浙江省杭州市余杭區(qū)閑林中學(xué) 楊淑萍 程龍軍

數(shù)學(xué)單元作業(yè)的主要功能在于鞏固知識(shí)、診斷教學(xué)、學(xué)科育人.審視當(dāng)下的單元作業(yè)，往往是只呼應(yīng)一些低層次機(jī)械訓(xùn)練的作業(yè)目標(biāo)，過度關(guān)注知識(shí)和技能的鞏固，缺少對(duì)應(yīng)于高階思維和應(yīng)用性的作業(yè)設(shè)計(jì).這就需要我們?cè)陉P(guān)注課程目標(biāo)的同時(shí)，發(fā)揮數(shù)學(xué)作業(yè)的應(yīng)有功能，適當(dāng)增加創(chuàng)新性作業(yè)設(shè)計(jì)，助力課程目標(biāo)的整體實(shí)現(xiàn).為此，本文中以浙教版七年級(jí)上冊(cè)“實(shí)數(shù)”單元作業(yè)設(shè)計(jì)為例進(jìn)行說明.

1 作業(yè)目標(biāo)

本章共分四個(gè)小節(jié)，主要內(nèi)容包括數(shù)的開方、平方根、立方根、實(shí)數(shù)及其運(yùn)算.其中，平方根與立方根屬于核心概念.從操作意義上看，根號(hào)作為一個(gè)過程可以代表運(yùn)算符號(hào)；從結(jié)構(gòu)意義上看，它作為一個(gè)對(duì)象又可以代表運(yùn)算的結(jié)果.與加減乘除運(yùn)算相比，其概念抽象難懂，在處理具體問題時(shí)易混淆根號(hào)的過程性和結(jié)構(gòu)性.基于此，在參考《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的基礎(chǔ)上，作業(yè)目標(biāo)可以適當(dāng)增加抽象概念理解的相關(guān)內(nèi)容.具體作業(yè)目標(biāo)如下：

(1)加深對(duì)平方根、算術(shù)平方根、立方根、無理數(shù)、實(shí)數(shù)等概念的理解，知道開平方與平方、開立方與立方互為逆運(yùn)算，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；

(2)會(huì)準(zhǔn)確表示和計(jì)算一個(gè)數(shù)的平方根和立方根，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的實(shí)數(shù)四則運(yùn)算，會(huì)估算一個(gè)無理數(shù)的范圍，會(huì)求實(shí)數(shù)的相反數(shù)與絕對(duì)值；

(3)通過解決實(shí)際問題發(fā)展數(shù)感和符號(hào)意識(shí)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合和分類討論思想.

2 設(shè)計(jì)思路

為適應(yīng)不同學(xué)生的學(xué)力水平，滿足個(gè)性化的需求，作業(yè)設(shè)置分為回顧、強(qiáng)化、提升和應(yīng)用四個(gè)層次.回顧環(huán)節(jié)幫助學(xué)生梳理知識(shí)點(diǎn)，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)；強(qiáng)化環(huán)節(jié)針對(duì)開平方和開立方運(yùn)算進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練，為后續(xù)學(xué)習(xí)二次根式的內(nèi)容奠定基礎(chǔ)；提升環(huán)節(jié)則綜合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，考查學(xué)生分析和解決問題的能力；應(yīng)用環(huán)節(jié)結(jié)合生活中的實(shí)際問題，使學(xué)生感受學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)的必要性和應(yīng)用價(jià)值，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)造性思維.

3 初次設(shè)計(jì)及反饋

3.1 回顧

(1)下列說法錯(cuò)誤的是( ).

A.無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)

B.算術(shù)平方根等于本身的數(shù)是0和1

C.正數(shù)，0，負(fù)數(shù)都有立方根

D.因?yàn)?的平方是9，所以9的平方根是3

(2)填寫表1：(不能開方的數(shù)寫“無”，開不盡方的數(shù)保留根號(hào).)

表1

(3)把下列各數(shù)填在相應(yīng)的橫線上：

有理數(shù)：

.

無理數(shù)：

.

(4)將下列各數(shù)近似地表示在數(shù)軸上，并用“<”表示.

設(shè)計(jì)意圖：第(1)(2)兩題引導(dǎo)學(xué)生回顧平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念以及性質(zhì)，題中既包括了正數(shù)、負(fù)數(shù)和0，也包括了分?jǐn)?shù)，目的是使學(xué)生對(duì)概念有全面的理解，同時(shí)也考查簡(jiǎn)單的開方計(jì)算.第(3)題考查了實(shí)數(shù)的概念與分類，重點(diǎn)讓學(xué)生認(rèn)清與π相關(guān)的數(shù)、開方開不盡的數(shù)、有規(guī)律但不循環(huán)的數(shù)這三類無理數(shù).第(4)題考查了實(shí)數(shù)的大小比較和開立方運(yùn)算，了解實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，感受數(shù)形結(jié)合思想.

3.2 強(qiáng)化

設(shè)計(jì)意圖：開方運(yùn)算可為后續(xù)學(xué)習(xí)二次根式奠定重要基礎(chǔ).第①②小題強(qiáng)化考查平方根、算術(shù)平方根、立方根的計(jì)算；第③小題則考查學(xué)生對(duì)開方運(yùn)算與乘方運(yùn)算互逆關(guān)系的深刻理解；第④小題是較復(fù)雜的混合運(yùn)算，需要運(yùn)用乘法分配律以及計(jì)算器求無理數(shù)的近似值.

3.3 提升

圖1

(7)如圖1，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，則陰影正方形的面積是，邊長(zhǎng)是.

設(shè)計(jì)意圖：第(6)題難度增大，綜合了絕對(duì)值和算術(shù)平方根的概念、實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算以及分類討論等多個(gè)知識(shí)點(diǎn).第(7)題結(jié)合實(shí)際問題考查了面積法和開平方運(yùn)算，強(qiáng)化了符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化，引領(lǐng)學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合，直觀感受無理數(shù)的大小和客觀存在，克服理解數(shù)在擴(kuò)展過程中的抽象性困難.第(8)題是新定義問題，涉及的知識(shí)點(diǎn)是夾逼法估算無理數(shù)和負(fù)數(shù)的大小比較.

3.4 應(yīng)用

(9)小實(shí)同學(xué)手中有一塊長(zhǎng)方形紙板和一塊正方形紙板，其中長(zhǎng)方形紙板的長(zhǎng)為3 dm，寬為2 dm，且兩塊紙板的面積相等.

①求正方形紙板的邊長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào))；

(10)小實(shí)手上有三張卡片，分別印有1，-125,196，請(qǐng)你從中抽出兩張卡片，并以卡片中的數(shù)設(shè)計(jì)一個(gè)算式，要求算式中至少包括開方運(yùn)算，且滿足下列要求.

①結(jié)果為有理數(shù)：

.

②結(jié)果為無理數(shù)：

.

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)的兩個(gè)問題基于開放性、探究性和趣味性的原則進(jìn)行設(shè)計(jì).第(9)題需要運(yùn)用無理數(shù)處理實(shí)際問題，考查學(xué)生動(dòng)手畫圖能力和對(duì)無理數(shù)的估算能力，培養(yǎng)數(shù)感和以形助數(shù)的意識(shí).第(10)題兼具開放題和趣味性，借助“抽卡片”游戲考查學(xué)生對(duì)開方運(yùn)算的理解.

4 思考及優(yōu)化

4.1 初次作業(yè)設(shè)計(jì)的思考

本次作業(yè)經(jīng)課后統(tǒng)計(jì)，50%的學(xué)生在25分鐘內(nèi)完成，82%的學(xué)生在30分鐘內(nèi)完成.從反饋分析來看，此次作業(yè)量雖然符合作業(yè)要求，但部分試題難易不均、功能重疊，編排順序也不夠合理，因此進(jìn)行如下思考與改進(jìn).

首先，回顧知識(shí)，厘清結(jié)構(gòu).設(shè)計(jì)作業(yè)時(shí)，需要注重單元知識(shí)間的相互聯(lián)系，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化處理，幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).只有從單元整體上考慮作業(yè)設(shè)計(jì)、分析及評(píng)價(jià)，強(qiáng)調(diào)關(guān)聯(lián)性，才能真正體現(xiàn)“整體架構(gòu)”.縱觀上述設(shè)計(jì)，缺少了一個(gè)梳理知識(shí)的結(jié)構(gòu)化問題.

其次，基本概念，學(xué)深悟透.平方根和立方根的概念既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，從反饋的問題來看，學(xué)生對(duì)根號(hào)的認(rèn)識(shí)不夠清晰，不理解根號(hào)既表示開方運(yùn)算也表示運(yùn)算結(jié)果，以及在何種情況下表示運(yùn)算而又在何種情況下表示結(jié)果.因此，對(duì)原第(1)題進(jìn)行替換以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)根號(hào)的理解.

再次，分層設(shè)計(jì)，優(yōu)化細(xì)節(jié).分層設(shè)計(jì)和循序漸進(jìn)是作業(yè)設(shè)計(jì)的重要原則.第(6)題的知識(shí)點(diǎn)綜合性強(qiáng)且錯(cuò)誤率高，故將其與第(7)題調(diào)整順序；第(10)題與第(9)題功能重疊，且思維含量不高，予以刪除.

最后，降低難度，突出重點(diǎn).強(qiáng)化訓(xùn)練是掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的有效方法，但需要做到少而精，一味脫離對(duì)概念的理解而單純搞題海戰(zhàn)術(shù)，容易催生學(xué)生對(duì)作業(yè)倦怠，影響學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.第(5)題中的③④小題運(yùn)算難度較大，故進(jìn)行替換以鞏固實(shí)數(shù)運(yùn)算的順序和符號(hào)問題；第(8)題需要區(qū)分負(fù)數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分，還涉及負(fù)數(shù)的大小比較，對(duì)學(xué)生的理解和綜合能力要求較高，也超出了課標(biāo)要求，予以刪除.

4.2初次作業(yè)設(shè)計(jì)的優(yōu)化

4.2.1 回顧

(1)如圖2，完善以下知識(shí)結(jié)構(gòu)圖：

(2)下列選項(xiàng)正確的是( ).

(3)填表(如前表1)：(不能開方的數(shù)寫“無”，開不盡方的數(shù)保留根號(hào).)

(4)把下列各數(shù)填在相應(yīng)的橫線上：

有理數(shù)：

.

無理數(shù)：

.

(5)將下列各數(shù)近似地表示在數(shù)軸上，并用“<”表示.

4.2.2提升

(7)如圖1，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，則陰影正方形的面積是，邊長(zhǎng)是.

4.2.3 應(yīng)用

(9)小實(shí)同學(xué)手中有一塊長(zhǎng)方形紙板和一塊正方形紙板，其中長(zhǎng)方形紙板的長(zhǎng)為3 dm，寬為2 dm，且兩塊紙板的面積相等.

①求正方形紙板的邊長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào))；

5 幾點(diǎn)建議

(1)問題設(shè)計(jì)的指向性

為了保證教學(xué)評(píng)的一致性,問題的設(shè)計(jì)需要與作業(yè)目標(biāo)一致，教師需要細(xì)致分析相關(guān)知識(shí)點(diǎn)再進(jìn)行精準(zhǔn)設(shè)計(jì)，確立好作業(yè)內(nèi)容后，依據(jù)目標(biāo)逐條分析二者的對(duì)應(yīng)情況，也可以做一些數(shù)據(jù)的分析和統(tǒng)計(jì)，進(jìn)而對(duì)作業(yè)設(shè)計(jì)的內(nèi)容乃至作業(yè)目標(biāo)本身進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整.問題的設(shè)計(jì)還需要與課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的“四基”相聯(lián)系，既要指向基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，也要指向基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).此外，還要重視作業(yè)與課堂教學(xué)內(nèi)容的緊密結(jié)合，既要面面俱到，又要杜絕知識(shí)點(diǎn)的簡(jiǎn)單重復(fù)，力求指向?qū)W習(xí)重點(diǎn)，充分發(fā)揮作業(yè)鞏固知識(shí)和診斷的教學(xué)功能.

(2)問題序列的層次性

作業(yè)設(shè)計(jì)需要考慮不同學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)需求，既要鞏固基礎(chǔ)，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)的樂趣，也要提升和應(yīng)用，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)有更深層次的思考.本單元作業(yè)設(shè)計(jì)了回顧、強(qiáng)化、提升和應(yīng)用四個(gè)層次，難度由淺入深，尊重了學(xué)生的個(gè)體差異.回顧部分指向基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，要求所有學(xué)生都要掌握，這也是課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求；提升部分強(qiáng)調(diào)知識(shí)的綜合運(yùn)用，要求中等生和學(xué)優(yōu)生會(huì)做；應(yīng)用部分對(duì)學(xué)生的理解和應(yīng)用能力要求較高，學(xué)生可根據(jù)自身實(shí)際能力選做.

(3)問題設(shè)計(jì)的創(chuàng)新性

王月芬博士指出，作業(yè)類型的多樣化有助于提髙學(xué)生的作業(yè)興趣，減輕作業(yè)壓力，同時(shí)對(duì)提高學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jī)也存在較明顯的相關(guān)性.因此，數(shù)學(xué)作業(yè)類型和作業(yè)功能需要?jiǎng)?chuàng)新，由傳統(tǒng)的只重視雙基訓(xùn)練向重視綜合能力的培養(yǎng)轉(zhuǎn)變，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)開放題、變式題、探究題以及綜合實(shí)踐題的育人功能.通過開放題培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性，拓展思維空間；通過變式題引導(dǎo)學(xué)生遷移運(yùn)用，完善知識(shí)體系；通過探究題培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，感受數(shù)學(xué)之美；通過實(shí)踐題體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系和多樣的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生積極思考和主動(dòng)探索的精神.