)

這里a(b)≥b，?b≥0，a(0)=0，且a(b)是嚴格遞增、可微的函數(shù)。(3)式說明一個產(chǎn)品在加速環(huán)境下工作了時間b就相當于在正常的工作環(huán)境下工作了時間a(b)。由(3)容易得到加速環(huán)境下預燒了時間b之后，在正常的工作環(huán)境下繼續(xù)工作時產(chǎn)品的失效率為

r(a(b)+u)，?u≥0

聯(lián)合加速預燒階段和實際工作階段，產(chǎn)品在加速預燒時間為b的情形下的失效率函數(shù)rb(t)可以表達為

(4)

注意到，在一般的預燒環(huán)境下(即ρ(t)=t，?t≥0；a(b)=b，?b≥0)。有rb(t)=r(t)對所有的t成立，因此此處考慮的加速預燒模型是一般預燒模型的推廣。

4 主要結(jié)論

本節(jié)，我們首先推導出在加速環(huán)境下預燒以及終身免費保修和單次保修費用有上限的終身保修策略下的費用模型。總的費用包括預燒及保修一個產(chǎn)品的總費用。假設預燒時間為b，η-1是直到每次預燒成功一個產(chǎn)品之前，失效的產(chǎn)品個(次)數(shù),{XAi,i≥1}是一列獨立同分布的隨機變量，分布為FA。

4.1 不可修產(chǎn)品

成功預燒一個不可修產(chǎn)品的隨機費用h1(b)為

(5)

h1(b)的均值

(6)

這樣就得到了預燒一個不可修產(chǎn)品的費用，接下來在前述兩種保修策略下分別得到總費用并得到最佳預燒時間的上界。

4.1.1 終身免費保修

首先來討論在終身免費保修策略下的總費用的均值最小的最佳預燒時間。不可修產(chǎn)品在終身免費保修策略下的保修費用為

W1(b)=N1(T)·[v1(b)+c4]

則總費用C1(b)=h1(b)+W1(b)=h1(b)+N1(T)·[v1(b)+c4]

這樣可以推導出平均總費用為

E[C1(b)]=v1(b)+E[N1(T)]·[v1(b)+c4]

(7)

(8)

的最佳預燒時間。

定理1不可修產(chǎn)品在終身免費保修策略下的平均費用為

(9)

證明通過以上討論，(9)式顯然成立。如果預燒的時間為a-1(t1)， 則平均預燒費用為

分別用rb(t)和ra-1(t1)(t)來表示Fb(t)和Fa-1(t1)(t)的失效率函數(shù)，易見rb(t)=r(a(b)+t)，ra-1(t1)(t)=r(t1+t)。因此，可以得到

以及

因此

同時v1(b)當b≥0時是遞增函數(shù)，所以對于所有的b>a-1(t1)

E[C1(b)]≥E[C1(a-1(t1))]

4.1.2 單次保修費用有上限的的終身保修

接下來研究在單次保修費用有上限的的終身保修策略下的最佳預燒時間。根據(jù)保修策略以及第2節(jié)中的相關假設，可以得到以下結(jié)論。

定理2不可修產(chǎn)品在單次保修費用有上限的的終身保修策略下的平均費用為

(10)

證明令I(b)=min[v1(b)+c4,c1]，則I(b)即為產(chǎn)品在保修期內(nèi)每次失效所產(chǎn)生的保修費用，則不可修產(chǎn)品在單次保修費用有上限的的終身保修策略下的保修費用為

W1(b)=I(b)N1(T)

4.2 可修產(chǎn)品

成功預燒一個可修產(chǎn)品的隨機費用為

h2(b)=c0+c1b+c3(η-1)

(11)

(12)

本小節(jié)，同樣在兩種保修策略下分別得到總費用并得到最佳預燒時間的上界。

4.2.1 終身免費保修

在保修期間產(chǎn)品第i次失效產(chǎn)生的保修費用包括兩部分，一部分是固定的附加費用c4，另一部分是隨機的維修費用Di，分布函數(shù)為H(t)，i=1,2,…。則

W2(b)=(c4+ED1)N2(T)。

定理3可修產(chǎn)品在終身免費保修策略下的平均費用為

(13)

證明產(chǎn)品在實際工作階段的失效率為rb(t)=r(a(b)+t)，則保修期間的平均保修費用為

E[W2(b)]=(c4+ED1)E[N2(T)]

這樣就得到了(13)式。

由ρ(t)≥t并且ρ(t)是嚴格遞增的可知，v2(b)關于b是遞增的， 又因為r(t)是浴盆型的并且a(b)是嚴格遞增的， 所以當b>a-1(t1)時，

4.2.2 單次保修費用有上限的的終身保修

定理4可修產(chǎn)品在終身免費保修策略下的平均費用為

(14)

E[W2(b)]=E[N2(T)]·E[min(c4+Di,cI)]

這樣就證明了(14)式。

注意到v2(b)當b>0時嚴格遞增， 并且E[W2(b)]在區(qū)間(a-1(t1),+∞)內(nèi)是遞增的， 所以最佳預燒時間b*≤a-1(t1)。

5 結(jié) 論

許多產(chǎn)品在早期具有較高的失效率，因此為了避免產(chǎn)品在實際應用階段初期失效，我們常采取預燒測試的辦法提高產(chǎn)品質(zhì)量，同時為了減少預燒的花費，預燒過程通常在加速環(huán)境下進行。終身保修是一個非常重要的保修策略，在現(xiàn)實生活中的應用會越來越廣泛。本文選擇了兩種典型的終身保修策略，結(jié)合加速預燒測試分別對可修產(chǎn)品和不可修產(chǎn)品的平均費用進行了研究，發(fā)現(xiàn)最佳預燒時間總是不超過a-1(t1)。

對于結(jié)合預燒測試以及終身保修策略研究最佳預燒時間還有很多值得思考的問題，比如把產(chǎn)品的失效進一步分類為最小失效和災難(毀滅)性失效以及其他的更加合理的終身保修策略等。