高英凱

(北京十一學(xué)校豐臺中學(xué),北京 100079)

數(shù)形結(jié)合是探究數(shù)學(xué)知識的重要思想方法,也是數(shù)學(xué)探究的重要手段.在以往的教學(xué)中,教師偏重于抽象的理論講解,不注重以直觀的手段加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認知和理解.教師對初中學(xué)生的認知特點缺乏全面的了解和把握,尤其是在解題教學(xué)中,忽視了以初中學(xué)生處于形象思維的特點而設(shè)計教學(xué)過程,學(xué)生對于抽象的理論和概念難以理解,對于教師的機械講述也不感興趣,導(dǎo)致其數(shù)學(xué)綜合能力很難得到提升.學(xué)生在解題過程中找不到解題思路和方法,不能對抽象的數(shù)學(xué)理論有深入的理解,主要原因是沒有掌握數(shù)形結(jié)合等思想方法,尤其是不能靈活運用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)題目,學(xué)生的解題能力很難得到培養(yǎng).

1 數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)涵簡述

數(shù)學(xué)知識具有較強的抽象性,數(shù)形結(jié)合思想可以使數(shù)學(xué)知識化抽象為直觀,將抽象的“數(shù)”變?yōu)橹庇^的“形”,或者將直觀的“形”轉(zhuǎn)化為抽象性及概括性較強的“數(shù)”,學(xué)生可以根據(jù)自身的需要使“數(shù)”和“形”相互轉(zhuǎn)化.數(shù)形結(jié)合思想可以使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)知識之間的邏輯關(guān)系及相關(guān)規(guī)律,應(yīng)用于解題教學(xué)中,可以為學(xué)生展現(xiàn)更為直觀形象的數(shù)學(xué)知識,使抽象的知識直觀化,幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)知識進行更深入的認知和理解,提升其解題效率.學(xué)生在解題過程中靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,可以更好地分析題目的信息,提煉解決問題的有效知識,盡快找到解決問題的思路和方法.初中學(xué)生正處于形象思維階段,對抽象的數(shù)學(xué)知識在理解上會有一定的難度,而數(shù)形結(jié)合可以將抽象的數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系用圖形、線段等直觀的方式進行展示,使無形的抽象知識變得有形,學(xué)生通過有形的邏輯展示,強化對抽象數(shù)學(xué)知識的理解,掌握數(shù)學(xué)分析的方式方法,進而提高解題能力.

2 數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的作用

2.1 促進學(xué)生對知識的理解

學(xué)生在解題中會遇到一些抽象的數(shù)學(xué)概念以及定理,并且題目的描述也較為抽象,在解題中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,可以將問題簡化,用直觀性的方式顯示出來并進行分析,抽象的知識變得可視化和直觀化,有利于學(xué)生清晰數(shù)學(xué)知識間的邏輯關(guān)系,激活思維,順利找到解決問題的思路和方法.

2.2 提升學(xué)生解題技能

數(shù)形結(jié)合思想不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法,也是解決問題的有效路徑,它可以幫助學(xué)生形成一種科學(xué)的思維方式,在不斷地分析和思考中,以及解題的實踐訓(xùn)練中,鍛煉數(shù)學(xué)思維能力,積累解題經(jīng)驗,有效提升解題技能.

3 初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)存在的問題

目前的解題教學(xué)中還存在許多問題.一是教師的教學(xué)方法過于單調(diào),在解題教學(xué)當(dāng)中只重視對題目的理論性講解,之后直接給學(xué)生布置相關(guān)練習(xí)題目,學(xué)生對這種機械的訓(xùn)練方式缺乏興趣,也失去了解題動力;二是教師在教學(xué)中忽視對解題思路的探究,不注重引導(dǎo)學(xué)生對解題過程進行檢查和反思,學(xué)生的解題技能得不到有效提升;三是教師不注重數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用,學(xué)生對于題目中涉及的抽象概念和信息不會轉(zhuǎn)化為直觀的方式進行分析和探討,無法利用數(shù)形結(jié)合進行解題.

4 數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用策略

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,用數(shù)形結(jié)合思想分析題目當(dāng)中的一些抽象的信息,使其變得直觀化,學(xué)生會從直觀的信息中弄懂題意,分析數(shù)量之間的關(guān)系,搞清題目要求,然后再通過數(shù)形結(jié)合思想來揭示數(shù)學(xué)知識的邏輯關(guān)系,從而找到解題的思路和方法[1].

4.1 利用數(shù)形結(jié)合思想理解正數(shù)和負數(shù)的概念

初中學(xué)生還處于形象思維階段,尤其是剛進入初中階段的學(xué)生,他們遇到的數(shù)學(xué)題目以及數(shù)學(xué)概念,相比于小學(xué)階段難度有所提升.例如,學(xué)生剛接觸初中數(shù)學(xué)時,涉及對“正數(shù)”和“負數(shù)”概念的理解,如果教師按照課本對概念進行講解和敘述,學(xué)生很難理解,甚至在解題過程當(dāng)中還會因為理解不深入而出現(xiàn)錯誤,所以教師要以直觀的方式幫助學(xué)生理解抽象的正數(shù)和負數(shù)概念.例如,教師在黑板上繪制數(shù)軸,讓學(xué)生首先明確數(shù)軸的相關(guān)元素,規(guī)定了數(shù)軸的原點以及負數(shù)和正數(shù)的方向,之后再創(chuàng)設(shè)生活中氣溫低于0 ℃和高于0 ℃的天氣預(yù)報情境,讓學(xué)生將-3 ℃、-11 ℃和+5 ℃、+18 ℃標(biāo)注到數(shù)軸上,學(xué)生通過直觀的視覺體驗,可以很容易理解正數(shù)和負數(shù)的概念.這種用數(shù)軸、線段和圖形表示數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系的方式,能夠讓學(xué)生以直觀的形式理解相對抽象的數(shù)學(xué)概念及定理,還可以促進學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中舉一反三,形成用數(shù)形結(jié)合思想來解答數(shù)學(xué)題目的能力及習(xí)慣.

4.2 利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點教學(xué)內(nèi)容,由于該內(nèi)容當(dāng)中涉及的概念以及定理相對抽象,學(xué)生單純地以理論的方式去理解和鞏固,往往效果不佳,在有關(guān)函數(shù)的解題過程中也會出現(xiàn)諸多錯誤.所以,對于本內(nèi)容的解題訓(xùn)練,教師可以設(shè)計數(shù)形結(jié)合思想的專項訓(xùn)練,并且組織學(xué)生在課堂上進行小組合作探究,讓學(xué)生分析自己應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的解題過程,還要給其他小組成員的解題過程提出建議.如讓學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的方法對一元一次方程、一元二次方程和二元一次方程的特點進行概括總結(jié),以促進學(xué)生的深入理解.為了促進學(xué)生的深入學(xué)習(xí),教師提出問題:比較一次函數(shù)與二次函數(shù),說說它們的異同點.如果不利用數(shù)形結(jié)合思想去進行對比和觀察,很難得出結(jié)論,這時,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合思想進行解答,讓學(xué)生在練習(xí)本上畫出一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象,通過圖象了解二者的不同點,并且通過對二者的圖象分析,學(xué)生可以了解到一次函數(shù)和二次函數(shù)各個元素的作用,以此為學(xué)生未來的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).

4.3 利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式問題

不等式是學(xué)生繼學(xué)習(xí)方程之后的內(nèi)容,這一內(nèi)容在學(xué)習(xí)上要結(jié)合方程知識,還要注重利用數(shù)形結(jié)合思想對題目進行分析,使抽象化的知識能夠通過圖形的繪制變得直觀而形象,從而使學(xué)生理清知識間的邏輯關(guān)系.部分學(xué)生對本部分知識掌握得不好,解題中會遇到一些問題,其主要原因是學(xué)生不善于利用數(shù)形結(jié)合思想對問題進行分析,在解題過程當(dāng)中直接就對式子進行運算.在教學(xué)中,教師對題目做示范講解以后,就布置學(xué)生做同類型的題目,對學(xué)生的解題過程不注重引導(dǎo),對學(xué)生解題過程當(dāng)中出現(xiàn)的問題不進行分析與糾正,因此,學(xué)生在解題過程中也沒有養(yǎng)成用數(shù)形結(jié)合思想尋找解題思路的習(xí)慣.所以,教師在解題教學(xué)當(dāng)中要強化對學(xué)生的引導(dǎo),使學(xué)生體驗到數(shù)形結(jié)合思想在分析數(shù)學(xué)信息中的重要作用,幫助學(xué)生有效提高解題效率.如關(guān)于X的不等式0≤X2+AX+4≤2 有唯一的解,求解A的值.學(xué)生在遇到這種題目時往往盲目地進行分析和計算,陷入抽象的運算當(dāng)中,學(xué)習(xí)基礎(chǔ)差的學(xué)生還容易產(chǎn)生思路混亂的問題.對此,教師利用數(shù)形結(jié)合思想,將其拆分成Y=X2+AX+4,Y=0,Y= 2這三個方程,引導(dǎo)學(xué)生對這三個方程進行分析,并用圖形的繪制的方法對三個方程的關(guān)系進行了解,學(xué)生結(jié)合以前學(xué)過的拋物線與直線相關(guān)內(nèi)容,認為拋物線與直線有唯一的一個交點(相切),就能滿足題目中的“有唯一的解”的說法,學(xué)生通過觀察和分析找到了解題思路.教學(xué)中,教師讓學(xué)生動手繪制圖形并進行觀察和比較,體會利用數(shù)形結(jié)合思想解題收獲成功的快樂,培養(yǎng)其應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法進行解題分析的意識.

4.4 利用數(shù)形結(jié)合思想解決幾何問題

數(shù)形結(jié)合對于學(xué)生分析數(shù)學(xué)問題有著十分重要的作用.處于形象思維階段的初中學(xué)生,他們需要借助直觀的手段來理解相對抽象的數(shù)學(xué)知識,而數(shù)形結(jié)合思想就為學(xué)生直觀理解數(shù)學(xué)知識提供了方法和手段.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用十分廣泛,教師在解題示范中也可以對數(shù)形結(jié)合思想進行滲透,不僅讓學(xué)生了解數(shù)形結(jié)合思想,還要會應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想找到解題思路,利用其解決代數(shù)問題和幾何問題.初中幾何知識對學(xué)生來說難度較大,在教學(xué)中教師要注重應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,將題目當(dāng)中的文字?jǐn)⑹鲇糜行蔚木€段以及相關(guān)圖形來展現(xiàn),對題目中的文字信息和數(shù)字信息進行必要的轉(zhuǎn)換,使相對復(fù)雜的題目變得簡單、直觀.如學(xué)習(xí)幾何證明題相關(guān)內(nèi)容時,一些幾何題只是給出文字信息,如證明“等腰三角形的高、中線、角平分線在同一條直線上”.鑒于題目當(dāng)中都是語言敘述性的信息,教師可以引導(dǎo)學(xué)生將題目中的信息轉(zhuǎn)換為圖形信息,如果學(xué)生不會依托圖形對文字信息進行分析,就難以搞清信息的實際意義,甚至不能分清數(shù)據(jù)條件之間的關(guān)系.通過數(shù)形結(jié)合思想進行分析,可以理清學(xué)生的思路,從相對復(fù)雜的語言信息當(dāng)中獲取圖形信息,將題目變得簡單而直觀,學(xué)生通過對圖形進行分析,就很容易取得正確的答案.所以教師在引導(dǎo)學(xué)生解決幾何問題時,要注重利用數(shù)形結(jié)合思想對相關(guān)信息進行轉(zhuǎn)換,對于其中相對冗長的敘述性信息進行圖形化處理,這樣學(xué)生就可以更直觀地理解題目,了解題目中所給的條件的作用,從而解決問題[2].

數(shù)形結(jié)合思想可以打開學(xué)生的解題思路,學(xué)生學(xué)會轉(zhuǎn)換題目信息,將抽象的知識變得可視化、直觀化,從而降低學(xué)生學(xué)習(xí)及解題的難度,提高其解題能力和效率.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)實踐中,教師要注重引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,并進一步拓展應(yīng)用范圍,讓學(xué)生在解題實踐中體會數(shù)形結(jié)合思想的重要作用,促使學(xué)生更深入地理解數(shù)形結(jié)合思想,把其作為分析數(shù)學(xué)題目的常用方法,在解題中靈活運用,提高解題能力.