孫銘均

(遼寧師范大學(xué) 116000)

數(shù)學(xué)家在探索線性方程時(shí)曾發(fā)現(xiàn)解方程的規(guī)律，即方程組的解只跟未知量系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)有關(guān)，與其它的內(nèi)容無關(guān)，于是提出將方程組的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)單獨(dú)提煉出來，寫成一個(gè)整齊的數(shù)據(jù)表，而這一數(shù)據(jù)表用括號(hào)表示出來，就是矩陣分解的來源.本次研究首先從矩陣分解的思想角度說明它如何簡化了大型線性方程組的計(jì)算，然后從矩陣的和式分解及應(yīng)用和矩陣的乘積分解及應(yīng)用說明如何有針對(duì)性地應(yīng)用矩陣分解的思想解決特定約束條件下大型線性方程組問題的方法.

1 矩陣分解概述

定義：設(shè)

將這兩個(gè)s×n矩陣相加，則可得

C=(cij)=(aij+bij)sn

兩個(gè)矩陣相加的和可以記為C=A+B.

矩陣的和式分解就是將以上相加的過程逆推過來，呈現(xiàn)C=A+B的矩陣分解后的矩陣和原矩陣是相同的.

2 矩陣的和式分解及應(yīng)用

2.1 矩陣的和式分解

定理1：任意一個(gè)n×n矩陣都可表示為一對(duì)稱矩陣與一反對(duì)稱矩陣之和.

定理2：秩等于r的對(duì)稱矩陣可以表成r個(gè)秩等于1的對(duì)稱矩陣之和.

證明：設(shè)A是秩為r的n階實(shí)對(duì)稱矩陣，那么存在可逆矩陣P，使得

2.2 矩陣和式分解的應(yīng)用

現(xiàn)在假設(shè)一個(gè)矩陣A可以分解成兩個(gè)或兩個(gè)以上矩陣的和的形式，那么就能夠應(yīng)用這種方式來計(jì)算與該矩陣A可交換的矩陣，及矩陣A的方冪等.

3 矩陣的乘積分解及應(yīng)用

3.1 矩陣的LU分解及應(yīng)用

LU分解：設(shè)A=(aij)是n階可逆矩陣，假設(shè)A的對(duì)角線下(上)方的元素全為零，那么即可視為當(dāng)i>j時(shí)，aij=0(當(dāng)i

定理3：LU分解定理

設(shè)A是n階可逆矩陣，那么可知存在唯一的單位下三角矩陣L和上三角矩陣U，A=LU的充分必要條件是A的所有順序主子式均非零，那么可得：

解1應(yīng)用上面的定理對(duì)矩陣(A?E)作初等行變換可得

由以上的案例可以看到矩陣的和式分解的應(yīng)用思想，就是把一個(gè)較為復(fù)雜的線性方程，以把它變成矩陣的方式，把方程結(jié)構(gòu)變得簡單，讓它降冪降次以令數(shù)學(xué)計(jì)算簡化；而矩陣的乘積分解的思路，就是利用矩陣分解過程中條件的約束和計(jì)算的關(guān)系來構(gòu)建新的矩陣，而這個(gè)矩陣是一個(gè)簡化了的，能夠反映出已知條件和解關(guān)聯(lián)特征的方程.