周建平，李銀，任勇，王明陽(yáng)，馬海春

（1.中國(guó)水利水電第七工程局有限公司，四川 成都 231400；2.合肥工業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

0 引言

隨著社會(huì)的發(fā)展和進(jìn)步，高層建筑和地下工程的數(shù)量與日俱增。緊隨而來(lái)基坑開(kāi)挖及支護(hù)成為的問(wèn)題。在空曠區(qū)域放坡開(kāi)挖是最經(jīng)濟(jì)、最簡(jiǎn)單的施工方法[13-14]。在基坑支護(hù)設(shè)計(jì)中，基坑土體的整體穩(wěn)定性尤為重要。分析粘性土整體穩(wěn)定性的方法有很多，極限平衡法已被用于評(píng)估斜坡的穩(wěn)定性[1][11-12][15]。

目前，邊坡工程中常用的安全計(jì)算方法是費(fèi)倫紐斯（W.Fellenius）在1927～1937年提出的瑞典條分法[8][10]。瑞典條分法具有原理簡(jiǎn)單、公式簡(jiǎn)潔等優(yōu)點(diǎn)，但瑞典條分法的計(jì)算過(guò)程繁瑣，計(jì)算量巨大[3-4]，需要反復(fù)試算圓心位置與半徑，直至逼近最危險(xiǎn)滑動(dòng)圓弧。

本文利用MATLAB數(shù)學(xué)軟件對(duì)基坑整體穩(wěn)定性進(jìn)行編程，結(jié)合瑞典條分法理論綜合考慮土層、地下水、地面荷載等多種影響基坑邊坡開(kāi)挖整體穩(wěn)定性的因素，大大減少了基坑設(shè)計(jì)人員的計(jì)算工作，并結(jié)合具體實(shí)例驗(yàn)證了結(jié)果的可行性，提高了基坑穩(wěn)定性計(jì)算效率。

1 基本原則

1.1 基坑穩(wěn)定性分析

對(duì)具有圍護(hù)結(jié)構(gòu)的粘性土邊坡或土質(zhì)邊坡分析，其目的是設(shè)計(jì)合理的埋設(shè)深度或檢查所提出的圍護(hù)結(jié)構(gòu)在給定條件下是否穩(wěn)定合理[2][6-7]?；觽?cè)壁的剪應(yīng)力在自重和地面超載作用下超過(guò)土體抗剪強(qiáng)度時(shí)，土體將失去穩(wěn)定性，發(fā)生滑移。對(duì)于具有加固和支撐作用的粘性土，土?xí)瑒?dòng)形成滑動(dòng)面。通?；瑒?dòng)面會(huì)被認(rèn)為是圓弧形以方便計(jì)算，這種形式的破壞稱為整體剪切破壞?；诱w穩(wěn)定性分析是分析基坑側(cè)壁是否會(huì)發(fā)生整體剪切破壞。通常用圓弧滑動(dòng)穩(wěn)定安全系數(shù)Ks表示，Ks由《國(guó)家行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)—建筑基坑支護(hù)技術(shù)規(guī)程》(JGJ120-2012)規(guī)定。錨拉式圍護(hù)結(jié)構(gòu)、土釘墻、重力式水泥土墻的穩(wěn)定性均可采用圓弧滑片法分析，對(duì)于安全等級(jí)一級(jí)、二級(jí)和三級(jí)的基坑工程，安全系數(shù)Ks應(yīng)分別不小于1.35、1.3、1.25。

1.2 圓弧滑動(dòng)條分法

圓弧滑動(dòng)條分法有兩個(gè)基本假設(shè)（Navarrov，2014）：土體的剪切面是貫穿土體內(nèi)圓弧面，安全系數(shù)是圓弧包含的剪切面上提供的抗滑力矩和滑動(dòng)力矩之比；土條間作用力對(duì)邊坡整體穩(wěn)定性影響不大[5]。以最典型的均質(zhì)土坡為例，對(duì)瑞典條分法的計(jì)算過(guò)程進(jìn)行說(shuō)明。

如圖1所示，ABC土體為分析對(duì)象，內(nèi)摩擦角為φ，黏聚力為c?；瑒?dòng)面為圓弧AC，圓心為O，半徑為R。將滑動(dòng)土ABC分成n個(gè)土條，隨意取出一條土條j。土條j的寬度為bj，土條中心高度為hj，土條的滑動(dòng)弧長(zhǎng)為lj，對(duì)土條j的受力分析，土條受重力Gj作用，下部土提供的支撐力Nj，下部土提供的摩擦阻力Tj。重力向正方向分解導(dǎo)致土條的滑移力Gjsinθj，對(duì)土體下部的壓力 Gjcosθj等于支撐力，與土條的壓力相反。

圖1 瑞典條分法

滑動(dòng)土體下滑力矩為：

在公式（1a）中，Lj為土條j重心到滑動(dòng)圓心距離。由于每個(gè)土條中心位置都不一樣，給計(jì)算帶來(lái)困難。為了計(jì)算簡(jiǎn)便，采用半徑R作為下滑力到圓心的距離。這樣，運(yùn)用公式（1b）計(jì)算出的滑動(dòng)力矩更大，安全系數(shù)更高。

滑動(dòng)土體的抗滑力矩為：

安全系數(shù)的計(jì)算公式如下：

根據(jù)多年的工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，按照條分法計(jì)算安全系數(shù)一般比極限平衡法計(jì)算的安全系數(shù)低10%～20%。對(duì)于滑動(dòng)面圓弧圓心角較大或孔隙水壓力較大時(shí)，安全系數(shù)將遠(yuǎn)小于其他方法，對(duì)于實(shí)際工程，瑞典條分法的計(jì)算值是偏安全的。

2 編程

2.1 算法描述

在編寫程序之前描述算法，有助于在程序開(kāi)發(fā)過(guò)程中保持邏輯清晰，使編程更高效。用流程圖描述了基坑整體穩(wěn)定性分析流程，先考慮最簡(jiǎn)單的情況，即無(wú)荷載作用、無(wú)地下水的均質(zhì)土體一級(jí)放坡的土坡，且假設(shè)圓弧滑動(dòng)面過(guò)坡腳。

如圖2所示，在輸入?yún)?shù)后，設(shè)置關(guān)于圓心坐標(biāo)(ox，oy)的雙重循環(huán)，循環(huán)的范圍為 ox∈[X min，X max]，oy∈[Y min,Y max]。每次循環(huán)增量為step，step值設(shè)置的越小，搜索到圓心的位置就越精確。但相應(yīng)的計(jì)算量會(huì)指數(shù)級(jí)上升，所以設(shè)置一個(gè)合理的大小即可。對(duì)于每一次循環(huán)中的圓心坐標(biāo)(ox，oy)，計(jì)算所需與圓心坐標(biāo)有關(guān)的參數(shù)，便可計(jì)算該圓心坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的安全系數(shù)。安全系數(shù)所需的抗滑合力sum1和下滑合力sum2是通過(guò)土條從1到n循環(huán)，累計(jì)每個(gè)土條的抗滑分力clj+γbjhjcosθjtanφ和每個(gè)土條的下滑分力γbjhjsinθj得到。其中，n是土條劃分的條數(shù)，劃分的份數(shù)越多，抗滑合力sum1和下滑合力sum2計(jì)算的便越準(zhǔn)確。

圖2 全局穩(wěn)定性算法流程圖

完成圓心坐標(biāo)(ox，oy)的雙重循環(huán)結(jié)束后，得到一個(gè)存儲(chǔ)安全系數(shù)的二維數(shù)組。數(shù)組的索引值與圓心坐標(biāo)有關(guān)，通過(guò)在數(shù)組中尋找最小值，并根據(jù)其索引值計(jì)算圓心坐標(biāo)，便得到最危險(xiǎn)滑動(dòng)圓弧的位置和土坡的整體穩(wěn)定性安全系數(shù)。

2.2 坐標(biāo)系的建立及參數(shù)計(jì)算

如圖3所示，為便于計(jì)算，選擇坡的頂點(diǎn)作為原點(diǎn)坐標(biāo)，建立平面直角坐標(biāo)系。

圖3 斜率計(jì)算模型

與圓心坐標(biāo)(ox，oy）有關(guān)的參數(shù)計(jì)算如下。

坡腳C坐標(biāo)：

其中kb為放坡坡度，寬度與高度之比；h為基坑深度。

滑動(dòng)弧半徑：根據(jù)勾股定理計(jì)算，得

滑動(dòng)圓弧與地面交點(diǎn)A橫坐標(biāo)：

聯(lián)立滑動(dòng)圓弧方程與地面方程

解得：

土條寬度：為滑動(dòng)土體寬度1/n

與條數(shù)j有關(guān)的參數(shù)計(jì)算如下。

土條滑動(dòng)面中心坐標(biāo)：

土條滑動(dòng)面弧長(zhǎng)：近似取土條端點(diǎn)連線長(zhǎng)度

土條重量：從滑弧中心至地面的完整土條的重量減去被開(kāi)挖部分挖去的楔形土條的重量。

2.3 程序編寫與參數(shù)調(diào)整

2.3.1 編程

根據(jù)流程圖所示的算法，可以編寫此程序。對(duì)于計(jì)算結(jié)果輸出，我們可以繪制圓弧滑動(dòng)安全系數(shù)與圓心坐標(biāo)的關(guān)系圖像。Ks=?(ox,oy)由于Ks值是若干散點(diǎn)值，因此可以使用內(nèi)置函數(shù)mesh?gird()創(chuàng)建繪圖網(wǎng)格，并使用surf()函數(shù)繪制三維曲面。我們還可以對(duì)圖像進(jìn)行調(diào)整，增加坐標(biāo)軸名稱，增加網(wǎng)格，色彩插值處理，標(biāo)記最小圓心位置等。

需輸入的參數(shù)包括放坡坡度與基坑幾何深度，土體重度值，內(nèi)聚力及內(nèi)摩擦角。需要調(diào)整的參數(shù)為：搜索范圍ox∈[X min,X max]，oy∈[Y min,Y max]、搜索步長(zhǎng)step和土條數(shù)n。這些參數(shù)可以根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行更改。

搜索范圍過(guò)大會(huì)導(dǎo)致無(wú)意義的計(jì)算，搜索范圍過(guò)小的可能會(huì)遺漏Ks最小值。根據(jù)理論分析，滑動(dòng)面的中心只會(huì)出現(xiàn)在坐標(biāo)系的第一象限。經(jīng)過(guò)調(diào)試，將搜索范圍設(shè)置為 ox∈[0,10]，oy∈[0,10]，即可保證最小值Ks在此范圍內(nèi)，并且能較好的表現(xiàn)出三維表面變化的趨勢(shì)。

搜索步長(zhǎng)step越小，計(jì)算精度越高，搜索到的圓心位置越精確，對(duì)Ks影響不大，但同時(shí)計(jì)算所需時(shí)間越長(zhǎng)。step值縮小為原來(lái)的N倍，計(jì)算量約為原來(lái)的N2倍。經(jīng)調(diào)試，搜索步長(zhǎng)step設(shè)置為0.1～0.01即可滿足計(jì)算要求。

土條劃分?jǐn)?shù)量n越小，對(duì)土條各項(xiàng)參數(shù)的計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確。土條劃分?jǐn)?shù)量n值對(duì)Ks有影響。土條劃分?jǐn)?shù)量n越大，算得Ks越大。這是由于土條滑動(dòng)弧長(zhǎng)近似取土條底面端點(diǎn)連線長(zhǎng)度，比實(shí)際弧長(zhǎng)短，計(jì)算的抗滑力小于實(shí)際的抗滑力，計(jì)算結(jié)果偏安全。土條劃分?jǐn)?shù)量n值越大，計(jì)算的抗滑力越接近真值。此外，土條劃分?jǐn)?shù)量n的值越大，三維曲面越光滑，圓心坐標(biāo)也會(huì)發(fā)生變化。土條劃分?jǐn)?shù)量n值的增加對(duì)計(jì)算時(shí)間的增加沒(méi)有step值的敏感，因?yàn)閚只涉及一重循環(huán)，且循環(huán)內(nèi)的代碼較少。經(jīng)調(diào)試，土條劃分?jǐn)?shù)量n設(shè)為1000片是較為合適的值。

2.3.2 功能擴(kuò)展

在完成基坑放坡整體穩(wěn)定性分析最簡(jiǎn)單的程序之后，可以考慮更復(fù)雜的情況，使該程序能夠進(jìn)行更多種類的基坑放坡整體穩(wěn)定性分析。

①土體分層

絕大多數(shù)基坑場(chǎng)地土體是分層的，每層土的厚度、重度、內(nèi)聚力和內(nèi)摩擦角都不同，需要設(shè)置并輸入這些參數(shù)。土體分層影響土條受到的重力，應(yīng)該按照土層分層計(jì)算，計(jì)算公式為 Gj=Σhjiγibj，hji是土條 j在 i層土內(nèi)的高度，γi是 i層土的重度。土體分層還影響土條受到的抗滑力，根據(jù)滑動(dòng)面中心縱坐標(biāo)判斷滑動(dòng)面在哪一土層內(nèi)，取該土層的內(nèi)聚力和內(nèi)摩擦角。

②坡頂有超載

大多數(shù)基坑周圍存在建筑荷載、車輛荷載和建筑材料堆載。為了計(jì)算簡(jiǎn)便，設(shè)地面超載為均布荷載。輸入均布荷載參數(shù)qj，可以發(fā)現(xiàn)均布荷載作用于地面，即y軸左側(cè)，可以根據(jù)土條滑動(dòng)面中心橫坐標(biāo)是否小于0判斷。若xc(j)<0，土條受到地面荷載是qj=qj，若xc(j)>0，土條受到地面荷載是qj=0。地面超載作用點(diǎn)在土條頂面，與圓心的距離和重力與圓心的距離相同，且作用方向也與重力相同。為計(jì)算方便，可將土條受到的地面超載加到重力上計(jì)算。

考慮坡頂超載，安全系數(shù)為：

③存在地下水

當(dāng)土體中存在有地下水時(shí)，地下水位以下的粉土、砂土、碎石土?xí)艿降叵滤母×ψ饔?，粘土和地下水位以上土體無(wú)浮力作用。因此，需要設(shè)置進(jìn)入每一層土壤的類別cli，如果土層i是粘土，cli=1。如果土層i不是粘土，cli=0。由于基坑降水措施，基坑內(nèi)外水位不同，需要設(shè)置并輸入基坑內(nèi)外水位參數(shù)值?；觾?nèi)水位為hwn，基坑外水位為hww。浮力作用即孔隙壓力減小了土條與下部土體之間的內(nèi)聚力，造成抗滑力降低，而土條壓力不變，安全系數(shù)變小，基坑偏向于危險(xiǎn)。根據(jù)土條滑動(dòng)面中心的橫坐標(biāo)xc(j)判斷是基坑內(nèi)還是基坑外，根據(jù)土條滑動(dòng)面中心的縱坐標(biāo)yc(j)判斷滑動(dòng)面所處土層，若該土層為粘土或高于水位，則孔隙壓力為0，否則計(jì)算孔隙壓力，在基坑內(nèi) uj=[hwn－yc(j)]γw，基坑外uj=[hwn－yc(j)]γw，其中，γw為地下水重度。

考慮地下水，安全系數(shù)為：

④用土釘和錨桿對(duì)邊坡進(jìn)行加固

基坑工程中，常常使用錨桿或土釘對(duì)邊坡進(jìn)行加固。加固機(jī)制是利用錨桿或土釘與土體之間的錨固力和錨桿或土釘自身的抗拉強(qiáng)度，將滑動(dòng)土體與下部土體連接在一起。錨桿或土釘對(duì)滑動(dòng)土體的拉力提供額外的抗滑力，從而提高基坑的安全系數(shù)。要想在程序中增加土釘提供的抗滑力，則需要另外對(duì)土釘進(jìn)行循環(huán)計(jì)算，算法流程圖如圖3所示。

⑤土釘共設(shè)置有m道

第k道土釘?shù)目估瓨O限承載力：

其中，fyk為第k道土釘或錨桿的屈服強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值；As為第k道土釘或錨桿抗拉材料的截面積。

第k道土釘錨固抗拔極限承載力：

圖4 計(jì)算土釘抗滑力的算法

其中，fptk為第k道土釘或土錨與土體的摩阻力；Ap為第k道土釘或錨桿與土體的接觸面積。

值得注意的是，滑動(dòng)土體中的土釘錨固抗拔極限承載力和底層土體中的土釘錨固抗拔極限承載力大小不同。應(yīng)取兩者最小值作為土釘錨固抗拔極限承載力Rk1。

第k道土釘?shù)臉O限拉力值Rk取Rk0和Rk1當(dāng)中最小值。

計(jì)算系數(shù)：

其中，θk為第k道土釘或錨桿與滑動(dòng)圓弧交點(diǎn)處的法線與垂線的夾角；αk為第k道土釘或錨桿的傾角；φ為第k道土釘或錨桿與滑動(dòng)圓弧交點(diǎn)處的土體內(nèi)摩擦角。

第k道土釘或錨桿提供的抗滑力：

其中，sxk為第k道土釘或錨桿的水平間距。

土釘或錨桿提供的抗滑合力：

考慮土釘或錨桿，安全系數(shù)為：

⑥考慮施工進(jìn)度

在基坑開(kāi)挖過(guò)程中，可能也會(huì)出現(xiàn)整體剪切破壞。既要保證基坑開(kāi)挖支護(hù)后基坑的安全穩(wěn)定，又要維持基坑開(kāi)挖支護(hù)施工安全穩(wěn)定。施工進(jìn)度模擬可以選擇基坑施工過(guò)程中的幾個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，并根據(jù)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)進(jìn)行驗(yàn)算。程序設(shè)計(jì)以開(kāi)挖支護(hù)為主，改變基坑深度的值，深度由淺至深，模擬開(kāi)挖過(guò)程。模擬支護(hù)過(guò)程可設(shè)置一個(gè)變量sg(k)，代表第k道土釘錨桿的施工情況。sg(k)=1代表第k道土釘錨已施工，按正常計(jì)算；sg(k)=0代表第k道土釘錨桿尚未施工，Rk值設(shè)置為0。

⑦幾種特殊情況

在調(diào)試過(guò)程中，部分區(qū)域存在異常值，即負(fù)值和極大數(shù)值，影響安全系數(shù)最小值的取值和變化趨勢(shì)的觀察。經(jīng)分析，出現(xiàn)異常的原因?yàn)椋簣A心在該區(qū)域內(nèi)的圓弧與土坡坡頂?shù)孛鏌o(wú)交點(diǎn)，即滑土體極小或滑動(dòng)圓弧不存在，為了避免該區(qū)域異常值對(duì)其他區(qū)域變化趨勢(shì)的觀察，可以在循環(huán)的開(kāi)始時(shí)增加判斷。如果圓弧與土坡坡頂?shù)孛鏌o(wú)交點(diǎn)，可跳過(guò)本次循環(huán)，并且將該圓心位置的安全系數(shù)設(shè)為4。

滑動(dòng)面可能與有些土釘沒(méi)有交點(diǎn)，此時(shí)這道土釘極限拉力值應(yīng)直接設(shè)置為零，并且跳過(guò)極限拉力值計(jì)算過(guò)程。

3 工程實(shí)例

3.1 工程和地質(zhì)概況

一個(gè)住宅項(xiàng)目位于道路交叉口，本工程主要包括一棟21層高層建筑及周邊多棟低層建筑，以及場(chǎng)地西北側(cè)的地下車庫(kù)。

場(chǎng)地北側(cè)設(shè)置廠房，西側(cè)、南側(cè)為道路，東側(cè)為空地，場(chǎng)地周邊無(wú)重要管線，周邊環(huán)境較為平坦開(kāi)闊。

場(chǎng)地土層第四系地貌類型屬江淮丘陵區(qū)地貌單元，地下第一層為雜填土，d=1m,γ=18.8kN/m3,c=0kPa,φ=15o。第二層為棕黃色，黃灰色，可塑-硬粘土，d=3m，γ =19.4kN/m3，c=57.5kPa，φ =13.7o。第三層為棕黃色或灰黃色，硬塑至硬態(tài)粘土，d=10m，γ=19.6kN/m3，c=71.9kPa，φ=14.5o。僅場(chǎng)地上層為積水，且分布極不均勻，無(wú)連續(xù)潛水面。

3.2 基坑支護(hù)設(shè)計(jì)方案

本工程一部分開(kāi)挖深度為6.1m，另一部分開(kāi)挖深度為3m，支護(hù)結(jié)構(gòu)采用放坡結(jié)合土釘墻加固?；訙\部采用一級(jí)自然放坡，放坡系數(shù)取0.8，放坡高度取3m，放坡寬度取2.4m。放坡剖面圖如圖5所示。

圖5 放坡剖面圖一

淺基坑和深基坑交接部分也采用一級(jí)自然放坡，坡高為3.1m，放坡系數(shù)為0.81，坡寬2.5m，邊坡剖面圖如圖6所示。

圖6 放坡剖面圖二

深基坑采用放坡加土釘墻，坡高為6.1m，放坡系數(shù)為0.85，坡寬為5.2m，邊坡剖面圖如圖7所示。

圖7 放坡土釘墻剖面圖

設(shè)置兩道土釘，土釘參數(shù)如下表所示。

土釘設(shè)計(jì)參數(shù)表

3.3 基坑整體穩(wěn)定性驗(yàn)算

3.3.1 3m自然放坡段

圖8 開(kāi)挖至2m計(jì)算結(jié)果

圖9 開(kāi)挖至3m計(jì)算結(jié)果

3.3.2 3.1m自然放坡段

3m的放坡與3.1m的放坡的基坑深度和坡度基本相同，但后者安全系數(shù)遠(yuǎn)高于前者，這是由于后者放坡所在土層的粘聚力和內(nèi)摩擦角高于前者，各基坑開(kāi)挖深度越大，安全深度越低，驗(yàn)算結(jié)果符合實(shí)際情況。

圖10 開(kāi)挖至2m計(jì)算結(jié)果

圖11 開(kāi)挖至3.1m計(jì)算結(jié)果

圖12 開(kāi)挖至2m，土釘均未施工計(jì)算結(jié)果

圖13 開(kāi)挖至4m，土釘均未施工計(jì)算結(jié)果

3.3.3 6.1m放坡土釘墻段

第一道土釘施工后，土釘提供抗滑力，安全系數(shù)增大。

圖15 開(kāi)挖至-6.1m，僅設(shè)置第一道土釘計(jì)算結(jié)果

繼續(xù)開(kāi)挖至-6.1m，安全系數(shù)變小，此時(shí)為整個(gè)基坑開(kāi)挖最危險(xiǎn)的時(shí)刻，進(jìn)行土釘施工，并且加強(qiáng)監(jiān)測(cè)。

圖16 開(kāi)挖至-6.1m，兩道土釘均未施工計(jì)算結(jié)果

通過(guò)計(jì)算，在放坡加土釘墻開(kāi)挖支護(hù)條件下，基坑邊坡安全系數(shù)為2.96，整體穩(wěn)定性良好。

4 結(jié)論

①利用MATLAB編程分析邊坡開(kāi)挖工程基坑整體穩(wěn)定性，應(yīng)用程序基于瑞典切片法，根據(jù)規(guī)定的臺(tái)階尺寸逐點(diǎn)搜索滑動(dòng)弧點(diǎn)中心在規(guī)定范圍內(nèi)的位置，確定基坑邊坡最危險(xiǎn)滑移面的位置，可以求解出基坑邊坡安全系數(shù)。

②編程從最簡(jiǎn)單的邊坡模型分析，再考慮土層分層、坡頂超載、地下水的作用、土釘加固、施工條件等，并逐步完善程序，使程序能夠檢查一般基坑邊坡開(kāi)挖方案的整體穩(wěn)定性，并能考慮施工條件，施工過(guò)程中的整體穩(wěn)定性也更高。

③工程師可根據(jù)工程需要和當(dāng)?shù)毓こ探?jīng)驗(yàn)，設(shè)置搜索范圍，搜索步驟和土條切片數(shù)量，達(dá)到所需計(jì)算精度，從而提高效率，減少誤差，具有一定的實(shí)用價(jià)值。