馮嘉宇，王瀟霆，沈 煒

（浙江理工大學(xué) 信息學(xué)院，杭州 310018）

0 引言

城市車位短缺是制約現(xiàn)代城市發(fā)展的新問題［1］。地下車庫為緩解車位短缺提供了一個(gè)成本更低的方案［2］，廣大開發(fā)商也開始研究如何在地下車庫中排布才能得到更多的車位［3］，以獲取更高的經(jīng)濟(jì)效益。目前，地下車庫的車位排布仍以人工設(shè)計(jì)為主，但是由于外邊界不規(guī)則和內(nèi)部的障礙物等問題［4］，人工設(shè)計(jì)的效率較低。因此，一些專家學(xué)者開始將自動(dòng)化設(shè)計(jì)運(yùn)用于解決地下車庫的車位排布問題。

車位排布算法和工業(yè)生產(chǎn)中的二維排樣算法很相似。早在1981 年，F(xiàn)owler 等［4］就已證明了不帶約束條件的排樣問題是NP 完全問題。因此，在排樣問題基礎(chǔ)上添加了更多約束條件的車位排布問題也是一個(gè)NP 完全問題。對(duì)于車位排布問題，現(xiàn)存的多數(shù)算法都是從傳統(tǒng)排樣問題中優(yōu)化得到的。Abdelfatah 等［5］提出了一種適用于矩形區(qū)域的設(shè)計(jì)線性規(guī)劃模型，并考慮了車道夾角；Kong 等［6］通過調(diào)整車位的長(zhǎng)和寬，運(yùn)用混合整數(shù)非線性模型計(jì)算車位長(zhǎng)和寬的變化對(duì)于最終可排列車位數(shù)量的影響；Huang 等［7］設(shè)計(jì)了一套基于模擬退火算法的矩形區(qū)域內(nèi)車位排布問題的通用算法；Syahrini 等［8］則通過線性規(guī)劃模型設(shè)計(jì)了一套適用于三角形區(qū)域的車位排列算法；Ihda 等［9］提出了一種適用于平行四邊形區(qū)域的線性規(guī)劃模型；Ferreira 等［10］設(shè)計(jì)了一種車位平行疊放的排布方式，用于優(yōu)化矩形高密度停車場(chǎng)的車位排布；Timpner 等［11］提出了停車空間優(yōu)化模型；Banzhaf 等［12］通過建立混合整數(shù)規(guī)劃模型，將普通停車場(chǎng)改造為高密度停車場(chǎng)；Nourinejad 等［13］使用排隊(duì)論構(gòu)建了混合整數(shù)模型，并通過benders 分解算法進(jìn)行車位排布。但是，上述這些研究都集中于地表停車場(chǎng)，而沒有考慮障礙物的約束。

對(duì)于帶障礙物約束的地下車庫的排列研究，徐涵喆［14］等設(shè)計(jì)了一種基于遺傳算法的外圈車位排布啟發(fā)式算法。黃逸彬等［15］則通過對(duì)不規(guī)則停車場(chǎng)區(qū)域進(jìn)行圖形分割后，運(yùn)用粒子群算法進(jìn)車位排布。利潤(rùn)等［16］通過網(wǎng)格化，將原問題區(qū)域劃分為多個(gè)可應(yīng)用排布算法的子區(qū)域，提出了一種基于貪婪分割的地下車位排布算法。但是這些研究者都沒有充分利用到每棟樓中承重墻之間的空間，同時(shí)車位與邊界、障礙物之間存在的夾角也造成了大量的面積浪費(fèi)。

為了充分利用停車場(chǎng)空間，盡可能最大化車位數(shù)量，本文提出了一種根據(jù)內(nèi)部障礙物位置劃分為內(nèi)圈和外圈之后，再對(duì)兩個(gè)區(qū)域進(jìn)行分離處理的啟發(fā)式自動(dòng)化排布算法。該算法可以適用于內(nèi)部障礙物大致平行的任意不帶曲邊的地下車庫；可以通過計(jì)算合理排布車位、車位和承重柱的位置；可以將排布結(jié)果可視化呈現(xiàn)，輔助人工設(shè)計(jì)。

1 問題描述

車位排布問題通過輸入一個(gè)地下車庫的外邊界和內(nèi)部所有的障礙物，需要在滿足約束條件的情況下，實(shí)現(xiàn)車位數(shù)量的最大化。

1.1 約束條件

地下車庫車位排布的約束條件，在傳統(tǒng)排樣問題基礎(chǔ)上，根據(jù)車位排布場(chǎng)景的特殊性，其主要約束條件為：

（1）外邊界約束：任意車位模塊、車道不得超過外邊界所包含的范圍。

（2）內(nèi)部障礙物約束：任意車位模塊、車道不得與內(nèi)部障礙物重疊。

（3）車位與車道分離的約束：車位模塊不能與車道重疊。

（4）連通性約束：必須保證每個(gè)車位可以駛?cè)胲嚨溃熊嚨乐g必須相互連通。

由于約束條件4 中的入口和出口需要在車位排布完成之后由人工確定，故本文只需保證各個(gè)車位模塊之間有車道連通即可。

1.2 約束條件的數(shù)學(xué)模型

地下車庫的外邊界可以用一個(gè)點(diǎn)的集合Pborder＝｛（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）｝，構(gòu)成一個(gè)封閉的多邊形Sborder。在地下車庫內(nèi)，存在多個(gè)多邊形表示的內(nèi)部障礙物Tbar ＝｛T1，T2，…，Tm｝，每個(gè)內(nèi)部障礙物也由一個(gè)點(diǎn)的集合構(gòu)成＝｛（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）｝。

外邊界和內(nèi)部障礙物作為輸入條件，滿足：

定義Pm為車位的集合，R為車道的集合，則存在如下約束：

其中，式（2）表示外邊界約束；式（3）、式（4）表示內(nèi)部障礙物約束；式（5）表示車位與車道分離的約束。

車道集合R ＝｛R1，R2，…，Rm｝ 是由多個(gè)多邊形組成的集合。車道的連通需要通過不同車道之間的相交來實(shí)現(xiàn)，所以對(duì)于所有的車道，需滿足：

同時(shí)每個(gè)車位必須有車道相鄰接。對(duì)于表示任意車位的矩形ABCD，將其四邊向外延長(zhǎng)車位寬度β，如圖1 所示。延長(zhǎng)后滿足：

圖1 車位向外延長(zhǎng)Fig.1 Parking Spaces extend outwards

1.3 車位模塊

車位模塊是由在同一方向上鄰接同一車道的車位排列形成的平行四邊形，按照傾角的不同，可以分為 0°、30°、45°、60°、90° 和垂直式［17］。IL Chodash［18］等人通過分析0°、30°、45°、60°、90°5 種不同角度的停車位在現(xiàn)實(shí)停車場(chǎng)中的表現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)90°的車位模塊在67%的場(chǎng)景中都可以保證車位數(shù)量的最大化。趙志強(qiáng)［19］等用車道面積與車位面積衡量車位實(shí)際占用面積，發(fā)現(xiàn)90°的車位模塊占用面積最少。綜合這些結(jié)論，本文在車位排布中主要采用90°的車位模塊，在寬度不夠時(shí)采用0°的車位模塊。

車位模塊中采用每若干個(gè)車位之間設(shè)置承重柱的方式構(gòu)建柱網(wǎng)。其中，兩個(gè)相鄰承重柱之間的車位數(shù)量取決于承重柱的最大間隔。車位模塊中的每個(gè)車位都是長(zhǎng)為α、寬為β的矩形，對(duì)于承重柱的最大間距d，在90°的車位模塊中需要在每個(gè)車位之間插入一個(gè)承重柱，0°的車位模塊則為

1.4 算法流程

本文提出的算法，主要分為以下4 個(gè)階段：

（1）劃分內(nèi)外區(qū)域：根據(jù)外邊界和內(nèi)部障礙物的坐標(biāo)，用矩形包裹所有障礙物后，劃分為矩形內(nèi)部和矩形外部。

（2）矩形內(nèi)部區(qū)域車位排布：通過像素分割柵格化內(nèi)部區(qū)域［20］并建立矩陣；通過矩陣計(jì)算，得到矩形內(nèi)部區(qū)域車位數(shù)量最多的排布方案，并保證與外部區(qū)域連通。

（3）矩形外部區(qū)域車位排布：對(duì)矩形外部區(qū)域進(jìn)行分割，使用遺傳算法計(jì)算得到矩形外部區(qū)域車位數(shù)量最多的排布方案。

（4）車位坐標(biāo)計(jì)算和可視化：根據(jù)車位模塊的位置，計(jì)算車位坐標(biāo)。

本文主要對(duì)第1 和第2 階段進(jìn)行研究，第3 階段矩形外部區(qū)域的車位排布，主要參考徐涵喆［16］等提出的遺傳算法排布方案，第4 階段車位模塊的坐標(biāo)則通過遍歷計(jì)算得到。

2 模型建立

2.1 內(nèi)部矩陣構(gòu)建

設(shè)定一個(gè)長(zhǎng)和寬均平行或垂直于內(nèi)部障礙物的最小矩形Srec，使得Tbar?Srec，則矩形外部區(qū)域Soutside為：

記Srec平行于x軸方向的邊長(zhǎng)為a，平行于y軸方向的邊長(zhǎng)為b，左上角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，y0）。按照分割精度δ分割Srec上的點(diǎn)，可以得到所有點(diǎn)坐標(biāo)的集合Prec：

構(gòu)建初始矩陣A0，其中所有元素滿足：

根據(jù)A0中的元素值，得到A(i，j)，i∈

矩陣A即為描述矩形內(nèi)部區(qū)域的模型。其中-1 表示有障礙物，0 表示空曠。

2.2 分割精度選擇

在判斷每個(gè)正方形是否空曠時(shí)，因?yàn)椴话魏握系K物才認(rèn)為是空曠的，所以存在一定的面積損失［19］。例如：對(duì)于長(zhǎng)6 m、寬2.5 m 的停車位來說，δ為0.5 m 時(shí)每個(gè)正方形損失會(huì)占單車位1／60 的面積，δ為0.25 m 時(shí)占1／240。所以δ越小，損失的正方形面積也越小。但是，當(dāng)δ縮小時(shí)，所需計(jì)算次數(shù)和內(nèi)存是以O(shè)（n2）復(fù)雜度增長(zhǎng)，導(dǎo)致計(jì)算效率的下降。

為了選擇合適的δ值，在考慮整除特性的基礎(chǔ)上，選擇1 cm、2 cm、5 cm 3 種不同的分割精度，對(duì)3張不同的地下車庫圖紙?jiān)趇7 9750H 處理器、16 GB內(nèi)存環(huán)境下進(jìn)行了分割實(shí)驗(yàn)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，為兼容一般計(jì)算機(jī)的性能，最終決定δ取5 cm。

2.3 外圈的凹角處理

矩形外部區(qū)域Soutside中不包含任何障礙物，所以只用遺傳算法就可以計(jì)算。遺傳算法的關(guān)鍵在于對(duì)Soutside中外邊界點(diǎn)集Pborder的凹角分割策略。參考劉彥鵬等［21］提出的簡(jiǎn)單多邊形剖分算法，若凹角范圍在采用作垂線的方式切割；在內(nèi)，采用作延長(zhǎng)線的方式切割。因?yàn)槊總€(gè)凹點(diǎn)均存在兩條對(duì)應(yīng)邊，所以存在兩種不同的切割策略，可得到m ＝2n。其中，n為Pborder凹點(diǎn)的數(shù)量。

3 算法設(shè)計(jì)

3.1 內(nèi)部矩形中主樓內(nèi)部空隙排布

定義最小閉包矩形為包裹每棟主樓的且平行于坐標(biāo)軸的最小矩形。記地下車庫中主樓的閉包矩形集合為B ＝｛B1，B2，…，Bn｝，滿足：

式（12）表示各個(gè)矩形之間不存在重疊，式（13）表示在這些矩形之外不存在其它障礙物。每個(gè)矩形可以包含4 個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)集PB ＝｛（x1，y1），（x2，y1），（x2，y2），（x1，y2）｜x1＜x2，y1＞y2｝。每棟樓空隙的車位排列算法流程如下：

輸入矩陣A，矩陣左上角元素的坐標(biāo)（x0，y0），主樓的包裹矩形集合B，車位長(zhǎng)寬α、β，主樓數(shù)量n

輸出車位集合L1，修改后的矩陣A

經(jīng)該流程處理后，得到如圖2 所示的可視化結(jié)果。

圖2 一棟樓內(nèi)空隙中的車位排布Fig.2 The arrangement of parking Spaces in the voids of a building

3.2 內(nèi)部矩形中主樓內(nèi)部空隙排布

對(duì)于矩陣A，給出如下定義：

定義1若Z?A且Z ＝0，則稱Z為A的全0子矩陣。用全0 子矩陣中元素的個(gè)數(shù)來表示矩陣的大小，對(duì)應(yīng)矩形的面積。

定義2若對(duì)于A的全零子矩陣Zm，不存在另一個(gè)全0 子矩陣Z0使得Zm?Z0，則稱Zm為A的極大全0 子矩陣。

定義3若一個(gè)矩形內(nèi)不包含任何障礙物，則稱其為全空矩形。

定義4在內(nèi)部矩形區(qū)域內(nèi)，若對(duì)于一個(gè)全空矩形，不能被任何一個(gè)其它的全空矩形完全包裹，則稱其為極大全空矩形。

對(duì)于全空矩形內(nèi)的車位排布，可以充分利用矩形的直角特性［22］，采用兩排90°的車位模塊間隔一條過道的模式依次循環(huán)，在不足時(shí)采用0°的車位模塊代替，如圖3 所示。

圖3 矩形區(qū)域內(nèi)的車位模塊設(shè)置Fig.3 Parking Spaces extend outwards

內(nèi)部矩形中剩余部分的車位排布算法流程如下：

輸入上一步修改后的矩陣A，矩陣左上角元素的坐標(biāo)（x0，y0），車位長(zhǎng)寬α、β，車位集合L1

3.3 矩形外部排布

矩形外部使用遺傳算法對(duì)于每一切割區(qū)域進(jìn)行計(jì)算，并考慮計(jì)算結(jié)果造成的L1、L2中車位堵塞損失，計(jì)算得到每種切割方案可排布車位數(shù)后，取其中車位數(shù)量最多的切割方案。

對(duì)于與車道集合R1有重合部分的車位模塊，根據(jù)車道切割成若干子車位模塊之后，計(jì)算車位的坐標(biāo)。最終可以得到矩形外部排布的車位集合L3和車道集合R2。

4 實(shí)例驗(yàn)證

為驗(yàn)證基于分離障礙物的地下車庫車位排布啟發(fā)式算法的效果和計(jì)算速度，對(duì)5 張不同的地下車庫圖紙進(jìn)行計(jì)算。采用4 核、3.40 GHZ 處理器、內(nèi)存為16 GB 的計(jì)算機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，矩形內(nèi)部區(qū)域分割精度δ為5 cm，車道和車位模塊長(zhǎng)度均為6 m，承重柱邊長(zhǎng)0.5 m，編程語言為python3.8.1。得到的計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 圖紙運(yùn)算結(jié)果Tab.1 Drawing Operation Result

上述結(jié)果中，算法計(jì)算得到的結(jié)果總體上優(yōu)于人工排列的結(jié)果。如果考慮后續(xù)人工對(duì)車道設(shè)置的繼續(xù)優(yōu)化，仍有較優(yōu)的結(jié)果。其中，圖紙4 算法和人工排布結(jié)果如圖4、圖5 所示。

圖4 圖紙4 算法排布結(jié)果Fig.4 Result of algorithm arrangement in Drawing 4

圖5 圖紙4 人工排布結(jié)果Fig.5 Result of manual arrangement in Drawing 4

5 結(jié)束語

本文算法對(duì)地下車庫按照障礙物進(jìn)行了區(qū)域分割，分別用像素分割和遺傳算法兩種啟發(fā)式的求解方法，計(jì)算得到了內(nèi)外區(qū)域的排布方案，對(duì)比人工排列的實(shí)際工程圖紙，可以得出如下結(jié)論：

（1）通過對(duì)矩形內(nèi)部區(qū)域進(jìn)行像素分割，將復(fù)雜的內(nèi)部障礙物用矩陣元素表示，且充分利用了車位、車位模塊、車道中平行和垂直的特性；創(chuàng)造性地利用了每棟樓中的空隙區(qū)域，并通過對(duì)稱、反轉(zhuǎn)每個(gè)極大全空矩形中的最優(yōu)排布方案，保證矩形內(nèi)部車位總數(shù)量的最大化。

（2）通過解決矩形內(nèi)外結(jié)合部區(qū)域的連通性問題，可以保證全局的車位數(shù)量最大化；比較方便更改車位、道路等長(zhǎng)寬參數(shù)，可以滿足人工對(duì)于車位尺寸等的不同需求；該算法可以在較快的時(shí)間內(nèi)完成車位的排布和坐標(biāo)計(jì)算，為人工排列提高效率，增加地下車庫有限區(qū)域內(nèi)的車位數(shù)量。

（3）車位的坐標(biāo)以可視化呈現(xiàn)，為人工排列車位提供一定的參考依據(jù)，節(jié)省了人工排列的時(shí)間。