王 軍 鄧靖武

(1.北京市第四中學(xué) 2.北京教育學(xué)院)

多普勒現(xiàn)象是波的重要規(guī)律,在高中階段僅限于定性了解,不做定量運(yùn)算,但在強(qiáng)基計(jì)劃中經(jīng)常會(huì)要求進(jìn)行定量運(yùn)算.本文介紹了多普勒現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)及其規(guī)律,推導(dǎo)了觀測(cè)頻率和固有頻率的公式,并明確了公式在介質(zhì)靜止參考系中成立,對(duì)二維情形的多普勒公式進(jìn)行了闡述,介紹了典型應(yīng)用.

1 多普勒現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)及規(guī)律推導(dǎo)

由于波源和觀測(cè)者之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng),引起的觀測(cè)者接收頻率(記為f)與波源的頻率(記為f0)不相同的現(xiàn)象,稱為多普勒現(xiàn)象.1842年,奧地利數(shù)學(xué)和天文學(xué)家多普勒發(fā)表了《關(guān)于雙星座和某些星體的有色光波》的論文,首次描述了光的多普勒現(xiàn)象.1845年,荷蘭物理學(xué)家白貝羅在鐵路上用一節(jié)火車頭和一輛平板車來做實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)聲音(聲波)中也存在多普勒現(xiàn)象.

1.1 多普勒現(xiàn)象規(guī)律表述及釋疑

對(duì)于觀測(cè)者和波源的運(yùn)動(dòng)是一維直線運(yùn)動(dòng)的情況,規(guī)律敘述如下:(1)當(dāng)聲源A與觀測(cè)者B相互靠近時(shí),f＝,其中u是聲波的速度大小,vB是觀測(cè)者的速度大小,vA是波源的速度大小;(2)當(dāng)聲源A與觀測(cè)者B相互遠(yuǎn)離時(shí)

面對(duì)多普勒現(xiàn)象的公式,不少同學(xué)經(jīng)常會(huì)從對(duì)稱性角度對(duì)上述規(guī)律產(chǎn)生這樣的疑惑:聲源速度vA和觀測(cè)者速度vB為什么在公式中的地位不對(duì)稱? 比如針對(duì)情形(1),觀測(cè)者B靜止,波源A以速度v向著觀測(cè)者靠近,則;針對(duì)情形(2),波源A靜止,觀測(cè)者B以速度v向著波源A靠近,則f＝.(1)(2)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)是對(duì)稱的,為什么接收頻率卻不同? 究其原因,是沒有弄清楚公式中的各個(gè)速度是在什么參考系中速度的值.上述公式是在相對(duì)介質(zhì)(空氣)靜止的參考系才成立.因此,無論說誰是靜止的,都應(yīng)該明確是指相對(duì)介質(zhì)(空氣)靜止;并且,波速u是由介質(zhì)決定,也是相對(duì)介質(zhì)而言的.注意到這一點(diǎn),就能在上面(1)(2)兩個(gè)頻率公式中,由其中一個(gè)推得另一個(gè).

比如,對(duì)于(2),波源A相對(duì)介質(zhì)靜止,觀測(cè)者B以速度v向著波源A靠近時(shí),如果在觀測(cè)者B的平動(dòng)系內(nèi),則變成:觀測(cè)者B靜止,波源A以速度v向著觀測(cè)者B靠近(即(1)的情形);在這個(gè)參考系內(nèi),波速大小也發(fā)生了變化,變?yōu)閡＋v,記為u′,代入(1)中的公式為,就變成(2)中的接收頻率了.如圖1所示,圖中以圓弧代表聲波波面,表達(dá)波的速度.

圖1

聲音傳遞需要介質(zhì),因此波源相對(duì)介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)與觀測(cè)者相對(duì)介質(zhì)的運(yùn)動(dòng),將會(huì)產(chǎn)生不同的接收頻率改變效果.與聲音不同,光的傳播不需要介質(zhì),因此對(duì)于光的多普勒現(xiàn)象,不論是波源以速度v靠近觀測(cè)者,還是觀測(cè)者以速度v靠近波源,接收頻率都是相同的表達(dá)式,即,其中.遠(yuǎn)離時(shí),f＝光的多普勒現(xiàn)象規(guī)律的推導(dǎo),需要用到相對(duì)論的知識(shí),本文不再做分析.

1.2 多普勒現(xiàn)象規(guī)律推導(dǎo)

在介質(zhì)靜止參考系內(nèi),以觀測(cè)者B靜止,波源A以速度v靠近觀測(cè)者這一情形為例進(jìn)行公式推導(dǎo).

設(shè)波源A在t1時(shí)刻發(fā)出的波面(記為甲)被觀測(cè)者B在t2時(shí)刻接收到;接下來發(fā)出的波面(記為乙),是波源A在t1＋T0時(shí)刻發(fā)出,被觀測(cè)者B在t2＋T時(shí)刻接收到.這里有4個(gè)事件:波源A發(fā)出波面甲;波源A發(fā)出波面乙;觀測(cè)者B接收到波面甲;觀測(cè)者B接收到波面乙.將這4個(gè)事件反映在下面的事件圖2中.

圖2

由圖2 反映出的幾何關(guān)系可知,u(t2－t1)＝u[(t2＋T)－(t1＋T0)]＋vT0,化簡(jiǎn)為uT＝(u－v)T0.考慮到,T0是波源A發(fā)出波面甲和發(fā)出波面乙這兩個(gè)事件間隔,是波源的固有周期,對(duì)應(yīng)了波源的固有頻率;T是觀測(cè)者B接收到波面甲和接收波面乙這兩個(gè)事件間隔,是觀測(cè)周期,對(duì)應(yīng)了觀測(cè)者的觀測(cè)頻率f＝由此可得

其余情形,留給讀者們自己進(jìn)行推導(dǎo).

2 多普勒現(xiàn)象的典型應(yīng)用

例1蝙蝠在洞穴中飛來飛去,能非常有效地用超聲波脈沖導(dǎo)航.假如蝙蝠發(fā)出的超聲波頻率為39 kHz,當(dāng)它以聲速的的速度朝著表面平直的巖壁飛去時(shí),試求它聽到的從巖壁反射回來的超聲波頻率.

分析此題可以看作發(fā)生了兩次多普勒現(xiàn)象.過程1:波源(蝙蝠)靠近靜止的觀測(cè)者(巖壁);過程2:巖壁反射超聲波時(shí),將巖壁看作波源,是觀測(cè)者(蝙蝠)靠近波源(巖壁).

小結(jié)由上面的推導(dǎo)過程可見:反射回來的超聲波的頻率變化情況與波源的速度有關(guān),因此如果得知了反射回來的超聲波的頻率,也可以反推波源的速度.超聲波測(cè)速儀就是根據(jù)此原理制作的,常用于交通警察對(duì)馬路上的移動(dòng)車輛進(jìn)行測(cè)速,判斷其是否超速.這一應(yīng)用中,波源是靜止的,反射物(汽車)是運(yùn)動(dòng)的.

例2兩輛汽車A與B,在t＝0時(shí)從十字路口O處分別以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路勻速前進(jìn),如圖3 所示.汽車A持續(xù)地以固定的頻率f0鳴笛,已知聲速為u,且有u大于vA和vB.求:在任意時(shí)刻t,汽車B的司機(jī)所觀測(cè)到的笛聲頻率f.

圖3

分析本題為一道競(jìng)賽測(cè)試中的原題,如果沒有注意到A、B本質(zhì)上是一個(gè)共線的一維運(yùn)動(dòng),直接套用波源和觀測(cè)者不共線情形的接收頻率公式,會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量變大.

如果注意到本題中,A、B是從同一個(gè)點(diǎn)O出發(fā)的,就會(huì)發(fā)現(xiàn)B相對(duì)A的運(yùn)動(dòng)方向是不變的,二者本質(zhì)上是一個(gè)一維運(yùn)動(dòng),因此接收頻率是不隨時(shí)間變化的定值.從這個(gè)角度可以給出物理情境清晰、計(jì)算簡(jiǎn)潔的解答.

解在介質(zhì)(空氣)靜止的地面參考系中,B的接收頻率f是與接收時(shí)刻t無關(guān)的定值.若A在t1時(shí)刻發(fā)出的一個(gè)波面被B在t2時(shí)刻接收到,則可推知,A在t1＋T0時(shí)刻發(fā)出的一個(gè)波面必定被B在t2＋T時(shí)刻接收到;A在t1＋2T0時(shí)刻發(fā)出的一個(gè)波面必定被B在t2＋2T時(shí)刻接收到;A在t1＋3T0時(shí)刻發(fā)出的一個(gè)波面必定被B在t2＋3T時(shí)刻接收到……(其中如圖4所示,圖中各個(gè)斜線必定相互平行.

圖4

在△ABC中,有

根據(jù)幾何關(guān)系有

考慮T大于T0,所以舍去分子為減號(hào)的解.

化簡(jiǎn)后,接收頻率為

3 多普勒現(xiàn)象規(guī)律的拓展——二維情形

對(duì)于二者運(yùn)動(dòng)不共線的二維情形,將公式中的觀測(cè)者、波源速度換成在連線方向的速度分量即可得到接收頻率與固有頻率的關(guān)系(如圖5),即

圖5

提醒讀者注意,即便波源和觀測(cè)者均保持勻速運(yùn)動(dòng),但α、β是隨時(shí)間變化的,因此接收頻率將是一個(gè)隨時(shí)間變化的函數(shù).不再像是一維情形中,接收頻率是一個(gè)與時(shí)間無關(guān)的數(shù)值.

例3飛機(jī)在地面上空以速度v＝200 m·s－1做水平飛行,發(fā)出頻率為f0＝2000 Hz的聲波.靜止在地面上的觀察者測(cè)定,當(dāng)飛機(jī)在飛越觀察者上空時(shí),觀察者在4s內(nèi)測(cè)出的頻率從f1＝2400 Hz降為f2＝1600Hz.已知聲波在空氣中傳播的速度為u＝330m·s－1,求飛機(jī)的飛行高度.

分析需要明確的是題給“4s”是觀測(cè)者接收到某兩個(gè)波面的時(shí)間間隔,在觀測(cè)者接收到波面時(shí),飛機(jī)已經(jīng)離開發(fā)出相應(yīng)波面的位置了.如圖6所示.

圖6

(完)