文| 孫治國(guó)
新課標(biāo)背景下,學(xué)生是課堂的主體,教師需要結(jié)合學(xué)生成長(zhǎng)特點(diǎn)講授新知識(shí),鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑、探索與創(chuàng)新,主動(dòng)分享不同看法?,F(xiàn)以北師大版六年級(jí)“圓的周長(zhǎng)”一課為例,帶領(lǐng)學(xué)生探索圓的周長(zhǎng)并透過現(xiàn)象看到本質(zhì)所在,培養(yǎng)其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
教師:同學(xué)們,我問大家一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題,一只螞蟻沿著正方形走一圈,另一只螞蟻沿著圓走一圈,誰走的路程長(zhǎng)?請(qǐng)大家大膽猜一猜。
學(xué)生積極思考,通過討論明確:要比較螞蟻?zhàn)哌^的路程,應(yīng)該比正方形一圈的長(zhǎng)度與圓一圈的長(zhǎng)度。
教師:現(xiàn)在我們換一種方式,請(qǐng)思考下面的問題:(1)自行車和滑板車,誰的輪子大?(2)如果同樣只滾動(dòng)一圈,誰能滾得更遠(yuǎn)?(3)為什么它滾得遠(yuǎn)?
學(xué)生結(jié)合剛才的結(jié)論,明確上述問題比較的是圓的一圈的長(zhǎng)度,回顧與圓相關(guān)的知識(shí)。
教師:請(qǐng)同學(xué)們?cè)诩埳袭嬕粋€(gè)圓,裁剪好。請(qǐng)把裁剪好的圓舉起來,摸一摸圓的周長(zhǎng),再次體會(huì)圓的周長(zhǎng)是什么。(實(shí)際上是圓的一周的長(zhǎng)度)那么,現(xiàn)在繼續(xù)思考,自行車和滑板車誰滾得遠(yuǎn)?
學(xué)生發(fā)散思維,思考自行車輪與滑板車輪滾動(dòng)與圓之間的聯(lián)系。
生1:車輪滾動(dòng)一圈,留下一條直線,這條直線就是車輪的周長(zhǎng)。
生2:輪子越大,滾動(dòng)距離越長(zhǎng),是不是圓越大,周長(zhǎng)越長(zhǎng)?
教師設(shè)計(jì)以下問題:①自行車車輪滾動(dòng)一圈的長(zhǎng)度是什么?②滑板車車輪滾動(dòng)一圈的長(zhǎng)度是什么?
學(xué)生進(jìn)一步思考與探索,教師指名回答。
生1:自行車車輪滾動(dòng)一圈的長(zhǎng)度是自行車車輪的周長(zhǎng)。
生2:滑板車車輪滾動(dòng)一圈的長(zhǎng)度是滑板車車輪的周長(zhǎng)。
(設(shè)計(jì)意圖:運(yùn)用生活元素讓知識(shí)立體化與直觀化,同時(shí)通過多個(gè)有關(guān)聯(lián)的問題帶領(lǐng)學(xué)生走入生活情境,回顧車輪滾動(dòng)一圈的情況,引發(fā)探討興趣,理解周長(zhǎng)的真正含義,構(gòu)建周長(zhǎng)的概念。)
教師結(jié)合小學(xué)生思維特征,帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)知識(shí)點(diǎn),并設(shè)計(jì)引導(dǎo)問題:觀察圓并說一說什么是圓的周長(zhǎng),總結(jié)圓的周長(zhǎng)概念。
學(xué)生再次摸一摸剛才剪好的圓形紙片,再比一比同桌的圓,結(jié)合教師的問題,指著圓片爭(zhēng)相講解。
生1:圓的周長(zhǎng)是這個(gè)圓一圈的長(zhǎng)度。
生2:圓形的周長(zhǎng)是圍成圓形的這條曲線的長(zhǎng)度。
教師及時(shí)揭示課題:現(xiàn)在,我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓的周長(zhǎng)。請(qǐng)大家回答下面的問題:(1)我們知道了圓的周長(zhǎng),如果讓你制作另一個(gè)圓,要求比第一個(gè)圓大或者小,你該怎么畫?(2)想一想,圓的周長(zhǎng)是一個(gè)長(zhǎng)度,它和什么有關(guān)系呢?
生3:增加圍成圓的曲線的長(zhǎng)度,讓圓變大。
生4:用手部做出擴(kuò)大的動(dòng)作,表示大圓;用縮小的動(dòng)作表示小圓。
學(xué)生意識(shí)到可以增加或者縮短圓的直徑,從而調(diào)整圓的周長(zhǎng)。
教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)概念,提出問題:同學(xué)們,如果用嚴(yán)謹(jǐn)一點(diǎn)的語言該如何表述圓的周長(zhǎng)?
學(xué)生結(jié)合圓的概念與性質(zhì)思考,并運(yùn)用數(shù)學(xué)思維去組織語言,總結(jié)出圍成圓一周的曲線的長(zhǎng)度是圓的周長(zhǎng),成功獲得圓的周長(zhǎng)概念。
(設(shè)計(jì)意圖:教師在情境創(chuàng)設(shè)后直接揭示課題,通過簡(jiǎn)單的問題引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)概念性知識(shí),將更多的時(shí)間放在后續(xù)探索環(huán)節(jié),保證新課程標(biāo)準(zhǔn)能夠落實(shí)到位。)
教師結(jié)合圓的周長(zhǎng)概念,帶領(lǐng)學(xué)生探索如何測(cè)量圓的周長(zhǎng)。
教師通過設(shè)問引思,幫助學(xué)生明確探索方向:(1)你如何知道這個(gè)圓形紙片的周長(zhǎng)?(2)你會(huì)使用什么辦法?(3)你的辦法最簡(jiǎn)單嗎?請(qǐng)展示你的辦法。
學(xué)生自主思考與研究,計(jì)算圓形紙片的周長(zhǎng)。
生5 展示自己的辦法,用一根繩子繞圓形紙片外邊一圈,做好標(biāo)記,用直尺量繩子長(zhǎng)度,就算出這個(gè)圓片的周長(zhǎng)。
教師巧設(shè)問題:(1)大家都是用這個(gè)辦法嗎?(2)想一想,還有其他不同的辦法嗎?
學(xué)生展示不同方法,有的將圓立起來,放在紙上,記錄圓與紙接觸的位置,再滾動(dòng)圓片一周,待滾動(dòng)至剛才圓上標(biāo)記的點(diǎn)時(shí)停下來,計(jì)算這一段滾動(dòng)的長(zhǎng)度。
教師總結(jié):看來大家想到的辦法,基本上是把圓的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為曲線的長(zhǎng)度。很棒,這種辦法很不錯(cuò),是測(cè)量圓的周長(zhǎng)的好辦法。但如果圓非常大,你該怎么計(jì)算?古代的人是怎么計(jì)算圓的周長(zhǎng)的?
(學(xué)生思維開始活躍,期待學(xué)習(xí)計(jì)算圓周長(zhǎng)的新辦法。)
設(shè)計(jì)意圖:調(diào)動(dòng)學(xué)生已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn),引導(dǎo)學(xué)生自主探究完成圓的周長(zhǎng)測(cè)量,同時(shí)將數(shù)學(xué)思想“化曲為直”滲透其中,幫助學(xué)生去尋找解決數(shù)學(xué)問題的辦法,培養(yǎng)其探究意識(shí)與實(shí)踐能力。
教師結(jié)合上一環(huán)節(jié)留下的疑問,創(chuàng)設(shè)新情境,用多媒體展示北京天壇公園的回音壁,又展示“天津之眼”的摩天輪,引導(dǎo)學(xué)生思考:(1)回音壁與摩天輪都是什么形狀?(2)請(qǐng)問如何用剛才的方法去測(cè)量它們的周長(zhǎng)?是否有其他辦法測(cè)量?
(學(xué)生紛紛思考并分享自身真實(shí)想法。)
生1:可以運(yùn)用目測(cè)法計(jì)算。
生2:可以用比例與估算的方式去計(jì)算。
教師引導(dǎo)學(xué)生回顧:圓包括半徑、直徑、圓心,那么圓的周長(zhǎng)是否跟這些元素有關(guān)?
(設(shè)計(jì)意圖:創(chuàng)設(shè)新情境,引導(dǎo)學(xué)生感悟用“圍”的方式測(cè)量圓周長(zhǎng)的局限性,從而理解計(jì)算圓周長(zhǎng)公式的重要性,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力,成功喚醒學(xué)生探索動(dòng)力,進(jìn)一步落實(shí)新課標(biāo)。)
教師設(shè)問:(1)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算需要什么條件?(2)計(jì)算圓的周長(zhǎng)需要知道什么?
學(xué)生回顧并積極回答。
生1:長(zhǎng)方形周長(zhǎng)需要知道長(zhǎng)與寬。
生2:在滾動(dòng)的方式下計(jì)算圓的周長(zhǎng)時(shí),圓的半徑與直徑并沒有發(fā)生變化,所以計(jì)算圓的周長(zhǎng)需要知道圓的半徑或者直徑。
師:那么,你們知道圓的周長(zhǎng)與半徑、直徑有什么關(guān)系嗎?
學(xué)生分小組探究,各小組通過估算明白圓的周長(zhǎng)是直徑的2 倍多,但未獲得具體數(shù)值。
(設(shè)計(jì)意圖:用合作探究方式解決上一環(huán)節(jié)遺留問題,探究圓的半徑、直徑與周長(zhǎng)的關(guān)系。教師通過問題與小組合作讓學(xué)生挖掘知識(shí)之間的聯(lián)系,讓知識(shí)成功遷移,有利于培養(yǎng)學(xué)生探索能力。)
教師布置小組任務(wù):(1)將圓分成不同等份,計(jì)算圓的周長(zhǎng)是直徑的幾倍。(2)各小組試著計(jì)算,分別分成4 份、6 份,記錄計(jì)算結(jié)果。
各小組展示計(jì)算結(jié)果:
1 小組:把圓等分成4 份,圓的周長(zhǎng)是直徑的4倍左右。
2 小組:在分成6 份時(shí),圓的周長(zhǎng)比圓的直徑的3 倍多一點(diǎn)。
……
各小組進(jìn)入深度探索階段,計(jì)算出3.2 左右。
教師:圓的周長(zhǎng)除以直徑的商為什么都不是固定的數(shù)呢?是因?yàn)闇y(cè)量不準(zhǔn)確而存在一些誤差嗎?
學(xué)生繼續(xù)計(jì)算,發(fā)現(xiàn)確實(shí)如此,從而陷入困惑。
教師:大家的計(jì)算過程完全正確,但不可避免會(huì)出現(xiàn)誤差,只能減少誤差。在古代,我國(guó)知名數(shù)學(xué)家祖沖之揭示循環(huán)小數(shù)圓周率為3.1415926……比歐洲早好幾百年。后來歐洲數(shù)學(xué)家進(jìn)一步研究之后,圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后12411 億位,并用π 表示。
學(xué)生在知道這一結(jié)果之后,開始崇拜公式的形成過程,水到渠成地理解了圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式為C=πd 或者C=2πr。
(設(shè)計(jì)意圖:結(jié)合上一環(huán)節(jié)的疑問,教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)猜想與假設(shè),進(jìn)入公式推導(dǎo)過程。在合作探究中用舊知學(xué)習(xí)新知,幫助學(xué)生通過思考與驗(yàn)證形成新知識(shí),體會(huì)極限思想,同時(shí)滲透愛國(guó)主義教育,讓學(xué)生帶著自豪感去探索數(shù)學(xué)知識(shí)。)
教師總結(jié):今天你有什么新收獲?
學(xué)生:了解了圓的周長(zhǎng)概念,學(xué)習(xí)了圓的周長(zhǎng)公式,知道了祖沖之和圓周率的故事。
教師:你認(rèn)識(shí)了哪位科學(xué)家?他的成就是什么?
學(xué)生:我們認(rèn)識(shí)了祖沖之,他發(fā)現(xiàn)了圓周率。
教師:你還想了解有關(guān)圓的什么知識(shí)?
學(xué)生:圓在生活中有哪些應(yīng)用呢?
學(xué)生討論后,教師總結(jié):在日常生活、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、交通運(yùn)輸、土木建筑等方面,都可以見到圓的形象,如蒙古包、汽車輪胎等。
(設(shè)計(jì)意圖:通過知識(shí)之間的聯(lián)系去學(xué)習(xí)新知識(shí),使學(xué)生形成數(shù)學(xué)思想,掌握學(xué)習(xí)方法與運(yùn)用技巧,促進(jìn)學(xué)生總結(jié)和探究等能力的提升。)
運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題,同時(shí)開展變式訓(xùn)練。
教師多媒體出示之前展示的天壇回音壁與摩天輪的圖片,邀請(qǐng)學(xué)生解決最初遇到的問題。教師給出的已知條件是:天壇回音壁圍墻直徑為65 m,摩天輪圓形框架半徑為55 m,同時(shí)設(shè)計(jì)變式訓(xùn)練,一個(gè)長(zhǎng)方形的羊圈需要改裝成圓形羊圈,已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為5 m,寬為3 m,請(qǐng)問圓形羊圈的周長(zhǎng)是多少?
學(xué)生利用C=πd 或者C=2πr 完成計(jì)算并展示計(jì)算結(jié)果,感受π 的關(guān)鍵作用,還靈活地將長(zhǎng)方形周長(zhǎng)轉(zhuǎn)換為圓的周長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算。
(設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生運(yùn)用親自探究得出的圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式去解決最開始遇到的實(shí)際問題,通過變式訓(xùn)練實(shí)現(xiàn)其解決問題能力的同步培養(yǎng)。)
在新知導(dǎo)入環(huán)節(jié),教師通過教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)幫助學(xué)生建立起圓的周長(zhǎng)概念,全面調(diào)動(dòng)其生活經(jīng)驗(yàn)。但教師還應(yīng)重視學(xué)生適應(yīng)社會(huì)能力的培養(yǎng),如帶領(lǐng)學(xué)生探索測(cè)量山體與湖泊的周長(zhǎng),增強(qiáng)其社會(huì)責(zé)任感,學(xué)生將化身設(shè)計(jì)師去探索與運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)。
在自主探究與合作探究環(huán)節(jié),教師成功融入“化曲為直”的數(shù)學(xué)思維,快速啟動(dòng)問題“倍數(shù)關(guān)系”,使各小組憑借集體智慧探索圓的周長(zhǎng)公式。在該過程中,學(xué)生觀察圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系,大膽去驗(yàn)證與分享想法,獲得圓周率近似值。在新課標(biāo)下,教師要圍繞學(xué)生探究能力的培養(yǎng),增設(shè)小組競(jìng)賽活動(dòng),讓各小組更積極地去探索,融合創(chuàng)新思維去尋找測(cè)量圓的周長(zhǎng)的辦法。在比賽氛圍中,學(xué)生能夠突破“圍”與“繞”的局限,用計(jì)算的方式去解決實(shí)際問題,結(jié)合圓的近似值去探索圓的周長(zhǎng)、直徑、半徑之間的聯(lián)系,對(duì)前面的猜想、推理做到及時(shí)驗(yàn)證與總結(jié),通過探究獲得新知識(shí),提升自身探究能力。
教師要促進(jìn)知識(shí)遷移,做到“為遷移而教”,讓學(xué)生善于探索知識(shí)間的聯(lián)系并加以利用,讓原有知識(shí)與新知識(shí)同化、融合。教師不僅要通過長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算引出圓的周長(zhǎng),還應(yīng)融入游戲元素,例如,設(shè)計(jì)闖關(guān)游戲,先說出長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算原理,成功者進(jìn)入第二關(guān)看到圓的周長(zhǎng)、圓周率的故事,化身數(shù)學(xué)家去總結(jié)圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式。再進(jìn)入第三關(guān),看到思維導(dǎo)圖內(nèi)容,理清知識(shí)之間的聯(lián)系,如圓的直徑、半徑、圓周率與周長(zhǎng)的關(guān)系。與此同時(shí),教師用短視頻展示劉徽、祖沖之獲得的世界性成就,講述更多數(shù)學(xué)家的故事,激發(fā)學(xué)生探索、愛國(guó)的學(xué)習(xí)情感。
在總結(jié)與訓(xùn)練環(huán)節(jié),教師應(yīng)融入更多實(shí)際元素,設(shè)計(jì)多種類型的訓(xùn)練,例如,計(jì)算圓形廣場(chǎng)、圓形農(nóng)田的周長(zhǎng)等。在實(shí)踐應(yīng)用中,學(xué)生將圓周長(zhǎng)計(jì)算公式運(yùn)用于生活各方面,更好地理解圓周長(zhǎng)計(jì)算與運(yùn)用的實(shí)際意義。