孫冬雪，王江波，姚國盛，李玉鴿

基于余弦平頂窗的諧波相量測量

孫冬雪，王江波，姚國盛，李玉鴿

(中國農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，北京 100083)

針對電力系統(tǒng)中帶外干擾、頻率偏移及其他動態(tài)情況下的諧波相量估計(jì)問題，提出了一種基于余弦平頂窗的諧波相量估計(jì)器。首先基于余弦窗頻域表達(dá)式，利用理想幅值響應(yīng)和最小二乘法獲得平頂窗的窗系數(shù)。在此基礎(chǔ)上，為使得濾波器頻率響應(yīng)在標(biāo)稱諧波頻率下具有零增益，將所得窗函數(shù)與頻域采樣定理相結(jié)合，通過最小二乘法設(shè)計(jì)一組有限脈沖響應(yīng)濾波器，用于估計(jì)諧波相量。然后，分析了余弦平頂窗和諧波相量測量濾波器的頻率響應(yīng)。最后，采用穩(wěn)態(tài)和動態(tài)條件下的不同信號模型對提出的諧波相量估計(jì)器進(jìn)行了性能驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明，相對于基于Sinc插值函數(shù)和頻域采樣定理的兩種諧波相量估計(jì)器，所提方法有較強(qiáng)的帶外干擾抑制能力，在多種條件下能實(shí)現(xiàn)較高精度的諧波相量測量。

諧波相量測量；余弦平頂窗；最小二乘法；頻域采樣；綜合矢量誤差

0 引言

雙碳目標(biāo)下新能源發(fā)電快速發(fā)展，非線性電力電子設(shè)備和元件在電網(wǎng)中的廣泛使用加重了電網(wǎng)諧波污染[1-5]。諧波頻率、幅值和相位等參數(shù)的實(shí)時(shí)、快速和準(zhǔn)確的測量是諧波監(jiān)測、評估和治理的基礎(chǔ)，為改善電網(wǎng)電能質(zhì)量，保證電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行提供依據(jù)。同時(shí)，諧波的高精度測量是電網(wǎng)保護(hù)設(shè)備的數(shù)字算法實(shí)現(xiàn)、諧波潮流計(jì)算以及電力設(shè)備絕緣檢測等應(yīng)用的前提和基礎(chǔ)[9-10]。

國內(nèi)外學(xué)者提出了多種諧波相量測量算法，離散傅里葉變換(discrete fourier transform, DFT)算法是諧波相量測量常用的方法之一。但DFT 是一種靜態(tài)諧波估計(jì)技術(shù)，在非標(biāo)稱頻率及動態(tài)條件下，頻譜泄露和柵欄效應(yīng)會使估計(jì)誤差增大[11-12]。為解決此問題，文獻(xiàn)[13]提出一種多譜線插值快速傅里葉變換(fast fourier transform, FFT)方法，不需要利用性能較好的窗函數(shù)即可實(shí)現(xiàn)對長、短范圍泄漏效應(yīng)的修正，具有廣泛的適用性。文獻(xiàn)[14]利用一種基于多譜線插值法和復(fù)調(diào)制細(xì)化法的組合分析方法，以提高諧波分析的準(zhǔn)確性。插值算法在很大程度上提高了諧波估計(jì)精度，但有限的采樣周期使諧波分析的分辨率不足以實(shí)現(xiàn)在更相近頻域內(nèi)準(zhǔn)確檢測諧波和間諧波。

近年來，小波變換及其改進(jìn)算法也被應(yīng)用于諧波檢測。文獻(xiàn)[15]提出了4種多頻帶小波函數(shù)及其相應(yīng)的多頻帶小波變換方法。文獻(xiàn)[16]結(jié)合DFT和小波包變換的優(yōu)秀特性，提出了一種能夠提高諧波檢測實(shí)時(shí)性的綜合諧波檢測方法。文獻(xiàn)[17]利用基于經(jīng)驗(yàn)小波變換的方法解決噪聲干擾下的穩(wěn)態(tài)及暫態(tài)諧波檢測問題。小波變換具有多尺度時(shí)頻分辨能力，適合分析動態(tài)和瞬變信號，但混疊現(xiàn)象和合適小波基的選取給精確測量帶來很大難度[18]。

文獻(xiàn)[19]提出了重構(gòu)遞歸最小二乘技術(shù)用于相量和諧波的實(shí)時(shí)估計(jì)，但該方法計(jì)算復(fù)雜，對硬件設(shè)備要求高。文獻(xiàn)[20]利用旋轉(zhuǎn)不變性技術(shù)估計(jì)諧波相量，減少諧波間干擾，提高諧波相量估計(jì)精度，但處理時(shí)間會隨信號中諧波分量的增加而延長。文獻(xiàn)[21]通過基于RBF的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行電力系統(tǒng)諧波檢測，提高檢測精度和實(shí)時(shí)性，但該方法計(jì)算相對復(fù)雜，難以在硬件上實(shí)現(xiàn)。

平頂有限脈沖響應(yīng)(finite impulse response, FIR)濾波器是最近諧波估計(jì)的熱點(diǎn)方法。文獻(xiàn)[22]在FFT的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一個(gè)平頂FIR濾波器，估計(jì)在觀測窗口內(nèi)隨時(shí)間變化的諧波。文獻(xiàn)[23]利用基于泰勒的帶通濾波器估計(jì)諧波參數(shù)，提高標(biāo)稱和非標(biāo)稱頻率下的諧波測量精度，降低計(jì)算復(fù)雜度。文獻(xiàn)[24]利用一種平頂FIR濾波器估計(jì)50次諧波相量，適用于在有附加噪聲的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)條件下。文獻(xiàn)[25]基于Sinc插值函數(shù)設(shè)計(jì)了一組FIR濾波器用于諧波相量估計(jì)。文獻(xiàn)[26-27]提出了一種基于頻域采樣定理的諧波相量估計(jì)器。這些方法在電網(wǎng)頻率偏移、調(diào)制振蕩等干擾條件下具有較強(qiáng)的諧波抑制能力，但抗帶外干擾能力較差是其無法避免的問題。

為解決上述問題，提出了基于余弦平頂窗的諧波相量估計(jì)器，根據(jù)余弦窗函數(shù)的頻域表達(dá)式和理想幅值響應(yīng)值計(jì)算出平頂窗函數(shù)系數(shù)，通過平頂窗函數(shù)與頻域采樣定理結(jié)合，利用最小二乘法得到諧波相量測量濾波器。該濾波器頻率響應(yīng)具有平頂窗函數(shù)平坦主瓣特性和旁瓣在諧波頻率處零增益的特性，同時(shí)在帶外干擾頻率處衰減尤為明顯，在確保諧波測量精度的同時(shí)，具有較強(qiáng)的抗帶外干擾能力。

1 濾波器設(shè)計(jì)

對于工頻電力系統(tǒng)而言，電壓電流實(shí)時(shí)波形通過DFT分析后得到一系列頻譜分量，通常將這些頻譜分量中工頻整數(shù)倍的頻譜分量定義為諧波[28]。諧波信號被定義為

1.1 余弦平頂窗函數(shù)設(shè)計(jì)

余弦窗窗函數(shù)可以表示為

該窗函數(shù)幅值響應(yīng)通過插值函數(shù)[29]表示為

式(4)可以用相對頻率表示為

式(7)表示成矩陣形式為

如果＞，向量可通過最小二乘算法計(jì)算得到：

1.2 諧波相量測量算法

文獻(xiàn)[27]中提出的諧波相量估計(jì)器(harmonic phasor estimator, HPE)基于頻域采樣定理，在標(biāo)稱諧波頻率下具有零誤差結(jié)果。所以，為了提高濾波器頻率響應(yīng)在諧波頻率處的衰減能力，將所設(shè)計(jì)的CFW結(jié)合頻域采樣定理，窗系數(shù)與虛指數(shù)函數(shù)組成矩陣，通過最小二乘法進(jìn)行計(jì)算。

2 性能分析

2.1 余弦平頂窗函數(shù)頻率響應(yīng)

表1 不同CFW的窗函數(shù)系數(shù)值

圖1 通帶范圍變化的幅值響應(yīng)

圖2 阻帶范圍變化的幅值響應(yīng)

2.2 諧波相量測量濾波器性能對比

綜上所述，將所設(shè)計(jì)的平頂窗與頻域采樣定理相結(jié)合用于諧波相量測量濾波器的設(shè)計(jì)，提出的諧波相量測量濾波器同時(shí)具有較平坦的通帶和較低的阻帶，并具有很強(qiáng)的特定諧波抑制能力和抗帶外干擾能力。

3 性能驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證和對比3種方法的性能，使用上述濾波器參數(shù)設(shè)置，參考文獻(xiàn)[32]中指定的同步相量測量基準(zhǔn)，在同一條件下進(jìn)行以下穩(wěn)態(tài)和動態(tài)仿真實(shí)驗(yàn)，以綜合矢量誤差(total vector error, TVE)為評價(jià)指標(biāo)評價(jià)上述3種方法的性能。

3.1 階躍響應(yīng)時(shí)間測試

測量響應(yīng)時(shí)間是指在信號輸入施加階躍變化時(shí)，測量值超出指定精度限制對應(yīng)的時(shí)刻到測量值重新進(jìn)入并保持在該精度限制內(nèi)的時(shí)刻，這兩者之間持續(xù)的時(shí)間差。

幅值階躍和相位階躍信號如下：

表2 階躍變化情況下的響應(yīng)時(shí)間

3.2 測量精度測試

1) 單次諧波實(shí)驗(yàn)

輸入電網(wǎng)信號為理想正弦波，其中包含基波和次諧波。

2) 噪聲干擾

式中，為信噪比，單位為dB。

圖5 噪聲干擾測試結(jié)果

3) 多重諧波干擾

式中，為諧波次數(shù)，將10%的2～13次諧波均加入到基波信號中作為輸入信號。

圖6 多重諧波干擾測試結(jié)果

4) 頻率斜坡

頻率斜波測試結(jié)果如圖7所示。1 s內(nèi)基波頻率從49.5 Hz線性變化到50.5 Hz，各次諧波的TVE最大值如圖7(a)所示，13次諧波的TVE結(jié)果如圖7(b)所示。從圖7中可以看出，6次及以下諧波時(shí)，3種方法的測量誤差均在0.1%以下，7次諧波之后，隨著諧波次數(shù)的升高，DHSE和HPE的諧波相量測量誤差顯著增大，最大誤差分別為2.741%和3.048%，而HPCFW的最大TVE為0.2174%；在不同基波頻率下，HPE和DHSE對各次諧波的測量誤差有波動，而HPCFW的估計(jì)誤差波動很小且誤差低。結(jié)果證明，本文提出的方法在基波頻率線性增長情況下的測量精度也能滿足要求。

5) 相位調(diào)制和幅值調(diào)制

圖7 頻率斜坡測試結(jié)果

調(diào)制測試結(jié)果如圖8所示。各次諧波次數(shù)下幅值調(diào)制和相位調(diào)制的TVE最大值分別如圖8(a)、圖8 (b)所示。從圖8中可以看出，在兩種情況下，HPCFW的諧波相量測量精確度均高于DHSE和HPE，尤其在相位調(diào)制條件下，隨著諧波次數(shù)的升高，DHSE和HPE的測量誤差明顯變大，最大值達(dá)到了14.23%和15.37%，而本文方法的誤差均小于3%，所以在調(diào)制測試中，HPCFW也表現(xiàn)出了良好的測量性能。

圖8 調(diào)制測試結(jié)果

6) 帶外干擾

圖9 帶外干擾測試結(jié)果

4 結(jié)論

本文提出了一種基于余弦平頂窗的諧波相量測量估計(jì)器，通過窗函數(shù)理想幅值響應(yīng)和頻域采樣定理改善窗函數(shù)主瓣平坦和旁瓣衰減特性，從而得到具有更好諧波相量估計(jì)性能的FIR濾波器。該濾波器與HPE相似，計(jì)算過程簡單，無需占用很多內(nèi)存資源，可以適應(yīng)諧波頻率具有帶寬變化的特點(diǎn)，根據(jù)基頻帶寬選擇模型參數(shù)，可以平坦主瓣，在諧波和帶外干擾頻率處旁瓣衰減低，能夠彌補(bǔ)HPE和DHSE在帶外干擾條件下諧波相量估計(jì)的不足。仿真對比分析表明，HPCFW在多種情況下都有良好的諧波相量測量效果，在有多次諧波干擾并發(fā)生頻率偏移、相位調(diào)制、幅值調(diào)制和存在帶外干擾的情況下，提出方法的諧波相量估計(jì)精度明顯高于DHSE和HPE，在信號中存在帶外干擾時(shí)更為突出。本文方法能有效抑制間諧波干擾，對于間諧波相關(guān)參數(shù)的測量是下一步的研究內(nèi)容。

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Harmonic phasor measurement based on a cosine flat-top window

SUN Dongxue, WANG Jiangbo, YAO Guosheng, LI Yuge

(College of Information and Electrical Engineering, China Agricultural University, Beijing 100083, China)

There is a problem of harmonic phasor estimation under out-of-band interference, frequency deviation and other dynamic situations in power systems. Thus a harmonic phasor estimator based on a cosine flat-top window is proposed. First, the window coefficients of the flat-top window are obtained by the ideal amplitude response and the least squares method based on the cosine window frequency domain expression. To obtain a frequency response with zero gain at the nominal harmonic frequency, the obtained window function is combined with the frequency domain sampling theorem. Based on this, a bank of finite impulse response filters is designed by the least squares method, and they are used to estimate the harmonic phasor. Then, the frequency response of the cosine flat-top window and the harmonic phasor measurement filter is analyzed. Finally, the performance of the proposed harmonic phasor estimator is verified by different signal models under steady-state and dynamic conditions. The simulation results show that, compared with the two harmonic phasor estimators based on the Sinc interpolation function and the frequency domain sampling theorem, the proposed method has a stronger ability to suppress out-of-band interference, and more accurate harmonic phasor estimation can be realized under thevarious conditions.

harmonic phasor measurement; cosine flat-top window; least squares method; frequency-domain sampling; total vector error

10.19783/j.cnki.pspc.220468

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(51477173)

This work is supported by the National Natural Science Foundation of China (No. 51477173).

2022-04-03；

2022-07-20

孫冬雪(1998—)，女，碩士，主要研究方向?yàn)殡娔苜|(zhì)量檢測，同步相量、諧波的檢測與分析等；E-mail: sundongxue@ cau.edu.cn

王江波(1978—)，男，通信作者，博士，副教授，主要研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)測量與控制，配電自動化技術(shù)；E-mail: jiangbowang@cau.edu.cn

姚國盛(1996—)，男，碩士，主要研究方向?yàn)殡娔苜|(zhì)量檢測，同步相量、諧波的檢測與分析等。E-mail: S20193081354@cau.edu.cn

(編輯 許 威)