齊潘國 劉政奇 趙麗薇 張興元 趙麗娟

遼寧工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，阜新，123000

0 引言

帶有數(shù)字化接口的數(shù)字液壓缸具有結(jié)構(gòu)簡單、抗污染、控制精度高、成本低等優(yōu)點(diǎn)。采用數(shù)字液壓缸驅(qū)動(dòng)采煤機(jī)截割滾筒搖臂，不但能精確控制采煤機(jī)截割滾筒的位置，實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化和智能化采煤[1]，而且能顯著提高采煤機(jī)液壓系統(tǒng)的簡捷性、抗污性及可靠性，進(jìn)而提高采煤過程的安全性和采煤效率[2-5]。

采煤機(jī)搖臂用數(shù)字液壓缸間隙環(huán)節(jié)多、工況惡劣、載荷復(fù)雜，其反饋機(jī)構(gòu)(采用折返結(jié)構(gòu)的三齒輪反饋機(jī)構(gòu))間隙不但會(huì)引起靜態(tài)誤差，還可能造成系統(tǒng)自持振蕩，影響主機(jī)的工作效率及可靠性，因此有必要深入研究反饋機(jī)構(gòu)間隙對(duì)系統(tǒng)的靜態(tài)誤差及閉環(huán)穩(wěn)定性的影響。

劉有力等[6]綜合考慮步進(jìn)電機(jī)旋轉(zhuǎn)、絲杠螺旋反饋和液壓缸上的摩擦力等非線性因素，建立了數(shù)字液壓缸的非線性模型，重點(diǎn)分析了定位精度的影響因素。徐世杰等[7]在考慮輸入的飽和特性和數(shù)字液壓缸的模型非線性基礎(chǔ)之上，設(shè)計(jì)了非線性控制器和抗飽和補(bǔ)償器，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性。陳佳等[8]發(fā)現(xiàn)數(shù)字液壓缸在換向時(shí)容易產(chǎn)生速度抖動(dòng)，并且反向運(yùn)動(dòng)換向平穩(wěn)性優(yōu)于正向運(yùn)動(dòng)換向平穩(wěn)性。

呂凌亙[9]以遲滯間隙模型描述反饋通道間隙，建立了反饋通道含間隙的電液位置伺服系統(tǒng)的模型，研究了反饋通道間隙對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制精度的影響。魏列江等[10]針對(duì)電液位置伺服系統(tǒng)工程實(shí)例，建立了反饋通道含有遲滯間隙特征的電液位置伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)間隙從小到大變化時(shí)，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)調(diào)節(jié)時(shí)間明顯加長，超調(diào)量逐漸增大，出現(xiàn)極限環(huán)振蕩。李娜娜[11]發(fā)現(xiàn)液壓缸活塞桿耳環(huán)與負(fù)載之間的球鉸連接處存在間隙，該間隙會(huì)增大系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差和超調(diào)量，嚴(yán)重時(shí)使控制系統(tǒng)工作失效。

綜上所述，對(duì)間隙問題的研究多限于電液伺服系統(tǒng)，針對(duì)數(shù)字液壓缸的很少，而且采用的是遲滯間隙模型，沒有考慮間隙的剛度和阻尼特性。目前，采煤機(jī)搖臂用數(shù)字液壓缸間隙問題的研究未見文獻(xiàn)報(bào)道。本文通過理論分析、AMESim仿真及實(shí)驗(yàn)來研究采煤機(jī)搖臂用數(shù)字液壓缸間隙問題。先采用描述函數(shù)法從理論上分析反饋機(jī)構(gòu)間隙對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，再采用靜態(tài)分析的方法推導(dǎo)反饋機(jī)構(gòu)間隙引起的靜態(tài)誤差的數(shù)學(xué)表達(dá)式，揭示靜態(tài)誤差的影響因素及規(guī)律，最后通過仿真和試驗(yàn)驗(yàn)證理論分析的正確性。

1 采煤機(jī)搖臂用數(shù)字液壓缸結(jié)構(gòu)原理

如圖1所示，采煤機(jī)搖臂用數(shù)字液壓缸是一種內(nèi)部機(jī)械反饋的液壓伺服控制機(jī)構(gòu)，它由伺服電機(jī)、滑動(dòng)聯(lián)軸器、四邊控制閥、機(jī)械位置反饋機(jī)構(gòu)和液壓缸組成，其中，機(jī)械位置反饋機(jī)構(gòu)包括滾珠絲杠、齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)及閥芯反饋機(jī)構(gòu)。滾珠絲杠的螺母與活塞固定，絲杠與活塞構(gòu)成活塞螺紋副。傳動(dòng)比為1的齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)包含3個(gè)齒輪形成的齒輪傳動(dòng)副，輸入端齒輪與絲杠固連，輸出端齒輪通過反饋螺母與閥芯一端的螺紋連接，形成閥芯螺紋副。閥芯另一端與伺服電機(jī)輸出軸通過滑動(dòng)聯(lián)軸器相連，閥芯相對(duì)電機(jī)軸僅能軸向移動(dòng)，形成閥芯滑動(dòng)副。

圖1 采煤機(jī)搖臂用數(shù)字液壓缸Fig.1 Digital hydraulic cylinder for shearer rocker arm

伺服電機(jī)停止不動(dòng)時(shí)，閥芯處于零位，在零開口四邊滑閥的控制下，液壓缸有桿腔與無桿腔的壓力相等，活塞桿停止不動(dòng)。伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)閥芯順時(shí)針(從電機(jī)軸端看)轉(zhuǎn)動(dòng)某一角度后，在閥芯螺紋副的作用下，閥芯軸向移動(dòng)，閥口打開，液壓缸有桿腔壓力升高、無桿腔壓力降低，活塞及活塞桿回縮。絲杠在活塞螺紋副作用下轉(zhuǎn)動(dòng)，通過齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)帶動(dòng)反饋螺母順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，在閥芯螺紋副的作用下，閥芯反向移動(dòng)，閥口開始減小。閥口完全關(guān)閉時(shí)，活塞及活塞桿停止運(yùn)動(dòng)，活塞及活塞桿的回縮位移與電機(jī)順時(shí)針轉(zhuǎn)角大小成正比。電機(jī)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，液壓缸伸出且伸出位移與電機(jī)轉(zhuǎn)角成正比，因此通過控制電機(jī)的轉(zhuǎn)角可以精確控制液壓缸活塞桿的伸出量或縮回量。

2 數(shù)字液壓缸建模

首先建立反饋機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型、伺服電機(jī)模型、非對(duì)稱閥控制非對(duì)稱缸式液壓動(dòng)力機(jī)構(gòu)模型，然后建立數(shù)字液壓缸模型。

2.1 反饋機(jī)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)模型

反饋機(jī)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)分析如圖2所示，4個(gè)異形空白圖形分別代表閥芯、剛性連接的反饋螺母和輸出端齒輪、剛性連接的輸出入端齒輪和絲杠、活塞。伺服電機(jī)輸出軸與閥芯構(gòu)成閥芯滑動(dòng)副，閥芯與反饋螺母構(gòu)成閥芯螺紋副，輸出端齒輪與輸入端齒輪構(gòu)成齒輪傳動(dòng)副，絲杠和活塞構(gòu)成活塞螺紋副。圖2為4個(gè)間隙沿圓周方向的展開圖，間隙接合面的接觸特性由集中參數(shù)的彈簧阻尼模型表征，箭頭指向?yàn)檎较颉?/p>

圖2 反饋機(jī)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)分析圖Fig.2 Nonlinear dynamics analysis diagram of feedback mechanism

伺服電機(jī)輸出軸通過閥芯滑動(dòng)副帶動(dòng)閥芯按圖2中θv方向旋轉(zhuǎn)，閥芯螺紋副間隙減小，螺紋接合面接觸后產(chǎn)生垂直于接合面的支持力Fnv和平行于接合面的摩擦力Ftv，此時(shí)活塞不動(dòng)，絲杠及齒輪不轉(zhuǎn)動(dòng)；閥芯在Fnv的作用下按圖2中xv方向移動(dòng)，閥口打開，液壓缸兩腔的壓力差升高，活塞向右運(yùn)動(dòng)，活塞內(nèi)螺紋按圖2中xp方向移動(dòng)，活塞內(nèi)螺紋接合面越過間隙，與絲杠外螺紋接合面接觸后，在活塞螺紋副兩接合面的正壓力Fnp的作用下絲杠按圖2中θp方向旋轉(zhuǎn)，齒輪傳動(dòng)副及閥芯螺紋副依次越過間隙，閥芯螺紋副接合面再次接觸后產(chǎn)生與圖示Fnv方向相反的支持力，迫使閥芯以與xv運(yùn)動(dòng)相反的方向移動(dòng)，當(dāng)閥芯再次返回零位時(shí)，活塞停止在新的位置。

由上述分析過程可知，閥芯滑動(dòng)副、閥芯螺紋副、齒輪傳動(dòng)副和活塞螺紋副的間隙影響閉環(huán)控制過程。一方面，伺服電機(jī)輸出軸的轉(zhuǎn)動(dòng)經(jīng)過閥芯滑動(dòng)副和閥芯螺紋副的2個(gè)間隙后才能使閥芯軸向移動(dòng)，打開閥口，從而使活塞桿移動(dòng)，造成系統(tǒng)響應(yīng)的延遲。另一方面，越過活塞螺紋副、齒輪傳動(dòng)副和閥芯螺紋副的3個(gè)間隙后，活塞的運(yùn)動(dòng)才能轉(zhuǎn)化為閥芯的反向移動(dòng)，形成反饋回路，這會(huì)造成反饋的延遲，影響閉環(huán)穩(wěn)定性。閥芯位于閥芯滑動(dòng)副、閥芯螺紋副之間，反饋螺母位于閥芯螺紋副、齒輪傳動(dòng)副之間，絲杠位于齒輪傳動(dòng)副、活塞螺紋副之間，因此反饋機(jī)構(gòu)有可能發(fā)生振蕩，其中，閥芯的軸向振動(dòng)會(huì)引起整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的振動(dòng)。

數(shù)字液壓缸的反饋機(jī)構(gòu)的4個(gè)間隙分別為閥芯滑動(dòng)副間隙、閥芯螺紋副間隙、齒輪傳動(dòng)副間隙和活塞螺紋副間隙。傳動(dòng)系統(tǒng)中應(yīng)用的非線性間隙模型主要有間隙“死區(qū)”模型、間隙“遲滯”模型和間隙“振-沖”模型[11]。間隙“死區(qū)”模型的輸入為相對(duì)位移，輸出為力，根據(jù)接合面剛度和阻尼大小，將相對(duì)位移轉(zhuǎn)換為力，以反映主動(dòng)部分與從動(dòng)部分的力傳遞關(guān)系。主動(dòng)部分在越過間隙過程中，從動(dòng)部分不一定是靜止不動(dòng)的。間隙“遲滯”模型假設(shè)主動(dòng)部分在越過間隙過程中，從動(dòng)部分是靜止不動(dòng)的，不考慮主動(dòng)部分和從動(dòng)部分之間的動(dòng)力學(xué)過程，模型的輸入輸出均為位移，反映系統(tǒng)輸入與輸出的位移關(guān)系。間隙“振-沖”模型包括剛性沖擊和彈性沖擊模型，分析過程很復(fù)雜，多被用于動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的分析[11]。

閥芯螺紋副間隙的主動(dòng)部分是閥芯或輸出端齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，從動(dòng)部分是閥芯的移動(dòng)。閥芯的慣性及阻尼都較小，螺紋副的2個(gè)接合面有可能因碰撞而脫離，即主動(dòng)部分在越過間隙過程中，從動(dòng)部分不一定是靜止不動(dòng)的，因此，間隙非線性模型采用間隙“死區(qū)”模型比較合適。同理，閥芯滑動(dòng)副、齒輪傳動(dòng)副和活塞螺紋副也應(yīng)采用間隙“死區(qū)”模型。

2.1.1閥芯滑動(dòng)副

閥芯滑動(dòng)副相鄰接觸面的相對(duì)位移為

zvg=(θτ-θv)rτ

(1)

式中，θτ為伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)角，rad；θv為閥芯的轉(zhuǎn)角，rad；rτ為伺服電機(jī)軸半徑，m。

垂直于閥芯滑動(dòng)副接觸面的支持力為

(2)

式中，kvg為閥芯滑動(dòng)副兩接觸面接觸剛度；Bvg為閥芯滑動(dòng)副的兩接觸面接觸阻尼；bvg為閥芯滑動(dòng)副間隙。

平行于閥芯滑動(dòng)副接觸面的摩擦力只考慮靜摩擦和庫侖摩擦，則相鄰牙面的摩擦力為

(3)

式中，μvg，k、μvg，s分別為閥芯滑動(dòng)副兩接觸面的動(dòng)摩擦因數(shù)和靜摩擦因數(shù)；Fin為閥芯滑動(dòng)副兩接觸面靜摩擦力。

2.1.2閥芯螺紋副

閥芯螺紋副內(nèi)外螺紋相鄰牙面的垂直距離為

(4)

閥芯螺紋副內(nèi)外螺紋相鄰牙面的相對(duì)位移為

(5)

閥芯螺紋副相鄰螺紋牙面的支持力為

(6)

式中，kvs為閥芯螺紋副相鄰牙面間的接觸剛度；Bvs為閥芯螺紋副相鄰牙面間的接觸阻尼；bvs為閥芯螺紋副間隙(包含反饋螺母軸承的游隙)。

平行于內(nèi)外螺紋相鄰牙面的摩擦問題比較復(fù)雜，因此采用靜態(tài)模型即只考慮靜摩擦和庫侖摩擦，并認(rèn)為靜摩擦因數(shù)與庫侖摩擦因數(shù)相等，則相鄰牙面摩擦力為

(7)

式中，μvs，k、μvs，s分別為閥芯螺紋副兩接觸面的動(dòng)摩擦因數(shù)和靜摩擦因數(shù)；Ftn為閥芯螺紋副靜摩擦力。

采用四邊滑閥控制差動(dòng)液壓缸式的液壓動(dòng)力機(jī)構(gòu)，液壓缸活塞移動(dòng)時(shí)可以認(rèn)為總有一對(duì)閥口開啟，閥芯上作用著與閥芯位置相關(guān)的穩(wěn)態(tài)液動(dòng)力和與閥芯移動(dòng)速度相關(guān)的瞬態(tài)液動(dòng)力。另一對(duì)處于負(fù)開口(正重疊)狀態(tài)的閥口引起的液動(dòng)力可忽略不計(jì)。

穩(wěn)態(tài)液動(dòng)力是一種液體流動(dòng)引起的回中彈性力，它的表達(dá)式為

(8)

式中，W為面積梯度；ps為供油壓力；pL為負(fù)載壓力；rc為閥芯徑向間隙。

若忽略閥芯的配合間隙，則穩(wěn)態(tài)液動(dòng)力簡化為

Fsy=ksyxv

(9)

式中，ksy為引起穩(wěn)態(tài)液動(dòng)力的彈性剛度。

瞬態(tài)液動(dòng)力是一種阻尼力，其大小與閥芯移動(dòng)速度正比，方向取決于正負(fù)阻尼長度差，因此閥芯上的瞬態(tài)液動(dòng)力為

(10)

所以穩(wěn)態(tài)液動(dòng)力及瞬態(tài)液動(dòng)力之和為

Fyd=Fsy+Fdy

(11)

閥芯的2個(gè)臺(tái)肩與閥體之間存在液壓卡緊力，閥芯在閥體內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)要克服摩擦力，摩擦力的大小與液壓卡緊力成正比，方向與閥芯臺(tái)肩的運(yùn)動(dòng)方向相反。因此采用靜態(tài)模型即只考慮靜摩擦力、庫侖摩擦力和黏性摩擦力，則作用在閥芯上的軸向摩擦力為

(12)

式中，F(xiàn)k為液壓卡緊力；Ffn為閥芯移動(dòng)靜摩擦力；μv，k、μv，s分別為閥芯移動(dòng)的動(dòng)摩擦因數(shù)和靜摩擦因數(shù)。

作用在閥芯上的周向摩擦力矩為

(13)

作用在閥芯每個(gè)臺(tái)肩上的液壓卡緊力為

Fk=0.27λkLDpL

(14)

式中，λk為臺(tái)肩上的均壓槽個(gè)數(shù)；L為臺(tái)肩密封長度；D為閥芯直徑。

閥芯移動(dòng)的力平衡方程的拉氏變換式為

Fnvcosαv=mvXvs2+BvpXvs+KsyXv+

Ftvsinαv+Ftg+Fdy+Ffv

(15)

式中，mv為閥芯質(zhì)量；Bvp為閥芯的黏性阻尼系數(shù)；s為復(fù)數(shù)變量；Xv為閥芯位移xv的拉氏變換。

閥芯轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩平衡方程的拉氏變換式為

rτFng=Jvθvs2+Bvzθvs+

rv(Fnvsinαv+Ftvcosαv)+Tfv

(16)

式中，Jv為閥芯轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Bvz為閥芯轉(zhuǎn)動(dòng)的黏性阻尼系數(shù)。

2.1.3齒輪傳動(dòng)副

為方便研究，將齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)3個(gè)齒輪間的2個(gè)間隙等效為1個(gè)間隙，則齒輪傳動(dòng)副相鄰齒面法向相對(duì)位移為

(17)

式中，θp為滾珠絲杠轉(zhuǎn)角；rb為齒輪半徑。

齒輪傳動(dòng)副相鄰齒面的支持力為

(18)

式中，kvb為齒輪傳動(dòng)副相鄰齒面間的接觸剛度；Bvb為齒輪傳動(dòng)副相鄰齒面間的接觸阻尼；bvb為齒輪傳動(dòng)副間隙。

齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的輸出端齒輪與反饋螺母固連在一起，二者固連體的力矩平衡方程的拉氏變換式為

(19)

式中，Jb為反饋螺母及輸出齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Bb為黏性阻尼系數(shù)。

2.1.4活塞螺紋副

活塞螺紋副內(nèi)外螺紋相鄰牙面的法向相對(duì)位移zps和切向相對(duì)位移yps分別為

zps=xpcosαp-θprpssinαp

(20)

yps=xpsinαp+θprpscosαp

(21)

式中，xp為活塞位移；αp為滾珠絲杠螺旋升角；rps為滾珠絲杠半徑；θp為滾珠絲杠轉(zhuǎn)角。

活塞螺紋副內(nèi)外螺紋相鄰牙面之間的法向支持力為

(22)

式中，kps為活塞螺紋副兩接觸面接觸剛度；Bps為活塞螺紋副兩接觸面接觸阻尼；bps為活塞螺紋副間隙(包含絲杠軸承的游隙)。

平行于內(nèi)外螺紋相鄰牙面的摩擦問題比較復(fù)雜，因此采用靜態(tài)模型即只考慮靜摩擦和庫侖摩擦，則相鄰牙面摩擦力為

(23)

式中，F(xiàn)pn為活塞螺紋副兩接觸面靜摩擦力；μps，k、μps，s分別為活塞螺紋副兩接觸面的動(dòng)摩擦因數(shù)和靜摩擦因數(shù)。

絲杠的周向摩擦力矩與2個(gè)螺紋副和推力軸承處的摩擦力有關(guān)，而推力軸承的摩擦力是主要因素。無桿腔的油液壓力作用在絲杠位于活塞孔內(nèi)的端面上，從而使軸承壓緊，故絲杠的周向摩擦力矩為

(24)

式中，p1為無桿腔壓力；A1為無桿腔活塞面積；Tpn為活塞螺紋副周向靜摩擦力矩；μs，k、μs，s分別為絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)摩擦因數(shù)和靜摩擦因數(shù)。

絲杠和與之相連的輸入齒輪的力矩平衡方程的拉氏變換式為

rpsFnpsinαp=Jpθps2+Bpθps+rpsFtpcosαp+

Tfs+rbFvb

(25)

式中，Jp為滾珠絲杠和輸入齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Bp為黏性阻尼系數(shù)。

2.2 伺服電機(jī)模型

伺服電機(jī)控制采用位置環(huán)和電流環(huán)的控制。電流環(huán)頻寬主要受電氣時(shí)間常數(shù)及PWM控制器的開關(guān)頻率等限制[12-13]。伺服電機(jī)電流環(huán)的頻帶為80～100 Hz，因此可將電流環(huán)的傳遞函數(shù)簡化為比例環(huán)節(jié)。伺服電機(jī)的簡化方塊圖(圖3)中，G1為位置環(huán)比例控制器，Km為電機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)，TL為外負(fù)載轉(zhuǎn)矩，Jτ為電機(jī)的轉(zhuǎn)子慣量，Bτ為轉(zhuǎn)子黏性阻尼系數(shù)。

圖3 伺服電機(jī)方塊圖Fig.3 Bblock diagram of servo motor

2.3 非對(duì)稱閥控非對(duì)稱缸模型

采煤機(jī)搖臂用數(shù)字液壓缸的液壓動(dòng)力機(jī)構(gòu)采用的是非對(duì)稱四邊滑閥和非對(duì)稱式的單桿液壓缸，其工作原理如圖4所示[14]。非對(duì)稱式四邊滑閥的線性化流量方程的拉氏變換為

圖4 非對(duì)稱四邊滑閥控制的非對(duì)稱式液壓缸原理圖Fig.4 Schematic diagram of asymmetric hydraulic cylinder controlled by asymmetric four side slide valve

QL=KqXv-KcpL=(Q1+mQ2)/(1+m2)

(26)

式中，QL為負(fù)載流量；Q1為無桿腔流量；Q2為有桿腔流量；m為有桿腔與無桿腔有效面積之比；pL為負(fù)載壓力，pL=p1-mp2；p1為無桿腔壓力；p2為有桿腔壓力；Kc為流量壓力系數(shù)。

液壓缸的流量連續(xù)性方程的拉氏變換為

(27)

式中，Ce為非對(duì)稱缸的泄漏系數(shù)；Vt為非對(duì)稱式液壓缸的總?cè)莘e；K為有效體積彈性模量。

液壓缸的總流量壓力系數(shù)為

Kce=Kc+Ce

(28)

活塞桿的力平衡方程的拉氏變換為

A1pL=mtXps2+BtXps+FL+Fnpcosαp+Ftpsinαp

(29)

式中，mt為活塞和負(fù)載的總質(zhì)量；Bt為活塞黏性阻尼系數(shù)；FL為活塞與缸筒間的摩擦力。

由式(1)～式(29)可得數(shù)字液壓缸非線性方塊圖(圖5)。由于篇幅有限，方塊圖中一些引入引出項(xiàng)用字母表示。

圖5 數(shù)字液壓缸非線性方塊圖Fig.5 Nonlinear block diagram of digital hydraulic cylinder

3 反饋機(jī)構(gòu)間隙對(duì)穩(wěn)定性的影響

3.1 反饋機(jī)構(gòu)間隙的描述函數(shù)

描述函數(shù)法是分析非線性控制系統(tǒng)的一種近似方法，具有應(yīng)用簡便的優(yōu)點(diǎn)，且系統(tǒng)階數(shù)不受限制。應(yīng)用描述函數(shù)法對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，通常認(rèn)為只有輸出函數(shù)中的基波分量是有意義的，高次諧波分量的振幅通常較小，經(jīng)過線性系統(tǒng)的低通濾波后衰減殆盡，對(duì)系統(tǒng)輸出基本無影響。采煤機(jī)滾筒搖臂用數(shù)字液壓缸具有低通濾波性，因此可用描述函數(shù)法分析反饋機(jī)構(gòu)間隙對(duì)數(shù)字液壓缸穩(wěn)定性的影響。

設(shè)死區(qū)寬度為ε，其靜特性如圖6a所示，死區(qū)的輸入信號(hào)e(t)=Asinωt(A為正弦幅值，ω為正弦頻率，t為時(shí)間)時(shí)，其輸出信號(hào)為不連續(xù)正弦波，如圖6b所示，由sinα0=ε/A可得

(a)死區(qū)非線性的靜特性 (b)死區(qū)正弦輸入與輸出圖6 死區(qū)非線性特性Fig.6 Nonlinear characteristics of dead zone

α0=arcsin(ε/A)

(30)

令閥芯螺紋副內(nèi)外螺紋相鄰牙面垂直距離zvs=Asinα=Asinωt，根據(jù)式(6)可得閥芯螺紋副相鄰牙面的支持力Fnv的輸出信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式：

Fnv(t)=Fnv(t+2π/ω)=

(31)

ε=bvs/2

Fnv(t)的傅氏展開式的基波分量為

(32)

(33)

(34)

將式(30)、式(31)代入式(33)、式(34)可得

(35)

(36)

閥芯螺紋副的描述函數(shù)為

Nvs(A)=(B1+jC1)/A

(37)

將式(35)、式(36)代入式(37)可得

(38)

同理可得閥芯滑動(dòng)副間隙的描述函數(shù)Nvg(A)、齒輪傳動(dòng)副間隙的描述函數(shù)Nvb(A)和活塞螺紋副間隙Nps(A)：

(39)

(40)

(41)

3.2 數(shù)字液壓缸穩(wěn)定性分析

非線性系統(tǒng)經(jīng)過諧波線性化后等效的線性系統(tǒng)如圖7所示，其中，N(A)為非線性元件的描述函數(shù)，可以看作數(shù)字液壓缸間隙“死區(qū)”模型的描述函數(shù)；G1(s)為系統(tǒng)線性部分傳遞函數(shù)，可以看作數(shù)字液壓缸除間隙之外的線性傳遞函數(shù)。

圖7 等效線性系統(tǒng)方塊圖Fig.7 Equivalent linear system block diagram

圖7所示系統(tǒng)的閉環(huán)頻率響應(yīng)可以表示為

(42)

由式(42)可得系統(tǒng)的特征方程：

1+N(A)G1(s)=0

(43)

即有

G1(s)=-1/N(A)

(44)

與線性系統(tǒng)相比，-1/N(A)的軌跡相當(dāng)于復(fù)平面的(-1，j0)點(diǎn)，因此在復(fù)平面上同時(shí)畫出G1(s)和-1/N(A)的曲線，根據(jù)兩條曲線的位置判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，以及是否存在自激振蕩。若線性部分的的軌跡不包圍-1/N(A)軌跡，那么非線性系統(tǒng)穩(wěn)定，反之不穩(wěn)定；若線性部分的軌跡與-1/N(A)軌跡相交，那么系統(tǒng)的輸出會(huì)出現(xiàn)極限環(huán)振蕩(自持振蕩)。

數(shù)字液壓缸反饋機(jī)構(gòu)間隙特性的描述函數(shù)確定后，其負(fù)倒頻曲線-1/N(A)就確定了。數(shù)字液壓缸的動(dòng)力學(xué)模型十分復(fù)雜，在判斷反饋機(jī)構(gòu)間隙對(duì)數(shù)字液壓缸穩(wěn)定性的影響時(shí)，對(duì)反饋機(jī)構(gòu)4個(gè)間隙逐一進(jìn)行分析，在頻域上依次比較每個(gè)間隙的負(fù)倒頻曲線和除此間隙之外的線性部分奈奎斯特曲線的位置關(guān)系。

對(duì)包含反饋機(jī)構(gòu)間隙的數(shù)字液壓缸的方塊圖進(jìn)行化簡時(shí)，各個(gè)子模塊之間的復(fù)雜關(guān)系使得化簡過程非常繁瑣，很難將數(shù)字液壓缸模型中的線性部分和非線性部分分開。因此使用SIMULINK對(duì)數(shù)字液壓缸線性部分進(jìn)行編譯，以非線性元件的輸出為線性部分的輸入，以非線性元件的輸入為線性部分的輸出，得到數(shù)字液壓缸線性部分的奈奎斯特曲線。繪制數(shù)字液壓缸線性部分的奈奎斯特曲線時(shí)，數(shù)字液壓缸的結(jié)構(gòu)參數(shù)參見表1。

表1 數(shù)字液壓缸結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structure parameters of digital hydraulic cylinder

3.2.1閥芯滑動(dòng)副間隙分析

閥芯滑動(dòng)副間隙的負(fù)倒頻曲線和線性部分的奈奎斯特曲線如圖8所示，右圖為左圖的局部放大圖，由圖8可知，當(dāng)輸入信號(hào)幅值A(chǔ)從ε開始增大時(shí)負(fù)倒頻曲線是一條從起始點(diǎn)處向復(fù)平面的左側(cè)延伸的直線，其斜率幾乎為零，其值為-Bvg/Kvg，3條奈奎斯特曲線沒有包圍負(fù)倒頻曲線，也沒有與之相交，說明閥芯滑動(dòng)副間隙不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也不會(huì)產(chǎn)生自持振蕩。

圖8 閥芯滑動(dòng)副間隙的負(fù)倒頻曲線及奈奎斯特曲線Fig.8 Negative frequency reversal curve and Nyquist curve of valve core sliding pair clearance

3.2.2閥芯螺紋副間隙分析

閥芯螺紋副間隙的負(fù)倒頻曲線和線性部分的奈奎斯特曲線如圖9所示，由圖9可知，當(dāng)輸入信號(hào)幅值A(chǔ)從ε開始增大時(shí)，負(fù)倒頻曲線是一條從起始點(diǎn)處向復(fù)平面的左側(cè)延伸的直線，其斜率幾乎為零，其值為-Bvs/Kvs，3條奈奎斯特曲線沒有包圍負(fù)倒頻曲線，也沒有與之相交，說明閥芯螺紋副間隙不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也不會(huì)產(chǎn)生自持振蕩。

圖9 閥芯螺紋副間隙的負(fù)倒頻曲線及奈奎斯特曲線Fig.9 Negative inverted frequency curve and Nyquist curve of valve core thread pair clearance

3.2.3齒輪傳動(dòng)副間隙分析

齒輪傳動(dòng)副間隙的負(fù)倒頻曲線和線性部分奈奎斯特曲線如圖10所示，由圖可知，當(dāng)輸入信號(hào)幅值A(chǔ)從ε開始增大時(shí)，負(fù)倒頻曲線是一條從起始點(diǎn)處向復(fù)平面的左側(cè)延伸的直線，其斜率幾乎為零，其值為-Bvb/Kvb，3條奈奎斯特曲線沒有包圍負(fù)倒頻曲線，也沒有與之相交，說明齒輪傳動(dòng)副間隙不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也不會(huì)產(chǎn)生自持振蕩。

圖10 齒輪傳動(dòng)副間隙的負(fù)倒頻曲線及奈奎斯特曲線Fig.10 Negative inverted frequency curve and Nyquist curve of gear pair clearance

3.2.4活塞螺紋副間隙分析

活塞螺紋副間隙的負(fù)倒頻曲線和線性部分奈奎斯特曲線如圖11所示，由圖11可知，當(dāng)輸入信號(hào)幅值A(chǔ)從ε開始增大時(shí)，負(fù)倒頻曲線是一條從起始點(diǎn)處向復(fù)平面的左側(cè)延伸的直線，其斜率幾乎為零，其值為-Bps/Kps，3條奈奎斯特曲線沒有包圍負(fù)倒頻曲線，也沒有與之相交，說明活塞螺紋副間隙不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也不會(huì)產(chǎn)生自持振蕩。

圖11 活塞螺紋副間隙負(fù)倒頻曲線及奈奎斯特曲線Fig.11 Negative inverted frequency curve and Nyquist curve of piston thread pair clearance

4 反饋機(jī)構(gòu)間隙對(duì)靜態(tài)誤差的影響

圖12 數(shù)字液壓缸含間隙的靜態(tài)方塊圖Fig.12 Static block diagram of digital hydraulic cylinder with clearance

將圖12中的4個(gè)間隙等效為常值干擾量，干擾的大小與間隙的寬度及運(yùn)動(dòng)副的參數(shù)有關(guān)。下面分別給出閥芯滑動(dòng)副間隙、閥芯螺紋副間隙、齒輪傳動(dòng)副間隙及活塞螺紋副間隙的等效干擾的表達(dá)式。

閥芯滑動(dòng)副間隙為bvg，伺服電機(jī)輸出軸的半徑為rτ，相當(dāng)于在輸入端加入了角度為Δθvg的常值干擾，易得

Δθvg=bvg/rτ

(45)

同理，將閥芯螺紋副間隙等效為角度為Δθvs的常值干擾，易得

Δθvs=bvs/(rvsinαv)

(46)

將齒輪傳動(dòng)副間隙等效為角度為Δθvb的常值干擾，易得

Δθvb=bvb/rb

(47)

將絲杠螺紋副間隙等效為角度為Δθps的常值干擾，易得

Δθps=bps/(rpsinαp)

(48)

(a)靜態(tài)方塊圖

(b)等效變換后的效靜態(tài)方塊圖圖13 間隙等效為干擾量后的靜態(tài)方塊圖Fig.13 Static block diagram after clearance equivalent to interference

Δθ=Δθvg+Δθvs+Δθvb+Δθps

(49)

由圖13b可得總干擾誤差傳遞函數(shù)：

(50)

則總干擾誤差

(51)

閥芯滑動(dòng)副間隙引起的靜態(tài)誤差為

(52)

式中，pps為絲杠導(dǎo)程。

絲杠導(dǎo)程越小、電機(jī)軸半徑越大，閥芯滑動(dòng)副間隙引起的靜態(tài)誤差越小。

閥芯螺紋副間隙引起的靜態(tài)誤差為

(53)

式中，pvg為反饋螺母導(dǎo)程。

反饋螺紋半徑和導(dǎo)程越大、絲杠導(dǎo)程越小，閥芯螺紋副間隙引起的靜態(tài)誤差越小。

齒輪傳動(dòng)副間隙引起的靜態(tài)誤差為

(54)

由式(54)可知，齒輪傳動(dòng)副間隙引起的靜態(tài)誤差與齒輪半徑成反比，與絲杠導(dǎo)程成正比。

絲杠螺紋副間隙引起的靜態(tài)誤差為

(55)

由式(55)可知，絲杠導(dǎo)程越小、半徑越大，活塞螺紋副間隙引起的靜態(tài)誤差越小。

5 仿真驗(yàn)證

根據(jù)數(shù)字液壓缸非線性方塊圖(圖5)，采用AMESim軟件搭建數(shù)字液壓缸的計(jì)算機(jī)仿真模型，仿真模型參數(shù)與試驗(yàn)參數(shù)保持一致，見表1。

首先建立含間隙的螺栓螺母模型，如圖14所示，右下角的圖形為子模型的符號(hào)，此模型可以用來研究反饋機(jī)構(gòu)的間隙特性，閥芯螺紋副及活塞螺紋副均采用此模型，只是參數(shù)不同。

圖14 含間隙的螺栓螺母AMESim模型Fig.14 AMESim model of bolt and nut with clearance

數(shù)字液壓缸試驗(yàn)采用的插裝閥油路塊包括1個(gè)伺服滑閥、2個(gè)液控單向閥、2個(gè)溢流閥和2個(gè)單向閥，其中，伺服閥為自行設(shè)計(jì)的非對(duì)稱四邊滑閥，液控單向閥、溢流閥和單向閥均采用SUN Hydraulics公司的插裝閥。數(shù)字液壓缸進(jìn)油口處加裝了1個(gè)溢流閥，對(duì)數(shù)字液壓缸起保護(hù)作用。液控單向閥的型號(hào)是CKEB-XCN，溢流閥的型號(hào)是RPEC-LAN，單向閥的型號(hào)是CXCD-XCN。液控單向閥、溢流閥和單向閥的AMESim仿真模型均根據(jù)樣本給出的性能參數(shù)曲線進(jìn)行了有效性驗(yàn)證。采煤機(jī)搖臂用數(shù)字液壓缸AMESim仿真模型如圖15所示。

圖15 采煤機(jī)搖臂用數(shù)字液壓缸的AMESim仿真模型圖Fig.15 AMESim simulation model diagram of the digital hydraulic cylinder for shearer rocker arm

采用仿真模型仿真研究間隙對(duì)數(shù)字液壓缸穩(wěn)定性及靜態(tài)誤差的影響。設(shè)置某個(gè)傳動(dòng)副的間隙寬度不為0、其余間隙寬度全為0，對(duì)系統(tǒng)輸入斜坡信號(hào)，考查數(shù)字液壓缸活塞桿在正向伸出和反向縮回時(shí)的穩(wěn)定性及靜態(tài)誤差，以驗(yàn)證前文對(duì)穩(wěn)定性和靜態(tài)誤差的理論分析結(jié)論的正確性。

5.1 閥芯滑動(dòng)副間隙寬度bvg對(duì)靜態(tài)誤差的影響

閥芯滑動(dòng)副寬度不同的仿真曲線如圖16所示，圖中藍(lán)色實(shí)線為活塞桿的指令輸入位移，其他3條曲線是間隙寬度分別0.01 mm、0.1 mm和0.2 mm的活塞桿的輸出位移。

由圖16可知，活塞桿從中位勻速伸出(電機(jī)正向轉(zhuǎn)動(dòng))和勻速縮回(電機(jī)反向轉(zhuǎn)動(dòng))時(shí)，活塞桿的輸出位移均落后于指令輸入位移，且3條輸出位移曲線基本重合，這是因?yàn)榇穗A段的誤差主要由跟蹤誤差造成，間隙的影響基本可忽略不計(jì)。電機(jī)在第3 s正向轉(zhuǎn)動(dòng)停止，活塞桿停止運(yùn)動(dòng)，不受跟蹤誤差的影響，可以清晰地看到間隙產(chǎn)生的誤差，間隙寬度為0.01 mm時(shí)，誤差基本為0，這與一型系統(tǒng)的無差性是相符的。寬度為0.2 mm時(shí)，誤差為66μm，根據(jù)式(52)計(jì)算的誤差是63 μm，仿真結(jié)果與計(jì)算值基本相同。寬度0.1 mm的誤差為寬度0.2 mm的誤差的一半，這也與理論計(jì)算的結(jié)果一致。電機(jī)在第10 s反向轉(zhuǎn)動(dòng)停止，活塞桿停止運(yùn)動(dòng)，3條輸出位移曲線重合，這是由于電機(jī)先正向后反向轉(zhuǎn)動(dòng)，間隙又回到了相同的初始位置。

5.2 閥芯螺紋副間隙寬度bvs對(duì)靜態(tài)誤差的影響

閥芯螺紋副間隙寬度不同的仿真曲線如圖17所示，圖中藍(lán)色實(shí)線為活塞桿的指令輸入位移，其他3條曲線是間隙寬度分別0.001 mm、0.005 mm和0.01 mm的活塞桿的輸出位移。

圖17 閥芯螺紋副間隙寬度不為零的活塞桿位移曲線Fig.17 Piston rod displacement curve with the clearance of valve core thread pair

由圖17可知，活塞桿從中位勻速伸出(電機(jī)正向轉(zhuǎn)動(dòng))和勻速縮回(電機(jī)反向轉(zhuǎn)動(dòng))時(shí)，情況與圖16基本相同。電機(jī)在第3 s正向轉(zhuǎn)動(dòng)停止，活塞桿停止運(yùn)動(dòng)，靜態(tài)誤差為基本為0，這是因?yàn)殚y芯螺紋副間隙一直保持在初始位置上。電機(jī)在第10 s反向轉(zhuǎn)動(dòng)停止，活塞桿再次停止運(yùn)動(dòng)，可以清晰地看到間隙產(chǎn)生的誤差，間隙寬度為0.01 mm時(shí)，誤差為63 μm，根據(jù)式(53)計(jì)算的誤差是67 μm，仿真結(jié)果與計(jì)算值基本相同。

5.3 齒輪傳動(dòng)副間隙寬度bvb對(duì)靜態(tài)誤差的影響

齒輪傳動(dòng)副不同間隙的仿真曲線如圖18所示，圖中藍(lán)色實(shí)線為活塞桿的指令輸入位移，其他3條曲線是間隙寬度分別0.5 mm、1.0 mm和1.5 mm的活塞桿的輸出位移。

圖18 齒輪傳動(dòng)副間隙寬度不為零的活塞桿位移曲線Fig.18 Piston rod displacement curve with the clearance of gear pair

由圖18可知，活塞桿從中位勻速伸出(電機(jī)正向轉(zhuǎn)動(dòng))和勻速縮回(電機(jī)反向轉(zhuǎn)動(dòng))時(shí)，情況與圖16基本相同。電機(jī)在第3 s正向轉(zhuǎn)動(dòng)停止后的情況與圖17基本相同。電機(jī)在第10 s反向轉(zhuǎn)動(dòng)停止，活塞桿再次停止運(yùn)動(dòng)，可以清晰地看到間隙產(chǎn)生的誤差，間隙寬度為1.5 mm時(shí)，誤差為64.5 μm，根據(jù)式(54)計(jì)算的誤差是66 μm，仿真結(jié)果與計(jì)算值基本相同。

5.4 活塞螺紋副間隙寬度bps對(duì)靜態(tài)誤差的影響

活塞螺紋副不同間隙的仿真曲線如圖19所示，圖中藍(lán)色實(shí)線為活塞桿的指令輸入位移，其他3條曲線是間隙寬度分別0.01 mm、0.05 mm和0.10 mm的活塞桿的輸出位移。

圖19 活塞螺紋副間隙寬度不為零的活塞桿位移曲線Fig.19 Piston rod displacement curve with the clearance of piston thread pair

由圖19可知，活塞桿從中位勻速伸出(電機(jī)正向轉(zhuǎn)動(dòng))和勻速縮回(電機(jī)反向轉(zhuǎn)動(dòng))時(shí)，情況與圖16基本相同。電機(jī)在第3 s正向轉(zhuǎn)動(dòng)停止，活塞桿停止運(yùn)動(dòng)，不受跟蹤誤差的影響，可以清晰地看到間隙產(chǎn)生的誤差，間隙寬度為0.1 mm時(shí)，誤差為98 μm，根據(jù)式(55)計(jì)算的誤差是105 μm，仿真結(jié)果與計(jì)算值基本相同。

由以上仿真可見，間隙寬度不同時(shí)，系統(tǒng)均可以穩(wěn)定運(yùn)行，說明間隙對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性沒有影響，與應(yīng)用描述函數(shù)法的分析結(jié)論是一致的。

6 試驗(yàn)驗(yàn)證

2020年9月10日，在西安煤礦機(jī)械廠進(jìn)行了采用數(shù)字液壓缸驅(qū)動(dòng)1480D采煤機(jī)截割滾筒搖臂升降的試驗(yàn)。該數(shù)字液壓缸最大出力達(dá)到1220 kN，缸徑320 mm，行程0.78 m，負(fù)載質(zhì)量高達(dá)200 t。

如圖20所示，采煤機(jī)搖臂用數(shù)字液壓缸試驗(yàn)系統(tǒng)由數(shù)字液壓缸、機(jī)械平臺(tái)、液壓源、傳感器、百分表及計(jì)算機(jī)測控系統(tǒng)組成。檢測得到數(shù)字液壓缸的閥芯滑動(dòng)副間隙為0.05 mm，閥芯螺紋副間隙為0.04 mm，齒輪傳動(dòng)副間隙為2.1 mm，活塞螺紋副間隙為0.15 mm。為精確測量活塞桿的輸出位移，在活塞及缸筒之間安裝百分表。

圖20 采煤機(jī)搖臂用數(shù)字液壓缸試驗(yàn)系統(tǒng)Fig.20 Test system of the digital hydraulic cylinder for shearer rocker arm

(1)試驗(yàn)1?？刂茢?shù)字液壓缸活塞桿先縮回再伸出，得到的實(shí)驗(yàn)曲線如圖21所示，活塞桿位移仿真曲線與試驗(yàn)曲線基本重合，說明所建立的仿真模型是有效的。由于4個(gè)間隙的作用，液壓缸活塞桿回縮的3個(gè)階段的輸出位移略大于指令輸入位移?；钊麠U換向伸出后，靜態(tài)誤差較大，約為0.5 mm，這是活塞螺紋副間隙、齒輪傳動(dòng)副間隙及閥芯螺紋副間隙疊加作用的結(jié)果，與通過式(49)～式(52)得到的計(jì)算結(jié)果基本一致。

圖21 數(shù)字液壓缸試驗(yàn)1曲線Fig.21 The test 1 curve of digital hydraulic cylinder

(2)試驗(yàn)2。試驗(yàn)2在試驗(yàn)1的基礎(chǔ)上進(jìn)行，控制數(shù)字液壓缸活塞桿縮回，得到的實(shí)驗(yàn)曲線如圖22所示，活塞桿位移仿真曲線與試驗(yàn)曲線基本重合，再次說明所建立的仿真模型是有效的。由于在試驗(yàn)1的基礎(chǔ)上進(jìn)行，因此活塞桿縮回過程中，靜態(tài)誤差繼續(xù)保持在0.5 mm左右。

圖22 數(shù)字液壓缸試驗(yàn)2曲線Fig.22 The test 2 curve of digital hydraulic cylinder

7 結(jié)論

(1)數(shù)字液壓缸的閥芯滑動(dòng)副、閥芯螺紋副、齒輪傳動(dòng)副和活塞螺紋副的間隙不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性，但會(huì)引起靜態(tài)誤差，誤差大小與間隙尺寸成比例。換向時(shí)，由于間隙的累積效應(yīng)，靜態(tài)誤差較大。

(2)絲杠導(dǎo)程越小、電機(jī)軸直徑越大，閥芯滑動(dòng)副間隙引起的靜態(tài)誤差越小；絲杠導(dǎo)程越小、反饋螺紋直徑和導(dǎo)程越大，閥芯螺紋副間隙引起的靜態(tài)誤差越?。唤z杠導(dǎo)程越小、齒輪直徑越大，齒輪傳動(dòng)副間隙引起的靜態(tài)誤差越?。唤z杠導(dǎo)程越小、直徑越大，活塞螺紋副間隙引起的靜態(tài)誤差越小。因此，除了減小間隙外，還可通過減小絲杠導(dǎo)程，增大反饋螺母導(dǎo)程和絲杠、滑動(dòng)連軸器、反饋螺紋、齒輪直徑來減小間隙引起的靜態(tài)誤差。

(3)采煤機(jī)搖臂用數(shù)字液壓缸的定位精度和換向誤差試驗(yàn)驗(yàn)證了AMESim仿真模型的有效性和對(duì)間隙問題理論分析的正確性。