陳志敏 ，劉耀輝 ，郭利民 ，李寧 ，王壹敏

（1.蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.中鐵第一勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，陜西 西安 710043；3.道橋工程災(zāi)害防治技術(shù)國(guó)家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室（蘭州交通大學(xué)），甘肅 蘭州 730070）

受青藏高原構(gòu)造運(yùn)動(dòng)影響，中國(guó)西南某高海拔地交界地帶山高谷深且地質(zhì)運(yùn)動(dòng)活躍，為大孔隙率松散巖堆的形成創(chuàng)造了合適的自然條件.

松散巖堆是巖塊與土體的混合巖土體，巖塊和土顆粒的混合特征與松散巖堆的形成條件有直接關(guān)系，巖塊堆積具有一定特征，堆積體存在時(shí)間越短，其架空越明顯，土體填充越少，巖堆越松散［1-3］.國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此類大孔隙率松散巖堆做了許多試驗(yàn)研究.Vallejo 等［4］研究了砂石-黏土混合材料的不同含量對(duì)抗剪強(qiáng)度影響；龔超凡等［5］研究了試樣高度對(duì)粗顆粒土抗剪強(qiáng)度的影響；荀曉慧等［6］根據(jù)能量守恒原理和Mohr-Coulomb 強(qiáng)度準(zhǔn)則，推導(dǎo)了能量演化與強(qiáng)度參數(shù)的關(guān)系等；對(duì)于密實(shí)硬巖巖堆，壓實(shí)度主要取決于巖塊間的摩擦阻力，巖塊壓碎引起的變形量很??；內(nèi)摩擦角隨周圍壓力的增大呈非線性，壓實(shí)硬巖巖堆的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系近似彈性應(yīng)變軟化型［7-9］.上述研究都是基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)假定進(jìn)行宏觀層面的物理力學(xué)性質(zhì)研究.巖塊單元相對(duì)隧道洞室的大小程度使得其既不能應(yīng)用巖石力學(xué)的方法，也不能應(yīng)用經(jīng)典土力學(xué)方法解決圍巖穩(wěn)定問(wèn)題.松散巖堆與一般巖土體的最大區(qū)別在于其相對(duì)大小和非連續(xù)性，不符合以上兩種方法的連續(xù)均勻性假設(shè).

經(jīng)典土力學(xué)解決了大量實(shí)際問(wèn)題，為注重機(jī)理研究的顆粒材料力學(xué)提供了驗(yàn)證依據(jù)，并指導(dǎo)顆粒材料力學(xué)的研究更加接近實(shí)際工程，因此土力學(xué)與顆粒材料力學(xué)有緊密的聯(lián)系，無(wú)黏性砂土的剪脹性研究更是促進(jìn)了巖土顆粒力學(xué)的發(fā)展［10-11］.例如：有效應(yīng)力可以用土顆粒的浮力定律來(lái)解釋，達(dá)西滲流定律可以解釋為巖土顆粒間的孔隙流體平衡和顆粒骨架對(duì)流體的阻力作用的綜合描述，進(jìn)一步有飽和土力學(xué)的孔壓系數(shù)的微觀解釋以及巖土本身的微觀結(jié)構(gòu)都蘊(yùn)含著深刻而嚴(yán)格的顆粒材料力學(xué)問(wèn)題.隨著土力學(xué)的發(fā)展，土力學(xué)研究者越來(lái)越重視巖土微觀結(jié)構(gòu)作用.宏-微觀參數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系是顆粒力學(xué)的一個(gè)基本問(wèn)題，土體微觀結(jié)構(gòu)測(cè)試［12］、顆粒間接觸測(cè)試［13］及DEM 模型［14］更是推動(dòng)了土體宏微觀研究的發(fā)展.常在［15］、劉海濤等［16］研究了砂土宏觀抗剪強(qiáng)度與顆粒間摩擦強(qiáng)度之間的相似關(guān)系；鞏師林等［17］改進(jìn)了DDA 計(jì)算方法中的塊體變形問(wèn)題；康馨等［18］引入修正的三維形狀系數(shù)S，研究了不同砂顆粒對(duì)其相關(guān)物理量的影響；曹文貴等［19］探討了在空隙變化影響下巖石微觀應(yīng)力和變形與其宏觀應(yīng)力和變形之間的關(guān)系；蔡國(guó)慶等［20］依托PFC3D 中的黏結(jié)模型建立了非飽和土體顆粒間黏結(jié)強(qiáng)度的宏-細(xì)觀關(guān)系.上述研究多是從宏-微觀角度研究土體的強(qiáng)度特性，對(duì)于松散巖塊的局部強(qiáng)度研究仍有不足.與傳統(tǒng)土力學(xué)材料不同的是，松散巖堆在破壞時(shí)與其荷載方向有很大關(guān)系.巖塊材料通過(guò)接觸力鏈，少數(shù)顆粒承擔(dān)了大部分力；在純剪和雙向壓縮狀態(tài)下，接觸力方向差異較大［21-22］.因此松散巖堆局部強(qiáng)度對(duì)工程而言同樣有重要意義.顆粒粒徑和試樣尺寸不同時(shí)，強(qiáng)度相差很大，若巖堆材料數(shù)量足夠大，則宏觀峰值強(qiáng)度趨于穩(wěn)定［23-24］，而局部強(qiáng)度特征不能體現(xiàn).

松散巖堆是典型的顆粒材料，在隧道進(jìn)口和出洞段的松散巖堆的圍巖變形問(wèn)題目前仍是隧道工程中一個(gè)尚未明確的重要問(wèn)題.為了研究松散巖堆的強(qiáng)度和圍巖穩(wěn)定，本文從顆粒材料力學(xué)對(duì)致密砂土的力學(xué)分析出發(fā)，來(lái)研究松散巖堆的細(xì)觀巖塊單元與宏觀強(qiáng)度的密切關(guān)系.

1 松散巖堆細(xì)觀咬合關(guān)系模型

1.1 經(jīng)典應(yīng)力剪脹關(guān)系

Rowe［11］在20 世紀(jì)60 年代提出了顆粒材料的應(yīng)力剪脹關(guān)系，并提出了滑裂面的剪切滑移分析模型.模型建立在密實(shí)砂土三軸試驗(yàn)狀態(tài)的基礎(chǔ)上，模型假設(shè)試樣為兩塊剛性楔塊，楔塊沿剪切面發(fā)生滑移，滑移面與最小主應(yīng)力σ3方向夾角為α，而顆粒材料的滑移面在咬合作用下呈現(xiàn)鋸齒狀，鋸齒面p與最大主應(yīng)力σ1方向夾角為β.

Rowe 認(rèn)為鋸齒面相互滑動(dòng)過(guò)程中體積增大，可以解釋顆粒材料的剪脹性，如圖1 所示.繼而通過(guò)平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件得出了應(yīng)力剪脹關(guān)系式，見式（1）.

圖1 Rowe剪切滑移分析模型Fig.1 Rowe shear slip analysis model

式中：σ1和σ3分別為最大和最小主應(yīng)力；εv和ε1分別為體積應(yīng)變和軸向應(yīng)變；φμ是顆粒間摩擦角.

Rowe根據(jù)最小能比原則，得到：

從而得到Rowe應(yīng)力剪脹關(guān)系：

該公式在顆粒材料密實(shí)狀態(tài)下吻合較好，松散狀態(tài)時(shí)，Rowe進(jìn)行了修正，用松散顆粒材料摩擦角φf(shuō)代替φμ（φμ≤φf(shuō)≤φcv），φcv是三軸試驗(yàn)中的臨界摩擦角.

隨后，Josselin［25］利用摩擦定律對(duì)Rowe采用的最小能比原理進(jìn)行了證明，其力學(xué)模型如圖2 所示.模型中α是下鋸齒面與最小主應(yīng)力方向的夾角，β是上鋸齒面與最大主應(yīng)力方向的夾角，θ為鋸齒面和滑移面的夾角，它們?nèi)哂兄欢ǖ年P(guān)系，即θ=α+β-π/2，n為鋸齒面的法線方向，F(xiàn)為鋸齒面上的作用合力，ω為力F與法線方向n的夾角.

圖2 Josselin剪切滑移分析模型Fig.2 Josselin shear slip analysis model

上述模型假設(shè)的前提是都存在鋸齒狀剪切滑移平面，且發(fā)生了剪脹.大量顆粒材料三軸試驗(yàn)表明，在密實(shí)狀態(tài)下該應(yīng)力剪脹關(guān)系公式與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系有很好的契合度，但在解釋松散顆粒材料狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系時(shí)較為困難.松散顆粒材料的三軸試驗(yàn)變形破壞結(jié)果并非存在鋸齒狀滑移平面，松散狀態(tài)下留有較大的孔隙率可以有效地緩解或者抵消剪脹作用，松散顆粒材料更容易發(fā)生局部應(yīng)力應(yīng)變.基于此，要進(jìn)一步研究大孔隙率松散巖堆強(qiáng)度關(guān)系則需進(jìn)一步建立細(xì)觀模型.

1.2 松散巖堆細(xì)觀咬合關(guān)系模型建立

松散巖堆有一定的寬泛的顆粒級(jí)配，一般只受到重力荷載的堆積作用，其密實(shí)度較小，而且有較大的孔隙率，在隧道工程中的圍巖力學(xué)行為主要是由于卸載引起的，與應(yīng)力剪脹關(guān)系有所區(qū)別，因此其細(xì)觀的咬合作用有待進(jìn)一步分析研究.

此外，上述應(yīng)力剪脹關(guān)系中的體積應(yīng)變與軸向應(yīng)變?cè)趯?shí)際工程中現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量較為困難.松散巖堆粒徑較大，開展現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)較為困難，通過(guò)運(yùn)用土力學(xué)和顆粒材料力學(xué)來(lái)研究松散巖堆細(xì)觀巖塊單元間的力學(xué)機(jī)制與宏觀強(qiáng)度的關(guān)系是一個(gè)較好的解決辦法.通過(guò)較為簡(jiǎn)單的物理力學(xué)參數(shù)來(lái)得到松散巖堆的強(qiáng)度，從而方便實(shí)際工程中的運(yùn)用.

松散巖堆主要受自重應(yīng)力影響，結(jié)構(gòu)較細(xì)粒土更加簡(jiǎn)單，其破壞過(guò)程主要是堆積單元巖塊的物理運(yùn)動(dòng).假設(shè)松散巖堆的破壞過(guò)程沒有單個(gè)巖塊的擠壓碎裂，可以簡(jiǎn)單地認(rèn)為，每個(gè)基本巖塊單元為剛體，松散巖堆在類彈性階段的強(qiáng)度主要依靠巖塊單元的咬合作用，而巖塊單元間的咬合主要是來(lái)源于特殊的摩擦機(jī)制.

松散巖堆有著非線性特征和應(yīng)力應(yīng)變局部化、跨越固體和液體的類固-液轉(zhuǎn)變行為.與顆粒力學(xué)有所區(qū)別的是，松散巖堆是一種宏觀的力學(xué)行為，松散巖堆變形有著不可逆性.在上面模型的基礎(chǔ)上，建立細(xì)觀狀態(tài)下的松散巖堆的平面咬合模型，如圖3所示.

圖3 咬合作用示意圖Fig.3 Schematic diagram of occlusion

由于大部分自然形成的巖塊表面往往是坑洼不平的，其接觸必定是較小面積與較大面積間的接觸，為了突出該特點(diǎn)，松散巖堆的變形模式是點(diǎn)-面接觸作用，以某一巖塊作為絕對(duì)靜止的對(duì)象，和它咬合的其他兩塊巖塊作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡是點(diǎn)-面接觸模式下，沿巖塊單元接觸面的滑移和以點(diǎn)為圓心的轉(zhuǎn)動(dòng).在接觸變形的情況下，變形之前，巖塊滑移面與豎向夾角為β，發(fā)生小變形后，巖塊發(fā)生滑移面偏移，由于巖塊相對(duì)旋轉(zhuǎn)偏移角度為θ，滑移面與水平方向夾角為α，它們?nèi)咧g滿足下列關(guān)系：

2 松散巖堆咬合關(guān)系與宏觀強(qiáng)度規(guī)律的關(guān)系

接觸點(diǎn)合力方向與滑移面法線方向成夾角ω，而巖塊單元間的摩擦角設(shè)為φμ，依據(jù)摩擦定律有：

當(dāng)ω＜φμ時(shí)，兩巖塊單元有滑動(dòng)趨勢(shì)，但不會(huì)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)；

當(dāng)ω=φμ時(shí)，兩巖塊單元間滑動(dòng)趨勢(shì)達(dá)到滑動(dòng)摩擦力，可以發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)；

當(dāng)ω＞φμ時(shí)，在松散巖堆破壞形式下，認(rèn)為巖堆內(nèi)部巖塊單元運(yùn)動(dòng)速度很小，不考慮加速度，兩巖塊單元間的合力超過(guò)最大滑動(dòng)摩擦力，這種情況不會(huì)出現(xiàn).

同樣地，依然假設(shè)松散巖堆受力狀態(tài)為三軸應(yīng)力狀態(tài)，內(nèi)部巖塊單元咬合機(jī)理如圖3 所示，在笛卡兒坐標(biāo)系下進(jìn)行方向標(biāo)定，以豎向或軸向?yàn)閥軸，而x軸和z軸構(gòu)成水平的平面坐標(biāo)，巖堆三軸試樣在x、y、z方向上的有效應(yīng)力分別可以表示為σ′1、σ′2、σ′3，并且三軸狀態(tài)下應(yīng)力關(guān)系為σ′1＞σ′2=σ′3.

在對(duì)松散巖堆體相似材料做三軸試驗(yàn)之后發(fā)現(xiàn)，松散巖堆變形以鼓狀變形為主，其變形如圖4 所示.之所以出現(xiàn)膨脹變形是由于較大的孔隙率提供了軸向壓縮變形空間，在松散巖堆壓縮變形的同時(shí)，由于咬合作用產(chǎn)生圍向膨脹變形，在這個(gè)過(guò)程中巖塊單元間的咬合作用主要來(lái)源是特殊機(jī)制下的摩擦力，對(duì)于摩擦因數(shù)基本一致的松散巖堆，可以認(rèn)為內(nèi)部巖塊單元間的接觸力大小相等.上述模型中假設(shè)在松散巖堆發(fā)生變形時(shí)，水平方向約束條件不變，巖塊單元間合力方向與水平方向夾角為ω+β，由圖3中關(guān)系可得到：

圖4 巖堆相似材料三軸試驗(yàn)試樣變形特征Fig.4 Deformation characteristics of triaxial test specimens of similar materials in rock piles

式中：Fy′為巖塊單元間作用力的豎向分力；Fx′為巖塊單元間作用力的水平方向分力.

松散巖堆咬合作用下的變形，主要是巖塊單元的相對(duì)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，這兩種方式都可以占據(jù)主導(dǎo)地位，主要取決于巖塊單元間的摩擦因數(shù)和比密實(shí)度.但無(wú)論哪種方式占據(jù)主導(dǎo)，松散巖堆剪脹效應(yīng)的實(shí)質(zhì)是由宏觀狀態(tài)下軸向和橫向變形引起的，因此在松散狀態(tài)下巖塊單元相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)引起的體積變化，可以轉(zhuǎn)化為巖塊單元間接觸面上的位移.

無(wú)論是平移，還是轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)于某個(gè)巖塊單元來(lái)說(shuō)位移是由于和其配位接觸的其他巖塊單元相互作用引起的，因此它的運(yùn)動(dòng)是協(xié)調(diào)的，沿著點(diǎn)-面接觸相對(duì)滑動(dòng)一段極小位移Δu′則可以代表這個(gè)巖塊單元的剪脹變形量，uy′是巖塊單元的豎向相對(duì)位移，ux′是巖塊單元水平方向相對(duì)位移，滿足矢量關(guān)系：

由上述的幾何關(guān)系可以得到：

巖塊單元在外力作用條件下消耗一定能量，主要消耗對(duì)象是巖塊單元間的摩擦作用.由于巖土體的變形可以認(rèn)為是緩慢的或者靜止的，因此忽略巖塊單元的滑動(dòng)動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量條件下，定義軸向和橫向變形所消耗的能量比為：

由式（8）可知，能量比E隨著ω的增大而增大，隨著β的增大而減小.能量比E可以通過(guò)宏觀的外力做功獲取，而巖堆內(nèi)部巖塊單元間滑移面與豎向夾角β，由于各個(gè)巖塊單元間咬合過(guò)程中的滑移面角度不同，可以看作自變量.而在一定的外界荷載和約束條件下，接觸點(diǎn)合力方向與水平方向所成夾角為ω+β，因此ω可作為因變量，進(jìn)而得到：

對(duì)式（9）求導(dǎo)，利用ω最大值條件?ω/?β=0，來(lái)求得所對(duì)應(yīng)自變量β的值：

利用三角函數(shù)倍角變換以及β、ω的值域得：

進(jìn)一步對(duì)兩者關(guān)系進(jìn)行分析，對(duì)原式求二階導(dǎo)數(shù)，將該值代入得到：

由此可知，該值是一個(gè)極大值.ω的值域?yàn)椋?，φμ）.當(dāng)巖堆發(fā)生變形時(shí)，內(nèi)部巖塊單元間ω達(dá)到最大值；當(dāng)ω+β為一個(gè)定值時(shí)，β越大則能量比E越小.由上述求導(dǎo)可知，ω是關(guān)于β的增函數(shù)，由此可知當(dāng)ω=φμ作為極大值時(shí)，β也最大，因此能量比E也越小，因此得到：

實(shí)際工程中，巖塊單元間通常不是嚴(yán)格意義上的點(diǎn)-面的接觸，還需要考慮到接觸面積ΔA，Ax′和Ay′分別是橫向和豎向的接觸面積，根據(jù)幾何關(guān)系，可以得到：

根據(jù)應(yīng)力和力的關(guān)系，將接觸面積比代入，可以得到巖塊單元間接觸極限應(yīng)力比值，若將松散巖堆三軸應(yīng)力狀態(tài)下的荷載在巖堆內(nèi)部平均化，則可以得到細(xì)觀咬合模型同宏觀外荷載的關(guān)系：

值得一提的是，這里的外荷載與巖堆內(nèi)部應(yīng)力并不是相等關(guān)系，還與巖塊單元的孔隙率和實(shí)際接觸面積等有關(guān).然而可以簡(jiǎn)單地認(rèn)為，豎向和橫向的內(nèi)部結(jié)構(gòu)一致，因此外荷載與巖堆內(nèi)部應(yīng)力比值大小是相等的.由式（15）可知，松散巖堆細(xì)觀摩擦角對(duì)宏觀強(qiáng)度有較大影響.

3 松散巖堆隧道圍巖力學(xué)分析

3.1 普氏理論松散巖堆圍巖應(yīng)力拱

圍巖壓力的確定對(duì)隧道設(shè)計(jì)和圍巖穩(wěn)定性分析有重要意義，圍巖壓力可以通過(guò)直接測(cè)量、經(jīng)驗(yàn)、理論估算等方法確定.較早的理論只考慮單因素下的圍巖壓力計(jì)算，主要有普氏理論和應(yīng)力傳遞法等，隨后出現(xiàn)了雙指標(biāo)分級(jí)、巴頓巖體質(zhì)量（Q）分級(jí)、BQ 分級(jí)法、專家系統(tǒng)法和模糊信息評(píng)價(jià)法等多因素圍巖壓力計(jì)算方法，目前我國(guó)的圍巖壓力計(jì)算方法是根據(jù)以BQ分級(jí)法為基礎(chǔ)的經(jīng)驗(yàn)法制定的.

松散巖堆可看作是巖體破壞后的坡體或者以堆積體形式存在的，自然堆積形成一定高度，除重力場(chǎng)方向的地基承載力以外，必須有一定的側(cè)向約束，才能保證其具有一定高度.巖堆內(nèi)部接觸力鏈不是豎向傳遞的，而是水平力和豎向力的合力.假設(shè)地基是絕對(duì)光滑地面，巖堆則不會(huì)形成坡體.為方便研究，假定巖堆接觸力鏈構(gòu)成平面力鏈網(wǎng)，可以得到滑移面網(wǎng)格分布如圖5 所示，力鏈網(wǎng)的拐點(diǎn)是虛構(gòu)的，是假設(shè)巖塊單元的平面配位數(shù)為4，通過(guò)延伸滑移面得到的.

松散巖堆在小變形階段保持穩(wěn)定狀態(tài)，也就是應(yīng)力應(yīng)變曲線類彈性變化階段.滑移面、巖塊在點(diǎn)-面接觸下的內(nèi)部應(yīng)力路徑等如圖5 所示，將咬合模型中的各巖塊單元的滑移面延伸相交，組成網(wǎng)格，各網(wǎng)格內(nèi)部代表不同形狀的巖塊單元.當(dāng)巖塊單元間達(dá)到其最大摩擦角ω=φμ時(shí)，巖塊單元間發(fā)生的位移很小，滑移面角度β=π/4-φμ/2，咬合作用的偏轉(zhuǎn)角θ=0，那么由式θ=α+β-π/2，可得滑移面與最小主應(yīng)力的夾角α為：

圖5 松散巖堆滑移面網(wǎng)格分布Fig.5 Grid distribution of slip surface of loose rock pile

當(dāng)隧道開挖后，巖堆內(nèi)部發(fā)生應(yīng)力重分布，一定范圍內(nèi)的巖塊單元沿臨空面產(chǎn)生位移，形成松弛.由于側(cè)向邊界約束的作用，形成一定的拱效應(yīng).當(dāng)滿足式（16）時(shí)，圍巖可以形成自穩(wěn)的應(yīng)力拱.

為了求得自穩(wěn)的應(yīng)力拱高度內(nèi)的圍巖壓力，必須確定隧道洞頂?shù)綉?yīng)力拱線的最大距離h.以自然平衡拱軸線的頂端為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立笛卡兒坐標(biāo)系，水平向左為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，自然平衡拱軸線圖如圖6所示.

應(yīng)力拱軸線拱腳處松散巖堆應(yīng)滿足深度條件：

式中：γ為松散巖堆宏觀重度；H為平衡應(yīng)力拱拱腳處埋深；T為應(yīng)力拱軸線拱頂處水平推力.

拱軸線與原點(diǎn)相交，在原點(diǎn)o（0，0）處取一微段，從細(xì)觀角度分析如圖7 所示.普氏理論將計(jì)算模型簡(jiǎn)化，認(rèn)為豎向壓力q是拱軸線上部巖體的自重所產(chǎn)生的均布荷載，且圖7 實(shí)質(zhì)上是圖6 拱軸線上的微段，當(dāng)x方向上取一微段dx時(shí)，拱軸線上對(duì)應(yīng)為m點(diǎn)，m點(diǎn)彎矩應(yīng)為均布荷載的合力G乘合力作用點(diǎn)到m點(diǎn)的距離（y=dy時(shí)所對(duì)應(yīng)的dx的一半）.拱軸線是圍巖是否塌落的分界線，故在拱軸線上巖體不能承受拉應(yīng)力，當(dāng)y=dy時(shí)，豎向荷載G和水平推力t到拱軸線上m點(diǎn)的彎矩作用差值應(yīng)為0，從而得到式（18）.

圖6 自然平衡拱計(jì)算圖Fig.6 Calculation diagram of natural balance arch

圖7 拱軸線微分示意圖Fig.7 Differential schematic diagram of arch axis

式中：G為微段拱軸線上部巖體的自重荷載，即G=qa；t為平衡應(yīng)力拱拱頂截面的水平推力；dx、dy分別為o點(diǎn)的x、y軸增量值.

在拱軸線任意點(diǎn)處，該微段受外荷載作用可看作是與三軸應(yīng)力狀態(tài)一致，則根據(jù)松散巖堆宏觀外荷載與細(xì)觀咬合強(qiáng)度關(guān)系可得：

由式（18）和式（19）可得到y(tǒng)軸的增量dy與松散巖堆細(xì)觀強(qiáng)度關(guān)系為：

求解式（20）所示微分方程即可得到應(yīng)力拱軸線在笛卡兒坐標(biāo)下的解析式：

式中：C為常數(shù)，受多種因素影響，主要與松散巖堆的巖塊單元與隧道洞徑的比值、巖堆體內(nèi)摩擦角φμ有關(guān)，粒徑小至一定值時(shí)，所需最大高度y為無(wú)限大.

由式（21）可知，自然平衡拱軸線為二次拋物線，其應(yīng)力平衡條件為二次項(xiàng)，應(yīng)力拱高度與咬合強(qiáng)度關(guān)系呈正相關(guān).

當(dāng)應(yīng)力拱的跨度達(dá)到a1時(shí)，即可得到隧道洞頂?shù)綉?yīng)力拱線的最大距離h為：

式中：a1為應(yīng)力拱軸線的計(jì)算水平距離，可由α與隧道斷面高度Ht的三角函數(shù)關(guān)系得到：

3.2 基于細(xì)-宏觀強(qiáng)度關(guān)系的松散巖堆圍巖壓力

普氏理論認(rèn)為：作用在硐室頂部的圍巖壓力僅為拱內(nèi)巖體的自重.但普氏理論僅僅是在宏觀層面給出了圍巖壓力的計(jì)算方法，而對(duì)于松散巖堆體隧道，洞頂所受圍巖壓力應(yīng)考慮巖堆體細(xì)-宏觀強(qiáng)度關(guān)系，因此認(rèn)為對(duì)于硐室頂部的圍巖壓力仍然可以用普氏理論去計(jì)算，但需對(duì)其做出修正，隧道所受圍巖壓力示意圖如圖8 所示.結(jié)合松散巖堆細(xì)觀咬合模型與宏觀外荷載之間的關(guān)系，由式（15）和式（22）即可得到大孔隙率巨型松散巖堆體考慮了細(xì)-宏觀強(qiáng)度關(guān)系的圍巖壓力計(jì)算公式如式（24）所示.

圖8 松散巖堆隧道細(xì)-宏觀圍巖壓力示例圖Fig.8 Example diagram of fine-macroscopic surrounding rock pressure of loose rock pile tunnel

隧道硐室的側(cè)向圍巖壓力，同樣考慮松散巖堆體的咬合作用機(jī)制及細(xì)-宏觀強(qiáng)度關(guān)系，因此同樣對(duì)宏觀層面普氏圍巖側(cè)向壓力理論值做出修正：

聯(lián)立式（15）（16）（22）（25）（26）可得松散巖堆隧道硐室側(cè)向圍巖壓力：

由此可見，松散巖堆體隧道的圍巖壓力無(wú)論是豎向壓力還是側(cè)向壓力與咬合強(qiáng)度的關(guān)系均為正相關(guān)，圍巖壓力均受到應(yīng)力拱軸線的計(jì)算水平距離a1與巖塊單元間的摩擦角φμ的共同影響.

3.3 松散巖堆隧道圍巖壓力計(jì)算實(shí)例

中國(guó)西南某鐵路隧道進(jìn)出口段分布有較大規(guī)模的巖堆體，主要以碎石為主，厚度10～50 m 不等，塊徑多介于0.5～2 m，最大塊徑達(dá)到5 m，在自然狀態(tài)下穩(wěn)定性較好.巖堆對(duì)隧道主體工程影響較大，施工會(huì)影響巖堆的穩(wěn)定性，存在局部失穩(wěn)風(fēng)險(xiǎn).依托該隧道工程建設(shè)，采用修正的細(xì)-宏觀普氏理論圍巖壓力計(jì)算公式，對(duì)隧道圍巖壓力進(jìn)行計(jì)算，并與太沙基理論圍巖壓力及《鐵路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范》（TB 10003—2016）［26］（以下簡(jiǎn)稱規(guī)范）圍巖壓力計(jì)算結(jié)果對(duì)比，計(jì)算中各參數(shù)取值見表1，圍巖壓力計(jì)算結(jié)果見表2.其中，在太沙基理論計(jì)算中采用朗金公式計(jì)算其側(cè)向圍巖壓力，常數(shù)C的取值可參考如式（29）所示經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算，但后續(xù)仍需大量數(shù)據(jù)進(jìn)行修正：

表1 中國(guó)西南某鐵路隧道圍巖壓力計(jì)算參數(shù)表Tab.1 Calculation parameters of surrounding rock pressure of a railway tunnel in southwest China

式中：d為巖體粒徑，m.

為方便對(duì)比，考慮到普氏理論及規(guī)范算法中側(cè)向圍巖壓力均呈線性變化，因此取平均值與其余結(jié)果比較.由表2 可知：修正后的普氏理論比一般普氏理論計(jì)算結(jié)果大，差值約28 kPa，局部強(qiáng)度對(duì)整體圍巖壓力的影響不可忽略，說(shuō)明本文所提出的計(jì)算公式是合理的、可應(yīng)用的，但由于普氏系數(shù)的計(jì)算有人為經(jīng)驗(yàn)因素影響，修正后的普氏理論則嚴(yán)格受到內(nèi)摩擦角及滑移面與水平面夾角α的影響，更為科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)；修正的普氏理論在豎向圍巖壓力計(jì)算中比太沙基理論和規(guī)范方法略大，除規(guī)范深埋算法的結(jié)果之外，差值均在30 kPa 以內(nèi)，這是由于太沙基理論和規(guī)范算法中僅僅是將豎向圍巖壓力在宏觀上整體簡(jiǎn)化為均布荷載，并沒有考慮到巖體內(nèi)部由于相互咬合而造成的細(xì)觀局部強(qiáng)度帶來(lái)的影響，而修正的普氏理論將巖體各部分細(xì)觀局部強(qiáng)度同樣用宏觀角度均布作用于硐室上方.值得注意的是，規(guī)范算法中無(wú)限埋深計(jì)算方法計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)較大誤差，這是由于規(guī)范算法在計(jì)算過(guò)程中僅僅是考慮到硐室上方圍巖的自重，忽略了滑移面造成隧道跨度增大的影響，故該方法計(jì)算豎向壓力結(jié)果明顯小于其余兩種方法，使得其側(cè)向圍巖壓力同樣偏小.對(duì)比側(cè)向圍巖壓力后發(fā)現(xiàn)，修正普氏理論計(jì)算結(jié)果均與其余兩種方法有較大差距，差值在80 kPa 左右.究其原因，認(rèn)為：算例圍巖是巨型大孔隙率松散巖堆體，其咬合模型為點(diǎn)-面接觸，在受到荷載作用后，巖堆巖塊內(nèi)部產(chǎn)生位移使得其找到新的平衡位置，使得巖塊間接觸更為緊扣，造成部分圍巖壓力向圍巖方向傳遞，從而使硐室側(cè)向圍巖壓力減小.

表2 中國(guó)西南某鐵路隧道圍巖壓力對(duì)照表Tab.2 Comparison table of surrounding rock pressure of a railway tunnel in southwest China

綜上所述，基于細(xì)-宏觀強(qiáng)度修正的普氏理論圍巖壓力公式更適用于有較大埋深的松散巖體隧道.

4 結(jié)論與展望

本文從致密砂的應(yīng)力剪脹關(guān)系式出發(fā)，通過(guò)分析得出了松散巖堆的細(xì)觀咬合模型，推導(dǎo)出由巖堆內(nèi)部巖塊單元的摩擦角主導(dǎo)的宏觀強(qiáng)度關(guān)系式.從適合破碎圍巖的普氏理論出發(fā)，結(jié)合巖堆細(xì)觀強(qiáng)度公式，得出了松散巖堆自然平衡拱軸線的計(jì)算方法，從而從細(xì)-宏觀角度修正了圍巖壓力計(jì)算公式.主要結(jié)論如下：

1）松散巖堆接觸模式為點(diǎn)-面接觸，其運(yùn)動(dòng)軌跡是沿接觸面的滑移和以點(diǎn)為圓心的轉(zhuǎn)動(dòng)；巖塊內(nèi)摩擦角對(duì)宏觀強(qiáng)度有重要影響，內(nèi)摩擦角越大，宏觀強(qiáng)度越高.

2）應(yīng)力拱軸線高度h受細(xì)-宏觀強(qiáng)度關(guān)系σ′1/σ′3與滑移面與水平面夾角α共同影響，巖堆細(xì)觀局部強(qiáng)度對(duì)整體圍巖壓力的影響不可忽略.

3）針對(duì)松散巖堆細(xì)-宏觀力學(xué)特性，對(duì)普氏理論進(jìn)行了修正.中國(guó)西南某鐵路隧道計(jì)算結(jié)果表明，修正普氏理論結(jié)果稍大，體現(xiàn)了松散巖堆隧道的細(xì)-宏觀力學(xué)特性，表明了修正普氏理論的可行性與實(shí)用性.

4）修正的圍巖壓力公式更適用于有較大埋深的松散圍巖隧道.后續(xù)研究重點(diǎn)將是運(yùn)用大量數(shù)據(jù)修正常數(shù)C的擬合函數(shù)以及在普氏理論計(jì)算模型推導(dǎo)過(guò)程中求m點(diǎn)彎矩時(shí)力臂的取值問(wèn)題，普氏理論模型仍有待繼續(xù)修正、細(xì)化.