侯進(jìn)，陳鑫強(qiáng),3

（1.西南交通大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院智能感知智慧運(yùn)維實(shí)驗室，四川 成都 611756；2.西南交通大學(xué)綜合交通大數(shù)據(jù)應(yīng)用技術(shù)國家工程實(shí)驗室，四川 成都 611756；3.西南交通大學(xué)計算機(jī)與人工智能學(xué)院，四川 成都 611756）

0 引言

隨著通信、雷達(dá)等領(lǐng)域的發(fā)展，波達(dá)方向（DOA,direction of arrival）估計逐漸成為人們研究的熱點(diǎn)課題。DOA 估計的基本問題是利用陣列對空間中某一區(qū)域內(nèi)感興趣的多個信號的空間位置進(jìn)行估計，它面臨的挑戰(zhàn)主要集中在以下4 個方面：1) 在現(xiàn)實(shí)通信環(huán)境中，受高大建筑物和山丘的阻礙，電磁波在傳播時將發(fā)生反射，從而產(chǎn)生多徑效應(yīng)，這將使部分DOA 估計算法失效；2) 出于成本等因素的考慮，實(shí)際陣列的陣元數(shù)往往小于目標(biāo)信源數(shù)，因此，如何在欠定情況下進(jìn)行DOA 估計成為一個難題；3) 在某些特定情況下，目標(biāo)信源的來波方向可能相同，而目前許多DOA 估計算法無法對相同方向角的信源進(jìn)行測向，因此，“角度兼并”問題成為DOA估計算法的另一挑戰(zhàn)；4) 多快拍數(shù)在一定程度上會降低DOA 估計算法的時效性，因此，如何在少快拍數(shù)下保證算法的高準(zhǔn)確率和高分辨率，也成為DOA 估計算法待解決的一個問題。

目前，根據(jù)測向原理的不同，DOA 估計方法可分為3 類：基于特征結(jié)構(gòu)子空間的方法、基于獨(dú)立成分分析（ICA,independent component analysis）的方法和基于稀疏重構(gòu)的方法。最早的超分辨率DOA估計方法是著名的多信號分類（MUSIC,multiple signal classification）算法和基于旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的信號參數(shù)估計（ESPRIT,estimating signal parameter via rotational invariance technique）算法，它們都屬于特征結(jié)構(gòu)子空間方法，由于相干信源會使空間協(xié)方差矩陣降秩，因此傳統(tǒng)的MUSIC 算法和ESPRIT 算法無法對相干信源進(jìn)行測向。文獻(xiàn)[1-2]和文獻(xiàn)[3-4]分別提出了改進(jìn)的MUSIC 算法和改進(jìn)的ESPRIT算法用于對相干信號進(jìn)行測向，但在欠定情況下該類算法性能將大幅度下降。受均勻線陣方向矢量結(jié)構(gòu)的啟發(fā)，F(xiàn)riedlander 等[5]提出了一種將均勻圓陣轉(zhuǎn)換為虛擬均勻線陣的方法，并結(jié)合均勻線陣的解相干算法，如空間平滑算法[6-7]和矩陣重構(gòu)算法[8-10]等，可以實(shí)現(xiàn)均勻圓陣對相干信號的測向，但在模式轉(zhuǎn)換的過程中，噪聲會進(jìn)一步累積，因此該類算法在低信噪比（SNR,signal to noise ratio）下的性能較差。Ziskind 等[11]提出了一種基于確定性極大似然（DML,determined maximum likelihood）估計思想的DOA 估計方法，能夠?qū)崿F(xiàn)均勻圓陣對相干信號的測向，但在求解過程中需要進(jìn)行高維搜索，因此計算量較大，且不適合欠定情況下的DOA 估計。Zamani等[12]提出了一種改進(jìn)的ICA 方法，該方法可以對混合信源進(jìn)行盲分離，但在欠定情況和信源中存在相干信號時將失效?；谙∈柚貥?gòu)的方法可以在低信噪比和信源中存在相干信號的情況下具有良好的性能，如Wang 等[13]和Trinh-Hoang 等[14]提出的正交匹配追蹤（OMP,orthogonal matching pursuit）算法及其改進(jìn)算法、Soubies 等[15]和Zheng 等[16]提出的基于L2 范數(shù)的方法和基于稀疏貝葉斯的方法等，但在信源數(shù)較多和入射信源示向度間隔較小的情況下，該類算法的測向性能會有所下降。

針對現(xiàn)有算法的不足，本文提出了一種基于幾何序列分解和稀疏重構(gòu)的方法用于DOA 估計。通過分析可以發(fā)現(xiàn)，陣列的等時間間隔采樣使接收序列成為多個復(fù)數(shù)等比序列的疊加，各個等比序列的公比蘊(yùn)含了各個信源的頻率信息，而首項則蘊(yùn)含了信源的幅值和相位信息。因此，本文首先利用幾何序列分解算法對混合序列中各個序列的公比和首項進(jìn)行估計，估計的各個公比可用于信號重建，而估計的首項則可以構(gòu)建各個信源的實(shí)際方向向量，即相干組標(biāo)記。然后利用稀疏重構(gòu)方法，即可實(shí)現(xiàn)對每個相干組進(jìn)行DOA 估計。

1 系統(tǒng)模型

1.1 均勻圓陣模型

假設(shè)空間中均勻圓陣列的陣元數(shù)為M，半徑為r，陣元1 的空間位置為 [r,0]T，信號的來波方向相對于x軸的逆時針旋轉(zhuǎn)方向進(jìn)行定義，如圖1 所示。

圖1 均勻圓陣示意

若從遠(yuǎn)場發(fā)射而來的復(fù)數(shù)獨(dú)立信源數(shù)為k，則在t時刻，陣列的接收信號可表示為

其中，m=1,…,M，θi表示第i個獨(dú)立信源的波達(dá)角，λ表示信號波長。

1.2 相干信號模型

對于陣列接收的數(shù)據(jù)，可以利用相關(guān)系數(shù)來衡量接收信號之間的相關(guān)程度，其定義為

式(4)表明，當(dāng)2 個信號相干時，它們之間只相差一個常復(fù)數(shù)。現(xiàn)假設(shè)第i個獨(dú)立信源中含有Pi個相干信號，則第i個獨(dú)立信源的接收數(shù)據(jù)可表示為

其中，a(θip) ∈CM、Bip和φip分別表示在第i個獨(dú)立信源中第p個相干信號的理論方向向量、幅值和相位。

令

此時，第i個獨(dú)立信源的接收數(shù)據(jù)可表示為

1.3 相干組標(biāo)記

1.4 網(wǎng)格劃分

根據(jù)陣列相關(guān)理論可知，實(shí)際的陣列結(jié)構(gòu)要求方向向量a(θ)與方向角一一對應(yīng)，不能出現(xiàn)模糊現(xiàn)象，而入射信源的方向角相對于整個測向平面是稀疏的，因此，整個二維測向平面可以進(jìn)行網(wǎng)格劃分，以構(gòu)成方向角參數(shù)空間。在實(shí)際應(yīng)用中，通常以1°為間隔進(jìn)行網(wǎng)格劃分，改變方向角，使方向向量a(θ)在二維空間按方向角從小到大進(jìn)行掃描，所形成的曲面稱為陣列流形，所構(gòu)成的矩陣稱為過完備矩陣D∈CM×360，即

其中，Θ={1°,…,360°}表示方向角的參數(shù)空間。

2 基于幾何序列分解的實(shí)際方向向量估計

現(xiàn)考慮如下情況：假設(shè)均勻圓陣列的陣元數(shù)為M，入射到陣列的獨(dú)立信源數(shù)為k，第i個獨(dú)立信源中含有Pi個相干信號，信號接收機(jī)的采樣頻率為fs，快拍數(shù)為L，并假設(shè)采樣是從1 時刻開始，則陣列的接收數(shù)據(jù)可表示為

觀察式(13)可以發(fā)現(xiàn)，均勻圓陣第q個陣元的接收數(shù)據(jù)（觀測矩陣X的第q行數(shù)據(jù)）本質(zhì)上是k個等比序列的疊加，其中，第i個等比序列的首項為，公比為，而首項和公比分別包含了第i個獨(dú)立信源的波達(dá)角信息和頻率信息。因此，若能估計出混合序列的k個公比，然后利用一個簡單的矩陣除法，就能將k個獨(dú)立信源的實(shí)際方向向量估計出來，從而用于DOA 估計。

Lee 等[17]提出了一種基于k維單純形轉(zhuǎn)換的幾何序列分解（GSD-ST,geometric sequence decomposition withk-simplexes transform）方法，可用于對疊加幾何序列的公比進(jìn)行估計。k維單純形是指包含了k+1 個節(jié)點(diǎn)的凸多面體，例如，一維單純形就是包含了2 個節(jié)點(diǎn)的線段，二維單純形就是三角形，三維單純形就是四面體，以此類推。利用GSD-ST方法估計公比的思路主要分為4 個步驟：構(gòu)造搜索空間；構(gòu)造k維單純形序列；構(gòu)造聯(lián)合單純形；構(gòu)造多項式方程。而多項式方程的根即待求的各個序列公比的估計。

在構(gòu)造k維單純形之前，需要對原始的疊加序列按照一定方式進(jìn)行采樣，以構(gòu)成k維單純形的頂點(diǎn)集合，也稱為搜索空間，其構(gòu)造規(guī)則按以下方式進(jìn)行。

給定自然數(shù)ic、k和φk，以φk為起始坐標(biāo)、i Ick為索引變換按字典順序?qū)旌闲蛄衳q進(jìn)行連續(xù)采樣，所構(gòu)成的集合稱為k維搜索空間，其中，I k表示k維的全1 向量，xq表示第q個陣元接收的混合序列。例如，若ic=1，k=2，φk= [1,5]，則所構(gòu)成的k維搜索空間為

由k維單純形的定義可知，一個k維單純形具有k+1 個頂點(diǎn)，現(xiàn)假設(shè)其中一個頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，剩余k個頂點(diǎn)由搜索空間中的k個連續(xù)頂點(diǎn)構(gòu)成，其定義為

需要指出的是，在構(gòu)造本文要求的k維單純形時，從搜索空間中選取的k個頂點(diǎn)必須是連續(xù)的，且在構(gòu)造k維單純形序列時，坐標(biāo)j的取值也需要滿足連續(xù)遞增的條件。

接著，從構(gòu)造的k維單純形序列中挑選出任意2 個連續(xù)的單純形，將其坐標(biāo)按順序排列，以構(gòu)成一個具有k+2 個頂點(diǎn)的聯(lián)合單純形C∈Ck×(k+2)，定義為

從式(17)可以看出，聯(lián)合單純形C的k+1 個非原點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)際上由搜索空間的k+1 個連續(xù)頂點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)成；然后，對這k+1 個連續(xù)頂點(diǎn)按組合的順序進(jìn)行采樣，以構(gòu)成一個含有k+1 個新的k維單純形的序列。例如，若ic= 1,k= 2,φk= [1,5],j=1，則所構(gòu)成的聯(lián)合單純形C和含有k+1 個新的k維單純形的序列為

最后，需要構(gòu)造一個k階多項式，并且這個k階多項式的k+1 個系數(shù)由序列中單純形的體積通過運(yùn)算得到。其中，k維單純形的體積定義為

將k維單純形序列的體積運(yùn)算規(guī)則定義為

其中，表示公比的估計。

Lee 等[17]證明，給定混合序列xq和獨(dú)立信源數(shù)k，當(dāng)采樣間隔ic=1時，對于任意的自然數(shù)φk和j，k階多項式的系數(shù)集合是唯一的，并且由這個系數(shù)集合構(gòu)成的k階多項式的k個根即混合序列中k個公比的估計。由于系數(shù)集合在上述采樣方式下與常數(shù)φk和j無關(guān)，因此，可以把系數(shù)集合記為v(k,xq)。需要注意的是，為了使構(gòu)造的多項式是人們期望的結(jié)構(gòu)，也就是要保證這個多項式的唯一性，在構(gòu)造搜索空間時，一定要以1×Ik為索引變換對混合序列進(jìn)行采樣，即采樣間隔一定要等于1，而采樣起始坐標(biāo)φk和聯(lián)合多面體C的索引值j可以任取。同時，Lee 等[17]還證明，給定混合序列xq和獨(dú)立信源數(shù)k，獲取的最小樣本集合由混合序列xq的2k個連續(xù)采樣點(diǎn)構(gòu)成，即在估計k個獨(dú)立信源的實(shí)際方向向量時，所需要的最小快拍數(shù)L為2k，這也使該算法可以在極少快拍數(shù)下對DOA 進(jìn)行有效估計。

通過以上分析可以發(fā)現(xiàn)，在對混合序列中各個序列的公比進(jìn)行估計時，需要預(yù)先知道混合序列中的序列個數(shù)，也就是獨(dú)立信源的個數(shù)k。Lee等[17]還提出了一種利用單純形對獨(dú)立信源數(shù)k進(jìn)行估計的方法，但該方法需要進(jìn)行多維搜索，計算量較大，因此會大幅度降低DOA 估計的時效性。Bazzi 等[18]提出了一種改進(jìn)的最小描述長度（MDL,minimum description length）準(zhǔn)則，可以實(shí)現(xiàn)在信噪比較低和快拍數(shù)較少的情況下對獨(dú)立信源數(shù)k進(jìn)行有效估計，且算法時效性較好，因此，可以使用該方法對k進(jìn)行估計。

受現(xiàn)實(shí)擾動的影響，陣列在接收數(shù)據(jù)時會產(chǎn)生一定的噪聲，因此，為了提升DOA 估計的性能，需要對接收數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪。Hansen[19]提出了一種基于k截斷式奇異值分解（SVD,singular value decomposition）的去噪方法，該方法的主要思想是通過迭代的方法，不斷提取原序列的k個主特征值和它們對應(yīng)的特征向量，直到重構(gòu)的序列收斂，從而達(dá)到濾除噪聲的目的。該方法的去噪過程主要分為以下5 個步驟，這里假設(shè)去噪前和去噪后的序列分別為xq和，序列的索引值從1 開始，且快拍數(shù)為L。

其中，矩陣U和矩陣V分別表示左奇異矩陣和右奇異矩陣，矩陣S為對角矩陣。

步驟3利用矩陣Q的k個主特征值和對應(yīng)的特征向量重構(gòu)矩陣Q

其中，U[:,1:k]表示由矩陣U的所有行和前k列構(gòu)成的矩陣。

步驟4通過平均值的方法，將矩陣Q轉(zhuǎn)換為序列

其中，當(dāng)l≤m時，z=l，否則，z=L-l+1。

步驟5重復(fù)以上4 個步驟，直到序列xq收斂到序列，收斂后的序列即濾除噪聲后的序列。

以上就是估計k個實(shí)際方向向量的整體思路，現(xiàn)將算法流程總結(jié)如下。

算法1基于去噪GSD-ST 的實(shí)際方向向量估計算法

3 基于稀疏重構(gòu)的DOA 估計

根據(jù)上述分析可知，通過網(wǎng)格劃分構(gòu)造了一個過完備矩陣D，并利用過完備矩陣中的稀疏基對第i個相干組的實(shí)際方向向量進(jìn)行了稀疏表示，將第i個相干組中多徑信號的DOA 估計問題轉(zhuǎn)換為空間譜Vi的稀疏重構(gòu)問題，若對每個相干組都進(jìn)行稀疏重構(gòu)，得到k張空間譜(V1,…,Vk)，即可估計出所有入射信源的波達(dá)角信息。

在求解第i個相干組的稀疏矩陣Vi時，由于稀疏度Pi事先未知，且實(shí)際方向向量的維度遠(yuǎn)小于矩陣Vi的維度，因此式(26)具有無數(shù)個解。根據(jù)壓縮理論知識可知，如果過完備矩陣D滿足約束等距性（RIP,restricted isometry property）條件，即可利用矩陣Vi的稀疏性，將式(26)轉(zhuǎn)換為一個組合優(yōu)化問題進(jìn)行求解?，F(xiàn)對該條件進(jìn)行簡單驗證，由于

在求解式(28)時，可以通過正則化對這個非線性凸優(yōu)化問題進(jìn)行求解，其代價函數(shù)為

其中，λ為正則化系數(shù)。

在實(shí)際仿真時，為了高效地找到全局最優(yōu)解，可以利用二階錐規(guī)劃（SOCP,second order cone programming）算法在內(nèi)點(diǎn)法的框架下對式(29)中的優(yōu)化表達(dá)式進(jìn)行求解，基于此，可以通過引入輔助向量的方式，將式(29)轉(zhuǎn)換為以下優(yōu)化表達(dá)式進(jìn)行求解

需要注意的是，正則化系數(shù)λ的選取對稀疏重構(gòu)的效果有著舉足輕重的作用，文獻(xiàn)[14]給出了正則化系數(shù)λ的選取規(guī)則，由于本文通過k截斷式SVD 算法對原觀測矩陣進(jìn)行了去噪處理，因此系數(shù)λ的值不應(yīng)取得太大，在實(shí)際仿真時，系數(shù)λ在區(qū)間[0.1,3]內(nèi)進(jìn)行取值都能達(dá)到很好的效果。

以上就是本文所提算法的全部分析過程，現(xiàn)將算法流程總結(jié)如下。

算法2基于去噪GSD-ST 和稀疏重構(gòu)的DOA估計算法

1) 利用算法1 得到獨(dú)立信源數(shù)k和實(shí)際方向矩陣的估計

2) 以1°為間隔對空間進(jìn)行網(wǎng)格劃分，構(gòu)造過完備矩陣D；

5) 將稀疏矩陣Vi的元素值畫成空間譜，通過譜峰搜索返回第i個相干組的DOA 估計值；

6)i=i+1，如果i≤k，返回步驟4)，否則算法結(jié)束。

4 性能分析

由于本文使用的信源數(shù)估計算法為改進(jìn)的MDL 算法，因此，基于GSD-ST 的實(shí)際方向向量估計算法最多能夠估計出M個獨(dú)立信源的實(shí)際方向向量；并且，一般情況下入射信源的幅值滿足隨機(jī)分布，對于每一個相干組，稀疏重構(gòu)算法能夠估計出M–1 個相干信號[20]，因此，本文所提算法最多能夠估計出M(M–1)個入射信源，即能夠?qū)崿F(xiàn)在欠定情況下對相干信號的DOA 估計；在第2 節(jié)的分析中，本文對相干組進(jìn)行了拆分，即每個相干組的DOA 估計互不影響，因此，本文所提算法能夠解決“角度兼并”問題；此外，在估計實(shí)際方向向量時，所需要的最小快拍數(shù)L=2k，因此，本文所提算法可以在極少數(shù)快拍下實(shí)現(xiàn)DOA 估計。

5 仿真分析

為了驗證本文所提算法的性能，本節(jié)將其與非線性快速獨(dú)立成分分析（FastICA,fast independent component analysis）算法[20]、OMP 算法[13]、MUSIC算法[1]和DML 算法[11]進(jìn)行對比，并通過5 個實(shí)驗進(jìn)行說明。

實(shí)驗1相干組拆分性能分析

實(shí)驗條件：均勻圓陣的陣元數(shù)M=3，半徑r=0.58 m，信號的中心頻率f=500 MHz，相干組個數(shù)k=3，正確示向度分別為[32°]、[210°]、[89°]，信噪比SNR=[-18,18] dB，快拍數(shù)L=200，蒙特卡羅實(shí)驗200 次。相干組拆分效果通過改進(jìn)的行元素優(yōu)勢指標(biāo)[21]進(jìn)行分析，定義為

圖2 為非線性FastICA 算法與本文所提算法的盲分離效果對比。從圖2 中可以看出，相比于非線性FastICA 算法，本文所提算法在低信噪比下的p指標(biāo)系數(shù)都小于2，這表明本文所提算法可以在低信噪比下對相干組進(jìn)行有效拆分，且拆分效果優(yōu)于非線性FastICA 算法。

圖2 2 種算法盲分離效果對比

為了進(jìn)一步說明本文所提算法拆分相干組的效果，圖3 和圖4 給出了當(dāng)信噪比為-18 dB 時相干組拆分前后的數(shù)據(jù)頻譜曲線。

圖3 拆分前的數(shù)據(jù)頻譜曲線

圖4 拆分后的數(shù)據(jù)頻譜曲線

對比圖3 和圖4 可以看出，混合數(shù)據(jù)的頻譜中有許多偽峰，而本文所提算法對混合數(shù)據(jù)進(jìn)行盲分離后，其頻譜曲線濾除了由噪聲引起的偽峰，并且能夠準(zhǔn)確恢復(fù)出信號的頻率信息，這也驗證了算法1的正確性。

實(shí)驗2 欠定情況下對相干信號的DOA 估計

實(shí)驗條件：均勻圓陣的陣元數(shù)M=3，半徑r=0.58 m，信號的中心頻率f=500 MHz，相干組個數(shù)k=3，相干系數(shù)分別為=-0 .416+0.909i、= 0.921+0.389i 和= 0.853 - 0.522i，正確示向度分別為[32°,328°]、[30°,210°]、[89°,272°]，信噪比SNR=10 dB，快拍數(shù)L=200。

在上述實(shí)驗條件下，改進(jìn)的MDL 算法估計出的獨(dú)立信源（相干組）數(shù)k=3，因此，MUSIC算法和DML 算法只能估計出3 個信號的示向度，為了驗證本文所提算法在欠定情況下對相干信號的DOA 估計性能，將其與OMP 算法進(jìn)行了對比。圖5 和表1 分別為OMP 算法與本文所提算法在欠定情況下對相干信號的測向空間譜和對應(yīng)的測向結(jié)果。

圖5 2 種算法在欠定情況下對相干信號的測向空間譜

表1 2 種算法在欠定情況下對相干信號的測向結(jié)果

從圖5 和表1 可以看出，在欠定情況下，OMP算法估計出的DOA 結(jié)果相較正確結(jié)果的誤差最大達(dá)到了3°，并且由于30°和32°這2 個示向度較接近，OMP 算法不能有效分辨，從而出現(xiàn)了3°這個錯誤估計結(jié)果；本文所提算法不僅能夠有效拆分出3 個相干組，且DOA 估計結(jié)果全部正確，這也驗證了本文所提算法所能準(zhǔn)確估計的最大信源數(shù)為M(M–1)的結(jié)論。

實(shí)驗3極少快拍數(shù)下的測向性能

實(shí)驗條件均勻圓陣的陣元數(shù)M=9，半徑r=0.58 m，信號的中心頻率f=500 MHz，獨(dú)立信源數(shù)k=3，正確示向度分別為[15°]、[167°]和[251°]，信噪比SNR=30 dB，快拍數(shù)L=6。

在極少快拍數(shù)的情況下，本節(jié)對比了OMP 算法、MUSIC 算法和DML 算法，由于DML 算法需要進(jìn)行高維搜索，因此沒有畫出DML 算法的空間譜，只記錄了對應(yīng)的測向結(jié)果。圖6 和表2 分別為對比算法與本文所提算法在極少快拍數(shù)下的測向空間譜和對應(yīng)的測向結(jié)果。

圖6 3 種算法在極少快拍數(shù)下的測向空間譜

表2 4 種算法在極少快拍數(shù)下的測向結(jié)果

從圖6 和表2 可以看出，在極少快拍數(shù)的情況下，OMP 算法、MUSIC 算法和DML 算法在測向時會有2°～3°的測向誤差，而本文所提算法能夠精確地對入射信號進(jìn)行DOA 估計。在實(shí)驗過程中還發(fā)現(xiàn)，快拍數(shù)的減小會使噪聲對測向的影響變得很大，因此，極少快拍數(shù)測向只適用于信噪比較高的情況，雖然現(xiàn)實(shí)測向情況較復(fù)雜，但本文所提算法為極少快拍數(shù)測向提供了一定的理論和仿真依據(jù)。

實(shí)驗4入射信源角度差對測向成功率的影響

實(shí)驗條件均勻圓陣的陣元數(shù)M=9，半徑r=0.58 m，信號的中心頻率f=500 MHz，獨(dú)立信源數(shù)k=2，正確示向度分別為 [123°] 和[123°+Δθ(Δθ=0°,…,6°)]，信噪比SNR=10 dB，快拍數(shù)L=200，蒙特卡羅實(shí)驗200 次。

圖7 為4 種算法測向成功率隨信號角度差變化的曲線。從圖7 可以看出，OMP 算法、MUSIC 算法和DML 算法都無法分辨出角度差為0°的2 個入射信號，并且OMP 算法和MUSIC 算法在入射信源夾角超過4°時才能達(dá)到很好的分辨效果。本文所提算法由于對相干組進(jìn)行了拆分，相干組之間的測向互不影響，因此可以對角度差較小的入射信號進(jìn)行精確分辨。

圖7 4 種算法測向成功率隨信號角度差變化的曲線

實(shí)驗5信噪比對測向成功率和測向精度的影響

實(shí)驗條件均勻圓陣的陣元數(shù)M=9，半徑r=0.58 m，信號的中心頻率f=500 MHz，獨(dú)立信源數(shù)k=3，正確示向度分別為[52°]、[189°]和[297°]，快拍數(shù)L=200，蒙特卡羅實(shí)驗200 次。其中，測向精度采用均方誤差根（RMSE,root mean square error）進(jìn)行定義

其中，Q表示測向正確示向度的次數(shù)，即測向誤差結(jié)果在3°范圍內(nèi)的個數(shù)；表示在第q次測向時對第i個示向度的估計值。

圖8 和圖9 分別給出了4 種測向算法的成功率和RMSE 隨信噪比變化的曲線。從圖8 可以看出，當(dāng)信噪比大于-16 dB 時，本文所提算法的測向成功率可達(dá)90%以上，且高于OMP 算法和MUSIC 算法；當(dāng)信噪比大于-14 dB 時，本文所提算法的測向成功率可達(dá)99%以上，這充分說明了本文所提算法在低信噪比下能夠?qū)Χ鄠€信號進(jìn)行有效的DOA 估計。從圖9 可以看出，當(dāng)信噪比大于-16 dB 時，本文所提算法的測向精度達(dá)到了0.5°以上，且對應(yīng)的精度曲線收斂到了0°，而OMP算法、MUSIC 算法和DML 算法對應(yīng)的測向精度曲線分別收斂到了0.8°、1.2°和0.7°。綜合來看，相比于其他3 種測向算法，本文所提算法的抗噪能力和測向精度更優(yōu)。

圖8 4 種算法測向成功率隨信噪比變化的曲線

圖9 4 種算法測向精度隨信噪比變化的曲線

6 結(jié)束語

本文以提升均勻圓陣對相干信號的測向性能為目標(biāo)，提出了一種去噪GSD-ST 與稀疏重構(gòu)相結(jié)合的DOA 估計算法，去噪GSD-ST 算法保證了對相干組拆分和估計實(shí)際方向矩陣的有效性和穩(wěn)定性，稀疏重構(gòu)算法則利用估計的實(shí)際方向矩陣對每個相干組進(jìn)行DOA 估計。仿真實(shí)驗表明，在欠定情況和入射信源存在相干信號時，本文所提算法的測向準(zhǔn)確率和抗擾能力都更優(yōu)。當(dāng)入射信源角度差較小和信源數(shù)較多時，本文所提算法的測向優(yōu)勢更明顯；同時，本文所提算法為極少快拍數(shù)測向提供了理論和仿真依據(jù)。接下來，筆者將進(jìn)一步探索如何在低信噪比下利用極少快拍數(shù)進(jìn)行測向的問題，以進(jìn)一步提高算法的測向性能。