非均勻采樣系統(tǒng)的無模型自適應準滑?？刂?/h1>
2023-02-13 03:45:54葉金鑫謝麗蓉王宏偉
電光與控制 2023年1期
葉金鑫， 謝麗蓉， 王宏偉
(1.新疆大學，烏魯木齊 830000; 2.大連理工大學,遼寧 大連 116000)
0 引言
隨著現(xiàn)代工業(yè)的飛速發(fā)展，簡單的系統(tǒng)已不能滿足日常的工作需要，因此系統(tǒng)也變得越來越復雜。然而，受不同環(huán)境條件的限制，越來越多的系統(tǒng)采用了不同的工作頻率，所以就有了多率采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)，簡稱多率系統(tǒng)，該系統(tǒng)擁有許多優(yōu)點，例如，在增加控制系統(tǒng)復雜性的同時也提高了控制性能[1-3]。
許多學者在輸入非均勻刷新和輸出周期采樣系統(tǒng)方面進行了系統(tǒng)辨識[4-7]和控制的研究。例如在控制方面，文獻[8]利用通信序列的概念和推廣技術(shù)，設計了基于線性矩陣不等式的多輸入多輸出網(wǎng)絡系統(tǒng)的輸出反饋控制率，實驗表明，輸出反饋控制速度快，控制效果好；文獻[9]通過將刷新時間間隔作為一個延遲變量，將各個延遲變量的大小的動態(tài)變化視為子系統(tǒng)之間的切換來設計切換控制速率，從而實現(xiàn)控制效果；文獻[10]考慮到一種訪問介質(zhì)因素的影響，采用開關(guān)調(diào)度矩陣使網(wǎng)絡通信轉(zhuǎn)換成控制系統(tǒng)，利用多個子系統(tǒng)設計反饋控制器，取得良好的控制效果；文獻[11]基于網(wǎng)絡隨機系統(tǒng)的耗散控制問題，通過建立隨機環(huán)境下的積分不等式(Wirtinger不等式的對應項)，得到閉環(huán)系統(tǒng)均方穩(wěn)定和耗散的判據(jù)，然后利用該準則，根據(jù)線性矩陣不等式的解設計合適的事件觸發(fā)控制器;文獻[12]基于切換原理，利用平均停留時間條件，設計輸出反饋控制方法來控制輸出反饋;文獻[13]針對受有界未知擾動約束的非均勻采樣系統(tǒng)，提出一種魯棒模型預測控制設計方法，采用基于離線狀態(tài)觀測器的準最小-最大魯棒模型預測控制技術(shù)設計輸出反饋控制器。雖然在非均系統(tǒng)控制方面取得很多成果，但大多數(shù)都集中于線性系統(tǒng)。
近年來，對于非均勻采樣的非線性系統(tǒng)辨識已經(jīng)獲得了許多研究成果，但是控制非均勻采樣的非線性系統(tǒng)方法卻并不多，常見的大部分系統(tǒng)都還是非線性的。目前，對于非線性系統(tǒng)的自適應控制已有很多研究成果，包括自適應魯棒控制[14]、自適應整體滑?？刂芠15]、滑模預測控制[16]、魯棒自適應容錯控制[17]和自適應模糊規(guī)劃最優(yōu)控制[18-19]、模型參考自適應控制，但是這些方法基本上需要知道系統(tǒng)的確切模型。但是，大多數(shù)工業(yè)具有大時滯、強耦合的系統(tǒng)，并且很難獲得準確的數(shù)學模型，設計的控制器通常無法令人滿意。神經(jīng)網(wǎng)絡被稱為萬能逼近器，自適應神經(jīng)網(wǎng)絡和自適應模糊控制不需要精確的數(shù)學模型來設計控制器，該控制器也屬于無模型自適應控制。目前，大多數(shù)系統(tǒng)具備非線性、大時滯強耦合特性，且存在建模困難、難以設計高精度的控制器等問題。值得慶幸的是，文獻[20-22]提出了一種無模型自適應控制，這是一種通過線性化設計的控制器，它在離散非線性系統(tǒng)的等效數(shù)據(jù)點上使用了一種新的動態(tài)方法，該方法設計簡單，易于實現(xiàn)，不需要知道系統(tǒng)的確切模型，只需要知道系統(tǒng)的輸入和輸出數(shù)據(jù)即可。此控制方法應用廣泛，如化工、機械、航空、導航和電氣等[23-28]。針對非均勻采樣非線性系統(tǒng)，文獻[29]提出了一種利用支持向量回歸建模，設計了預測控制算法；基于當前工作點之處的等價線性化數(shù)據(jù)模型，在投影算法計算下，文獻[30]利用輸入輸出數(shù)據(jù)的偽雅可比矩陣在線估計，設計出了相應的無模型自適應控制器。鑒于上述分析，常規(guī)的非均勻采樣非線性離散系統(tǒng)的無模型自適應控制未考慮存在外界擾動情況，針對這一問題，本文提出了一種無模型自適應準滑?？刂扑惴?。
1 問題描述
1.1 非均勻采樣非線性模型
非均勻采樣非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖見圖1。
圖1 非均勻采樣非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of a nonlinear system with non-uniform sampling
其中，Hτ為非均勻采樣系統(tǒng)零階保持器，刷新間隔為{τ1,τ2,…,τp}，非均勻采樣信號u*(kT+ti)(t0=0,T=ti=ti-1+τi=τ1+τ2+…+τi,i=1,2,…,p)經(jīng)過Hτ刷新生成連續(xù)控制輸入信號u*(t)，u*(t)經(jīng)過非線性連續(xù)系統(tǒng)Sp生成輸出信號y(t)，y(t)經(jīng)過采樣器ST以周期T進行采樣，采樣出離散輸出信號y(kT)，T=τ1+τ2+…+τi,i=1,2,…,p(T也稱幀周期或者框架周期)。
設圖1中Sp的狀態(tài)空間方程為
(1)
式中:y(t)∈R1×1,為輸出信號;u*(t)∈Rp,為輸入信號;x(t)∈Rn,為狀態(tài)向量;Γ(·)，h(·)為未知的非線性函數(shù)。式(1)中u*(t)滿足如下關(guān)系
(2)
(3)
采用提升技術(shù)，構(gòu)造提升變量
(4)
此時，可將系統(tǒng)式(3)轉(zhuǎn)換成如下離散系統(tǒng)，即
(5)
1.2 線性模型與非線性模型的關(guān)系
在連續(xù)過程的線性狀態(tài)空間模型為
(6)
式中，Αc∈Rn×n，Bc∈Rn×p，C∈R1×n，均為矩陣。
由1.1節(jié)可知，采樣數(shù)據(jù)分別為u*(kT+ti)，i=1,2,…,p-1和y(kT)，并且在一個幀周期T內(nèi)完成離散化系統(tǒng)式(6)，即
(7)
利用堆棧向量，將式(6)～(7)整理可得如下離散狀態(tài)空間模型
(8)
(9)
令I(lǐng)n是n階單位矩陣，系統(tǒng)式(8)可等價為
(10)
也可表示為一般形式
(11)
式中，
i=1,2,…,n。
參考文獻[30]，利用線性與非線性的關(guān)系，結(jié)合本文非線性系統(tǒng)式(5)與線性系統(tǒng)式(8)得到
(12)
式中:l=1,2,…,Z，Z為常數(shù)；φ(kT)=[y(kT-T),…,y(kT-nT),u*(kT-T),…,u*(kT-nT),u*(kT+t1-T),u*(kT+t1-nT),…,u*(kT+tp-1-T),…,u*(kT+tp-1-nT)]T。
模型式(12)中非線性函數(shù)分別是由fl[φ(kT)]在第l個非線性加權(quán)函數(shù)和gl[φ(kT)]在第l個工作點處的局部線性模型構(gòu)成。因此,模型式(12)進一步表示為
y(kT)=f[φ(kT)]。
(13)
2 無模型自適應控制
2.1 無模型控制器的設計
模型式(13)是由非均勻輸入刷新和周期采樣利用提升向量推導出多輸入單輸出(MISO)系統(tǒng)，因此它又可以表示為
y(kT+T)=f(y(kT),…,y(kT-nyT),
u(kT),…,u(kT-nuT))ny=nu=n-1
(14)
(15)
假設1[20-22]非線性系統(tǒng)函數(shù)式(14)關(guān)于系統(tǒng)控制輸入信號u(kT)的偏導數(shù)是連續(xù)的。
假設2[20-22]非線性系統(tǒng)函數(shù)式(14)滿足廣義Lipschitz條件，即對于任意時刻k1≠k2，k1≥0,k2≥0和u(k1T)≠u(k2T)，均有
||
y(k1T+T)-y(k2T+T)||
≤b||
u(k1T)-u(k2T)||
(16)
式中，b>0,為常數(shù)。
若非線性系統(tǒng)式(14)滿足假設1和假設2，且對所有時刻k有Δu(kT)=u(kT)-u(kT-T)≠0，則系統(tǒng)式(14)可以表示為如下緊格式動態(tài)線性化(Compact Form Dynamic Linearization,CFDL)的一類泛模型
Δy(kT+T)=ΦT(kT)Δu(kT)
(17)
式中:Δy(kT)=y(kT+T)-y(kT);Φ(kT)=[Φ1(kT) …Φp(kT)]T∈Rp×1，Φ(kT)為偽雅可比矩陣,且滿足||
Φ(kT)||
≤b。
考慮如下性能控制指標函數(shù)
(18)
將式(17)代入指標函數(shù)式(18)，λ>0，為權(quán)重因子。對u(kT)極小化，并令其等于零，即
(19)
整理得到如下投影算法
(20)
式中,ρ為額外加入的步長因子，ρ∈(0,1]，目的是使該算法具有更強的靈活性。
對于一般系統(tǒng)來說，即使是簡單的線性系統(tǒng)，偽雅可比矩陣Φ(kT)也一般是未知、時變的。因此，為實施控制律式(20)，采用如下性能指標在線估計偽雅可比矩陣Φ(kT)的值，即
(21)
(22)
由于偽雅可比矩陣在線估計算法中需要求矩陣逆，如果當系統(tǒng)輸入維數(shù)極大時，矩陣求逆運算是極耗時的。所以對偽雅可比矩陣估計算法進行改進，得到新的估計算法為
(23)
Δu(kT-T)||
結(jié)合式(17)、式(23)，有
(24)
2.2 無模型滑?？刂破鞯脑O計
滑?？刂频姆蔷€性表現(xiàn)為控制的不連續(xù)性，即系統(tǒng)的“結(jié)構(gòu)”不是固定的，可以根據(jù)狀態(tài)自動連續(xù)變化。動態(tài)過程中，系統(tǒng)的狀態(tài)迫使系統(tǒng)遵循預定目標“滑?！甭窂竭\動；離散變結(jié)構(gòu)自適應控制對內(nèi)部參數(shù)的擾動和外部擾動具有很強的適應性和魯棒性。由于自適應控制主要基于系統(tǒng)的精確數(shù)學模型，因此,自適應變結(jié)構(gòu)控制的大多數(shù)離散理論結(jié)果存在對被控系統(tǒng)數(shù)學模型結(jié)構(gòu)的依賴和未建模動態(tài)兩個問題。無模型自適應控制不需要知道系統(tǒng)的確切模型，因此設計無模型滑?？刂?，具體如下所述。
定義滑模平面函數(shù)
s(kT)=cTE(kT)
(25)
e(kT)=yr(kT)-y(kT)
(26)
式中，yr(kT)為輸出向量的期望跟蹤軌跡，假設其為有界序列。
采用離散趨近律
s(kT+T)=(1-q)s(kT)-ωsgn(s(kT))
(27)
式中，設計參數(shù)q,ω滿足ω>0,0等效控制為
s(kT+T)=(1-q)s(kT)-ωsgn(s(kT))=
cTE(kT+T)
(28)
通過式(25)～(28)，得
cTE(kT+T)=e(kT+T)+c0e(kT)=
(1-q)s(kT)-ωsgn(s(kT))
(29)
整理式(29)得
e(kT+T)=(1-q)s(kT)-
ωsgn(s(kT))-c0e(kT)
(30)
由跟蹤誤差的定義可得
yr(kT+T)-y(kT+T)=(1-q)s(kT)-
ωsgn(s(kT))-c0e(kT)
(31)
結(jié)合式(24)、式(31)得
(32)
通過整理式(32)，可得到控制律為
Δu(kT)=(yr(kT+T)-y(kT)-(1-q)s(kT)+
(33)
得出控制律后，代入式(25)，求得穩(wěn)定多項式c0的取值范圍為
(34)
因此可得到無模型自適應準滑?？刂破鳛?/p>
u(kT)=u(kT-T)+Δu(kT)
(35)
由式(23)、式(35)可得控制算法如下所述。
1) 參數(shù)估計算法
(36)
Δu(kT-T)||
2) 控制器算法
(37)
3 性能分析
定理1[20-22]若假設1、假設2存在，被控系統(tǒng)式(24)采用控制器式(33)進行控制，在時變參數(shù)Φ(kT)采用式(23)進行在線估計的情況下，對于所給定參考信號yr(kT+T)有界，那么會存在：1) 跟蹤誤差信號e(kT)有界；2) {y(kT)},{u(kT)}是有界序列。
證明。
2) 跟蹤誤差的有界性證明。
利用李雅普諾夫定義正定函數(shù)如下
(38)
由V(kT)的定義有V(kT)>0成立，且
(39)
最終式子的前3項都小于0，只要選ω足夠小就能保證ΔV(kT+T)<0，且根據(jù)定義及系統(tǒng)各給定的初始值，可知V(0)有界。也就意味著系統(tǒng)在控制律式(33)作用下是穩(wěn)定的，系統(tǒng)跟蹤誤差收斂到零的領(lǐng)域內(nèi)，即{e(kT)}是有界的。
3) 輸出信號的有界性證明。
由跟蹤誤差的定義
e(kT)=yr(kT)-y(kT)
(40)
由于已知期望跟蹤軌跡{yr(kT)}有界，又由上步證明{e(kT)}有界，所以{y(kT)}也是有界的。
4) 控制信號的有界性證明。
由式(36)可知，系統(tǒng)具有一個全局漸近穩(wěn)定的零動態(tài)，因此存在常數(shù)M1,M2,k0T滿足
(41)
已證明{y(kT)}有界，所以由式(41)可知{u(kT)}也是有界的。
4 仿真實例
為了驗證本文所設計無模型自適應滑模控制算法的有效性，考慮非均勻采樣的非線性系統(tǒng)
(42)
期望輸出信號為
(43)
選取權(quán)重因子μ=0.9，步長因子η=0.5。偽雅可比矩陣估計誤差(外界擾動)||
δΦ||
=4和||
δΦ||
=5對輸入非均勻刷新輸出均勻采樣系統(tǒng)進行干擾，利用式(36)～(37)設計的控制器對上述系統(tǒng)進行控制。
圖2所示為輸出跟蹤曲線，圖3所示為控制輸入信號。
圖2 輸出跟蹤曲線Fig.2 Output tracking curve
圖3 控制輸入信號Fig.3 Control input signal
由圖2可以看到，當偽雅可比矩陣估計誤差||δΦ||=4時，閉環(huán)系統(tǒng)反應很快，但超調(diào)量卻很大；當偽雅可比矩陣估計誤差||
δΦ||
=5時，閉環(huán)系統(tǒng)反應慢，超調(diào)量卻不大了。從圖3可以看到，無模型自適應控制與滑模控制相結(jié)合，減少了干擾對系統(tǒng)控制的影響，并有效地提高了控制效果。
將本文所提出的無模型自適應準滑?？刂扑惴ㄅc無模型自適應控制算法[30]進行對比分析。
圖4所示為輸出跟蹤對比曲線，圖5所示為控制輸入對比信號。
圖4 輸出跟蹤對比曲線Fig.4 Output tracking curve comparison
由圖4可以看出,本文所設計的無模型自適應準滑?？刂扑惴ǜ櫺Ч黠@優(yōu)于文獻[30]控制算法，收斂性能好、超調(diào)量低，能更好地貼進參考軌跡曲線，且系統(tǒng)的抖振更低。從圖5的仿真效果來看，非均勻采樣非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)發(fā)生突變或者外部函數(shù)的擾動，無模型自適應準滑?？刂频妮敵鋈阅軌蚝芎玫馗櫰谕敵?。
圖5 控制輸入對比信號Fig.5 Control input signal comparison
圖6所示為誤差對比曲線。
圖6 誤差對比曲線Fig.6 Comparison of error curves
由圖6可以看到，本文控制算法誤差軌跡曲線相比文獻[30]控制算法誤差軌跡曲線波動小，在每個時間點處的誤差也小。
表1所示為本文算法與文獻[30]算法性能比較。
表1 本文算法與文獻[30]算法性能比較
由表1進一步可以看出，本文算法的均方根誤差小，因此所提出的控制算法具有更好的控制跟蹤效果。
5 結(jié)論
針對非均勻采樣非線性系統(tǒng)存在外界擾動造成難以控制的問題，提出了無模型自適應準滑?？刂?。系統(tǒng)動態(tài)線性化過程的偽雅可比矩陣參數(shù)估計誤差被認為是一種干擾，采用滑模控制方法設計了動態(tài)線性化模型的控制器。該算法的特點是結(jié)合滑模控制的魯棒性，減少干擾對系統(tǒng)控制效果的影響，有效提高控制效果，分析了該控制算法的穩(wěn)定性。對于輸入非均勻周期刷新和輸出非均勻周期采樣離散非線性系統(tǒng)，即利用堆棧向量轉(zhuǎn)換成多輸入多輸出型的一類系統(tǒng)，將是下一步工作中需要進行討論和研究的內(nèi)容。
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0 引言
隨著現(xiàn)代工業(yè)的飛速發(fā)展，簡單的系統(tǒng)已不能滿足日常的工作需要，因此系統(tǒng)也變得越來越復雜。然而，受不同環(huán)境條件的限制，越來越多的系統(tǒng)采用了不同的工作頻率，所以就有了多率采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)，簡稱多率系統(tǒng)，該系統(tǒng)擁有許多優(yōu)點，例如，在增加控制系統(tǒng)復雜性的同時也提高了控制性能[1-3]。
許多學者在輸入非均勻刷新和輸出周期采樣系統(tǒng)方面進行了系統(tǒng)辨識[4-7]和控制的研究。例如在控制方面，文獻[8]利用通信序列的概念和推廣技術(shù)，設計了基于線性矩陣不等式的多輸入多輸出網(wǎng)絡系統(tǒng)的輸出反饋控制率，實驗表明，輸出反饋控制速度快，控制效果好；文獻[9]通過將刷新時間間隔作為一個延遲變量，將各個延遲變量的大小的動態(tài)變化視為子系統(tǒng)之間的切換來設計切換控制速率，從而實現(xiàn)控制效果；文獻[10]考慮到一種訪問介質(zhì)因素的影響，采用開關(guān)調(diào)度矩陣使網(wǎng)絡通信轉(zhuǎn)換成控制系統(tǒng)，利用多個子系統(tǒng)設計反饋控制器，取得良好的控制效果；文獻[11]基于網(wǎng)絡隨機系統(tǒng)的耗散控制問題，通過建立隨機環(huán)境下的積分不等式(Wirtinger不等式的對應項)，得到閉環(huán)系統(tǒng)均方穩(wěn)定和耗散的判據(jù)，然后利用該準則，根據(jù)線性矩陣不等式的解設計合適的事件觸發(fā)控制器;文獻[12]基于切換原理，利用平均停留時間條件，設計輸出反饋控制方法來控制輸出反饋;文獻[13]針對受有界未知擾動約束的非均勻采樣系統(tǒng)，提出一種魯棒模型預測控制設計方法，采用基于離線狀態(tài)觀測器的準最小-最大魯棒模型預測控制技術(shù)設計輸出反饋控制器。雖然在非均系統(tǒng)控制方面取得很多成果，但大多數(shù)都集中于線性系統(tǒng)。
近年來，對于非均勻采樣的非線性系統(tǒng)辨識已經(jīng)獲得了許多研究成果，但是控制非均勻采樣的非線性系統(tǒng)方法卻并不多，常見的大部分系統(tǒng)都還是非線性的。目前，對于非線性系統(tǒng)的自適應控制已有很多研究成果，包括自適應魯棒控制[14]、自適應整體滑?？刂芠15]、滑模預測控制[16]、魯棒自適應容錯控制[17]和自適應模糊規(guī)劃最優(yōu)控制[18-19]、模型參考自適應控制，但是這些方法基本上需要知道系統(tǒng)的確切模型。但是，大多數(shù)工業(yè)具有大時滯、強耦合的系統(tǒng)，并且很難獲得準確的數(shù)學模型，設計的控制器通常無法令人滿意。神經(jīng)網(wǎng)絡被稱為萬能逼近器，自適應神經(jīng)網(wǎng)絡和自適應模糊控制不需要精確的數(shù)學模型來設計控制器，該控制器也屬于無模型自適應控制。目前，大多數(shù)系統(tǒng)具備非線性、大時滯強耦合特性，且存在建模困難、難以設計高精度的控制器等問題。值得慶幸的是，文獻[20-22]提出了一種無模型自適應控制，這是一種通過線性化設計的控制器，它在離散非線性系統(tǒng)的等效數(shù)據(jù)點上使用了一種新的動態(tài)方法，該方法設計簡單，易于實現(xiàn)，不需要知道系統(tǒng)的確切模型，只需要知道系統(tǒng)的輸入和輸出數(shù)據(jù)即可。此控制方法應用廣泛，如化工、機械、航空、導航和電氣等[23-28]。針對非均勻采樣非線性系統(tǒng)，文獻[29]提出了一種利用支持向量回歸建模，設計了預測控制算法；基于當前工作點之處的等價線性化數(shù)據(jù)模型，在投影算法計算下，文獻[30]利用輸入輸出數(shù)據(jù)的偽雅可比矩陣在線估計，設計出了相應的無模型自適應控制器。鑒于上述分析，常規(guī)的非均勻采樣非線性離散系統(tǒng)的無模型自適應控制未考慮存在外界擾動情況，針對這一問題，本文提出了一種無模型自適應準滑?？刂扑惴?。
1 問題描述
1.1 非均勻采樣非線性模型
非均勻采樣非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖見圖1。
圖1 非均勻采樣非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of a nonlinear system with non-uniform sampling
其中，Hτ為非均勻采樣系統(tǒng)零階保持器，刷新間隔為{τ1,τ2,…,τp}，非均勻采樣信號u*(kT+ti)(t0=0,T=ti=ti-1+τi=τ1+τ2+…+τi,i=1,2,…,p)經(jīng)過Hτ刷新生成連續(xù)控制輸入信號u*(t)，u*(t)經(jīng)過非線性連續(xù)系統(tǒng)Sp生成輸出信號y(t)，y(t)經(jīng)過采樣器ST以周期T進行采樣，采樣出離散輸出信號y(kT)，T=τ1+τ2+…+τi,i=1,2,…,p(T也稱幀周期或者框架周期)。
設圖1中Sp的狀態(tài)空間方程為
(1)
式中:y(t)∈R1×1,為輸出信號;u*(t)∈Rp,為輸入信號;x(t)∈Rn,為狀態(tài)向量;Γ(·)，h(·)為未知的非線性函數(shù)。式(1)中u*(t)滿足如下關(guān)系
(2)
(3)
采用提升技術(shù)，構(gòu)造提升變量
(4)
此時，可將系統(tǒng)式(3)轉(zhuǎn)換成如下離散系統(tǒng)，即
(5)
1.2 線性模型與非線性模型的關(guān)系
在連續(xù)過程的線性狀態(tài)空間模型為
(6)
式中，Αc∈Rn×n，Bc∈Rn×p，C∈R1×n，均為矩陣。
由1.1節(jié)可知，采樣數(shù)據(jù)分別為u*(kT+ti)，i=1,2,…,p-1和y(kT)，并且在一個幀周期T內(nèi)完成離散化系統(tǒng)式(6)，即
(7)
利用堆棧向量，將式(6)～(7)整理可得如下離散狀態(tài)空間模型
(8)
(9)
令I(lǐng)n是n階單位矩陣，系統(tǒng)式(8)可等價為
(10)
也可表示為一般形式
(11)
式中，
i=1,2,…,n。
參考文獻[30]，利用線性與非線性的關(guān)系，結(jié)合本文非線性系統(tǒng)式(5)與線性系統(tǒng)式(8)得到
(12)
式中:l=1,2,…,Z，Z為常數(shù)；φ(kT)=[y(kT-T),…,y(kT-nT),u*(kT-T),…,u*(kT-nT),u*(kT+t1-T),u*(kT+t1-nT),…,u*(kT+tp-1-T),…,u*(kT+tp-1-nT)]T。
模型式(12)中非線性函數(shù)分別是由fl[φ(kT)]在第l個非線性加權(quán)函數(shù)和gl[φ(kT)]在第l個工作點處的局部線性模型構(gòu)成。因此,模型式(12)進一步表示為
y(kT)=f[φ(kT)]。
(13)
2 無模型自適應控制
2.1 無模型控制器的設計
模型式(13)是由非均勻輸入刷新和周期采樣利用提升向量推導出多輸入單輸出(MISO)系統(tǒng)，因此它又可以表示為
y(kT+T)=f(y(kT),…,y(kT-nyT),
u(kT),…,u(kT-nuT))ny=nu=n-1
(14)
(15)
假設1[20-22]非線性系統(tǒng)函數(shù)式(14)關(guān)于系統(tǒng)控制輸入信號u(kT)的偏導數(shù)是連續(xù)的。
假設2[20-22]非線性系統(tǒng)函數(shù)式(14)滿足廣義Lipschitz條件，即對于任意時刻k1≠k2，k1≥0,k2≥0和u(k1T)≠u(k2T)，均有
||
y(k1T+T)-y(k2T+T)||
≤b||
u(k1T)-u(k2T)||
(16)
式中，b>0,為常數(shù)。
若非線性系統(tǒng)式(14)滿足假設1和假設2，且對所有時刻k有Δu(kT)=u(kT)-u(kT-T)≠0，則系統(tǒng)式(14)可以表示為如下緊格式動態(tài)線性化(Compact Form Dynamic Linearization,CFDL)的一類泛模型
Δy(kT+T)=ΦT(kT)Δu(kT)
(17)
式中:Δy(kT)=y(kT+T)-y(kT);Φ(kT)=[Φ1(kT) …Φp(kT)]T∈Rp×1，Φ(kT)為偽雅可比矩陣,且滿足||
Φ(kT)||
≤b。
考慮如下性能控制指標函數(shù)
(18)
將式(17)代入指標函數(shù)式(18)，λ>0，為權(quán)重因子。對u(kT)極小化，并令其等于零，即
(19)
整理得到如下投影算法
(20)
式中,ρ為額外加入的步長因子，ρ∈(0,1]，目的是使該算法具有更強的靈活性。
對于一般系統(tǒng)來說，即使是簡單的線性系統(tǒng)，偽雅可比矩陣Φ(kT)也一般是未知、時變的。因此，為實施控制律式(20)，采用如下性能指標在線估計偽雅可比矩陣Φ(kT)的值，即
(21)
(22)
由于偽雅可比矩陣在線估計算法中需要求矩陣逆，如果當系統(tǒng)輸入維數(shù)極大時，矩陣求逆運算是極耗時的。所以對偽雅可比矩陣估計算法進行改進，得到新的估計算法為
(23)
Δu(kT-T)||
結(jié)合式(17)、式(23)，有
(24)
2.2 無模型滑?？刂破鞯脑O計
滑?？刂频姆蔷€性表現(xiàn)為控制的不連續(xù)性，即系統(tǒng)的“結(jié)構(gòu)”不是固定的，可以根據(jù)狀態(tài)自動連續(xù)變化。動態(tài)過程中，系統(tǒng)的狀態(tài)迫使系統(tǒng)遵循預定目標“滑?！甭窂竭\動；離散變結(jié)構(gòu)自適應控制對內(nèi)部參數(shù)的擾動和外部擾動具有很強的適應性和魯棒性。由于自適應控制主要基于系統(tǒng)的精確數(shù)學模型，因此,自適應變結(jié)構(gòu)控制的大多數(shù)離散理論結(jié)果存在對被控系統(tǒng)數(shù)學模型結(jié)構(gòu)的依賴和未建模動態(tài)兩個問題。無模型自適應控制不需要知道系統(tǒng)的確切模型，因此設計無模型滑?？刂?，具體如下所述。
定義滑模平面函數(shù)
s(kT)=cTE(kT)
(25)
e(kT)=yr(kT)-y(kT)
(26)
式中，yr(kT)為輸出向量的期望跟蹤軌跡，假設其為有界序列。
采用離散趨近律
s(kT+T)=(1-q)s(kT)-ωsgn(s(kT))
(27)
式中，設計參數(shù)q,ω滿足ω>0,0 等效控制為 s(kT+T)=(1-q)s(kT)-ωsgn(s(kT))= (28) 通過式(25)～(28)，得 cTE(kT+T)=e(kT+T)+c0e(kT)= (29) 整理式(29)得 e(kT+T)=(1-q)s(kT)- (30) 由跟蹤誤差的定義可得 yr(kT+T)-y(kT+T)=(1-q)s(kT)- (31) 結(jié)合式(24)、式(31)得 (32) 通過整理式(32)，可得到控制律為 Δu(kT)=(yr(kT+T)-y(kT)-(1-q)s(kT)+ (33) 得出控制律后，代入式(25)，求得穩(wěn)定多項式c0的取值范圍為 (34) 因此可得到無模型自適應準滑?？刂破鳛?/p> u(kT)=u(kT-T)+Δu(kT) (35) 由式(23)、式(35)可得控制算法如下所述。 1) 參數(shù)估計算法 (36) Δu(kT-T)|| 2) 控制器算法 (37) 定理1[20-22]若假設1、假設2存在，被控系統(tǒng)式(24)采用控制器式(33)進行控制，在時變參數(shù)Φ(kT)采用式(23)進行在線估計的情況下，對于所給定參考信號yr(kT+T)有界，那么會存在：1) 跟蹤誤差信號e(kT)有界；2) {y(kT)},{u(kT)}是有界序列。 證明。 2) 跟蹤誤差的有界性證明。 利用李雅普諾夫定義正定函數(shù)如下 (38) 由V(kT)的定義有V(kT)>0成立，且 (39) 最終式子的前3項都小于0，只要選ω足夠小就能保證ΔV(kT+T)<0，且根據(jù)定義及系統(tǒng)各給定的初始值，可知V(0)有界。也就意味著系統(tǒng)在控制律式(33)作用下是穩(wěn)定的，系統(tǒng)跟蹤誤差收斂到零的領(lǐng)域內(nèi)，即{e(kT)}是有界的。 3) 輸出信號的有界性證明。 由跟蹤誤差的定義 e(kT)=yr(kT)-y(kT) (40) 由于已知期望跟蹤軌跡{yr(kT)}有界，又由上步證明{e(kT)}有界，所以{y(kT)}也是有界的。 4) 控制信號的有界性證明。 由式(36)可知，系統(tǒng)具有一個全局漸近穩(wěn)定的零動態(tài)，因此存在常數(shù)M1,M2,k0T滿足 (41) 已證明{y(kT)}有界，所以由式(41)可知{u(kT)}也是有界的。 為了驗證本文所設計無模型自適應滑模控制算法的有效性，考慮非均勻采樣的非線性系統(tǒng) (42) 期望輸出信號為 (43) 選取權(quán)重因子μ=0.9，步長因子η=0.5。偽雅可比矩陣估計誤差(外界擾動)|| δΦ|| =4和|| δΦ|| =5對輸入非均勻刷新輸出均勻采樣系統(tǒng)進行干擾，利用式(36)～(37)設計的控制器對上述系統(tǒng)進行控制。 圖2所示為輸出跟蹤曲線，圖3所示為控制輸入信號。 圖2 輸出跟蹤曲線Fig.2 Output tracking curve 圖3 控制輸入信號Fig.3 Control input signal 由圖2可以看到，當偽雅可比矩陣估計誤差||δΦ||=4時，閉環(huán)系統(tǒng)反應很快，但超調(diào)量卻很大；當偽雅可比矩陣估計誤差|| δΦ|| =5時，閉環(huán)系統(tǒng)反應慢，超調(diào)量卻不大了。從圖3可以看到，無模型自適應控制與滑模控制相結(jié)合，減少了干擾對系統(tǒng)控制的影響，并有效地提高了控制效果。 將本文所提出的無模型自適應準滑?？刂扑惴ㄅc無模型自適應控制算法[30]進行對比分析。 圖4所示為輸出跟蹤對比曲線，圖5所示為控制輸入對比信號。 圖4 輸出跟蹤對比曲線Fig.4 Output tracking curve comparison 由圖4可以看出,本文所設計的無模型自適應準滑?？刂扑惴ǜ櫺Ч黠@優(yōu)于文獻[30]控制算法，收斂性能好、超調(diào)量低，能更好地貼進參考軌跡曲線，且系統(tǒng)的抖振更低。從圖5的仿真效果來看，非均勻采樣非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)發(fā)生突變或者外部函數(shù)的擾動，無模型自適應準滑?？刂频妮敵鋈阅軌蚝芎玫馗櫰谕敵?。 圖5 控制輸入對比信號Fig.5 Control input signal comparison 圖6所示為誤差對比曲線。 圖6 誤差對比曲線Fig.6 Comparison of error curves 由圖6可以看到，本文控制算法誤差軌跡曲線相比文獻[30]控制算法誤差軌跡曲線波動小，在每個時間點處的誤差也小。 表1所示為本文算法與文獻[30]算法性能比較。 表1 本文算法與文獻[30]算法性能比較 由表1進一步可以看出，本文算法的均方根誤差小，因此所提出的控制算法具有更好的控制跟蹤效果。 針對非均勻采樣非線性系統(tǒng)存在外界擾動造成難以控制的問題，提出了無模型自適應準滑?？刂?。系統(tǒng)動態(tài)線性化過程的偽雅可比矩陣參數(shù)估計誤差被認為是一種干擾，采用滑模控制方法設計了動態(tài)線性化模型的控制器。該算法的特點是結(jié)合滑模控制的魯棒性，減少干擾對系統(tǒng)控制效果的影響，有效提高控制效果，分析了該控制算法的穩(wěn)定性。對于輸入非均勻周期刷新和輸出非均勻周期采樣離散非線性系統(tǒng)，即利用堆棧向量轉(zhuǎn)換成多輸入多輸出型的一類系統(tǒng)，將是下一步工作中需要進行討論和研究的內(nèi)容。
cTE(kT+T)
(1-q)s(kT)-ωsgn(s(kT))
ωsgn(s(kT))-c0e(kT)
ωsgn(s(kT))-c0e(kT)3 性能分析
4 仿真實例
5 結(jié)論
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