曹偉長，單文桃，呂冬喜，林 奇，池云飛

(江蘇理工學(xué)院機械工程學(xué)院，常州 213001)

0 引言

高速數(shù)控機床是設(shè)備加工的重要基石，也是裝備制造的主要發(fā)展方向之一，已有研究證實，在超高速切削條件下，材料的切削機理會發(fā)生改變，所需的切削力會下降，表面質(zhì)量和加工效率得到提高[1-2]。在高速數(shù)控機床中主軸單元是核心部件之一，電主軸的性能對機床高速化和高精度化起著關(guān)鍵作用。

永磁同步電主軸擁有功率大、集成度高、速度調(diào)節(jié)范圍廣、機械效率高等優(yōu)點，并且無需換向，避免了機械換向裝置帶來的磨損問題，永磁同步電主軸由于采用永磁體其機械結(jié)構(gòu)和控制系統(tǒng)，相對于異步型電主軸更簡單，并且永磁體的使用有效的緩解了異步電主軸轉(zhuǎn)子發(fā)熱嚴重的問題[3]，因此對永磁同步電主軸技術(shù)研究具有重要意義。

矢量控制是目前主要的永磁同步電主軸控制策略之一，它能夠滿足對主軸速度和電流的精確控制。為了增強電主軸在特殊工況下的穩(wěn)定性，采用無傳感器控制方式的永磁同步電主軸驅(qū)動系統(tǒng)是電主軸控制技術(shù)發(fā)展的主流趨勢[4-5]。

根據(jù)主軸轉(zhuǎn)子中永磁體的位置不同，永磁同步電主軸可分為面裝式、插入式和內(nèi)裝式3種。對于插入式永磁同步電主軸進行弱磁控制可以有效的利用永磁同步電主軸的磁阻轉(zhuǎn)矩。

隨著電主軸轉(zhuǎn)速升高，定子側(cè)的反電動勢逐漸增大。當(dāng)電主軸運行到轉(zhuǎn)折速度時系統(tǒng)失去了對定子電流的控制能力。這時可以通過增大直軸電流來削弱直軸磁場，同時減小交軸電流，從而使轉(zhuǎn)子的速度范圍逐步擴展，達到弱磁擴速的目的。在高速階段通過弱磁控制可以使電主軸恒功率運行，這對于永磁同步電主軸控制具有重要意義[6-7]。

為提高永磁同步電主軸電流利用率，在恒轉(zhuǎn)矩區(qū)采用最大轉(zhuǎn)矩電流比(maximum torque per ampere，MTPA)控制，由于拉格朗日定理得到的四階方程，求解復(fù)雜，有學(xué)者提出了將控制系統(tǒng)中轉(zhuǎn)矩與電流之間的關(guān)系制成數(shù)據(jù)表，通過查詢輸入轉(zhuǎn)矩對應(yīng)的輸出電流來給定d、q軸的電流值，以此實現(xiàn)MTPA控制。由于此方法數(shù)據(jù)量較大，在實際工程中應(yīng)用能力較弱。

曹暉等[8]采用多項式擬合的方法得到id、iq與Te關(guān)系曲線，便于工程實現(xiàn)。李軍等[9]使用分段曲線擬合得到id、iq與Te關(guān)系曲線，提高了控制精度。但未考慮溫度和電感飽和等影響。黃鵬等[10]考慮到電感飽和效應(yīng)，對電主軸Ld、Lq進行了在線自適應(yīng)估算,提出適于實際工程的近似算法。周新秀等[11]采用參數(shù)的在線辨識與MTPA控制、電流預(yù)測控制方法相結(jié)合。監(jiān)控電主軸參數(shù)提高了控制精度，但同樣有計算量較大，實際工程應(yīng)用能力較弱的問題。

常見的弱磁控制策略有六步電壓法[12]、查表法[13]、梯度下降法[14]和負id補償法[15]等。

為提高實際工程應(yīng)用能力，通過采用曲線擬合的方式近似求解id、iq與Te的關(guān)系式，減小了系統(tǒng)的實時的計算量，提高了響應(yīng)速度，利用電壓極限橢圓的梯度下降法，對電主軸進行弱磁控制，擴展了調(diào)速范圍，結(jié)合曲線擬合法計算量小和梯度下降法的精度高、響應(yīng)快的優(yōu)點，得到的實驗結(jié)果驗證了MTPA控制和梯度下降法弱磁控制策略在高速磨削電主軸上使用的可行性和優(yōu)越性。

1 永磁同步電主軸數(shù)學(xué)模型

由于永磁同步電主軸轉(zhuǎn)子和定子具有復(fù)雜的電磁關(guān)系，非線性、強耦合性以及時變性，因此要建立精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)模型較為困難，所以在建立數(shù)學(xué)模型之前，先做如下假設(shè)：

(1)忽略鐵心磁阻，不計渦流和磁滯損耗；

(2)永磁材料的電導(dǎo)率為零，其內(nèi)部的磁導(dǎo)率與空氣相同；

(3)轉(zhuǎn)子上無阻尼繞組；

(4)永磁體產(chǎn)生的勵磁磁場和三相繞組產(chǎn)生的電樞反應(yīng)磁場在氣隙中均為正弦分布；

(5)穩(wěn)態(tài)運行時，相繞組中感應(yīng)電動勢波形為正弦波。

由a、b、c坐標(biāo)系的三相電壓到d、q同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換為：

(1)

建立d-q坐標(biāo)軸下插入式三相永磁同步電主軸數(shù)學(xué)模型。

定子電壓方程：

(2)

(3)

定子磁鏈方程：

ψd=Ldid+ψf

(4)

ψq=Lqiq

(5)

三相凸極同步電主軸的電磁轉(zhuǎn)矩為：

(6)

在d-q軸系中有：

id=iscosβ

(7)

iq=issinβ

(8)

將式(7)、式(8)帶入式(6)中得到：

(9)

機械運動方程：

(10)

式中，ud、uq為定子繞組的d、q軸電壓；Ld、Lq為定子繞組d、q軸電感；id、iq為定子繞組的d、q軸電流；ψd、ψq為d、q軸的磁鏈；ψf為轉(zhuǎn)子永磁體產(chǎn)生的磁鏈；pn為極對數(shù)；ωr為電角速度；Te為電磁轉(zhuǎn)矩；Rs為定子電樞相電阻；β為轉(zhuǎn)矩角。

2 弱磁控制

2.1 弱磁區(qū)域的確定

MTPA控制：基速(空載電動勢達到逆變器輸出最大電壓值時的轉(zhuǎn)速)以下電主軸處于恒轉(zhuǎn)矩區(qū)域，為提高電流利用率，采用MTPA控制如圖1中OA所示。

圖1 插入式永磁同步電主軸運行過程電流、電壓軌跡

弱磁區(qū)域Ⅰ：隨著轉(zhuǎn)速升高，永磁同步電主軸將沿著圖1中OA和BC之間的區(qū)域運行，即弱磁區(qū)域Ⅰ。圖1中曲線BC為最大轉(zhuǎn)矩電壓比(maximum torque per voltage，MTPV)曲線。

弱磁區(qū)域Ⅱ：隨著轉(zhuǎn)速進一步升高，主軸沿著圖1中MTPV曲線運行，即弱磁區(qū)域Ⅱ。

2.2 弱磁區(qū)域Ⅰ的運行分析

電磁轉(zhuǎn)矩電流比表達式可寫成：

(11)

根據(jù)最大轉(zhuǎn)矩電流比控制，當(dāng)表達式(11)取最大值時，?(Te/is)/?β=0可得到：

(12)

將cosβ帶入式(7)和式(8)得到永磁同步電主軸MTPA控制時id、iq與is之間的關(guān)系：

(13)

實現(xiàn)最大轉(zhuǎn)矩電流比控制問題轉(zhuǎn)換成求定子電流最小值問題。

(14)

由拉格朗日極值定理得到：

(15)

式中，λ為拉格朗日乘子。

分別對id、iq和λ求偏導(dǎo)，并令其為0得：

(16)

求解式(16)得到id的表達式：

(17)

帶入式(14)得：

(18)

化簡之后得到：

(19)

反解出d、q軸電流與電磁轉(zhuǎn)矩的關(guān)系式：

(20)

根據(jù)拉格朗日定理得到的四階方程求解復(fù)雜，為了方便在工程實際中應(yīng)用，可以采用一種工程近似方法，即采用曲線擬合的方式近似求解出id、iq與Te的關(guān)系式，從而控制電主軸的旋轉(zhuǎn)，同樣可以達到相似的控制效果，并且降低了計算量、提高了響應(yīng)速度、減小了存儲空間的占用。

高速電主軸的主要參數(shù)如表1所示。

表1 高速磨削電主軸FL170-20-15參數(shù)

利用MATLAB中自帶的擬合工具箱從圖像中選取數(shù)據(jù),選取不同次數(shù)的多項式來進行曲線擬合。

(21)

(22)

2.3 弱磁區(qū)域Ⅱ的運行分析

(23)

由于轉(zhuǎn)矩遞增方向和恒轉(zhuǎn)矩方向正交，故其表達式如下：

(24)

(25)

設(shè)輸出電壓的代價函數(shù)為：

(26)

當(dāng)主軸高速運行時，定子側(cè)的壓降影響較小可以忽略，電壓方程表示為：

uq≈(Ldid+ψf)ωr

(27)

ud≈-Lqiqωr

(28)

式中，ωr為電主軸電角速度。

由此得出電壓極限橢圓中電壓下降方向表達式為：

(29)

(30)

(31)

通過θ的值，可以判斷電主軸當(dāng)前工作所處的弱磁區(qū)域。當(dāng)θ<90°時，電主軸工作在弱磁區(qū)域Ⅰ；當(dāng)θ≥90°時，電主軸工作在弱磁區(qū)域Ⅱ；當(dāng)θ=90°時電主軸將沿著MTPV曲線運行，工作區(qū)域從弱磁Ⅰ區(qū)轉(zhuǎn)換到弱磁Ⅱ區(qū)。

2.4 電流參考值的修正

電主軸弱磁控制中，由式(24)得到轉(zhuǎn)矩變化的方向，由式(29)得到電壓變化的方向。輸出電壓與給定電壓的差值為ΔU。由此可以得到電流參考修正值，其中ΔU的表達式為：

(32)

(33)

由電壓極限橢圓和轉(zhuǎn)矩雙曲線切點的連線，可以表示出MTPV的軌跡方程：

(34)

由式(34)可得MTPV切線方向：

其中，若交互項CFAt-1×CDI的系數(shù)顯著為負，則表明該假設(shè)通過檢驗，即對處于相應(yīng)生命周期的企業(yè)，碳信息披露會顯著緩解企業(yè)的融資約束。

(35)

(36)

在弱磁Ⅰ區(qū)，電流沿(Td,Tq)T方向修正。在弱磁區(qū)Ⅱ區(qū)，電流沿MTPV方向修正。根據(jù)電壓差值ΔU和式(14)、式(15)、式(24)、式(25)得到的方向值，求出電流修正值為：

(37)

(38)

式中，α、β為增益系數(shù)。

弱磁控制過程中輸入電流可以表示為：

(39)

(40)

3 實驗分析

通過對FL170-20-15型高速磨削電主軸進行Simulink建模仿真。

圖2 弱磁控制模型

(a) 轉(zhuǎn)速時間關(guān)系 (b) 轉(zhuǎn)速時間關(guān)系局部放大圖3 轉(zhuǎn)速時間關(guān)系

圖4 弱磁控制時cosθ時間關(guān)系 圖5 電流時間關(guān)系

圖6 轉(zhuǎn)矩時間關(guān)系 圖7 FL170-20-15型高速磨削電主軸

4 結(jié)論

通過運用曲線擬合的方式得到id、iq與Te近似關(guān)系，對高速磨削電主軸FL170-20-15進行Simulink仿真分析，得出以下結(jié)論：

(1)采用擬合曲線求解id、iq與Te的關(guān)系表達式，可以快速得出MTPA控制的d-q軸電流數(shù)據(jù)。

(2)采用梯度下降法對永磁同步電主軸進行弱磁控制，這種方法實現(xiàn)簡單。

(3)電主軸在運行中由于溫度和磁飽和等因素的影響，電主軸參數(shù)會產(chǎn)生變化，實際的MTPA運行點也會改變，不管是查表法還是擬合曲線法都會出現(xiàn)控制效果變差的現(xiàn)象，還需要對變參數(shù)MTPA控制進行進一步研究。