閆云梅　沈艷春　牛佳

【摘? ?要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》確立了核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)。以“數(shù)感”為例，依據(jù)課標(biāo)要求和教材中承載數(shù)感培養(yǎng)的典型材料，分析了體現(xiàn)數(shù)感進(jìn)階的重要維度，提出了數(shù)感的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)。依據(jù)數(shù)感表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)，整體設(shè)計(jì)“萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”單元核心任務(wù)序列和評(píng)分量規(guī)，實(shí)現(xiàn)評(píng)—學(xué)—教一體化，使核心素養(yǎng)“落地”。

【關(guān)鍵詞】數(shù)感；表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)；單元核心任務(wù)；評(píng)分量規(guī)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《2022年版課標(biāo)》）確立了核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)。無(wú)論是內(nèi)容要求、學(xué)業(yè)要求，還是學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，都在提出的知識(shí)目標(biāo)后面加上一句“形成初步的符號(hào)意識(shí)、數(shù)感、推理意識(shí)、模型意識(shí)……”這樣的表述表明，核心素養(yǎng)不是孤立存在的，而是以學(xué)習(xí)內(nèi)容為載體，不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容承載著不同素養(yǎng)的培養(yǎng)任務(wù)。

那么，是不是在達(dá)成知識(shí)目標(biāo)的同時(shí)，核心素養(yǎng)就自然而然地培養(yǎng)起來(lái)了？學(xué)生能夠完成哪些任務(wù)或解決哪些問(wèn)題就表明他們已經(jīng)具備了相應(yīng)的核心素養(yǎng)？如何評(píng)價(jià)學(xué)生核心素養(yǎng)達(dá)到什么層級(jí)？設(shè)計(jì)哪些活動(dòng)能更好地發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)？要回答這些問(wèn)題，首先需要明確核心素養(yǎng)的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)。由于核心素養(yǎng)的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)并沒(méi)有在《2022年版課標(biāo)》中明確寫出來(lái)，筆者以數(shù)感為例，嘗試進(jìn)行數(shù)感表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)的研制，并依據(jù)表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”單元核心任務(wù)與評(píng)分量規(guī)進(jìn)行設(shè)計(jì)，力求通過(guò)評(píng)—學(xué)—教一體化的單元學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)，使核心素養(yǎng)落實(shí)在每個(gè)單元的學(xué)習(xí)中。

一、對(duì)照課標(biāo)與教材，分析進(jìn)階維度，研制數(shù)感表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)

研制數(shù)感的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)，首先要明確數(shù)感的內(nèi)涵及具體行為表現(xiàn)?！?022年版課標(biāo)》指出：“數(shù)感主要是指對(duì)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果的直觀感悟?！边@里將數(shù)感定義為直觀感悟。如果僅僅是直觀感悟，數(shù)感是否可培養(yǎng)、可評(píng)價(jià)？于是，《2022年版課標(biāo)》從以下三個(gè)方面，給出了數(shù)感的具體行為表現(xiàn)。

（1）能夠在真實(shí)的情境中理解數(shù)的意義，能用數(shù)表示物體的個(gè)數(shù)或事物的順序。

（2）能在簡(jiǎn)單的真實(shí)情境中進(jìn)行合理估算，作出合理判斷。

（3）能初步體會(huì)并表達(dá)事物蘊(yùn)含的簡(jiǎn)單數(shù)量規(guī)律。

盡管這樣的表述比抽象的數(shù)感定義更為具體，但還有兩方面問(wèn)題需要討論：一是“理解數(shù)的意義”是數(shù)感嗎？與其相應(yīng)的數(shù)感的行為表現(xiàn)是什么？二是《2022年版課標(biāo)》在不同的學(xué)段，對(duì)學(xué)生數(shù)感行為表現(xiàn)的要求有什么不同？

“理解數(shù)的意義”包括理解數(shù)的數(shù)學(xué)意義，即“數(shù)的本質(zhì)結(jié)構(gòu)就是計(jì)數(shù)單位與其個(gè)數(shù)乘積的累加”［1］；還包括理解數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義，即對(duì)數(shù)量多少的直觀感悟，也就是數(shù)感。因此，用“能夠在真實(shí)情境中感知并估計(jì)（或直接說(shuō)出）數(shù)量的多少及進(jìn)行數(shù)量的比較”作為數(shù)感的行為表現(xiàn)會(huì)更清楚、更具體。

《2022年版課標(biāo)》在學(xué)段目標(biāo)、內(nèi)容要求和學(xué)業(yè)要求中，對(duì)不同學(xué)段學(xué)生數(shù)感的發(fā)展提出了不同的要求。第一學(xué)段的要求是“形成初步的數(shù)感”，第二學(xué)段的要求是“形成數(shù)感”，在第三學(xué)段的要求是“進(jìn)一步發(fā)展數(shù)感”。“初步的數(shù)感”和“數(shù)感”究竟有哪些具體行為表現(xiàn)？這就需要系統(tǒng)梳理教材（可以是多版本教材），找出教材中能夠承載數(shù)感培養(yǎng)的具體材料（例題、習(xí)題等），根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，按照不同的行為表現(xiàn)、不同的層級(jí)找出一些典型材料，通過(guò)自上而下和自下而上相結(jié)合的方式，結(jié)合實(shí)例來(lái)分析數(shù)感進(jìn)階的重要維度和表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)。因?yàn)榈?、中年?jí)是形成數(shù)感的關(guān)鍵期，所以這里只研究整數(shù)學(xué)習(xí)中數(shù)感的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)。

下面是人教版教材中幾個(gè)承載數(shù)感培養(yǎng)的典型素材，如圖1～圖5。

圖1中的點(diǎn)子個(gè)數(shù)看一下就可以直接說(shuō)出來(lái)，圖2就要數(shù)一數(shù)、估一估，圖5則更復(fù)雜。顯而易見，體現(xiàn)數(shù)感進(jìn)階的一個(gè)重要維度就是研究對(duì)象的數(shù)域，數(shù)的大小不同，使用的計(jì)數(shù)單位也不同。20以內(nèi)數(shù)的學(xué)習(xí)，大多是以“一”為單位，感知更容易；而1億有多大，需要以萬(wàn)、十萬(wàn)、百萬(wàn)等為單位進(jìn)行估數(shù)和估算。因此，用計(jì)數(shù)單位作為數(shù)感表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)的重要維度，可劃分為以下四個(gè)不同的層級(jí)：“一”是一級(jí)，“十”為二級(jí)，“百、千”為三級(jí)，“萬(wàn)、十萬(wàn)、百萬(wàn)、千萬(wàn)、億、十億等”為四級(jí)。

數(shù)感的具體行為表現(xiàn)中兩次提到“真實(shí)的情境”，因?yàn)椤皩W(xué)生核心素養(yǎng)的表現(xiàn)程度需要通過(guò)在真實(shí)情境中運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)并能完成某種任務(wù)來(lái)衡量”［2］?；粲昙选⒐?、楊新榮認(rèn)為：“數(shù)感是由數(shù)、運(yùn)算、估計(jì)和情境所組成的一個(gè)四面體形狀的結(jié)構(gòu)模型，數(shù)感的大小由四面體體積的大小所決定。”［3］四面體數(shù)感結(jié)構(gòu)模型（如圖6）形象地表達(dá)了情境對(duì)發(fā)展數(shù)感的重要作用。受此啟發(fā)，筆者對(duì)這個(gè)四面體結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行改造（如圖7），以便更清楚地表明情境與數(shù)感行為表現(xiàn)的關(guān)系。

蔡金法教授指出，根據(jù)問(wèn)題情境是否包含現(xiàn)實(shí)生活背景，可以將其劃分為現(xiàn)實(shí)情境和數(shù)學(xué)情境，其中現(xiàn)實(shí)情境是指生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，而數(shù)學(xué)情境則豐富地涵蓋了數(shù)學(xué)的表達(dá)式、圖表、模式等方方面面。無(wú)論是數(shù)學(xué)情境，還是現(xiàn)實(shí)情境，只要不超出學(xué)生的理解，都是真實(shí)情境。［4］PISA 2022測(cè)試依然延續(xù)情境的四種類型——個(gè)人情境、職業(yè)情境、社會(huì)情境、科學(xué)情境。［5］按照距離學(xué)生生活的遠(yuǎn)近，可將情境分為四個(gè)層次：首先是最貼近學(xué)生的個(gè)人情境（如圖2），其次是學(xué)生即將面對(duì)的職業(yè)情境（如圖3），然后是學(xué)生日常生活中遇到的社會(huì)情境，最后是距離學(xué)生最遠(yuǎn)的科學(xué)情境（如圖5）。如此看來(lái)，“情境的復(fù)雜度”也是劃定數(shù)感表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)的重要維度。

對(duì)比圖1到圖5這五個(gè)素材，之所以有難、易的感覺(jué)，主要在于問(wèn)題的呈現(xiàn)方式是不同的，有直觀呈現(xiàn)的，有半直觀半抽象的，還有抽象的。同時(shí)，學(xué)生的“認(rèn)知抽象度或思維卷入度”也不同。圖1以直觀圖的形式呈現(xiàn)，學(xué)生通過(guò)觀察就能直接感知有6個(gè)點(diǎn)。圖2則需要通過(guò)觀察、數(shù)數(shù)或簡(jiǎn)單推理得出結(jié)果。圖3還涉及估算策略的選擇、數(shù)量關(guān)系的分析及判斷。圖5需要學(xué)生將抽象的科學(xué)情境轉(zhuǎn)化成熟悉的個(gè)人情境，將一個(gè)大數(shù)通過(guò)單位換算轉(zhuǎn)換成容易感知的數(shù)量。因此，用“思維的卷入度”作為數(shù)感表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)的重要維度，可劃分為以下四個(gè)不同的層級(jí)：“觀察、直觀感知”是一級(jí)，“數(shù)數(shù)、計(jì)算、簡(jiǎn)單應(yīng)用”為二級(jí)，“分析、比較、推理、判斷”為三級(jí)，“抽象、綜合、評(píng)價(jià)”為四級(jí)。

綜上所述，體現(xiàn)數(shù)感的進(jìn)階維度主要有四個(gè)，分別是：計(jì)數(shù)單位、真實(shí)的情境、問(wèn)題呈現(xiàn)方式和思維的卷入度。圍繞這四個(gè)進(jìn)階維度，從整體對(duì)學(xué)生整數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中的數(shù)感表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行劃分，具體如表1。

有了數(shù)感的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)，可以知道第一學(xué)段“初步的數(shù)感”對(duì)應(yīng)的是層級(jí)1到層級(jí)3的行為表現(xiàn)，第二學(xué)段“形成數(shù)感”對(duì)應(yīng)的是層級(jí)4的行為表現(xiàn)。

二、依據(jù)數(shù)感表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)計(jì)素養(yǎng)導(dǎo)向的單元核心任務(wù)序列

單元教學(xué)是實(shí)現(xiàn)學(xué)科核心素養(yǎng)目標(biāo)的必由之路。［6］實(shí)施單元教學(xué)首先要明確單元學(xué)習(xí)的預(yù)期結(jié)果。以人教版教材二年級(jí)下冊(cè)“萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”單元為例，對(duì)教材中承載數(shù)感培養(yǎng)任務(wù)的例題和習(xí)題進(jìn)行梳理，具體情況如表2。

通過(guò)整理發(fā)現(xiàn)，對(duì)照整數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中“數(shù)感”的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生在完成本單元學(xué)習(xí)后，數(shù)感的發(fā)展應(yīng)達(dá)到層級(jí)3。由此，本單元學(xué)習(xí)目標(biāo)制訂如下。

（1）借助直觀模型，認(rèn)識(shí)計(jì)數(shù)單位千、萬(wàn)，對(duì)單位之間的關(guān)系有系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。

（2）能運(yùn)用計(jì)數(shù)單位進(jìn)行數(shù)數(shù)、數(shù)的分解和組成（含算盤）、數(shù)的讀寫、數(shù)的大小比較等。

（3）理解相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)可以直接相加減，能對(duì)整百、整千數(shù)的加減進(jìn)行口算。

（4）在現(xiàn)實(shí)情境中感受大數(shù)的意義，能用“百”或“千”作單位，感知并估計(jì)萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)量，能用“多得多”“有幾個(gè)這么多”等描述數(shù)量間的關(guān)系。

（5）在簡(jiǎn)單的個(gè)人情境中認(rèn)識(shí)近似數(shù)，能用“十”“百”為單位，運(yùn)用加、減法估算解決問(wèn)題，作出合理的判斷。

（6）初步體會(huì)并表達(dá)萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的等差數(shù)列的規(guī)律。

在上述單元學(xué)習(xí)目標(biāo)中，前三條指向的是知識(shí)目標(biāo)，后三條指向的是數(shù)感目標(biāo)，只有這樣才能將素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)落實(shí)在每個(gè)單元的學(xué)習(xí)中。

依據(jù)單元學(xué)習(xí)目標(biāo)，采用逆向設(shè)計(jì)的方式，對(duì)本單元核心任務(wù)序列及數(shù)感培養(yǎng)點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)，具體情況如表3。

另外，在本單元的學(xué)習(xí)中，結(jié)合整百、整千數(shù)加減法的學(xué)習(xí)，以及運(yùn)算能力和推理意識(shí)的培養(yǎng)，同樣可以制定出相應(yīng)的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)，這里不再贅述。

三、依據(jù)核心任務(wù)設(shè)計(jì)評(píng)分量規(guī)，組織與調(diào)控課堂教學(xué)

要保證核心任務(wù)的有效實(shí)施，教師在設(shè)計(jì)任務(wù)時(shí)要做到以下幾點(diǎn)。

（1）基于真實(shí)的情境。

（2）任務(wù)的解決蘊(yùn)含了知識(shí)的學(xué)習(xí)與核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

（3）任務(wù)表述要清晰，具有一定開放度，讓每個(gè)學(xué)生都能完成，只是方法或水平不同。

（4）在任務(wù)中要嵌入評(píng)價(jià)時(shí)的“要求”，使學(xué)生能依據(jù)“要求”進(jìn)行自評(píng)和互評(píng)。

有了好的學(xué)習(xí)任務(wù)，還需要針對(duì)每個(gè)核心任務(wù)設(shè)計(jì)相應(yīng)的評(píng)分量規(guī)，用以判斷學(xué)生在完成任務(wù)時(shí)所達(dá)到的水平，并通過(guò)不同水平作品的展示及交流，組織與調(diào)控課堂教學(xué)。

以任務(wù)7為例，為了降低計(jì)算難度的影響，教師將原教材中的兩個(gè)數(shù)據(jù)“358元”和“218元”調(diào)整為“324元”和“212元”。同時(shí)，為了促進(jìn)學(xué)生數(shù)感的發(fā)展，突出“對(duì)計(jì)數(shù)單位進(jìn)行合理選擇”“作出合理判斷”的行為表現(xiàn)，教師將“用簡(jiǎn)便的方法”“說(shuō)清自己的想法”兩項(xiàng)要求嵌入任務(wù)中，這既是學(xué)生完成任務(wù)時(shí)努力的方向，也是他們自評(píng)與互評(píng)時(shí)的依據(jù)。

通過(guò)對(duì)學(xué)生的調(diào)研發(fā)現(xiàn)，由于學(xué)生第一次遇到用估算解決的問(wèn)題，很多學(xué)生還沒(méi)有估算的意識(shí)和方法。在完成任務(wù)時(shí)，不少學(xué)生都想到用“324+212”，但他們此時(shí)還沒(méi)有正式學(xué)習(xí)三位數(shù)加法，有的學(xué)生不會(huì)計(jì)算或算錯(cuò)，也有的學(xué)生能根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)得出正確的結(jié)果。雖然這兩類學(xué)生的運(yùn)算能力不同，但從數(shù)感的表現(xiàn)看，他們都不能根據(jù)情境對(duì)給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，沒(méi)有估算意識(shí)，因此都屬于水平1的情況。同理，用“320＋210”解決問(wèn)題的都屬于水平2的情況。由此，形成該任務(wù)的評(píng)分量規(guī)，如表4。

有了評(píng)分量規(guī)，教師在教學(xué)中可以及時(shí)對(duì)學(xué)生的作答情況進(jìn)行水平劃分，并收集不同水平的典型作品。在學(xué)生獨(dú)立探究的基礎(chǔ)上，教師組織學(xué)生進(jìn)行交流，并按照從低水平到高水平的順序，逐級(jí)反饋學(xué)生的作品。通過(guò)不同水平作品的展示與交流，學(xué)生“內(nèi)隱”的思維開始“外顯”，對(duì)水平1到水平4的作答情況也有了直觀的認(rèn)識(shí)（如圖8～圖11）。

在此基礎(chǔ)上，組織學(xué)生用“☆”“☆☆”“☆☆☆”“☆☆☆☆”對(duì)不同的作品進(jìn)行評(píng)價(jià)并說(shuō)明理由。學(xué)生可圍繞“能否正確解決問(wèn)題”“方法是否簡(jiǎn)便”和“能否說(shuō)清想法”展開討論和評(píng)價(jià)。在這樣的過(guò)程中，學(xué)生成為評(píng)價(jià)的主體，通過(guò)基于證據(jù)的表現(xiàn)性評(píng)價(jià)，自我監(jiān)控學(xué)習(xí)的過(guò)程和結(jié)果。由于對(duì)高水平作品有了清晰的認(rèn)識(shí)，學(xué)生可以及時(shí)調(diào)整自己的估算方法，學(xué)習(xí)如何作出合理的判斷，從而達(dá)到發(fā)展數(shù)感的目的。

經(jīng)過(guò)對(duì)任務(wù)7的交流、反饋與評(píng)價(jià)，再解決下面的練習(xí)題，學(xué)生的表現(xiàn)有了明顯的變化，如表5。

練習(xí)題：學(xué)校組織一、二年級(jí)學(xué)生去看電影。一年級(jí)有426人，二年級(jí)有311人。影院有700個(gè)座位，你覺(jué)得這些座位夠坐嗎？請(qǐng)你用簡(jiǎn)潔的方式說(shuō)明理由。

通過(guò)兩次數(shù)據(jù)的對(duì)比看出，學(xué)生在完成練習(xí)題時(shí)，達(dá)到水平3和水平4的人數(shù)有了明顯增加。運(yùn)用評(píng)分量規(guī)組織學(xué)生進(jìn)行自評(píng)和互評(píng)，有效提高了學(xué)生自我總結(jié)、反思、改進(jìn)的意識(shí)和能力，達(dá)到了以評(píng)助學(xué)、以評(píng)促教的目的。

總之，依據(jù)核心素養(yǎng)的表現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)，采用評(píng)—學(xué)—教一體化的單元整體學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)，可以將抽象的核心素養(yǎng)與具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容建立關(guān)聯(lián)，讓素養(yǎng)可視化、可操作、可評(píng)價(jià)，真正落實(shí)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)。

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*本文系北京市教育學(xué)會(huì)“十四五”教育科研2022年度課題“小學(xué)數(shù)學(xué)‘評(píng)—學(xué)—教一體化單元整體設(shè)計(jì)與實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：SJS2022-004）的階段成果。