魏志強(qiáng)，翁哲鳴，化永朝，董希旺，任章

1.復(fù)旦大學(xué) 工程與應(yīng)用技術(shù)研究院，上海 200433

2.航天三院 創(chuàng)新研究院，北京 100074

3.北京航空航天大學(xué) 人工智能研究院，北京 100191

4.北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191

無(wú)人集群協(xié)同控制近年來(lái)受到國(guó)內(nèi)外的廣泛關(guān)注與重視，并在航空航天領(lǐng)域展現(xiàn)出強(qiáng)大的應(yīng)用潛力，例如無(wú)人機(jī)蜂群攻擊、多導(dǎo)彈協(xié)同突防、多衛(wèi)星協(xié)同探測(cè)等。目前，集群系統(tǒng)協(xié)同控制領(lǐng)域已經(jīng)產(chǎn)生了眾多緊密相關(guān)而又各有側(cè)重的研究分支，包括一致性控制（Consensus control）、編隊(duì)控制（Formation control）、合圍控制（Containment control）等。一致性控制是集群系統(tǒng)協(xié)同控制的基礎(chǔ)性問(wèn)題，其目標(biāo)是使得集群中所有智能體的狀態(tài)或輸出能夠?qū)崿F(xiàn)一致［1］。編隊(duì)控制是指通過(guò)設(shè)計(jì)合適的控制協(xié)議（控制器），使得集群中所有智能體的狀態(tài)或輸出，在對(duì)應(yīng)空間內(nèi)形成并保持特定的相對(duì)陣位關(guān)系［2］。在合圍控制中，集群中的智能體被分為領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者兩類，通過(guò)設(shè)計(jì)分布式控制器，使得所有跟隨者的狀態(tài)或者輸出，能夠進(jìn)入到多領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)或輸出所形成的凸包內(nèi)部［3］。

在傳統(tǒng)的合圍控制的研究中，通常假設(shè)多領(lǐng)導(dǎo)者之間不存在交互與協(xié)同。然而，在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中，領(lǐng)導(dǎo)者往往需要協(xié)同來(lái)保持特定的時(shí)變編隊(duì)隊(duì)形，且能夠跟蹤參考航跡或者特定目標(biāo)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，以更好地滿足任務(wù)需求。例如，高低搭配的多導(dǎo)彈系統(tǒng)協(xié)同攻擊時(shí)，要求高配置的導(dǎo)彈通過(guò)協(xié)同形成期望的相對(duì)陣位關(guān)系，同時(shí)低配置的導(dǎo)彈需要能夠在高配置的導(dǎo)彈的導(dǎo)引下準(zhǔn)確落入攻擊區(qū)域。該場(chǎng)景下就出現(xiàn)了更為復(fù)雜的編隊(duì)-合圍跟蹤（Formation-containment tracking）控制問(wèn)題，集群系統(tǒng)存在層內(nèi)的不同協(xié)同控制目標(biāo)以及層間的協(xié)同耦合，一方面要求多領(lǐng)導(dǎo)者形成特定的編隊(duì)并跟蹤參考軌跡或目標(biāo)運(yùn)動(dòng)，另一方面要求跟隨者能夠進(jìn)入領(lǐng)導(dǎo)者所形成編隊(duì)的內(nèi)部。針對(duì)線性集群系統(tǒng)，文獻(xiàn)［4］提出了編隊(duì)-合圍跟蹤控制的數(shù)學(xué)定義與控制框架，并給出了分層耦合情況下的分布式控制器多步設(shè)計(jì)方法。

現(xiàn)有的協(xié)同控制方法一般假設(shè)集群系統(tǒng)是同構(gòu)的，即要求集群中的所有個(gè)體具有相同的動(dòng)力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)模型［5］。然而，同構(gòu)集群作為群體協(xié)同的基本形態(tài)，存在智能涌現(xiàn)模式單一及協(xié)同能力薄弱等局限性。異構(gòu)集群跨域協(xié)同可以充分發(fā)揮無(wú)人機(jī)、無(wú)人車、無(wú)人艇等不同無(wú)人系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)，以結(jié)構(gòu)耦合和功能互補(bǔ)的方式實(shí)現(xiàn)集群智能的倍增，例如，多無(wú)人機(jī)-無(wú)人車空地協(xié)同偵察［6］、多無(wú)人機(jī)-無(wú)人艇空海協(xié)同巡邏［7］等。目前異構(gòu)集群系統(tǒng)編隊(duì)控制及合圍控制的研究尚處于起步階段，相關(guān)的研究成果較少。對(duì)于編隊(duì)問(wèn)題，文獻(xiàn)［8-12］利用輸出調(diào)節(jié)策略，提出了基于分布式觀測(cè)器的分環(huán)編隊(duì)控制策略，并給出了異構(gòu)模型約束下時(shí)變編隊(duì)跟蹤的可行性條件及穩(wěn)定性判據(jù)。文獻(xiàn)［13-16］中假設(shè)存在多個(gè)同構(gòu)領(lǐng)導(dǎo)者，提出了能夠驅(qū)動(dòng)異構(gòu)跟隨者輸出收斂到多領(lǐng)導(dǎo)者凸包內(nèi)部的分布式合圍控制方法。

進(jìn)一步地，文獻(xiàn)［17］研究了高階異構(gòu)集群系統(tǒng)的編隊(duì)-合圍跟蹤控制問(wèn)題，基于輸出調(diào)節(jié)策略構(gòu)造了間歇通信條件下的編隊(duì)-合圍跟蹤協(xié)議。文獻(xiàn)［18］考慮了異構(gòu)集群系統(tǒng)在離散通信條件下的輸出編隊(duì)-合圍跟蹤問(wèn)題，文獻(xiàn)［19］則基于自適應(yīng)控制理論設(shè)計(jì)了完全分布式的編隊(duì)-合圍跟蹤控制器。文獻(xiàn)［17-19］中皆假設(shè)跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者為自治系統(tǒng)，這會(huì)嚴(yán)格限制集群整體運(yùn)動(dòng)參考軌跡的類型，且不能表示具有未知機(jī)動(dòng)的非合作目標(biāo)，存在一定的應(yīng)用局限性。此外，文獻(xiàn)［17-19］中期望的領(lǐng)導(dǎo)者輸出的凸組合是由集群系統(tǒng)的作用拓?fù)錄Q定的，故當(dāng)存在切換拓?fù)鋾r(shí)，領(lǐng)導(dǎo)者的凸組合也會(huì)發(fā)生變化，將使得跟隨者的瞬時(shí)輸出很有可能會(huì)超出多領(lǐng)導(dǎo)者所形成的凸包，這意味著文獻(xiàn)［17-19］中的方法無(wú)法直接應(yīng)用于切換拓?fù)涞膱?chǎng)景。

針對(duì)上述技術(shù)挑戰(zhàn)，研究了同時(shí)存在切換通信拓?fù)渑c領(lǐng)導(dǎo)者未知輸入的高階異構(gòu)無(wú)人集群的編隊(duì)-合圍跟蹤控制問(wèn)題。將各智能體分為“跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者”“編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者”“跟隨者”3 類，跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者用以生成整個(gè)集群的參考軌跡，控制目標(biāo)是使得編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者的輸出形成期望的時(shí)變編隊(duì)跟蹤，同時(shí)跟隨者的輸出能夠收斂到編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者輸出所形成的凸包內(nèi)部。與現(xiàn)有研究相比，主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)如下：①采用具有時(shí)變輸入的跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者來(lái)生成集群系統(tǒng)的整體參考軌跡或表示待跟蹤的非合作目標(biāo)，所提出的控制器對(duì)于具有未知輸入的集群參考軌跡仍能有效跟蹤，克服了現(xiàn)有編隊(duì)-合圍控制方法無(wú)法有效控制集群整體宏觀運(yùn)動(dòng)的缺陷；②基于自適應(yīng)控制與滑模變結(jié)構(gòu)控制理論，對(duì)編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者分別設(shè)計(jì)了基于邊的分布式觀測(cè)器，能夠同時(shí)應(yīng)對(duì)切換拓?fù)渑c領(lǐng)導(dǎo)者時(shí)變輸入的影響；③利用多編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)的分布式估計(jì)值，提出了一種預(yù)先定義的合圍控制策略，使得跟隨者的收斂目標(biāo)值不依賴于通信拓?fù)?，從而擺脫了已有合圍控制方法不適應(yīng)切換拓?fù)涞木窒蕖?/p>

1 預(yù)備知識(shí)與問(wèn)題描述

1.1 圖 論

異構(gòu)無(wú)人集群的通信拓?fù)淇捎脠DG={V，E，W}表 示，V={v1，v2，…，vN}表示節(jié)點(diǎn)集合，E ?{(vi，vj)：vi，vj∈V；i≠j} 表示邊集合，W=[wij]∈RN×N表示具有非負(fù)權(quán)重wij的鄰接矩陣。令εij=(vi，vj)表示圖G中從節(jié)點(diǎn)vi到節(jié)點(diǎn)vj的一條邊。權(quán)重wij＞0 當(dāng)且僅當(dāng)εji∈E，否 則wij=0。用Ni={vj∈V：(vj，vi)∈E }表示節(jié) 點(diǎn)vi的鄰居集合。將圖G的入度矩陣定義為D=，其中，表示節(jié) 點(diǎn)vi的入度。定義圖G的拉普拉斯矩陣為L(zhǎng)=D-W。

利用一組有序邊（v1，v2），（v2，v3），...，(vk-1，vk)表示從節(jié)點(diǎn)v1到節(jié)點(diǎn)vk的有向路徑。如果對(duì)于任意εij∈E 都有εji∈E，且wij=wji，則圖G被稱為無(wú)向圖，否則稱之為有向圖。對(duì)于無(wú)向圖，如果任意2 個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)之間都存在至少一條路徑，則稱無(wú)向圖是連通的。對(duì)于有向圖，如果圖G中至少存在一個(gè)根節(jié)點(diǎn)到其他所有節(jié)點(diǎn)都有有向路徑，則稱圖G具有一個(gè)生成樹(shù)。

引理1［1］對(duì)于具有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的無(wú)向圖G，可得如下性質(zhì)：

1）L具有至少一個(gè)0 特征值，1N是0 特征值對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量，滿足L1N=0。

2）如果G是連通的，則0 是L的單一特征值，剩余N-1 個(gè)特征值均是正的。

1.2 問(wèn)題描述

考慮由N+M+1 個(gè)智能體所構(gòu)成的高階異構(gòu)無(wú)人集群系統(tǒng)，其中：i=0 表示跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者（Tracking-Leader）；i=1，2，…，N表示編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者（Formation-Leader）；i=N+1，N+2，…，N+M表示跟隨者（Follower）。

定義1 根據(jù)協(xié)同任務(wù)需求，將集群系統(tǒng)中的智能體分為跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者、編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者。跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者用以生成集群系統(tǒng)整體運(yùn)動(dòng)的參考軌跡；編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者需要在形成期望的時(shí)變編隊(duì)構(gòu)型的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者運(yùn)動(dòng)軌跡的跟蹤；跟隨者的輸出需要收斂到編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者輸出所形成的凸包內(nèi)。跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者沒(méi)有鄰居，編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者的鄰居只包括領(lǐng)導(dǎo)者，跟隨者的鄰居為編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者或其他的跟隨者。

為進(jìn)一步解釋上述定義，圖1 給出一個(gè)多無(wú)人機(jī)-無(wú)人車（Unmanned Aerial Vehicle Unmanned Ground Vehicle，UAV-UGV）系統(tǒng)以編隊(duì)-合圍跟蹤的方式協(xié)同穿越危險(xiǎn)區(qū)域的示意圖。圖中跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者表示從出發(fā)地到目的地預(yù)先規(guī)劃的軌跡，編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者表示配備有探測(cè)裝置的無(wú)人機(jī)，而跟隨者表示沒(méi)有安裝探測(cè)傳感器的無(wú)人車。通過(guò)協(xié)同控制使得多無(wú)人機(jī)形成期望的時(shí)變編隊(duì)隊(duì)形且能夠跟蹤參考航跡，同時(shí)基于鄰居信息交互，讓沒(méi)有探測(cè)傳感器的跟隨者無(wú)人車收斂到多無(wú)人機(jī)所形成編隊(duì)的內(nèi)部。這樣就可以保證無(wú)人車在移動(dòng)過(guò)程中一直處在無(wú)人機(jī)形成的安全區(qū)域內(nèi)，以相對(duì)較小的代價(jià)使整個(gè)多機(jī)器人系統(tǒng)穿越危險(xiǎn)區(qū)域，安全地運(yùn)動(dòng)到目的地。

圖1 多無(wú)人機(jī)-無(wú)人車系統(tǒng)協(xié)同穿越危險(xiǎn)區(qū)域示意圖Fig.1 Example for cooperative crossing dangerous area of multi UAV-UGV swarm systems

需要指出的是，定義1 中的跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者不僅可以表示預(yù)先設(shè)計(jì)的虛擬參考軌跡，還可以代表某一具有全局定位能力的實(shí)際個(gè)體，用以控制整個(gè)集群系統(tǒng)的宏觀運(yùn)動(dòng)。此外，跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者還可以表示非合作目標(biāo)，例如，多彈協(xié)同攔截場(chǎng)景中的來(lái)襲目標(biāo)。

考慮如下的跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者的模型：

式中：v0(t)∈Rq、r0(t)∈Rl和y0(t)∈Rp分別表示跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)、控制輸入與輸出；S、E與F為常值矩陣；要求v0(t)是有界的。將編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者的模型表示如下：

式中：xi(t)∈Rni、ui(t)∈Rmi和yi(t)∈Rp分別表示智能體（ii=1，2，…，N+M）的狀態(tài)、控制輸入與輸出；Ai、Bi與Ci為常值矩陣。由式（1）和式（2）可知，所考慮的異構(gòu)不僅存在于領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者之間，也包括編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者內(nèi)部以及跟隨者內(nèi)部。

為了涵蓋跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者為非合作目標(biāo)的場(chǎng)景，假設(shè)其控制輸入r0(t)對(duì)于所有編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者都是未知的。例如，在多飛行器協(xié)同攔截的場(chǎng)景中，跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者代表攔截目標(biāo)，r0(t)則表示攔截目標(biāo)的未知機(jī)動(dòng)。要求r0(t)滿足以下的有界條件。

假設(shè)1 跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者的未知輸入r0(t)是有界的，存在正常數(shù)η使得

對(duì)于編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者（i=1，2，…，N），利用時(shí)變向量刻畫其期望的 時(shí)變輸 出編隊(duì)，其 中，hyi(t)（i=1，2，…，N）是分段連續(xù)可導(dǎo)的。

定義2 對(duì)于任意給定的有界初始狀態(tài)，如果下式成立：

則稱編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者實(shí)現(xiàn)了期望的時(shí)變輸出編隊(duì)跟蹤。

定義3 對(duì)于任意跟隨者k，存在非負(fù)常數(shù)ρk，j（k∈{N+1，N+2，…，N+M}，j=1，2，…，N）滿足，使得

成立，則稱異構(gòu)集群系統(tǒng)式（2）實(shí)現(xiàn)了輸出合圍。

定義4 如果對(duì)于任意的編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者i（i∈{1，2，…，N}）以及跟隨者k（k∈{N+1，N+2，…，N+M}），有式（3）和式（4）同時(shí)成立，則稱高階異構(gòu)集群系統(tǒng)式（1）與式（2）實(shí)現(xiàn)了期望的輸出編隊(duì)-合圍跟蹤。

研究了集群系統(tǒng)的編隊(duì)-合圍跟蹤問(wèn)題，引入跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者來(lái)配置集群系統(tǒng)的整體運(yùn)動(dòng)。從定義2～定義4 可知，時(shí)變編隊(duì)跟蹤問(wèn)題、合圍問(wèn)題以及一致性跟蹤問(wèn)題均可以統(tǒng)一到編隊(duì)-合圍跟蹤問(wèn)題的一般框架內(nèi)。在定義3 中，通過(guò)非負(fù)權(quán)重ρk，j來(lái)刻畫多編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者輸出的凸組合，通過(guò)不同取值組合的ρk，j，可以將編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者所形成編隊(duì)內(nèi)部的任意一點(diǎn)作為跟隨者k的期望跟蹤目標(biāo)。值得指出的是，ρk，j的取值與通信拓?fù)錈o(wú)關(guān)，可以根據(jù)實(shí)際任務(wù)需求進(jìn)行預(yù)先設(shè)計(jì)，更加具有實(shí)際意義。

2 控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

考慮集群系統(tǒng)存在切換拓?fù)涞膱?chǎng)景，將所有可能的 作用拓 撲的下 標(biāo)集合記為Z={1，2，…，z}。令[tl，tl+1)（l=0，1，2，…）表示一個(gè)無(wú)限序列的一致有界非重疊時(shí)間區(qū)間，其中，tl+1-tl≥τd＞0。作用拓 撲在時(shí) 刻tl+1發(fā)生切換。令σ(t)：[0，∞)→{1，2，…，z}表示切換信號(hào)，其取值為當(dāng)前圖的序號(hào)。在時(shí)刻t，作用圖和對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣分別記為為保證各編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者都能在合圍控制中發(fā)揮作用，要求各跟隨者鄰居集合的并集包含所有的編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者。

對(duì)于編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者（ii=1，2，…，N），期望的時(shí)變輸出編隊(duì)向量hyi(t)由以下的局部外系統(tǒng)產(chǎn)生：

假設(shè)3 如下的調(diào)節(jié)器方程：

有解(Xi，Ui)（i=1，2，…，N）。

假設(shè)4 如下的局部調(diào)節(jié)器方程：

有解(Xhi，Uhi)（i=1，2，…，N）。

假設(shè)5 如下的調(diào)節(jié)器方程：

有解(Xi，j，Ui，j)（i=N+1，N+2，…，N+M；j=1，2，…，N）。

考慮如下的編隊(duì)-合圍跟蹤控制器：對(duì)于編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者（ii=1，2，…，N），有

在編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者（ii=1，2，…，N）的控制器式（9）中表示對(duì)v0的分布式估計(jì)值，表示自適 應(yīng)控制增益；τi表示時(shí)變編隊(duì)跟蹤補(bǔ)償輸入；表 示待設(shè)計(jì)的正常數(shù)；K1i、Khi、K2i、?i和Γi表示待確定的增益矩陣。在跟隨 者i（i=N+1，N+2，…，N+M）的控制器式（10）中，有：

異構(gòu)集群系統(tǒng)編隊(duì)-合圍跟蹤控制設(shè)計(jì)框圖如圖2 所示。下面給出確定式（9）和式（10）中控制參數(shù)的算法。

圖2 異構(gòu)集群系統(tǒng)編隊(duì)-合圍跟蹤控制設(shè)計(jì)框圖Fig.2 Design diagram for formation-containment tracking control of heterogeneous swarm systems

算法1 對(duì)于編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者，采用以下步驟設(shè)計(jì)編隊(duì)-合圍跟蹤控制器式（9）和式（10）。

步驟1 分別選取常值矩陣(Xi，Ui)（i=1，2，…，N），(Xhi，Uhi)（i=1，2，…，N），(Xi，j，Ui，j)（i=N+1，N+2，…，N+M，j=1，2，…，N）使得假設(shè)3～假設(shè)5 中的調(diào)節(jié)器方程成立。

步驟2 設(shè)計(jì)編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者（ii=1，2，…，N）的控制器式（9）。對(duì)于由局部外系統(tǒng)式（5）所產(chǎn)生的期望時(shí)變輸出編隊(duì)向量hyi(t)，檢驗(yàn)是否存在補(bǔ)償輸入τi，使得編隊(duì)-合圍跟蹤可行性條件成立：

如果式（12）對(duì)于各個(gè)編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者都成立，則算法繼續(xù)；否則，期望輸出編隊(duì)hy(t)在所設(shè)計(jì)的控制器下是不可行的，算法停止。自適應(yīng)參數(shù)的更新律為

步驟3 設(shè)計(jì)跟隨者i（i=N+1，N+2，…，N+M）的控制器式（10）。自適應(yīng)參數(shù)（j∈{1，2，…，N}）和的更新律如下：

編隊(duì)可行性條件式（12）揭示了可行的時(shí)變編隊(duì)與編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者異構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的匹配關(guān)系，利用局部外系統(tǒng)式（5）中的ri(t)和控制器式（9）中的時(shí)變編隊(duì)補(bǔ)償輸入τi(t)來(lái)擴(kuò)展可行的編隊(duì)集合，使得異構(gòu)集群在所提出的控制器下能夠形成更多類型的時(shí)變編隊(duì)。為了給出更直觀的可行性條件式（12）的檢驗(yàn)方法，根據(jù)文獻(xiàn)［2，8］中的非奇異變換，不失一般性地假設(shè)矩陣Bi是列滿秩的，則存在非奇異矩陣，其，使得和成立。在式（12）兩邊同時(shí)左乘變換矩陣Γi，則編隊(duì)-合圍跟蹤可行性條件式（12）可以分解為

對(duì)于給定的異構(gòu)集群系統(tǒng)模型和期望的時(shí)變編隊(duì)向量，可以事先明確，因此，易于檢驗(yàn)條件是 否滿足，同時(shí)可以直接設(shè)計(jì)補(bǔ)償輸入τi(t)=利用上述非奇異分解方法，能夠更直觀地檢驗(yàn)編隊(duì)-合圍跟蹤可行性條件式（12），并且給出補(bǔ)償輸入τi(t)的計(jì)算表達(dá)式。此外，如式（13）和式（14）所示，自適應(yīng)增益通過(guò)基于邊的鄰居誤差進(jìn)行動(dòng)態(tài)更新，能夠分布式地調(diào)整，避免了對(duì)切換拓?fù)涓鱾€(gè)拉普拉斯矩陣的特征值、領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)矩陣的特征值等全局信息的依賴。

以下定理給出了高階異構(gòu)無(wú)人集群系統(tǒng)式（1）和式（2）實(shí)現(xiàn)編隊(duì)-合圍跟蹤的充分條件。

定理1 假設(shè)1～假設(shè)5 成立。如果由式（5）所生成的期望編隊(duì)向量hy(t)滿足可行性條件式（12），則存在切換拓?fù)涞母唠A異構(gòu)集群系統(tǒng)式（1）和式（2）能夠在由算法1 所確定的控制器式（9）和式（10）的作用下，實(shí)現(xiàn)期望的輸出編隊(duì)-合圍跟蹤。

證明 以下將首先證明編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者能夠?qū)崿F(xiàn)期望的輸出時(shí)變編隊(duì)跟蹤，進(jìn)而證明跟隨者的輸出能夠收斂到編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者輸出所形成的凸包。對(duì)于編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者（ii∈{1，2，…，N}），令表示對(duì)跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)的分布式估計(jì)誤差，則由式（1）和式（9）可得：

考慮如下的共同Lyapunov 函數(shù)：

沿軌跡式（17）對(duì)V1求導(dǎo)可得：

將式（20）代入式（19）則有：

對(duì)于編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者（ii=1，2，…，N），將控制器式（9）代入系統(tǒng)方程式（2）。令?i=xi-Xhi hi-Xiv0，則有：

將Khi=Uhi-K1i Xhi、K2i=Ui-K1i Xi與Bi?i-Xi E=0 代入式（31），可得：

注釋1 雖然文獻(xiàn)［17-19］考慮了編隊(duì)-合圍跟蹤問(wèn)題，但都要求跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者為自治系統(tǒng)，不具有控制輸入，這會(huì)嚴(yán)重限制跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者所產(chǎn)生參考信號(hào)的類型。引入了具有時(shí)變未知輸入的跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者見(jiàn)式（1）來(lái)生成集群系統(tǒng)的整體參考軌跡，進(jìn)一步研究了高階異構(gòu)集群系統(tǒng)的編隊(duì)-合圍跟蹤控制問(wèn)題，所提出的控制器對(duì)于具有未知輸入的集群參考軌跡仍能有效跟蹤。從定理1 的證明過(guò)程可知，編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)與控制輸入對(duì)跟隨者的合圍誤差都存在影響，如式（37）和式（55）所示，對(duì)跟隨者設(shè)計(jì)的合圍控制器需要能夠有效補(bǔ)償編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者的時(shí)變編隊(duì)跟蹤運(yùn)動(dòng)所帶來(lái)的耦合作用，因此，所考慮的編隊(duì)-合圍跟蹤控制問(wèn)題比孤立的編隊(duì)跟蹤問(wèn)題和合圍問(wèn)題更具有挑戰(zhàn)性。

注釋2 與文獻(xiàn)［23］中基于節(jié)點(diǎn)的方法不同，本文將自適應(yīng)控制增益與非線性補(bǔ)償函數(shù)分配到了作用拓?fù)渲械母鳁l邊。采用基于邊的自適應(yīng)分布式觀測(cè)器，能夠構(gòu)造共同Lyapunov 函數(shù)V1與V3，進(jìn)而可以證明閉環(huán)系統(tǒng)在切換拓?fù)湎碌姆€(wěn)定性。因此，本文提出的基于邊的自適應(yīng)編隊(duì)控制方法能夠同時(shí)應(yīng)對(duì)切換拓?fù)渑c領(lǐng)導(dǎo)者時(shí)變輸入的影響。

注釋3 文獻(xiàn)［24-29］考慮了具有分層架構(gòu)的兩層式編隊(duì)-合圍控制問(wèn)題，其中都假設(shè)通信拓?fù)涫枪潭ǖ?。在現(xiàn)有的合圍控制與編隊(duì)-合圍控制的研究文獻(xiàn)［13-19，24-29］中，期望的領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)/輸出的凸組合是由集群系統(tǒng)的作用拓?fù)錄Q定的，故當(dāng)存在切換拓?fù)鋾r(shí)，領(lǐng)導(dǎo)者的凸組合也會(huì)發(fā)生變化。在這種情況下，跟隨者的瞬時(shí)狀態(tài)/輸出很有可能會(huì)超出多領(lǐng)導(dǎo)者所形成的凸包，這意味著文獻(xiàn)［13-19，24-29］中的現(xiàn)有合圍控制方法難以直接應(yīng)用于切換拓?fù)涞膱?chǎng)景。基于對(duì)多領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)的分布式估計(jì)值，提出了一種預(yù)先定義的合圍控制策略，采用給定的非負(fù)權(quán)重ρi，j（j∈FL）來(lái)刻畫多領(lǐng)導(dǎo)者期望的凸組合，使得跟隨者的收斂目標(biāo)值不依賴于作用拓?fù)?，從而?shí)現(xiàn)了切換拓?fù)錀l件下高階異構(gòu)集群系統(tǒng)的編隊(duì)-合圍跟蹤控制。假設(shè)編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者之間以及跟隨者之間的拓?fù)涫菬o(wú)向的，有向切換拓?fù)湎碌木庩?duì)合圍跟蹤控制問(wèn)題更具有挑戰(zhàn)性，是值得未來(lái)重點(diǎn)研究的方向之一。

3 無(wú)人機(jī)-無(wú)人車異構(gòu)集群仿真驗(yàn)證

將編隊(duì)-合圍跟蹤控制方法應(yīng)用到多無(wú)人機(jī)-無(wú)人車異構(gòu)系統(tǒng)的空地協(xié)同巡邏應(yīng)用場(chǎng)景，其中，跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者i=0 代表異構(gòu)多機(jī)器人系統(tǒng)的整體參考軌跡，編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者i=1，2，3，4 表示四旋翼無(wú)人機(jī)，跟隨者i=5，6，…，10 表示麥克納姆輪無(wú)人車。多無(wú)人機(jī)在空中形成期望的編隊(duì)跟蹤，同時(shí)多無(wú)人車能夠收斂到多無(wú)人機(jī)所形成凸包在地面的投影內(nèi)，多機(jī)器人系統(tǒng)以編隊(duì)-合圍跟蹤的形式執(zhí)行協(xié)同巡邏任務(wù)。由于四旋翼無(wú)人機(jī)的高度方向可以單獨(dú)控制，以下僅考慮二維平面（X-Y平面）內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況。假設(shè)多機(jī)器人系統(tǒng)的作用拓?fù)浯嬖谇袚Q，所有可能的拓?fù)淙鐖D3 所示，設(shè)作用 拓?fù)湓谥g每5 s 切換一次，且其初始作用拓?fù)錇?/p>

考慮如圖3 所示的跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者模型：

圖3 可能的作用拓?fù)銯ig.3 Possible topologies

設(shè)其未知控制輸入為

基于文獻(xiàn)［30］中的內(nèi)外環(huán)控制架構(gòu)，四旋翼無(wú)人機(jī)在外回路（位置-速度回路）的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可由式（2）近似表示，其中分別取?x1=?x2=0，?v1=?v2=0，?x3=?x4=-1，?v3=?v4=-1。采用文獻(xiàn)［31］中的反饋線性化技術(shù)，麥克納姆輪無(wú)人車的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型也可近似由式（2）表示，其中，Ai=02×2，Bi=I2，Ci=I（2i=5，6，…，10）。各無(wú)人機(jī)的狀態(tài)變量由位置與速度組成，輸出為位置；各無(wú)人車的狀態(tài)與輸出皆表示位置。

4 架無(wú)人機(jī)作為編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者，在指定高度進(jìn)行定高飛行，即在Z軸方向進(jìn)行單獨(dú)控制。要求無(wú)人機(jī)在X-Y平面內(nèi)形成正方形編隊(duì)，期望的輸出編隊(duì)向量表示為，其中，hy1=[ -1，1]T，hy2=[1，1]T，hy3=[1，-1]T，hy4=[ -1，-1]T。為生成hy，易知局部外系統(tǒng)式（5）中的矩陣可選取為Hi=02×2，Ri=02×2，Yi=I（2i=1，2，3，4）。6 輛無(wú)人車需要收斂到多無(wú)人機(jī)所形成的凸包在地面的投影內(nèi)，為刻畫各無(wú)人車的期望收斂值，定義權(quán)重向量ρi=[ρi，1，ρi，2，ρi，3，ρi，4（]i=5，6，…，10），并選取

利用算法1 對(duì)編隊(duì)-合圍跟蹤控制器式（9）和式（10）進(jìn)行設(shè)計(jì)。首先，分別選取X1=X2=I4，U1=U2=I2?[0 0]，X3=X4=I4，U3=U4=I2?[1 1]，Xhi=I2?[1 0]T，Uhi=-?xi I2（i=1，2，3，4），Xi，j=I2?[1 0]，Ui，j=I2?[0 1]（i=5，6，…，10；j=1，2，3，4），可以驗(yàn)證假設(shè)3～假設(shè)5 中的調(diào)節(jié)器方程成立。然后，設(shè)計(jì)編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者無(wú)人機(jī)（ii=1，2，3，4）的控制器式（9）。由于Ri=02×2，令補(bǔ)償輸入τi=02×1，可知可行性條件式（12）對(duì)于各個(gè)編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者都成立。選取自適 應(yīng)參數(shù)的初 值為j=0，1，…，4）。令μ=1，K11=K12=I2?[-2 -2]，K13=K14=I2?[-1 -1]，?i=I2，i=1，2，3，4。最后，設(shè)計(jì)跟隨者無(wú)人車（ii=5，6，…，10）的控制器式（10）。令自適應(yīng)參數(shù)與的初值為選取K3i=-I2和?i，j=02×（2j=1，2，3，4）。跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者的初始狀態(tài)為v0(0)=[ -20，0，0，-1]T，編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者的初始狀態(tài)由隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生。

圖4 給出了無(wú)人機(jī)-無(wú)人車異構(gòu)集群系統(tǒng)在t=30 s 內(nèi)的位置軌跡以及在不同時(shí)刻的位置截圖（t=0，15，25，30 s），其中，五角星表示跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者i=0；菱形、上三角形、圓形與右三角形分別表示編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者無(wú)人機(jī)i=1，2，3，4；正方形表示 跟隨者 無(wú)人車i=5，6，…，10。圖5 與圖 6 分別給出了編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者的輸出編隊(duì)跟蹤誤差以及跟隨者的輸出合圍誤差曲線。由圖4～圖6 可知，4 架無(wú)人機(jī)形成了期望的正方形編隊(duì)，且能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者運(yùn)動(dòng)軌跡的跟蹤，同時(shí)六輛跟隨者無(wú)人車能夠收斂到多無(wú)人機(jī)所形成的凸包在地面的投影內(nèi)。因此，多無(wú)人機(jī)-無(wú)人車異構(gòu)集群系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了期望的輸出編隊(duì)-合圍跟蹤。

圖4 多無(wú)人機(jī)-無(wú)人車系統(tǒng)在t=30 s 內(nèi)的位置軌跡以及在指定時(shí)刻t=0，15，25，30 s 的位置截圖Fig.4 Position trajectories with t=30 s and snapshots at t=0，15，25，30 s for multi UAV-UGV swarm systems

圖5 編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者的輸出編隊(duì)跟蹤誤差曲線Fig.5 Output formation tracking errors for formation-leaders

圖6 跟隨者的輸出合圍誤差曲線Fig.6 Output containment errors for followers

為了進(jìn)一步展示所提出的控制方法能夠適用于時(shí)變編隊(duì)場(chǎng)景，將編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者的期望編隊(duì)構(gòu)型設(shè)置為時(shí)變旋轉(zhuǎn)圓形編隊(duì)。對(duì)于編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者無(wú)人機(jī)（ii=1，2，3，4），分別選取期望的時(shí)變編隊(duì)向量為

圖7 給出了無(wú)人機(jī)-無(wú)人車異構(gòu)集群的位置軌跡以及在指定時(shí)刻的位置截圖，可以看出4 架無(wú)人機(jī)實(shí)現(xiàn)了期望的時(shí)變旋轉(zhuǎn)編隊(duì)構(gòu)型，且跟隨者無(wú)人車能夠收斂到時(shí)變編隊(duì)的內(nèi)部，即無(wú)人機(jī)-無(wú)人車異構(gòu)集群實(shí)現(xiàn)了期望的編隊(duì)-合圍跟蹤。

圖7 無(wú)人機(jī)時(shí)變旋轉(zhuǎn)編隊(duì)下t=30 s 內(nèi)集群位置軌跡以及在指定時(shí)刻t=0，20，25，30 s 的位置截圖Fig.7 Position trajectories with t=30 s and snapshots at t=0，20，25，30 s with time-varying rotating formation for UAVs

4 結(jié)論

研究了切換拓?fù)湎赂唠A異構(gòu)集群系統(tǒng)的輸出編隊(duì)-合圍跟蹤控制問(wèn)題，主要結(jié)論如下：

1）采用具有時(shí)變輸入的跟蹤-領(lǐng)導(dǎo)者來(lái)生成集群系統(tǒng)的整體參考軌跡，克服了現(xiàn)有編隊(duì)-合圍控制無(wú)法有效控制集群整體宏觀運(yùn)動(dòng)的缺陷。

2）基于自適應(yīng)控制與滑模變結(jié)構(gòu)控制理論，對(duì)編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者分別設(shè)計(jì)了基于邊的分布式觀測(cè)器，能夠同時(shí)應(yīng)對(duì)切換拓?fù)渑c領(lǐng)導(dǎo)者時(shí)變輸入的影響。

3）利用多編隊(duì)-領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)的分布式估計(jì)值，提出了一種預(yù)先定義的合圍控制策略，使得跟隨者的收斂目標(biāo)值不依賴于作用拓?fù)洌M(jìn)而擺脫了已有編隊(duì)-合圍控制方法不適應(yīng)于切換拓?fù)涞木窒蕖?/p>

4）提出了對(duì)分布式編隊(duì)-合圍跟蹤控制器的參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)的算法，給出了分層耦合條件下高階異構(gòu)無(wú)人集群系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)輸出編隊(duì)-合圍跟蹤的充分條件。