蔡明生

推進(jìn)課程改革的一個(gè)重要命題就是根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)與差異，創(chuàng)造性地、校本化地實(shí)施國家課程。2020年修訂的普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)的一個(gè)突出變化就是課程目標(biāo)從“三維目標(biāo)”升級為“學(xué)科核心素養(yǎng)”，這標(biāo)志著學(xué)科教學(xué)的回歸。因此，數(shù)學(xué)教師必須轉(zhuǎn)變觀念，提高教學(xué)設(shè)計(jì)的站位，從關(guān)注知識點(diǎn)轉(zhuǎn)向關(guān)注學(xué)科核心素養(yǎng)，通過系統(tǒng)整合使學(xué)科知識結(jié)構(gòu)化，與實(shí)際生活相聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

筆者現(xiàn)以人教A版普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊第六章《平面向量及其應(yīng)用》中《正弦定理》一節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，探討國家數(shù)學(xué)課程校本化實(shí)施對培養(yǎng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)能力的重要作用。

基于深度學(xué)習(xí)的《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

正弦定理是三角學(xué)中最重要的定理之一，它是直角三角形中邊角關(guān)系的推廣，也是對三角形“大角對大邊”這一定性性質(zhì)的定量刻畫。三角學(xué)起源于天文學(xué)。最早，古希臘天文學(xué)家希帕恰斯為了解決天文學(xué)中的計(jì)算問題，將每一個(gè)三角形都當(dāng)作圓的內(nèi)接三角形，這樣三角形的邊均變成圓的弦，對角也隨之變成弦所對的圓周角。而后托勒密繼承了希帕恰斯的工作，他利用圓半徑及弦所對圓周角計(jì)算弦長以編制弦表，提出d=2R sin 這一關(guān)系式。幾百年后，印度數(shù)學(xué)家將上式改寫成=R sin ，而阿里亞哈塔首次用半弦定義了正弦，這正是正弦“Sine”的詞源。

由此可見，所謂的正弦本來就源自圓的弦，而希帕恰斯將三角形看成是圓的內(nèi)接三角形的方法深刻地影響了后世數(shù)學(xué)家對正弦定理乃至整個(gè)三角學(xué)的研究，這也就不難理解為什么數(shù)學(xué)家們會用作外接圓的方法來證明正弦定理。并且，16世紀(jì)以前，正弦（及一切三角函數(shù)）均為“線段定義”，而非今天所用的“比值定義”。換句話說，正弦定理的發(fā)現(xiàn)其實(shí)就是從直角三角形中得來的。

環(huán)節(jié)一：回憶三角形中邊與角的關(guān)系。

1.回顧初中學(xué)過的三角形中的邊角關(guān)系。

2.直角△ABC的三邊長為a、b、c，三個(gè)角為A、B、C，其中∠C=90°，請你寫出此直角三角形的邊角關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：回顧所學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生思考三角形邊角關(guān)系的著眼點(diǎn)，把學(xué)生在初中已掌握的“大邊對大角、小邊對小角”，以及“直角三角形中的邊角關(guān)系”等舊知識作為新知識的生長點(diǎn)。

環(huán)節(jié)二：初步感受求解三角形邊角關(guān)系問題。

1.△ABC中，如果BC=12，∠A=30°，∠B=45°，如何求AC的長度？

2.△ABC中，如果BC=12，∠A=120°，∠B=45°，如何求AC的長度？

設(shè)計(jì)意圖：如何找出三角形的邊角關(guān)系？直接由直角三角形的邊角關(guān)系去猜想正弦定理有點(diǎn)牽強(qiáng)，我們通過問題1和2，從具體的解三角形的問題出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生借助直角三角形去探求AC的長度。對這兩個(gè)問題，一開始，學(xué)生可能會感到陌生。但結(jié)合環(huán)節(jié)一，教師可以引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激起學(xué)生的求解欲望，為進(jìn)一步探究正弦定理做好準(zhǔn)備。

環(huán)節(jié)三：由特殊到一般，通過歸納猜想得到正弦定理并證明。

1.直角△ABC的三邊長為a、b、c，三個(gè)角為A、B、C，其中∠C=90°，思考能不能建立邊a、b與角A、B之間的某種等量關(guān)系？如果把直角△ABC改為任意△ABC，是否有類似的結(jié)論？

2.設(shè)△ABC的三邊長為a、b、c，三個(gè)角為A、B、C，我們能不能建立邊長a、b、c與角A、B、C之間的某種關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：從特殊的三角形開始探索到得出一般三角形都適用的正弦定理，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷歸納—猜想—證明的思維過程，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。

環(huán)節(jié)四：應(yīng)用正弦定理再解答第二個(gè)環(huán)節(jié)中的兩個(gè)問題。

設(shè)計(jì)意圖：通過前面“新鮮出爐”的正弦定理，對于環(huán)節(jié)二的兩個(gè)問題，學(xué)生可以直接跳過添加輔助線的過程求出AC的長，體會到正弦定理的實(shí)用性。

環(huán)節(jié)五：對正弦定理的深度認(rèn)知理解。

1.從上述探究中，我們發(fā)現(xiàn)在△ABC中，是一個(gè)確定的比值，那么這個(gè)比值有什么幾何意義嗎？

2.在直角△ABC中，邊和其所對角的正弦值之比的幾何意義是斜邊c。猜想，在一般的三角形中，邊與其所對角的正弦值之比是否也等于某一固定的值，并且也具有某種幾何意義呢？這個(gè)固定的比值k是由△ABC中的什么元素唯一確定的？

3.當(dāng)△ABC的一條邊及其所對角的大小確定時(shí)，這個(gè)三角形是不是唯一確定呢？

在這個(gè)問題的思考過程中，教師可以展示幾何畫板課件。當(dāng)△ABC的一條邊BC的大小和位置固定，BC所對的角A的大小也不變，此時(shí)△ABC是否發(fā)生變化？點(diǎn)A的運(yùn)動軌跡是什么？

4.結(jié)合三角形的外接圓，在===k中，k等于什么？

設(shè)計(jì)意圖：趣味的幾何畫板演示與微課視頻幫助學(xué)生進(jìn)一步理解正弦定理的幾何意義，除對正弦定理的不同形式如=等進(jìn)行呈現(xiàn)以外，還幫助學(xué)生理解了正弦定理的本質(zhì)。因此，在對正弦定理的教學(xué)再設(shè)計(jì)時(shí)，我們設(shè)計(jì)了上面的一系列問題，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理中的R就是△ABC的外接圓半徑。

環(huán)節(jié)六：小結(jié)及啟發(fā)學(xué)生由正弦定理可以解決什么樣的解三角形問題。

前面我們發(fā)現(xiàn)并證明了正弦定理，正弦定理揭示了三角形中任意兩邊與其對角的關(guān)系。那么，正弦定理能夠幫助我們解決哪些問題？

設(shè)計(jì)意圖：問題難度升級，體現(xiàn)學(xué)習(xí)遞進(jìn)的層次性，教師引導(dǎo)學(xué)生再次回到探究之中，使學(xué)生結(jié)合已有的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行重新構(gòu)建，自覺運(yùn)用學(xué)到的研究方法及結(jié)論解決具體的解三角形問題，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的方法，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。

科學(xué)架構(gòu)單元知識，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

有學(xué)者認(rèn)為，學(xué)習(xí)深度具有三個(gè)基本標(biāo)準(zhǔn)，即知識學(xué)習(xí)的充分廣度、知識學(xué)習(xí)的充分深度和知識學(xué)習(xí)的充分關(guān)聯(lián)度。這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)也是深度學(xué)習(xí)的核心理念。研究還表明，學(xué)生的深度學(xué)習(xí)離不開教師的深度教學(xué)，在這個(gè)過程中教師應(yīng)該起主導(dǎo)作用。

一是基于大概念教學(xué)，挖掘概念深度。對學(xué)生來講，知識并不陌生，但對于知識結(jié)構(gòu)，學(xué)生不一定十分重視。在開展課堂教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生把平時(shí)所學(xué)的零散的知識聯(lián)系起來，整理成系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)，形成基于大概念的結(jié)構(gòu)化知識體系，這是學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的起點(diǎn)。

二是強(qiáng)化知識理解，突出概念廣度。深度教學(xué)的“深度”是建立在完整、深刻地處理和理解知識的基礎(chǔ)之上的。知識的廣度與知識產(chǎn)生的背景是密切相關(guān)的。所以課堂教學(xué)中對數(shù)學(xué)概念的再理解、再探究，不僅是對概念的內(nèi)涵與外延作進(jìn)一步的詮釋，更是對數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的背景的探究。

三是探索校本化實(shí)施，突破知識核心。學(xué)校要“因地制宜”“因人而異”地對國家課程進(jìn)行校本化開發(fā)、建設(shè)和實(shí)施，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。通過《正弦定理》的校本化教學(xué)設(shè)計(jì)可以看出，引導(dǎo)學(xué)生多維度地理解正弦定理的豐富內(nèi)涵，從數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度去理解學(xué)習(xí)正弦定理的意義，可以達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的，從而使數(shù)學(xué)教育逐漸向理想的目標(biāo)邁進(jìn)。

總之，基于不同層級學(xué)校具體學(xué)情的國家數(shù)學(xué)課程校本化，更符合學(xué)生實(shí)際，更有利于進(jìn)行課堂教學(xué)。高中數(shù)學(xué)中模塊的細(xì)化、知識點(diǎn)的建構(gòu)、數(shù)學(xué)思維的培育、思維角度的轉(zhuǎn)換、相關(guān)知識的滲透等，都可以是構(gòu)建校本化課程的“微專題”。國家數(shù)學(xué)課程校本化可以促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，提升教學(xué)質(zhì)量，優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教師學(xué)科專業(yè)結(jié)構(gòu)，有力地推動師生的共同成長。