魯友均 宋 迪，2 苗常青

1.電子科技大學(xué)機(jī)械與電氣工程學(xué)院，成都，611731 2.電子科技大學(xué)廣東電子信息工程研究院，東莞，523808 3.哈爾濱工業(yè)大學(xué)特種環(huán)境復(fù)合材料技術(shù)國家級重點實驗室，哈爾濱，150001

0 引言

形狀記憶合金(shape memory alloy，SMA)主要具有兩種特殊的力學(xué)性能：形狀記憶效應(yīng)和超彈性[1]。目前應(yīng)用最為廣泛的形狀記憶合金為近原子比的NiTi形狀記憶合金，利用其形狀記憶特性可設(shè)計出特殊的驅(qū)動器。

近年來，形狀記憶合金的研究熱點主要是：①各種循環(huán)加載工況(拉伸、扭轉(zhuǎn)、非比例多軸等)下的材料力學(xué)性能，以及根據(jù)實驗結(jié)果建立材料的本構(gòu)模型；②材料的工業(yè)應(yīng)用。SMA工業(yè)應(yīng)用的快速發(fā)展得益于本構(gòu)關(guān)系的不斷完善[2]，因此，學(xué)者從微觀、宏觀層面提出了描述SMA熱機(jī)械力學(xué)行為的本構(gòu)模型，其中，微觀方法描述材料微觀結(jié)構(gòu)的演變[3]，宏觀方法則基于現(xiàn)象學(xué)，考慮實驗結(jié)果從而得到相應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系。為更準(zhǔn)確地刻畫奧氏體相與馬氏體相之間的作用機(jī)制，以及相變過程中的熱機(jī)械力學(xué)行為，將熱力學(xué)勢、內(nèi)部狀態(tài)變量和相變硬化函數(shù)(指數(shù)函數(shù)[4]、余弦函數(shù)[5]、多項式和光滑函數(shù)[6])等逐漸引入本構(gòu)關(guān)系。隨后，文獻(xiàn)[7-9]對SMA行為模型進(jìn)行了概述，YU等[10-11]考慮馬氏體相變、馬氏體重取向、相變誘發(fā)塑性、重取向誘發(fā)塑性以及它們的交互作用，建立了宏觀唯象本構(gòu)模型和基于物理機(jī)理的晶體塑性本構(gòu)模型。XU等[12]建立的宏觀多機(jī)制本構(gòu)模型可描述NiTi形狀記憶合金在不同峰值應(yīng)變下的單程形狀記憶效應(yīng)，且模擬結(jié)果較好地描述了單程形狀記憶效應(yīng)的劣化。

SMA本構(gòu)關(guān)系的以上研究提高了對SMA材料性能描述的準(zhǔn)確性，推動了SMA驅(qū)動器的應(yīng)用發(fā)展。LAGOUDAS[6]通過引入三維本構(gòu)模型成功設(shè)計出航空發(fā)動機(jī)外涵噴口降噪智能結(jié)構(gòu)和醫(yī)用SMA血管支架，SAPUTO等[13]對SMA驅(qū)動器的設(shè)計進(jìn)行了詳細(xì)總結(jié)，并對驅(qū)動過程進(jìn)行了數(shù)值模擬。WEIRICH等[14]驗證了SMA驅(qū)動器在航空航天領(lǐng)域應(yīng)用的可能。SMA驅(qū)動器的類別、輔助機(jī)構(gòu)形式、驅(qū)動熱源類型對驅(qū)動性能都有直接影響。航空航天領(lǐng)域中，SMA驅(qū)動器可用于可變形機(jī)翼驅(qū)動裝置、太陽能電池板展開裝置驅(qū)動器、衛(wèi)星折展天線、鎖緊釋放裝置等。上述應(yīng)用依賴形狀記憶合金材料的性能發(fā)揮，因此，找到一種較為便捷且準(zhǔn)確的驅(qū)動響應(yīng)分析方法是近一步推動SMA驅(qū)動器應(yīng)用的關(guān)鍵。

本文首先基于熱傳導(dǎo)方程與驅(qū)動幾何關(guān)系，建立溫控SMA驅(qū)動器的驅(qū)動響應(yīng)模型[15]，通過馬氏體體積分?jǐn)?shù)修正模型中的電阻、彈性模量、剪切模量等參數(shù)，以提高驅(qū)動響應(yīng)模型的準(zhǔn)確性。其次，引入截面平均應(yīng)變，確立了不同截面形狀對驅(qū)動響應(yīng)速度的影響規(guī)律。理論分析了溫控SMA絲狀驅(qū)動器在驅(qū)動過程中的圓心角和彎矩響應(yīng)。搭建了實驗平臺，測試了直徑為1.2 mm、長度為10π mm、初始圓心角為30°的SMA絲在6A電流下的驅(qū)動響應(yīng)情況，并將其與本文建立的溫控SMA驅(qū)動響應(yīng)模型計算結(jié)果進(jìn)行對比分析。

1 溫控SMA驅(qū)動器的建模分析

SMA驅(qū)動器是利用SMA的形狀記憶效應(yīng)在形狀恢復(fù)中產(chǎn)生驅(qū)動力，達(dá)到驅(qū)動效果的結(jié)構(gòu)或單元[16]。形狀記憶效應(yīng)是指材料在外界環(huán)境(一般是溫度)發(fā)生變化時，內(nèi)部發(fā)生的熱彈性馬氏體相變引起的宏觀響應(yīng)，具體表現(xiàn)為SMA材料恢復(fù)到原始狀態(tài)的形狀。形狀記憶效應(yīng)機(jī)制如圖1所示。

圖1 形狀記憶合金的形狀記憶效應(yīng)機(jī)制Fig.1 Shape memory mechanism of SMA

SMA根據(jù)其驅(qū)動和回復(fù)的性能，主要分成單程SMA、雙程SMA、全程SMA，相應(yīng)的驅(qū)動方式和過程如圖2所示[17]。

圖2 SMA驅(qū)動器宏觀驅(qū)動過程[17]Fig.2 SMA drive macro drive process

單程SMA的性能比較穩(wěn)定，工程應(yīng)用廣泛。若要單程SMA驅(qū)動器實現(xiàn)往返動作，則需將單程SMA驅(qū)動器與偏置機(jī)構(gòu)或差動機(jī)構(gòu)配合，利用偏置機(jī)構(gòu)或差動機(jī)構(gòu)的回復(fù)力完成驅(qū)動之后的回復(fù)動作。如圖3a所示，初始狀態(tài)時，將有殘余應(yīng)變的SMA絲一端與偏置彈簧(此時沒有拉伸或壓縮)連接；SMA絲加熱后收縮，驅(qū)動點向上運動，產(chǎn)生的驅(qū)動力使偏置彈簧處于拉伸狀態(tài)；冷卻后，單程SMA絲不會自動回到原始位置，驅(qū)動力消失，而收縮的偏置彈簧可使SMA絲回復(fù)到加熱前的長度，并使驅(qū)動點回到原來位置。通過類似的原理可將偏置彈簧設(shè)計成SMA彈簧，如圖3b所示，驅(qū)動器采用差動結(jié)構(gòu)，加熱2個SMA彈簧使其收縮，實現(xiàn)不同方向的驅(qū)動并使彈簧恢復(fù)到原始位置。如先對彈簧a加熱使其收縮，提供向上的驅(qū)動力；彈簧a停止加熱后，再對彈簧b加熱使其收縮，以使驅(qū)動點回到原來位置，并提供向下的驅(qū)動力。

(a)偏置式 (b)差動式圖3 單程SMA驅(qū)動器典型應(yīng)用Fig.3 Typical application of one-way SMA actuator

SMA驅(qū)動器建模分析前，需要對實際場景進(jìn)行簡化。具體的簡化說明如下：

(1)驅(qū)動器的加熱方式為電流加熱。

(2)假定溫度的變化與驅(qū)動同時進(jìn)行，即驅(qū)動單元溫度達(dá)到開始溫度Ts時逆相變開始發(fā)生，驅(qū)動動作開始；溫度達(dá)到結(jié)束溫度Tf時逆相變結(jié)束。

(3)驅(qū)動單元形狀的變化是連續(xù)的，不會產(chǎn)生突變。

(4)動作溫度不高且輻射面積小，因此熱輻射導(dǎo)致的溫度損耗可以忽略。

(5)驅(qū)動器電流流入端的加熱時間長于流出端的加熱時間，導(dǎo)致流入端的溫度高于流出端的溫度即產(chǎn)生溫度梯度。溫度梯度導(dǎo)致晶粒尺寸存在梯度效應(yīng)，進(jìn)而對材料的力學(xué)性能產(chǎn)生一定的影響[18]，如材料兩端溫度的不同導(dǎo)致彈性模量不一致。溫度梯度的影響區(qū)域雖然比較小，但分析微尺寸SMA驅(qū)動器的驅(qū)動響應(yīng)時不能忽略該影響因素。

(6)驅(qū)動過程中，驅(qū)動器結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)。

有效接入電路部分的SMA絲為驅(qū)動單元，對應(yīng)的熱力學(xué)方程如下：

Qradiation+Qconvention+Qtransfer=Qinput

(1)

Qinput=I2Rt

(2)

Qconvention=hcA(Tw-T0)

(3)

Qtransfer=cmΔT

(4)

(5)

式中，σa、εa分別為表面發(fā)射率和輻射常數(shù)；c、m分別為SMA的比熱容和質(zhì)量；hc、A、Tw、T0分別為對流傳熱系數(shù)、表面積、SMA彈簧的溫度和環(huán)境(此處為空氣)的溫度。

實際驅(qū)動時，熱輻射的占比很小且工作溫度較低，因此，本小節(jié)將熱輻射忽略。再將過程公式等號兩端都對時間t進(jìn)行微分，得到加熱過程的方程：

(6)

式中，ρ為材料密度；V為材料體積。

整理式(6)，求解一元微分方程，得材料溫度T隨參數(shù)變化的響應(yīng)公式：

(7)

式中，C1為求解一元微分方程后的常數(shù)，由初始條件決定。

為便于直觀觀察響應(yīng)，選擇圓心角為響應(yīng)變量，將SMA驅(qū)動器的自由恢復(fù)過程簡化。如圖4所示，驅(qū)動單元在低溫時受到外力發(fā)生變形即C-A-B狀態(tài)；對彎曲段AB加熱，材料發(fā)生馬氏體逆相變，宏觀上表現(xiàn)為材料恢復(fù)到受力變形前的形狀即C-A-B′狀態(tài)。驅(qū)動過程是材料彎曲段AB受熱發(fā)生馬氏體逆相變，恢復(fù)成直線AB′，假定在驅(qū)動過程中AB變化是連續(xù)的，且驅(qū)動過程中的角度關(guān)系為

圖4 SMA絲驅(qū)動過程示意圖Fig.4 Schematic diagram of SMA wire actuating process

β=θ

(8)

驅(qū)動過程中，假定中性軸的長度不發(fā)生變化即AB弧長不變，根據(jù)弧長公式，可以得到

L=R0θ0=Riθi

(9)

式中，R0、θ0分別初始狀態(tài)的曲率半徑與圓心角；Ri、θi分別為驅(qū)動過程中任意位置的曲率半徑和圓心角。

根據(jù)幾何關(guān)系可得曲率的表達(dá)式[19]：

(10)

L1=L(1+ε1)L2=L(1+ε2)

式中，r為截面內(nèi)接圓的半徑；ε1、εp1分別為受拉側(cè)初始狀態(tài)的平均應(yīng)變和平均塑性應(yīng)變；ε2、εp2分別為受壓側(cè)初始狀態(tài)的平均應(yīng)變和平均塑性應(yīng)變。

圓心角θi與應(yīng)變之間的關(guān)系為

(11)

SMA升溫后形狀恢復(fù)的根本原因是溫度誘發(fā)SMA熱彈性馬氏體逆相變(宏觀上表現(xiàn)為形狀恢復(fù))。筆者認(rèn)為存在驅(qū)動響應(yīng)的開始溫度Ts和結(jié)束溫度Tf，則在材料整體的升溫過程中，圓心角響應(yīng)為

(12)

(13)

(14)

材料的最大應(yīng)變發(fā)生在截面的最外側(cè)和最內(nèi)側(cè)，通過截面應(yīng)變原理得到截面產(chǎn)生的最大應(yīng)變

(15)

本文中的SMA驅(qū)動器截面形狀是關(guān)于中性層對稱的正多邊形，因此可將應(yīng)變的分布簡化成對稱分布，且應(yīng)變大小與該點到中性層的距離成正比[20]。將截面受拉側(cè)的應(yīng)變定義為正，受壓側(cè)截面的應(yīng)變定義為負(fù)，故截面任意材料點的應(yīng)變?yōu)?/p>

εi=y/R0

(16)

由此可以得到截面上任意位置處的應(yīng)變，從而計算得到截面上的平均應(yīng)變

(17)

式中，H1表示截面受拉區(qū)域；SH1為受拉側(cè)的面積。

同理可得受壓側(cè)產(chǎn)生的平均應(yīng)變

(18)

式中，H2表示截面受壓區(qū)域；SH2為受壓側(cè)的面積。

在式(12)～式(14)的計算中使用截面平均應(yīng)變代替截面最大應(yīng)變更能體現(xiàn)截面形狀對應(yīng)變分布和驅(qū)動響應(yīng)的影響。

將式(13)、式(14)、式(17)、式(18)代入式(12)即可得到驅(qū)動過程的圓心角。根據(jù)驅(qū)動器曲率與彎矩的關(guān)系[21]，可得

(19)

進(jìn)而得到彎矩

(20)

式中，Ei為驅(qū)動過程中材料的彈性模量；ISMA為SMA驅(qū)動器截面中性軸的慣性矩。

驅(qū)動過程中，彈性模量隨著馬氏體逆相變的發(fā)生而變化，而馬氏體的逆相變發(fā)生程度又與溫度有關(guān)，于是彈性模量可寫成

(21)

式中，EA、EM分別為奧氏體狀態(tài)下和馬氏體狀態(tài)下的彈性模量。

以上為一個彎曲單元響應(yīng)的推導(dǎo)，實際驅(qū)動過程中，驅(qū)動器由多個驅(qū)動單元疊加而成，變形較為復(fù)雜，因此，若要分析復(fù)雜驅(qū)動器的響應(yīng)，可以先將其分為多個彎曲單元，先分別分析驅(qū)動響應(yīng)，再將各單元響應(yīng)進(jìn)行運動學(xué)疊加。

2 截面形狀影響研究及算例分析

研究中的截面形狀關(guān)于中性層對稱，但實際應(yīng)用中的截面形狀多種多樣，本文通過增加內(nèi)接多邊形的邊數(shù)來構(gòu)造不同截面形狀的SMA驅(qū)動器，常見的截面形狀如圖5所示。

圖5 常見規(guī)則截面形狀Fig.5 Common regular cross-sectional shapes

現(xiàn)有的SMA絲自由恢復(fù)響應(yīng)研究中，考慮截面形狀對響應(yīng)情況影響的研究較少。本節(jié)首先通過前文提出的方法對不同截面形狀的平均應(yīng)變進(jìn)行分析計算。計算過程中，為簡化計算的流程，將不同截面形狀的驅(qū)動器質(zhì)量m、電阻Ri、熱流面積A統(tǒng)一表達(dá)為

(22)

(23)

(24)

式中，n、L分別為截面正多邊形的邊數(shù)和SMA絲驅(qū)動器的長度。

為便于后期實驗觀測，SMA驅(qū)動器的初始尺寸設(shè)置相同，即驅(qū)動單元截面外接圓直徑為1.2 mm，長度為10π mm，初始圓心角為30°。截面上產(chǎn)生最大應(yīng)變的位置為截面上離中性層最遠(yuǎn)的點。計算可得不同截面形狀的平均應(yīng)變，如表1所示。

表1 不同截面形狀平均應(yīng)變情況Tab.1 Average strain of different cross-sectional shapes

將電流6A代入溫度響應(yīng)模型可得溫度變化值，將溫度變化值和不同截面形狀的平均應(yīng)變代入圓心角響應(yīng)模型可得SMA驅(qū)動器圓心角的變化，如圖6所示。

圖6 不同截面圓心角響應(yīng)情況Fig.6 Response of central angle of different sections

由表1和圖6可知，隨著邊數(shù)的增加，平均應(yīng)變增加速率逐漸降低，平均應(yīng)變趨于穩(wěn)定，并且驅(qū)動器響應(yīng)過程的差別也逐漸減小，因此，當(dāng)邊數(shù)大于8時，截面的形狀對驅(qū)動過程的響應(yīng)影響不明顯。由圖6可以看出，截面邊數(shù)增加時，響應(yīng)將會變慢，因此，在其他條件滿足的情況下，減少材料截面邊數(shù)有利于提高響應(yīng)速度。

響應(yīng)速度的直接決定因素是驅(qū)動器自身溫度變化的速率，溫度變化速率取決于材料電阻，而驅(qū)動器的電阻取決于截面積、電阻率、驅(qū)動單元長度。本節(jié)中，驅(qū)動單元長度是固定不變的，SMA的電阻率隨馬氏體含量的降低而減小，因此，可以看到隨著驅(qū)動時間的延長，角度變化逐漸變慢。截面形狀是正多邊形且具有相同的外接圓，因此，隨著邊數(shù)的增加，其面積將會收斂，進(jìn)而導(dǎo)致響應(yīng)速度收斂。因此，要提高響應(yīng)速度，可以在滿足功能要求的情況下減小截面邊數(shù)，進(jìn)而增大電阻，達(dá)到提高響應(yīng)速度的目的。值得注意的是，本文的研究工作只涉及一個驅(qū)動單元，若驅(qū)動器由多個單元組成，則將各個驅(qū)動單元的響應(yīng)進(jìn)行運動學(xué)疊加，從而得到整個驅(qū)動器的響應(yīng)。

工程上最常見的截面形狀是圓形和方形?；诒疚牡慕７治龇椒?，將材料參數(shù)代入響應(yīng)方程，對這兩種截面形狀的SMA驅(qū)動器升溫自由恢復(fù)過程的驅(qū)動響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值模擬。初始狀態(tài)下，SMA驅(qū)動器受外載荷作用而變形，彎曲部分截面上的應(yīng)變可簡化成線性分布[18]，如圖7所示。

(a)方形截面在初始外載荷下變形 (b)方形截面應(yīng)變分布

(c)圓形截面在初始外載荷下變形 (d)圓形截面應(yīng)變分布圖7 初始外載荷下截面的變形和應(yīng)變分布Fig.7 Deformation and strain distribution of cross-sections with initial external load

將截面形狀特征代入應(yīng)變表達(dá)式，得到方形截面的平均應(yīng)變

(25)

和圓形截面的平均應(yīng)變

(26)

式中，下標(biāo)f表示方形截面；下標(biāo)y表示圓形截面。

值得注意的是，本算例分析中截面外接圓直徑為1.2 mm，長度為10π mm，初始圓心角為30°，驅(qū)動電流為6 A，將材料參數(shù)代入式(6)，計算得到溫度變化，繪制溫度響應(yīng)曲線，如圖8所示。

圖8 截面的溫度響應(yīng)Fig.8 Temperature response of cross-sections

將上述隨時間變化的溫度響應(yīng)值和材料參數(shù)代入式(12)～式(14)，得到溫升過程中的圓心角響應(yīng)情況，如圖9所示。

圖9 截面的圓心角響應(yīng)Fig.9 Central angle response of cross-sections

將式(25)、式(26)分別代入式(20)，得到截面彎矩的變化，繪制彎矩響應(yīng)曲線，如圖10所示。本文中的材料參數(shù)如表2所示。

圖10 截面的彎矩響應(yīng)Fig.10 Bending moment response of cross-sections

表2 材料參數(shù)Tab.2 Material parameters

3 溫控SMA絲彎曲驅(qū)動性能測試

本文所采用的材料是江陰法爾勝佩爾新材料科技有限公司提供的直徑1.2 mm的黑面態(tài)形狀記憶合金絲。為研究該材料的驅(qū)動響應(yīng)需在常溫下先施加外力、產(chǎn)生預(yù)變形，任初始狀態(tài)和算例分析初始情況一致。

首先截取110 mm的驅(qū)動絲，隨后在中間連接導(dǎo)線，導(dǎo)線有效作用長度是10π mm。驅(qū)動絲通過外力預(yù)處理成半徑60 mm、圓心角30°的圓弧。

夾頭與驅(qū)動絲由銅線連接以減小外載荷對驅(qū)動過程的影響。驅(qū)動過程中，采用攝像機(jī)拍攝SMA絲驅(qū)動過程，部分視頻截圖見圖11。

圖11 不同時刻驅(qū)動響應(yīng)Fig.11 Drive response at different times

驅(qū)動絲中間沒有安裝固定裝置，因此，驅(qū)動過程中，驅(qū)動絲與紙面的摩擦力會對展開過程驅(qū)動絲的位置和形態(tài)產(chǎn)生一定程度的影響，導(dǎo)致兩輔助垂線不具有與初始位置一樣的完全對稱分布，但該影響較小，可以忽略。10 s、12 s、14 s的輔助垂線在圖像窗口外，故通過做輔助線來獲取角度，圖中虛線平行于下方的垂線。

由圖12可以看出，理論值與實驗值的趨勢相同，但引入動態(tài)修正能明顯提高模型的準(zhǔn)確性。實驗響應(yīng)曲線存在滯后，其產(chǎn)生原因有：①與驅(qū)動絲相連接的銅線質(zhì)量對驅(qū)動絲角度的變化有一定程度的阻礙作用；②形狀記憶合金材料的溫度滯后特性。

圖12 驅(qū)動響應(yīng)的實驗結(jié)果與模型計算結(jié)果Fig.12 Test results and model calculation results of actuating response

4 結(jié)論

(1)基于傳熱學(xué)的經(jīng)典能量方程與驅(qū)動幾何關(guān)系，建立了溫控形狀記憶合金驅(qū)動器的驅(qū)動響應(yīng)模型。該模型通過線性化處理溫升過程中材料的馬氏體體積分?jǐn)?shù)來動態(tài)修正形狀記憶合金的電阻、彈性模量等受溫度影響的參數(shù)，并將修正前后的驅(qū)動響應(yīng)模型數(shù)據(jù)與實際角度驅(qū)動實驗的數(shù)據(jù)繪圖進(jìn)行比較。研究發(fā)現(xiàn)，角度完全恢復(fù)時的時間誤差最大；最大時間誤差由未引入動態(tài)修正模型的3.8s降低至引入動態(tài)修正后的1.8 s，提高了模型的精度。

(2)分析了截面形狀對驅(qū)動響應(yīng)的影響。本文采用的截面平均應(yīng)變可以更加準(zhǔn)確地描述整個截面的應(yīng)變。截面邊數(shù)小于8時，通過減小邊數(shù)可以提高響應(yīng)速度；邊數(shù)大于8時，截面形狀對響應(yīng)速度的影響較小。

(3)本文搭建了溫控SMA絲彎曲驅(qū)動性能測試實驗平臺，基于該平臺測試了6A電流驅(qū)動下，直徑1.2 mm、長度10π mm、初始圓心角30°的溫控SMA絲圓心角響應(yīng)，響應(yīng)模型可較為準(zhǔn)確地對驅(qū)動過程進(jìn)行描述。

后續(xù)將繼續(xù)深入研究如下問題：①溫度梯度對微尺寸驅(qū)動器的影響；②采用基于熱力學(xué)的本構(gòu)模型描述馬氏體的體積分?jǐn)?shù)，獲得更加精準(zhǔn)的結(jié)果；③截面形狀與驅(qū)動行為的關(guān)系；④驅(qū)動器有負(fù)載或者負(fù)載不可忽略時，需要引入平衡方程，獲得結(jié)構(gòu)整體的響應(yīng)情況。