王 琳， 張慶杰， 陳宏偉

(空軍航空大學(xué)，長(zhǎng)春 130000)

0 引言

傳統(tǒng)的多無人機(jī)編隊(duì)控制方法存在著通信條件苛刻、數(shù)學(xué)模型復(fù)雜、容易因單機(jī)失控導(dǎo)致整體無法完成任務(wù)等缺點(diǎn)。多無人機(jī)技術(shù)的進(jìn)步和一致性理論的出現(xiàn)，為多無人機(jī)編隊(duì)控制問題[1-4]提供了新的解決思路。文獻(xiàn)[5]較早運(yùn)用一致性理論解決多無人機(jī)編隊(duì)控制問題,并且有效彌補(bǔ)了傳統(tǒng)控制方法的不足；文獻(xiàn)[6-7]研究了低階積分特性的多智能體系統(tǒng)模型，其控制方法應(yīng)用于編隊(duì)跟蹤控制問題，取得了較好的控制效果，但模型條件十分嚴(yán)苛；為了解決有向拓?fù)錀l件下的編隊(duì)控制問題，文獻(xiàn)[8-9]研究了二階積分特性模型，文獻(xiàn)[8]的控制協(xié)議采用了領(lǐng)導(dǎo)者跟隨者的結(jié)構(gòu)，且要滿足領(lǐng)導(dǎo)者必須作為根節(jié)點(diǎn)的條件，文獻(xiàn)[9]的控制協(xié)議采用了完全分布式的結(jié)構(gòu)，控制輸入中不含有自身反饋控制輸入；文獻(xiàn)[10-11]研究了高階積分特性模型，運(yùn)用一致性方法解決了編隊(duì)控制問題，其中，文獻(xiàn)[10]研究的是編隊(duì)形成問題，而對(duì)編隊(duì)中心是否跟蹤特定軌跡的問題未進(jìn)行深入研究；針對(duì)無向拓?fù)錀l件，文獻(xiàn)[12]將一致性方法運(yùn)用于多無人機(jī)的編隊(duì)控制，但拓?fù)錀l件過于苛刻；文獻(xiàn)[13]利用分布式控制結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)變編隊(duì)跟蹤協(xié)議，給出了群系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)時(shí)變編隊(duì)跟蹤的可行性條件的證明，雖考慮了編隊(duì)中心跟蹤軌跡的問題，但跟蹤軌跡的約束性強(qiáng)，其動(dòng)態(tài)特性表達(dá)式要滿足特定條件，不具有普遍性。綜上所述，有向拓?fù)錀l件下，對(duì)多無人機(jī)系統(tǒng)編隊(duì)跟蹤問題的研究，具有一定的參考價(jià)值和意義。

本文主要研究了一種有向拓?fù)錀l件下的編隊(duì)控制方法。本文主要針對(duì)多無人機(jī)系統(tǒng)的編隊(duì)跟蹤問題，建立了數(shù)學(xué)描述，利用一致性方法設(shè)計(jì)跟蹤控制協(xié)議框架；通過變量代換，將跟蹤控制問題轉(zhuǎn)化為閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，并利用李雅普諾夫方法，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；通過求解線性矩陣不等式，設(shè)計(jì)控制增益矩陣。

1 相關(guān)引理

引理1[14]有向圖含有向生成樹，則0是拉普拉斯矩陣L的單個(gè)特征值，且L1=0，其他非0特征值均具有正實(shí)部。

引理2[15]如果矩陣W∈RN×N，每一特征根均有正的實(shí)部，則存在正定矩陣Q>0，使WTQ+QW>0。

2 問題描述

2.1 編隊(duì)跟蹤問題

考慮N架無人機(jī)構(gòu)成的群系統(tǒng)，其中，無人機(jī)被視為質(zhì)點(diǎn)，滿足如下動(dòng)態(tài)特性

(1)

式中：xi(t)表示第i架無人機(jī)的位置；vi(t)表示第i架無人機(jī)的速度；ui(t)表示第i架無人機(jī)的控制輸入。

式(1)用狀態(tài)空間描述為

(2)

ξi(t)=[xix(t),vix(t),xiy(t),viy(t),xiz(t),viz(t)]T

(3)

其中,下標(biāo)x，y，z表示x，y，z軸方向。

假設(shè)1 通信拓?fù)鋱DG包含有向生成樹。

考慮

hi(t)=[hixx(t),hivx(t),hixy(t)hivy(t),hixz(t),hivz(t)]T

(4)

r(t)=[rixx(t),rivx(t),rixy(t),rivy(t),rixz(t),rivz(t)]T

(5)

定義1在控制輸入ui(t)下，多無人機(jī)系統(tǒng)式(2)的主體能夠滿足

(6)

式中,r(t)為給定的軌跡，則稱多無人機(jī)系統(tǒng)能夠形成時(shí)變編隊(duì)h(t)，同時(shí)可以跟蹤軌跡r(t)。

2.2 控制協(xié)議框架

基于一致性理論，考慮如下編隊(duì)跟蹤控制協(xié)議

ui(t)=ui1(t)+ui2(t)+ui3(t)i=1,2,…，N

(7)

式中：ui1(t)為自身反饋控制輸入；ui2(t)為輔助函數(shù)輸入；ui3(t)為鄰居反饋控制輸入。其具體表達(dá)式為

(8)

式中：Ni為拓?fù)鋱DG第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的鄰居集合；K1和K2均為待設(shè)計(jì)的增益矩陣；wi j為節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j的連接權(quán)重；Δwi j(t)為拓?fù)涞牟淮_定性對(duì)應(yīng)的連接權(quán)重；fi(t)為輔助函數(shù)。

3 協(xié)議設(shè)計(jì)

將式(7)代入式(2)，并令

(9)

(10)

(11)

得到群系統(tǒng)的閉環(huán)方程為

(12)

式中：IN表示N維單位矩陣；L為通信拓?fù)鋱DG的拉普拉斯矩陣；ΔL表示通信拓?fù)涞牟淮_定形式ΔL=l′sintL，為了保證wi j+Δwi j(t)>0，l′的取值應(yīng)在(-1,1)之間。令

(13)

(14)

則式(12)可以轉(zhuǎn)換為

(15)

由式(15)可知，當(dāng)軌跡r(t)滿足

(16)

且閉環(huán)系統(tǒng)

(17)

是漸近穩(wěn)定的，則多無人機(jī)系統(tǒng)式(2)能夠形成時(shí)變編隊(duì)h(t)，同時(shí)可以跟蹤軌跡r(t)。

定理1在假設(shè)1成立的條件下，通過選取K1將A+BK1配置在復(fù)平面的左半平面，設(shè)計(jì)增益矩陣K2=BTP，如果存在參數(shù)δ>0和可行的正定解P滿足關(guān)系式

STP+PS+δPBBTP≤0

(18)

式中，S=A+BK1，則多無人機(jī)系統(tǒng)式(2)在編隊(duì)跟蹤控制協(xié)議式(7)下能夠?qū)崿F(xiàn)時(shí)變編隊(duì)并跟蹤軌跡。

證明 考慮分段連續(xù)的Lyapunov函數(shù)

(19)

式中：Q為合適維數(shù)的正定陣；V是連續(xù)的。對(duì)式(19)求導(dǎo)并將式(17)和K2=BTP均代入式(19)可得

(20)

由引理2，存在合適維數(shù)矩陣Q，使得

(21)

式中，I表示單位矩陣。

由式(21)，式(20)可轉(zhuǎn)換為

(22)

式中，S=A+BK1。由

STP+PS+δPBBTP≤0

(23)

通過分析上述編隊(duì)跟蹤控制問題，設(shè)計(jì)控制器算法如下。

對(duì)于多無人機(jī)系統(tǒng)式(1)，編隊(duì)控制協(xié)議式(7)中K1，K2及輔助函數(shù)f(t)可以按照如下步驟計(jì)算得到：

1) 選取軌跡r(t)和時(shí)變編隊(duì)h(t)，由式(16)可以求解輔助函數(shù)f(t)；

2) 選取K1使得A+BK1配置在復(fù)平面的左半平面，設(shè)計(jì)增益矩陣K2=BTP，其中，P是可行的正定解，且滿足關(guān)系式STP+PS+δPBBTP≤0，其中，S=A+BK1。

4 仿真驗(yàn)證

仿真條件設(shè)置8架無人機(jī)組成的群系統(tǒng)，圖1為各無人機(jī)之間的通信拓?fù)鋱D。

圖1 無人機(jī)之間的通信拓?fù)鋱D

設(shè)置各無人機(jī)初始狀態(tài)分別為ξ1(0)=[-1,0,-3,0,-2,0]T，ξ2(0)=[-3,0,3,0,-1,0]T,ξ3(0)=[2,0,0,0,-3,0]T，ξ4(0)=[1,0,2,0,3,0]T,ξ5(0)=[5,0,-4,0,4,0]T，ξ6(0)=[0,0,-1,0,7,0]T,ξ7(0)=[-2,0,-5,0,2,0]T，ξ8(0)=[3 0,4,0,5,0]T。

圖2給出了8架無人機(jī)在仿真時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡。圖3是8架無人機(jī)的編隊(duì)跟蹤軌跡在3個(gè)平面上的投影，其中，方框表示無人機(jī)的起點(diǎn)，五角星表示無人機(jī)的終點(diǎn)。圖4給出了8架無人機(jī)分別在1 s，10 s，50 s和70 s時(shí)的狀態(tài)演化過程和編隊(duì)構(gòu)型。在初始階段，8架無人機(jī)的構(gòu)型為不規(guī)則圖形，隨著時(shí)間的推移，8架無人機(jī)形成了時(shí)變編隊(duì)并可以保持對(duì)軌跡的跟蹤，當(dāng)軌跡發(fā)生變化時(shí)，編隊(duì)的構(gòu)型并沒有受到影響。

圖2 無人機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖3 無人機(jī)的軌跡側(cè)視圖Fig.3 Lateral view of the trajectories of the UAVs

圖4 不同時(shí)刻無人機(jī)狀態(tài)演化過程

Fig.4 State evolution process of the UAVs at different moments

圖5(a)～5(c)分別給出了無人機(jī)的編隊(duì)跟蹤位置誤差在3個(gè)不同方向上的差值曲線。

圖5 3個(gè)不同方向上的編隊(duì)跟蹤位置誤差

從圖5中不難看出，不同方向上，編隊(duì)跟蹤位置誤差都可以趨于零，說明各無人機(jī)的3個(gè)不同方向上的位置狀態(tài)與編隊(duì)和軌跡相應(yīng)位置狀態(tài)的差值趨于零，這也說明多無人機(jī)系統(tǒng)形成了指定的時(shí)變編隊(duì)，并可以跟蹤預(yù)先設(shè)定的軌跡。編隊(duì)跟蹤位置誤差在30 s時(shí)會(huì)出現(xiàn)小的波動(dòng)，是由于軌跡r(t)在30 s時(shí)發(fā)生改變，但隨著時(shí)間的推移，z方向上的編隊(duì)跟蹤位置誤差又會(huì)趨于零。

5 結(jié)束語

運(yùn)用一致性方法，給出了控制增益矩陣的設(shè)計(jì)方法，解決了有向拓?fù)錀l件下的多無人機(jī)系統(tǒng)編隊(duì)跟蹤問題，結(jié)論為：1) 通過在控制協(xié)議中引入輔助函數(shù)，將多無人機(jī)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為自治系統(tǒng)，接著利用李雅普諾夫方法分析自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性；2) 通過求解線性矩陣不等式，構(gòu)造設(shè)計(jì)增益矩陣，形式簡(jiǎn)單，且得到了較好的控制效果。