胡吉振 金璐瑤 周東明 胡典順

(1.麗水學(xué)院教師教育學(xué)院，浙江 麗水 323000；2.華中師范大學(xué)教育學(xué)院，湖北 武漢 430079；3.華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430079)

一、問題提出

本文是基于小學(xué)數(shù)學(xué)教材的視角，來審視“小學(xué)數(shù)學(xué)是什么”這個(gè)問題，并作出回答。不同版本的小學(xué)數(shù)學(xué)課本呈現(xiàn)內(nèi)容都是花花綠綠、五彩繽紛的兒童生活世界，其實(shí)兒童的這個(gè)生活世界是一個(gè)現(xiàn)象的世界或事實(shí)的世界，但是一些小學(xué)教師可能被小學(xué)數(shù)學(xué)課本中豐富多彩的現(xiàn)象世界迷惑，忘掉了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，因此有必要對(duì)“小學(xué)數(shù)學(xué)是什么”這個(gè)問題進(jìn)行哲學(xué)的反思。只有對(duì)“小學(xué)數(shù)學(xué)是什么”這個(gè)本質(zhì)不斷追問，才能對(duì)數(shù)學(xué)有所了解、有所認(rèn)識(shí)，才能更好地從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)?！靶W(xué)數(shù)學(xué)是什么”與“什么是小學(xué)數(shù)學(xué)”這是兩個(gè)不同的問題。對(duì)于后者可以給出很多的答案，例如10+10=20就是小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，這種問法要求回答的是小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的范圍或者說外延，而不是對(duì)“小學(xué)數(shù)學(xué)”本質(zhì)內(nèi)涵的揭示。但是“小學(xué)數(shù)學(xué)是什么”要回答的內(nèi)容就要涉及小學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，就不能對(duì)這個(gè)問題采用枚舉的方式說“這是小學(xué)數(shù)學(xué)”“那是小學(xué)數(shù)學(xué)”。“小學(xué)數(shù)學(xué)是什么”是一個(gè)數(shù)學(xué)教育哲學(xué)問題，對(duì)這個(gè)問題的回答，就要站在數(shù)學(xué)教育哲學(xué)的視角來審視這個(gè)問題。小學(xué)數(shù)學(xué)絕不是純粹或理論形式的數(shù)學(xué)，而主要是以兒童生活世界為中心展開的數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)大師陳省身的“數(shù)學(xué)好玩”也絕不是小學(xué)數(shù)學(xué)課本一個(gè)欄目中的“數(shù)學(xué)好玩”[1]。小學(xué)數(shù)學(xué)主要產(chǎn)生于人類的童年時(shí)期，基本上是人類最初的數(shù)學(xué)知識(shí)，是學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的知識(shí)。從數(shù)學(xué)教育哲學(xué)的視角審視“小學(xué)數(shù)學(xué)是什么”對(duì)我們從事小學(xué)數(shù)學(xué)教育具有積極的指導(dǎo)意義。從某種程度上講，在理解“小學(xué)數(shù)學(xué)是什么”的基礎(chǔ)上才能更好地從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。就像章建躍所說，理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提。[2]

為了更好地理解或回答“小學(xué)數(shù)學(xué)是什么”，筆者從“數(shù)學(xué)是什么”這一問題出發(fā)。筆者查閱了相關(guān)的資料發(fā)現(xiàn)，講“數(shù)學(xué)是什么”的參考文獻(xiàn)很多，但是大部分是數(shù)學(xué)哲學(xué)的內(nèi)容[3]，很少有從小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)際出發(fā)針對(duì)性具體講“小學(xué)數(shù)學(xué)是什么”的文章，學(xué)術(shù)參考文獻(xiàn)很少。[4]小學(xué)數(shù)學(xué)似乎沒有達(dá)到哲學(xué)的高度或者說小學(xué)數(shù)學(xué)沒有哲學(xué)思想，其實(shí)這種觀點(diǎn)至少是值得商榷的。小學(xué)教育哲學(xué)在國(guó)內(nèi)早已是比較成熟的一個(gè)教育學(xué)分支，同樣小學(xué)數(shù)學(xué)也是有數(shù)學(xué)教育哲學(xué)或數(shù)學(xué)哲學(xué)的。就像林夏水所說，有數(shù)學(xué)就有數(shù)學(xué)哲學(xué)[5]，而且小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與課本或教材都是業(yè)內(nèi)專家在某種教育理念的指導(dǎo)下精心編寫的，其數(shù)學(xué)哲學(xué)的思想存在性是毋庸置疑的，因此“小學(xué)數(shù)學(xué)是什么”也是一個(gè)數(shù)學(xué)哲學(xué)問題?！靶W(xué)數(shù)學(xué)是什么”這個(gè)問題是“數(shù)學(xué)是什么”的進(jìn)一步回答，也就是說首先回答數(shù)學(xué)是什么，然后再回答小學(xué)數(shù)學(xué)是什么，粗略地講“小學(xué)數(shù)學(xué)是什么”是“數(shù)學(xué)是什么”的具體化。從系統(tǒng)論的角度來講，也可以說“小學(xué)數(shù)學(xué)是什么”是“數(shù)學(xué)是什么”這個(gè)母系統(tǒng)的子系統(tǒng)。從集合角度來講，“小學(xué)數(shù)學(xué)是什么”這個(gè)集合是“數(shù)學(xué)是什么”這個(gè)集合的一個(gè)子集。但是對(duì)這個(gè)問題的回答我們也可以不通過“數(shù)學(xué)是什么”，而直接說“小學(xué)數(shù)學(xué)是什么”。由于小學(xué)數(shù)學(xué)涉及更多的是生活中的數(shù)學(xué)問題，因此必須考慮數(shù)學(xué)與兒童現(xiàn)實(shí)生活的密切關(guān)系，應(yīng)該從兒童現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系審視小學(xué)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)；由于兒童的思維方式正處于形象思維向抽象思維的轉(zhuǎn)變時(shí)期，而且小學(xué)數(shù)學(xué)課本或教材是以形象生動(dòng)的畫面形式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)，而不是抽象難懂，這也說明了大多數(shù)“數(shù)學(xué)是什么”學(xué)術(shù)文獻(xiàn)的回答未必真實(shí)地反映形象直觀、通俗易懂的小學(xué)數(shù)學(xué)教材的真實(shí)面貌，這也與抽象思維還不發(fā)達(dá)的小學(xué)生不相匹配。總之，小學(xué)數(shù)學(xué)是離不開現(xiàn)實(shí)的兒童生活世界的，甚至沒有從現(xiàn)實(shí)生活中脫離出來，這也要求我們審視小學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)必須從兒童的現(xiàn)實(shí)生活視角出發(fā)，從這方面來講，小學(xué)數(shù)學(xué)首先是小學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)；其次，由于大部分的小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生于人類遙遠(yuǎn)的古代，這就需要我們回顧歷史，從數(shù)學(xué)史視角審視“小學(xué)數(shù)學(xué)是什么”；數(shù)學(xué)作為一種文化，小學(xué)數(shù)學(xué)更是一種文化，我們也可以從文化的視角審視“小學(xué)數(shù)學(xué)是什么”；最后，從審美的角度來看，小學(xué)數(shù)學(xué)處處充滿了“美”，是一門“美”的藝術(shù)。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)是生活

1.生活體驗(yàn)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)

小學(xué)數(shù)學(xué)是兒童生活的萬花筒，這個(gè)萬花筒里面有動(dòng)物王國(guó)的動(dòng)物，有植物王國(guó)的植物，有逛公園買東西的場(chǎng)景，有做游戲填寫數(shù)字的樂趣，有猜謎語聽數(shù)學(xué)家故事的情形，有植樹、廢品回收的時(shí)代主題，也有節(jié)能環(huán)保的情境創(chuàng)設(shè)，但是這個(gè)萬花筒的主線是數(shù)學(xué)，而且這個(gè)生活的萬花筒是用數(shù)學(xué)串起來的，數(shù)學(xué)是兒童生活的靈魂。五彩繽紛的現(xiàn)實(shí)生活簇?fù)碇?，我們的主人公，社?huì)主義社會(huì)未來的建設(shè)者小學(xué)生出場(chǎng)了。每個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之下都有著十分豐富的兒童生活背景，把數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)在兒童生活背景與實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的活動(dòng)之中，讓兒童更加親切感受到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，感受到數(shù)學(xué)是如此的親密與平易近人。兒童主要是在課上課下通過親自操作獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，可以說是依靠“絕知此事要躬行”的觀念去獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的，也可以說是通過“用中學(xué)”或“做中學(xué)”獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的，而且他們獲得的多數(shù)是直接知識(shí)或直接經(jīng)驗(yàn)。由于多數(shù)是直接的知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)，所以他們對(duì)獲得數(shù)學(xué)知識(shí)是很親切的，體驗(yàn)很深刻。小學(xué)數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)與生活的混合物，而不是純粹數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)教育家張奠宙曾說：小學(xué)數(shù)學(xué)是教育形態(tài)的數(shù)學(xué)，而不是學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)；小學(xué)數(shù)學(xué)是生活化的數(shù)學(xué)，而不是學(xué)術(shù)化的數(shù)學(xué)。小學(xué)數(shù)學(xué)很像中國(guó)的古代數(shù)學(xué)，是生活化的數(shù)學(xué)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。小學(xué)數(shù)學(xué)很少把數(shù)學(xué)研究的基本概念和基本理論從現(xiàn)實(shí)生活中完全徹底脫離出來?？梢赃@樣講，小學(xué)數(shù)學(xué)的大多數(shù)基本概念和基本理論是在小學(xué)生生活之中的數(shù)學(xué)，沒有脫離兒童現(xiàn)實(shí)的生活經(jīng)驗(yàn)。兒童的現(xiàn)實(shí)生活雖然是五彩斑斕的，但是數(shù)學(xué)始終是這個(gè)五彩斑斕現(xiàn)實(shí)生活的主角或靈魂。

小學(xué)數(shù)學(xué)是生活，這一定位說明了小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)或者說小學(xué)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)論強(qiáng)調(diào)的不僅是可以通過像自然科學(xué)一樣實(shí)踐的方式獲取數(shù)學(xué)知識(shí)或提高數(shù)學(xué)能力，也可能通過像哲學(xué)詮釋學(xué)所提倡的通過體驗(yàn)的方式來獲取數(shù)學(xué)知識(shí)和提高數(shù)學(xué)能力。[6]在某種程度上講，前者不再占有主導(dǎo)地位，就像周東明所強(qiáng)調(diào)的，對(duì)于小學(xué)低年級(jí)學(xué)生來說，他們還不能將主體與客體區(qū)分開來，思考問題時(shí)，更相信自己的直觀感覺，相信自己所看到的現(xiàn)實(shí)情景[7]，因此后者應(yīng)該占有主導(dǎo)地位。前者依靠自然科學(xué)實(shí)踐的方式獲取的數(shù)學(xué)知識(shí)可能是枯燥、冰冷的，但是后者通過內(nèi)心的參與體驗(yàn)或感悟的方式獲取的數(shù)學(xué)知識(shí)可以說是火熱的思考，才可能更好地激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。這種體驗(yàn)事實(shí)上把學(xué)生整個(gè)身心都融入進(jìn)去了，不僅是用客觀事實(shí)說話，而是用兒童的身心思想精神在言說數(shù)學(xué)，以此到達(dá)我是數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)是我的境界。只有這種境界，達(dá)到數(shù)學(xué)與我的統(tǒng)一，才能更好地理解數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

2.適度數(shù)學(xué)生活化

數(shù)學(xué)的生活化是生活理性化的重要標(biāo)志，這是用數(shù)來量化生活，這更是一種理性精神的體現(xiàn)，沒有數(shù)學(xué)生活化的生活才是模糊的，才是“差不多”的生活，是沒有理性精神的生活。一些學(xué)者或著作提到“要像數(shù)學(xué)家一樣思考問題”[8]，其實(shí)數(shù)學(xué)生活化可以培養(yǎng)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中自覺應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和自覺在現(xiàn)實(shí)生活中以數(shù)學(xué)家的思維方式思考現(xiàn)實(shí)生活中的問題，這就是數(shù)學(xué)生活化給生活帶來的巨大積極影響。但是我們要辯證地看待“數(shù)學(xué)的生活化”問題，數(shù)學(xué)畢竟不是生活的全部，數(shù)學(xué)有它自身的本質(zhì)屬性。就像周東明所說，在正確理解“加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)與生活的聯(lián)系”的同時(shí)要堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)教學(xué)的“數(shù)學(xué)性”，數(shù)學(xué)教學(xué)如果沒有“數(shù)學(xué)性”，這樣的教學(xué)是不可取的。[9]胡典順、趙軍進(jìn)行了理性反思，也提出數(shù)學(xué)不能過度生活化的思想。[10]

筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)適度生活化很有必要，但是應(yīng)該注意到學(xué)生所處的階段，看學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)主體的具體情況和學(xué)習(xí)的具體內(nèi)容而定。小學(xué)數(shù)學(xué)課本中有一些基本的數(shù)學(xué)概念與原理是不能生活化的。某些數(shù)學(xué)內(nèi)容不能生活化的一個(gè)原因是數(shù)學(xué)雖然來源于現(xiàn)實(shí)生活，但是現(xiàn)實(shí)生活實(shí)踐活動(dòng)是有局限性的，并不是數(shù)學(xué)的全部來源。例如直線、射線、角等一些涉及無限數(shù)學(xué)概念的時(shí)候就脫離了現(xiàn)實(shí)實(shí)踐生活，人類的現(xiàn)實(shí)生活實(shí)踐活動(dòng)是有限的，有限的實(shí)踐活動(dòng)怎么能夠容納或找到無限的數(shù)學(xué)概念的生活原型呢？這時(shí)候數(shù)學(xué)生活化就受到局限，需要讓學(xué)生展開想像的翅膀，想像無限的觀念。從某種程度上講，數(shù)學(xué)生活化的程度隨著學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的深入而逐漸降低。如果說小學(xué)數(shù)學(xué)在一定程度上可以生活化，但是到中學(xué)，甚至大學(xué)，尤其是數(shù)學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是不能生活化的。越是高深的數(shù)學(xué)理論越可能與現(xiàn)實(shí)生活脫節(jié)，越是遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)生活社會(huì)，數(shù)學(xué)的生活化可能越難。小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容在教材的編排上主要是螺旋上升方式，在這種方式之下，如果一個(gè)數(shù)學(xué)概念第一次提出可以生活化，但是當(dāng)?shù)诙卧偬岢龅臅r(shí)候應(yīng)該是回歸數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)，給出數(shù)學(xué)的概念，但不能過度生活化。兒童的思維正在從形象思維轉(zhuǎn)向抽象思維的過渡階段，數(shù)學(xué)的生活化使其更好地理解數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的生活化可以更好地培養(yǎng)學(xué)生的形象思維與幾何直觀，但是數(shù)學(xué)的本質(zhì)是抽象的、邏輯的，數(shù)學(xué)本質(zhì)的回歸有利于兒童抽象思維的培養(yǎng)與提高。如果僅僅是數(shù)學(xué)生活化，學(xué)生的抽象思維不容易形成；反之，如果僅僅回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)非生活化，數(shù)學(xué)形象與直觀的一面沒有展示出來，數(shù)學(xué)可能不容易理解，數(shù)學(xué)和藹可親的面容就可能消失，數(shù)學(xué)就變得枯燥無味。另外，在某種意義上講，數(shù)學(xué)的生活化雖然在一定程度上可以更好地理解數(shù)學(xué)，但是數(shù)學(xué)生活化僅僅是理解數(shù)學(xué)的一個(gè)工具、一個(gè)手段或措施或媒介，隨著小學(xué)生進(jìn)入中學(xué)乃至大學(xué)，這種生活化理解數(shù)學(xué)的方式可能被淘汰，也就是說通過現(xiàn)實(shí)生活找不到理解數(shù)學(xué)的模型，這個(gè)時(shí)候?qū)W生開始通過想像或者說把以前用生活理解數(shù)學(xué)的方式給內(nèi)化為觀念思想來理解數(shù)學(xué)。應(yīng)當(dāng)看到理解與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是多元化的方式，也不僅僅是生活化一種理解方式。數(shù)學(xué)生活化的具體內(nèi)涵就應(yīng)該是數(shù)學(xué)有其自身的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)的生活化失去的不應(yīng)該是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。生活化的過度導(dǎo)致只見“生活”不見“數(shù)學(xué)”。例如在教學(xué)中把數(shù)學(xué)的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性“生活化掉”了，那還是數(shù)學(xué)教學(xué)嗎？“數(shù)學(xué)生活化的邊界”雖然可能是模糊的，是一個(gè)動(dòng)態(tài)的概念，但是最重要的一定是不能把數(shù)學(xué)的本質(zhì)或特點(diǎn)“生活化掉”！

三、小學(xué)數(shù)學(xué)是歷史

小學(xué)數(shù)學(xué)課本中的數(shù)學(xué)知識(shí)基本上(這個(gè)“基本上”是很有必要的，還有一些近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想精神向小學(xué)數(shù)學(xué)課本中滲透)是數(shù)學(xué)史上人類最初的數(shù)學(xué)知識(shí)。小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)基本上是人類初期生產(chǎn)力發(fā)展到一定程度產(chǎn)生的，至少都是一兩千年之前人類在實(shí)踐的基礎(chǔ)上獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)和近現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的滲透，古巴比倫和古埃及的數(shù)學(xué)產(chǎn)生得更久遠(yuǎn)一些。從這點(diǎn)來講，小學(xué)數(shù)學(xué)基本上就是人類早期的數(shù)學(xué)史，就是人類早期的數(shù)學(xué)成就。但是，就像西方永恒主義教育哲學(xué)流派一樣，這些人類早期的數(shù)學(xué)知識(shí)在今天人們的現(xiàn)實(shí)日常生活中仍然發(fā)揮著積極的影響，仍然沒有過時(shí)，相反成為人類攀登數(shù)學(xué)科學(xué)高峰的最基礎(chǔ)部分，培養(yǎng)數(shù)學(xué)方面的人才就是要從這些最基本的數(shù)學(xué)知識(shí)出發(fā)。小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)雖然是過去的歷史，但是對(duì)今天人類的生活仍然有著積極的影響，發(fā)揮著重要作用，這就彰顯了過去數(shù)學(xué)知識(shí)的今天價(jià)值。事實(shí)上不僅小學(xué)數(shù)學(xué)是歷史，中學(xué)數(shù)學(xué)、大學(xué)數(shù)學(xué)都是人類的數(shù)學(xué)史。筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)上可以這樣講，一切當(dāng)代數(shù)學(xué)史都是過去史。因?yàn)閿?shù)學(xué)理論研究一旦成為定理就變成過去的數(shù)學(xué)知識(shí)，就變成過去的數(shù)學(xué)歷史。人類的社會(huì)發(fā)展是一個(gè)逐步的演化過程，但是數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史卻很少重復(fù)以前走過的軌跡，而是以創(chuàng)新為主，人類的數(shù)學(xué)發(fā)展走的是一條永遠(yuǎn)向前的不歸路。

從小學(xué)數(shù)學(xué)是歷史的角度來講，中國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課本不僅要含有西方數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，更為重要的是也應(yīng)該包含中國(guó)數(shù)學(xué)史的內(nèi)容。負(fù)數(shù)的最早發(fā)現(xiàn)、祖沖之對(duì)圓周率的貢獻(xiàn)、劉徽的割圓術(shù)、《張邱建算經(jīng)》的“百雞百錢”問題、《孫子算經(jīng)》中的“物不知數(shù)”問題和“雞兔同籠”問題等都是中國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課本上不可缺失的內(nèi)容。當(dāng)然由于小學(xué)數(shù)學(xué)的篇章結(jié)構(gòu)基本上呈螺旋上升式，這種結(jié)構(gòu)決定了小學(xué)數(shù)學(xué)課本在敘述中國(guó)數(shù)學(xué)史乃至世界數(shù)學(xué)史的時(shí)候并非完全按照歷史的順序，而是根據(jù)實(shí)際的講課內(nèi)容見縫插針地?cái)⑹?，并且與前后數(shù)學(xué)內(nèi)容保持比較密切的相關(guān)性。

中小學(xué)數(shù)學(xué)教材在編排上已經(jīng)把數(shù)學(xué)史融入進(jìn)去，充分說明數(shù)學(xué)史融入教材的現(xiàn)實(shí)性。雖然小學(xué)數(shù)學(xué)呈現(xiàn)的是人類很早的數(shù)學(xué)知識(shí)，但是這種人類早期的數(shù)學(xué)知識(shí)包含豐富的人類早期數(shù)學(xué)乃至哲學(xué)思想。例如加法就是人類在漫長(zhǎng)的進(jìn)化過程中看到或經(jīng)歷了很多把許多東西放在一塊或和在一起的現(xiàn)象，最終就從類似的許許多多現(xiàn)象中抽象出來產(chǎn)生“和”或“合”的思想，當(dāng)這種思想從現(xiàn)實(shí)生活中脫離出來或抽象出來時(shí)就形成了數(shù)學(xué)中的“加法”，隨后人類在實(shí)踐的基礎(chǔ)上又產(chǎn)生了加法的快速運(yùn)算——乘法；人類的辯證思想比較早地在數(shù)學(xué)中得到充分體現(xiàn)，在數(shù)學(xué)中有了加法思想的同時(shí)，也就是說合或和的思想存在的同時(shí)就有了分的思想，分的思想是人類在數(shù)學(xué)上產(chǎn)生減法或除法的重要淵源?？梢赃@樣講，在人類早期的現(xiàn)實(shí)生活實(shí)踐活動(dòng)中，沒有分的思想，就不會(huì)產(chǎn)生減法和除法；沒有和的思想，也不會(huì)產(chǎn)生加法和乘法，可以看出“加減乘除”就是人類早期的“分”“合”思想及辯證思想在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)之一。其實(shí)分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生也是人類分的思想的產(chǎn)物。

小學(xué)數(shù)學(xué)中很少有給數(shù)學(xué)概念下定義的做法，即使是給數(shù)學(xué)概念下定義，基本上也是在高年級(jí)階段給數(shù)學(xué)概念一個(gè)清晰的形象直觀的描述性定義，例如角的定義、直線和射線的定義等。其實(shí)人類最初數(shù)學(xué)也不像古希臘數(shù)學(xué)那樣是概念化的，像古埃及數(shù)學(xué)、古巴比倫數(shù)學(xué)和中國(guó)古代數(shù)學(xué)最初就不是以概念的形式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容，其呈現(xiàn)方式很類似藝術(shù)，依靠直觀和感覺，這就像在巴比倫的某些地方留下了很多的正確的數(shù)學(xué)公式，但是沒有給出證明一樣。[11]這就說明了數(shù)學(xué)概念化、邏輯化的思想不是古希臘最初的數(shù)學(xué)，古希臘數(shù)學(xué)如果再向前追溯的話，最初也應(yīng)該是沒有給數(shù)學(xué)概念下定義的數(shù)學(xué)。從這個(gè)意義上講，小學(xué)數(shù)學(xué)課本其實(shí)就像這些初期的數(shù)學(xué)一樣，是很少有概念化的，這表面上是尊重人類數(shù)學(xué)史，尊重人類原初對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知規(guī)律，但是更為重要的是尊重兒童的認(rèn)知規(guī)律。給數(shù)學(xué)概念下“數(shù)學(xué)化”的定義，是建立公理化體系的需要，最早見于古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》。

四、小學(xué)數(shù)學(xué)是文化

小學(xué)數(shù)學(xué)是文化，因?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)是人類早期文化的重要組成部分。文化是一個(gè)民族走過的蹤跡，一個(gè)民族的文化是一個(gè)民族走過之后留下來的東西，數(shù)學(xué)文化也是如此。數(shù)學(xué)文化的呈現(xiàn)形式是多種多樣的，在世界上不同民族的小學(xué)數(shù)學(xué)文化呈現(xiàn)的方式是不同的，但是幾乎都是以自己本民族文化(主要以文字，而文字是一個(gè)民族文化，甚至是文明的重要標(biāo)志)的形式呈現(xiàn)。小學(xué)數(shù)學(xué)呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化主要是人類早期的文化，讓小學(xué)生在有限的五六年時(shí)間內(nèi)獲取人類早期幾百年、幾千年甚至上萬年獲取的數(shù)學(xué)知識(shí)。這個(gè)難度雖大，但是人類也在進(jìn)化，實(shí)踐也證明了這個(gè)目標(biāo)是可以實(shí)現(xiàn)的，這個(gè)進(jìn)化的過程可以把人類早期幾千年甚至上萬年獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)縮短成五六年讓小學(xué)生完成。英國(guó)教育家斯賓塞說：“知識(shí)在個(gè)人身上的萌生，必然會(huì)遵循知識(shí)在整體種族中萌生同樣的進(jìn)程。龐加萊、波利亞、托姆斯也認(rèn)為“個(gè)體發(fā)育是種族發(fā)育的重演”[12]。這是什么意思？就是說單個(gè)人的成長(zhǎng)其實(shí)就是重新走遍以前人類整體發(fā)育的過程。知識(shí)就是這樣發(fā)生的，兒童對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)必然遵循數(shù)學(xué)知識(shí)在人類歷史上發(fā)展發(fā)生的順序進(jìn)行。當(dāng)回答小學(xué)數(shù)學(xué)是什么的時(shí)候，還特別注意的是另一個(gè)問題，小學(xué)數(shù)學(xué)的文化性。從中華民族文化的角度來講，“小學(xué)數(shù)學(xué)是什么”應(yīng)該說成“中國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)是什么”，因?yàn)橹袊?guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課本或教材與西方小學(xué)數(shù)學(xué)課本或教材除了具有共性——蘊(yùn)含了人類早期的數(shù)學(xué)知識(shí)之外，還有一些是我們本民族文化賦予的內(nèi)涵，也就是小學(xué)數(shù)學(xué)教材具有文化屬性，具有民族屬性。把一個(gè)民族長(zhǎng)期積淀的文化——尤其是數(shù)學(xué)文化也融入進(jìn)去，至少一點(diǎn)是在中國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課本中使用的語言文字是漢字，而在太平洋彼岸的美國(guó)卻是英語，因?yàn)槲淖质且粋€(gè)民族文化的重要標(biāo)志，如果一個(gè)民族沒有了自己的文字，這個(gè)民族的文化就無法更好地傳承下去，這就是小學(xué)數(shù)學(xué)教材或課本的文化屬性。中國(guó)的七巧板、九連環(huán)、祖沖之與劉徽等數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)都是具有民族文化性的，希臘的小學(xué)數(shù)學(xué)課本上同樣會(huì)有畢達(dá)哥拉斯、阿基米德、丟番圖等數(shù)學(xué)家的故事?！靶W(xué)數(shù)學(xué)是什么”其實(shí)是帶有文化色彩的。

五、小學(xué)數(shù)學(xué)是藝術(shù)

數(shù)學(xué)來源于生活，小學(xué)數(shù)學(xué)課本是選取與兒童生活密切聯(lián)系的一些場(chǎng)景或情節(jié)等為題材，以數(shù)學(xué)知識(shí)為中心展開的論述。而且小學(xué)數(shù)學(xué)課本就是兒童生活的映射，課本中花花綠綠的圖形都是兒童五彩繽紛生活的反映。按照課程標(biāo)準(zhǔn)和教材要求教師同樣需要考慮到兒童熟悉的生活，在教學(xué)中同樣秉承小學(xué)數(shù)學(xué)是從兒童生活中來的原則，同樣小學(xué)生來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不是像英國(guó)哲學(xué)家、教育家洛克所強(qiáng)調(diào)“白板說”一樣是空著腦袋進(jìn)課堂的[13]，而是像建構(gòu)主義所強(qiáng)調(diào)的那樣是裝著自己的生活背景和已有的知識(shí)來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，也是從生活中來到課堂，這些都為小學(xué)數(shù)學(xué)就是藝術(shù)提供了充分的理由。小學(xué)數(shù)學(xué)課本是以圖畫、文字和數(shù)學(xué)符號(hào)等元素構(gòu)成，而不是純粹的數(shù)學(xué)符號(hào)，從這個(gè)意義上講，小學(xué)數(shù)學(xué)具有人文精神和科學(xué)精神，是科學(xué)精神與人文精神的融合，甚至是高度融入，這種融合應(yīng)該說是有點(diǎn)偏向于生活，偏向于人文。小學(xué)數(shù)學(xué)更多的成分像人文學(xué)科，它是科學(xué)精神與人文精神結(jié)合并強(qiáng)調(diào)人文精神的數(shù)學(xué)。當(dāng)從小學(xué)到中學(xué)再到大學(xué)隨著數(shù)學(xué)的抽象程度越來越高，數(shù)學(xué)越遠(yuǎn)離生活，數(shù)學(xué)也越靠近數(shù)學(xué)的一個(gè)本質(zhì)：抽象性。從這個(gè)意義上講，小學(xué)數(shù)學(xué)是最具有人文精神的數(shù)學(xué)，也是最具有藝術(shù)性的數(shù)學(xué)。說小學(xué)數(shù)學(xué)是最有藝術(shù)性的數(shù)學(xué)，是因?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)在某種程度上講是對(duì)數(shù)學(xué)的一種詮釋或解釋，以現(xiàn)實(shí)生活中的問題情境為出發(fā)點(diǎn)。不同版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材對(duì)相同的數(shù)學(xué)內(nèi)容有不同的詮釋，不同的小學(xué)生對(duì)相同的數(shù)學(xué)內(nèi)容也有不同的詮釋，不同的教師對(duì)相同的數(shù)學(xué)內(nèi)容也有不同的講解方式，這就說明小學(xué)數(shù)學(xué)更像或者說就是哲學(xué)詮釋學(xué)研究的對(duì)象，是屬于人文科學(xué)，是一門藝術(shù)。從方法論上講，小學(xué)數(shù)學(xué)不僅是西方科學(xué)強(qiáng)調(diào)的“主客二分”研究的前提或方法，還存在把數(shù)學(xué)直接置入兒童的生活，是強(qiáng)調(diào)“知行合一”的數(shù)學(xué)，是強(qiáng)調(diào)小學(xué)生在做中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是一種主客融合的學(xué)習(xí)方法。數(shù)學(xué)做題就是一種心得體驗(yàn)，就是一種把自己融入做題情境之中的參與狀態(tài)，是伏爾泰強(qiáng)調(diào)的體驗(yàn)數(shù)學(xué)[14]，是伽達(dá)默爾強(qiáng)調(diào)的參與數(shù)學(xué)[15]，是“絕知此事要躬行”的數(shù)學(xué)，是“行知合一”的數(shù)學(xué)。小學(xué)數(shù)學(xué)教材是以生活為背景，用生活演繹數(shù)學(xué)，小學(xué)教師講課也是秉承生活的教學(xué)，對(duì)小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和教材進(jìn)行了最大化的詮釋，這個(gè)詮釋的過程就是表現(xiàn)的過程。就像藝術(shù)家在表現(xiàn)或呈現(xiàn)藝術(shù)作品一樣，從這個(gè)角度來講，小學(xué)數(shù)學(xué)是藝術(shù)。小學(xué)生是如何理解數(shù)學(xué)呢？?jī)H僅是聽教師講課，自己以科學(xué)的態(tài)度學(xué)習(xí)就可以了？不是！小學(xué)生仍然像藝術(shù)家一樣要表演數(shù)學(xué)，要操作數(shù)學(xué)，小學(xué)生秉承“絕知數(shù)學(xué)要躬行”的精神去實(shí)踐數(shù)學(xué)。去做數(shù)學(xué)是有自己的心得體會(huì)的，是有自己的生活情感體驗(yàn)的，不同的小學(xué)生以不同的方式詮釋相同的數(shù)學(xué)內(nèi)容，這個(gè)詮釋的過程按照哲學(xué)詮釋學(xué)的觀點(diǎn)就是理解數(shù)學(xué)的過程。當(dāng)然詮釋具有多元性，不同的小學(xué)生以自己理解的不同方式詮釋數(shù)學(xué)，而且不同版本的小學(xué)數(shù)學(xué)課本都是很美的，簡(jiǎn)直就是唯美主義，小學(xué)數(shù)學(xué)課本也是一種美育思想潤(rùn)物細(xì)無聲地滲透。

當(dāng)然說小學(xué)數(shù)學(xué)是藝術(shù)并不排斥小學(xué)數(shù)學(xué)的科學(xué)性。事實(shí)上藝術(shù)與科學(xué)并非矛盾，也就是說人文與科學(xué)并不矛盾，人就是科學(xué)與人文的融合體。小學(xué)數(shù)學(xué)以藝術(shù)的形式展示數(shù)學(xué)內(nèi)容更符合兒童的認(rèn)知規(guī)律，更能使小學(xué)生接受數(shù)學(xué)，甚至對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣。

六、結(jié)語

筆者也必須承認(rèn)，小學(xué)數(shù)學(xué)不僅僅是歷史、文化、生活和藝術(shù)，小學(xué)數(shù)學(xué)也滲透了一個(gè)時(shí)代甚至一個(gè)民族的政治、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)等各個(gè)領(lǐng)域的思想，揭示了時(shí)代發(fā)展對(duì)小學(xué)生的要求。但是小學(xué)數(shù)學(xué)的歷史、文化、生活和藝術(shù)的屬性在筆者看來是比較重要的。小學(xué)數(shù)學(xué)把古代人類的數(shù)學(xué)思想與現(xiàn)代兒童的社會(huì)生活有機(jī)而緊密結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史知識(shí)與現(xiàn)實(shí)兒童生活的融合，達(dá)到民族傳統(tǒng)文化繼承和弘揚(yáng)的效果。回顧人類早期在數(shù)學(xué)史上貢獻(xiàn)的同時(shí)，為人類今天數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定必要的基礎(chǔ)。小學(xué)數(shù)學(xué)并非讓學(xué)生學(xué)到很多數(shù)學(xué)知識(shí)，而是點(diǎn)燃學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣、激情、好奇與思考。小學(xué)數(shù)學(xué)課本在編寫上就需要最大程度地開發(fā)兒童的潛能，真正把兒童的智力激發(fā)出來。因此從這個(gè)意義上講，小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該是一個(gè)火炬，引導(dǎo)小學(xué)生勇敢地沿著崎嶇的小道探索兒童生活王國(guó)的數(shù)學(xué)問題，以更好的姿態(tài)走向數(shù)學(xué)王國(guó)。

小學(xué)數(shù)學(xué)是歷史，作為教師需要懂得數(shù)學(xué)史，要以史為鑒，秉承數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾“數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就是再創(chuàng)造”的理念，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史融入教材的優(yōu)勢(shì)；要講好數(shù)學(xué)家的故事，尤其是要把數(shù)學(xué)家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的精神、品質(zhì)很好地融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，這對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的培養(yǎng)與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)信心的養(yǎng)成都會(huì)產(chǎn)生積極影響；從小學(xué)數(shù)學(xué)是文化的視角來講，要弘揚(yáng)優(yōu)秀的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，尤其是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，以此來增強(qiáng)民族文化的自信與文化的自覺；從小學(xué)數(shù)學(xué)是生活的角度來講，在教學(xué)中要以兒童的現(xiàn)實(shí)生活為背景來進(jìn)行課堂教學(xué)，在教學(xué)中也要適度貫穿數(shù)學(xué)生活化的精神。