李生明，楊 紅

(清遠(yuǎn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電與汽車工程學(xué)院，清遠(yuǎn) 511510)

0 引言

隨著高速高精度機(jī)床加工需求的不斷增加，直驅(qū)系統(tǒng)在高精度運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中受到了極大的關(guān)注[1]。然而，單個(gè)直線電機(jī)的推力有限，有時(shí)不足以驅(qū)動(dòng)大慣量負(fù)載[2]。因此，在許多情況下，為了滿足大功率、大慣量和高控制性能的要求，負(fù)載是由兩臺直線電機(jī)同時(shí)驅(qū)動(dòng)的。在位置跟蹤控制任務(wù)中，要求兩個(gè)電機(jī)在保持同比的情況下跟蹤位置指令。而影響雙電機(jī)伺服系統(tǒng)控制性能的因素有：雙電機(jī)之間的參數(shù)差異、負(fù)載的質(zhì)量變化以及系統(tǒng)不確定性和擾動(dòng)引起的外界擾動(dòng)[3-4]。因此，在存在上述因素的情況下，雙直線電機(jī)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)高跟蹤性能是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)。

為解決電機(jī)同步跟蹤問題，趙希梅等[5]針對單軸設(shè)計(jì)互補(bǔ)滑模位置控制器保證魯棒性能，通過設(shè)計(jì)Sugeno型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償控制器提高雙電機(jī)系統(tǒng)的同步控制精度。羅品奎等[6]針對雙直線電機(jī)控制系統(tǒng)的機(jī)械耦合問題，提出了一種模糊邏輯補(bǔ)償算法，有效的減小了系統(tǒng)的同步誤差。LIN等[7]基于拉格朗日動(dòng)力學(xué)建立雙直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)耦合動(dòng)力學(xué)模型，同時(shí)為提高系統(tǒng)控制性能設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制算法。雖然有效提高了單軸的跟蹤精度，但雙軸間的同步精度改善較小。ZHAO等[8]針對雙直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)在頻域設(shè)計(jì)同步控制器，但沒有考慮質(zhì)心偏移對控制性能的影響。劉強(qiáng)等[9]為提高速度同步性能在軸間設(shè)計(jì)了采用基于模糊PID控制的同步控制器，獲得較高的同步運(yùn)動(dòng)精度。然而，目前針對雙電機(jī)同步控制系統(tǒng)的研究在控制器設(shè)計(jì)時(shí)所用模型多集中于線性模型，而真實(shí)電機(jī)系統(tǒng)是時(shí)變非線性的。

為此，針對雙直線電機(jī)同步控制系統(tǒng)存在的耦合干擾、負(fù)載擾動(dòng)和模型不確定性等擾動(dòng)，本文提出了一種基于Haar小波的自適應(yīng)滑模(HW-ASMC)同步控制器。利用Haar小波函數(shù)所組成的正交基底具有逼近任意函數(shù)的性質(zhì)設(shè)計(jì)自適應(yīng)律來逼近受控系統(tǒng)中未知時(shí)變非線性函數(shù)，并以此為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)滑?？刂坡?。最后，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文提出的控制器的有效性。

1 雙直線電機(jī)同步控制系統(tǒng)模型

理想情況下，PMLSM的電磁推力為：

(1)

式中，id、iq為d-q軸電流；Ld、Lq為d-q軸電感；λPM為勵(lì)磁磁鏈；τ為極距。

基于id=0磁場定向控制，電磁推力表示為：

(2)

式中，Kf為推力系數(shù)。

PMLSM運(yùn)動(dòng)方程為：

(3)

式中，M為直線電機(jī)動(dòng)子質(zhì)量；d為電機(jī)動(dòng)子位置；B為導(dǎo)軌的粘滯摩擦系數(shù)；Fd為負(fù)載擾動(dòng)。

PMLSM伺服系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

(4)

(5)

式中，u=iq為系統(tǒng)控制輸入。

雙直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)是由兩個(gè)并聯(lián)永磁直線電動(dòng)機(jī)組成的同步數(shù)控加工系統(tǒng)。根據(jù)永磁直線電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型與雙直線電機(jī)系統(tǒng)工作原理，雙直線電機(jī)的同步控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型可表示為[10]：

(6)

(7)

式中，下標(biāo)“1”、“2”分別為Y1軸、Y2軸。

2 基于Haar小波的自適應(yīng)滑模控制器設(shè)計(jì)

2.1 Haar小波

Haar小波hn(t)的正交集合是一群具有在特定區(qū)間大小為±1，且其他區(qū)間為0的方波所組成。

(8)

式中，h1(t)為基本的方波；j為大小參數(shù)；k為移動(dòng)參數(shù)。圖1為Haar小波h0(t)～h7(t)的示意圖。在h1、j=0時(shí)小波寬度為1。在h2、j=1時(shí)小波寬度為1/2。在h4、j=2時(shí)小波寬度為1/4，當(dāng)j增加時(shí)，頻寬隨之減少；當(dāng)k增加時(shí)，小波沿著時(shí)間軸平移，在h4、k=0時(shí)小波中心位置在1/8。在h5、k=1時(shí)小波中心位置在3/8。在h6、k=2時(shí)小波中心位置在5/8。在h7、k=3時(shí)小波中心位置在7/8。小波函數(shù)級數(shù)介于區(qū)間[0,1]展開，任何平方可積函數(shù)y(t)均能夠以無窮多項(xiàng)Haar級數(shù)展開表示為：

圖1 Haar小波函數(shù)示意圖

(9)

式中，Haar系數(shù)可以利用Haar小波的正交性質(zhì)與式(10)決定。

(10)

式(10)的級數(shù)展開包含無窮多項(xiàng)，如果y(t)是分段函數(shù)或可用分段函數(shù)近似，則式(9)可以用有限項(xiàng)來近似，整理后可得：

(11)

式中，

H(m)(t)[h0(t)h1(t) …h(huán)m-1(t)]T

(12)

W(m)[c0c1…cm-1]T

(13)

式中，T為轉(zhuǎn)置；m=2j,j∈{0}∪N,(m)為維度。

2.2 基于Haar小波的自適應(yīng)滑模控制器設(shè)計(jì)

以Y1軸進(jìn)行控制器的推導(dǎo)，首先系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型可以表示為：

(14)

式中，f(x,t)=-(Bv/M)v(t)-Fd/M是一個(gè)未知時(shí)變函數(shù)且變化界線也未知，而在此所設(shè)定的未知函數(shù)b(t)=Kf/M的界限是可以被估測的，即bmin≤b(t)≤bmax，其中bmin和bmax為已知。定義b(t)為：

b(t)=bm+Δb

(15)

式中，bm為標(biāo)稱值；Δb為不確定性且滿足：

0<βmin≤Δb≤βmax

(16)

(17)

式中，λ為正常數(shù)。根據(jù)式(17)滑模面的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為：

(18)

將式(14)代入式(18)得：

(19)

為使控制系統(tǒng)的輸出收斂至滑模面，因此設(shè)計(jì)控制律u(t)(|u(t)|≤umax，umax為系統(tǒng)最大控制力)如式(20)所示。

(20)

將式(20)代入式(19)可得：

(21)

f=WTH

(22)

(23)

(24)

(25)

式中，Q∈Rn×n為對稱正定矩陣，可求李雅普諾夫候選函數(shù)之時(shí)間導(dǎo)數(shù)為：

(26)

(27)

設(shè)計(jì)權(quán)值自適應(yīng)律為：

(28)

將式(28)代入式(27)可得：

(29)

為了抑制未知函數(shù)b(t)受不確定因素的影響及建立適當(dāng)?shù)聂敯粜钥稍O(shè)計(jì)參數(shù)η以滿足式(30)。

η=βmaxumax

(30)

則Lyapunov候選函數(shù)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)滿足：

(31)

因此，由Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，式(28)表示的自適應(yīng)律可以確保雙直線電機(jī)同步控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。進(jìn)一步，可以通過Barbarlat引理證明式(20)表示的控制律u(t)可以確?？刂戚敵稣`差能夠漸進(jìn)收斂。所設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的方框圖如圖2所示。

圖2 控制系統(tǒng)方框圖

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

雙直線電機(jī)同步控制系統(tǒng)實(shí)物如圖3所示。兩個(gè)Y方向的直線電機(jī)平行組成。圖4為系統(tǒng)硬件連接結(jié)構(gòu)圖。移動(dòng)工作臺在Y方向的行程范圍為320 mm。為了保護(hù)移動(dòng)臺不受碰撞，兩端裝有阻尼器。采用固定分辨率為0.05 μm的直線光柵尺，測量兩個(gè)方向上移動(dòng)的位置。上位機(jī)通過以太網(wǎng)和控制箱連接，控制箱內(nèi)的控制卡通過模擬量的方式對電機(jī)進(jìn)行控制，伺服驅(qū)動(dòng)器實(shí)現(xiàn)電流環(huán)控制和換向功能，控制卡中再做閉環(huán)控制。

圖3 雙直線電機(jī)示意圖 圖4 雙直線電機(jī)同步控制系統(tǒng)硬件結(jié)構(gòu)圖

實(shí)驗(yàn)一：期望位置輸入如圖5所示，以空載起動(dòng)，并在系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后在5 s時(shí)突加50 N負(fù)載。圖6～圖7分別為滑?？刂?SMC)和HW-ASMC的系統(tǒng)位置誤差曲線。

圖5 正弦位置輸入信號

圖6 基于SMC的位置跟蹤誤差 圖7 基于HW-ASMC的位置跟蹤誤差

可以看出，在系統(tǒng)起動(dòng)時(shí)，HW-ASMC相對于SMC響應(yīng)速度更快。在SMC系統(tǒng)中，Y1軸的位置誤差控制在-1.2～1.5 μm內(nèi)，突加負(fù)載后，位置誤差增加到2.3 μm，恢復(fù)時(shí)間為0.17 s；Y2軸的位置誤差控制在-2.0～2.4 μm內(nèi)，突加負(fù)載后，位置誤差增加到2.6 μm，恢復(fù)時(shí)間為0.18 s。在HW-ASMC系統(tǒng)中，Y1軸的穩(wěn)態(tài)誤差控制在-0.96～1.05 μm內(nèi)，突加負(fù)載后，位置誤差增加到1.3 μm，恢復(fù)時(shí)間為0.11 s；Y2軸的位置誤差控制在-1.2～1.12 μm內(nèi)，突加負(fù)載后，位置誤差增加到1.31 μm，恢復(fù)時(shí)間為0.12 s。因此可知，突加負(fù)載擾動(dòng)時(shí)，基于HW-ASMC控制的H型平臺伺服系統(tǒng)表現(xiàn)出位置跟蹤性能更好、誤差收斂速度更快，魯棒性更強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。圖8～圖9分別為SMC和HW-ASMC的同步誤差曲線。

圖8 基于SMC的同步誤差 圖9 基于HW-ASMC的同步誤差

根據(jù)圖8、圖9可以看出，基于HW-ASMC的同步控制系統(tǒng)同步精度更高。

實(shí)驗(yàn)二：期望位置輸入曲線如圖10所示。SMC和HW-ASMC控制的單軸位置跟蹤誤差曲線分別如圖11、圖12所示。

圖10 梯形位置輸入信號

圖11 基于SMC的位置跟蹤誤差 圖12 基于HW-ASMC的位置跟蹤誤差

可以看出當(dāng)動(dòng)子速度變化時(shí)位置跟蹤誤差最大，且圖12要比圖11在動(dòng)子速度變化后的響應(yīng)速度更快，最大位置誤差也更小。圖13和圖14分別為SMC和HW-ASMC的同步誤差。

圖13 基于SMC的同步誤差 圖14 基于HW-ASMC的同步誤差

可以看出，與正弦輸入下的結(jié)果相同，由于Haar小波基函數(shù)能逼近系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型中的未知擾動(dòng)及滑?？刂祈憫?yīng)快的特點(diǎn)，使得HW-ASMC可以更精確地跟蹤期望位置輸入曲線，進(jìn)而減小系統(tǒng)同步誤差。

4 結(jié)論

本文針對雙直線電機(jī)同步控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了基于Haar小波基函數(shù)的自適應(yīng)滑?？刂破?，以克服耦合干擾、負(fù)載擾動(dòng)和模型不確定性等因素對同步控制性能的影響。并基于Lyapunov穩(wěn)定法則證明了跟蹤誤差的收斂性。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果得知，本文提出的HW-ASMC相比于SMC不僅能提高雙直線電機(jī)伺服系統(tǒng)的同步控制精度，還具有較強(qiáng)的抗干擾能力，且系統(tǒng)的單軸跟蹤精度也得到了進(jìn)一步提升。