韓曉鵬 , 宋金寶

(1.中國科學(xué)院海洋研究所, 山東 青島 266071; 2.中國科學(xué)院大學(xué), 北京 100049)

海表面波面模擬和建模方法主要有3種[1]: 第一種是基于物理方法, 即從海浪的物理特性出發(fā), 通過求解流體所滿足的 Navier-Stokes方程, 獲得流體質(zhì)點在各個時間的運動狀態(tài); 第二種是基于海浪譜的建模方法, 即利用海浪統(tǒng)計和經(jīng)驗?zāi)Ｐ秃铣刹煌恼也? 來獲得海面的仿真效果; 第三種是基于幾何方法, 即通過構(gòu)造一定的數(shù)學(xué)函數(shù)來模擬水波的外形, 合成一個海洋表面圖像。由于基于海浪譜的建模方法物理概念清晰, 計算方便迅速, 且模擬結(jié)果和實際海浪吻合度高, 而得到廣泛應(yīng)用。

基于海浪譜的海浪建模方法是指采用適當?shù)暮＠俗V模型模擬海浪。經(jīng)典的線性模型將海浪視為由多個不同振幅、不同角頻率和不同隨機位相的波迭加而成, 這樣形成的波面位移的統(tǒng)計分布滿足正態(tài)分布[2], 但對實際海浪而言, 由于不同組成波之間的非線性相互作用而導(dǎo)致其統(tǒng)計分布偏離正態(tài)分布,尤其是在淺水的條件下[3-4]或者是在深水中具有較大陡波[5-7]時。 Longuest-Higgins[8]根據(jù)弱非線性理論,給出了非線性波面統(tǒng)計模型, Song[9]在有限水深且有均勻背景流場條件下, 根據(jù)攝動方法導(dǎo)出波面位移二階表達式, 這個表達式是 Sharma和 Dean[10]導(dǎo)出波面位移二階表達式在均勻背景流場中的推廣。本文根據(jù) Longuest-Higgins模型[8]和 Song給出的結(jié)果[9], 采用 Combi海浪頻譜[12], 通過模擬和計算定點波面位移線性項和二階非線性項時間序列及其波面位移概率密度分布, 分析了不同海況條件下波面二階非線性項的特征及其隨風速、水深、反波齡和均勻背景流的變化規(guī)律。

1 定點波面位移的計算方法

考慮二維隨機海浪在有限水深且有均勻背景流的環(huán)境中傳播, 假設(shè)流體是均勻、無黏、不可壓縮和無旋的, 背景流場速度方向平行于x軸(x軸沿風速方向), 根據(jù) Longuest-Higgins[8]非線性波面模型,Song[9]導(dǎo)出的定點波面位移表達式為

其中,

這里η1和η2分別表示一階波面位移項和二階波面位移項,η表示總波面位移, 它為η1和η2的和,ai為第i個波分量的振幅,bi=ai( 1 - (kiU/ωi))為加入背景流場影響后的振幅,ωi為角頻率,ki為波數(shù),ψi=kix-ωit+εi,x表示水平一維坐標,εi代表隨機位相, 如果εi是獨立的隨機變量且均勻分布于(0,2π), 則線性波面位移η1滿足高斯分布。U表示均勻背景流場的流速,h表示水深, 頻散關(guān)系為(ωikiU)2=gkit anh(kih)。

為了下面討論方便, 我們定義

其中,為波面位移統(tǒng)計平均值,的方差為σ2, 表面波能量為在隨后討論中,我們選取參數(shù)λ3(偏度)和λ4(峰度)作為波面位移統(tǒng)計特征量, 研究不同風速、水深、反波齡和不同均勻背景流條件下波面的特征和變化規(guī)律。

根據(jù)以上波面位移二階表達式, 選取JONSWAP譜的修正形式 Combi譜[12], 譜的最大頻率取為譜峰頻率的 10倍, 模擬定點波面位移。Combi譜的形式為

這里,fp=gΩ/2πU10為譜峰頻率,Ω表示反波齡,U10表示海平面上 10 m 處的風速,α=0.006Ω0.55表示平衡域常數(shù),ft=2.5g/πU10為躍遷頻率,σ= 0.08[1 + 4Ω-3]為譜峰寬度,γD為增長因子,其形式為

同時, 由于隨機相位εi會對單次模擬的波面位移產(chǎn)生影響, 這里采用重復(fù)模擬多次波面位移, 對其進行多次平均, 以達到消除隨機位相εi影響的目的。

2 波面位移隨風速、水深、反波齡和均勻背景流的變化

2.1 二階非線性項的特征

首先考慮波面位移中二階非線性項的特征, 采用公式(7)表示的 Combi譜, 這里選取風速為 5 m/s,水深為5 m, 反波齡為0.833 3, 在忽略背景流場的條件下, 分別模擬線性項波面位移的時間序列和總的波面位移的時間序列, 其相應(yīng)波面位移的概率密度分布見圖1。

圖1 風速5 m/s, 水深5 m, 反波齡為0.833 3, 忽略背景流場的條件下, 定點波面位移的概率密度分布Fig.1 The probability density functions of wave surface elevation for wind speed at 5 m/s, water depth at 5 m, an inverse wave age of 0.8333, and no background current

根據(jù)圖1, 二階非線性項使得總的波面位移分布偏離于線性波面位移所滿足的正態(tài)分布, 與正態(tài)分布相比, 波面位移分布范圍變大, 最大概率密度值降低且對應(yīng)的波面位移值降低, 產(chǎn)生大的波面位移的概率增加, 且波峰對應(yīng)波面位移大于波谷處的波面位移, 使得波面概率分布具有明顯的非對稱特征。

2.2 波面位移概率密度分布隨風速和水深的變化

為了能夠更好地了解二階非線性項對波面位移統(tǒng)計分布的影響, 我們引入無量綱波面位移可以得到ξ的平均值為 0, 標準偏差為1。同時得到歸一化的波面位移概率密度分布P(ξ)與波面位移的概率密度分布f(η)滿足關(guān)系式

通常情況下P(ξ)偏離高斯分布, 這些差異通常用偏度和峰度來表示[14]。偏度λ3是一個表征波面位移垂向不對稱性的統(tǒng)計量,λ4表示波面位移分布相對于標準分布的峰度。

首先考慮完全發(fā)展的海況, 即Ω= 0.8333, 并且忽略背景流場, 此時波面位移的狀態(tài)只和風速和水深有關(guān)。這里我們只考慮弱非線性條件, 選取風速U10≤ 1 0m/s和水深h≥5m的情況, 其不同風速和水深條件下參數(shù)C、E、λ3和λ4的值見表1。對10 m風速U10=5 m/s、U10= 7.5 m/s和U10=10 m/s, 線性波面位移所對應(yīng)的波浪能量E1的值分別為 0.034 5 m2,0.172 2 m2和 0.543 3 m2。

表1 不同風速和水深下參數(shù)C, E, λ3, λ4的值Tab.1 Values of C, E, λ3, andλ4 for various wind speeds U10and water depths h

由表1可以看出, 參數(shù)C、E、λ3和λ4在不同風速下隨水深的變化趨勢相同。在此, 我們只選取風速為10 m/s的情況進行討論。當水深取為1 000 m時, 波面偏移量C≈0, 峰度λ4≈0, 說明在無限水深條件下波面位移分布相對于正態(tài)分布的峰度相同并且平均值為 0, 但是能量E= 0.5605m2,E1=0.5433m2,E≠E1, 并且偏度λ3趨近于常數(shù)0.144,說明即使在深水中, 波面位移關(guān)于平均水平面垂向分布存在不對稱性, 非線性效應(yīng)也不能完全忽略,二階非線性項引起的能量和偏度變化依然存在。當水深從1000 m變淺至5 m時, 波面偏移量C的絕對值由0增大到0.040 5, 能量E由0.560 5 m2增大到0.897 7 m2, 偏度λ3由0.143 6增加到1.243, 峰度λ4由0.007 8增大到0.265 1, 并且隨著風速的減小, 以上統(tǒng)計量增加的速率變小, 說明隨著水深變淺, 波浪變陡, 二階非線性相互作用增強, 使得平均波面位移逐漸降低, 二階能量所占總能量的比率增大,波面位移關(guān)于平均水平面垂向分布不對稱性加劇,無量綱波面概率密度分布峰度增大。不同水深下波面位移的概率密度分布見圖2, 為了清楚起見, 這里只給出了h=5 m, 7.5 m和100 m三種情況下波面位移的概率密度分布。

圖2 風速5 m/s, 反波齡為0.833 3, 忽略背景流場的條件下, 不同水深下波面位移的概率密度分布Fig.2 The probability density functions of wave surface elevation for various water depths, wind speed at 5 m/s, an inverse wave age of 0.8333, and no background current

同理, 選取水深為 5 m的情況下討論不同風速對波面位移的影響。當風速為5 m/s時, 波面偏移量C=-0.004 5, 能量E= 0.0359m2,E1= 0.0345m2,偏度λ3= 0.1646, 峰度λ4= 0.0173。當風速由5 m/s增至10 m/s時, 波面偏移量C的絕對值由0.004 5增大到0.040 5, 能量E由0.035 9 m2增大到0.897 7 m2,E1由0.034 5 m2增大到0.543 3 m2,E1/E的比率減小, 偏度λ3由0.143 6增加到1.243, 峰度λ4由0.017 3增大到0.265 1, 說明隨著風速增大, 波浪吸收風的能量增加, 導(dǎo)致二階非線性波波相互作用加強, 使得平均波面位移逐漸降低, 二階能量所占總能量的比率增大,波面位移關(guān)于平均水平面垂向分布不對稱性加劇, 無量綱波面概率密度分布相對峰度增大。不同風速下波面位移的概率密度分布如圖3。

圖3 水深5 m, 反波齡為0.833 3, 忽略背景流場的條件下, 不同風速下波面位移的概率密度分布Fig.3 The probability density functions of wave surface elevation for various wind speeds, water depth at 5 m,an inverse wave age of 0.8333, and no background current

2.3 波面位移隨反波齡的變化

選取風速U10= 1 0 m/s和水深h=5 m, 且忽略背景流場, 計算得到的不同反波齡條件下參數(shù)C、E、E1、λ3和λ4的值見表2。當反波齡Ω= 0.8333時,波面偏移量C= -0.040 5, 能量E= 0.8977m2,E1= 0.5433m2, 偏度λ3= 1.2430, 峰度λ4= 0.2651。當反波齡Ω由0.833 3增加到5時, 波面偏移量C的絕對值由 0.040 5減小到 0.000 5, 能量E由 0.897 7 m2減小到0.001 3 m2,E1由0.543 3 m2減小到0.001 2 m2,E1/E的比率增大, 偏度λ3由1.243 0減小到0.143 0, 峰度λ4由0.265 1減小到0.005 9, 說明隨著反波齡增大, 二階非線性項的作用減弱, 使得平均波面位移逐漸回復(fù)到靜止水面狀態(tài), 二階能量所占總能量的比率減小, 波面位移關(guān)于平均水平面垂向分布趨向?qū)ΨQ, 無量綱波面概率密度分布相對峰度降低。不同反波齡下波面位移的概率密度分布見圖4, 為了清楚起見, 這里只給出了Ω=0.8333,Ω=1和Ω=5三種情況下波面位移的概率密度分布。

圖4 風速5 m/s, 水深5 m, 忽略背景流場的條件下, 不同反波齡下波面位移的概率密度分布Fig.4 The probability density functions of wave surface elevation for various inverse wave ages, wind speed at 5 m/s, water depth at 5 m, and no background current

表2 不同反波齡下參數(shù)C、E、E1、λ3和λ4的值Tab.2 Values of C, E, E1, λ3, and λ4 for various inverse wave agesΩ

2.4 均勻背景流對波面位移隨的影響

選取風速U10=10m/s, 水深h=5m和反波齡Ω= 0.8333, 這里假定均勻背景流與風速同向或逆向, 計算得到的不同均勻背景流速(流速為正值時代表風和流同向, 流速為負值時代表風和流逆向)條件下的參數(shù)C、E、E1、λ3和λ4值見表3。當忽略背景流時, 所得到的波面偏移量C=-0.040 5, 能量E= 0.8977 m2,E1= 0.5433 m2, 偏度λ3= 1.2430,峰度λ4= 0.2651, 當風和流方向相同且流速從 0增加至0.4 m/s時, 波面偏移量C的絕對值由0.040 5增大到0.043 8, 能量E由0.897 7 m2減小到0.739 5 m2,E1由0.543 3 m2減小到0.481 8 m2,E1/E的比率增大, 偏度λ3由1.243 0減小到0.306 4, 峰度λ4由0.265 1減小到0.027 1, 這表明當背景流存在且與風速相同時, 隨著流速的增大, 使得波浪吸收能量的能力減弱, 二階非線性項的作用變?nèi)? 平均波面位移逐漸降低, 二階能量所占總能量的比率減小, 波面位移關(guān)于平均水平面垂向分布趨向?qū)ΨQ, 峰度降低。當風和流的方向相反時, 當流速從 0變?yōu)?0.4 m/s時, 波面偏移量C的絕對值由0.040 5減小到0.018 2, 能量E由0.897 7 m2增加到1.407 4 m2,E1由0.543 3 m2增加到 0.620 7 m2,E1/E的比率減小, 偏度λ3由1.243 0增大到1.801 7, 峰度λ4由0.265 1增大到0.290 2, 這表明當背景流存在且與風速相反時, 隨著流速的增大, 使得波浪吸收能量的能力增加, 二階非線性項的作用變強, 平均波面位移逐漸趨于零, 二階能量所占總能量的比率增大, 波面位移關(guān)于平均水平面垂向分布不對稱性加劇, 峰度增大。不同背景流速下波面位移的概率密度分布如下圖5, 為了清楚起見, 這里只給出了U=0.4 m/s,U=0 m/s和U=-0.4 m/s三種情況下波面位移的概率密度分布。

圖5 風速5 m/s, 水深5 m, 反波齡為0.833 3, 不同均勻背景流速下波面位移的概率密度分布Fig.5 The probability density functions of wave surface elevation for various steady and uniform current speeds,wind speed at 5 m/s, water depth at 5 m, and an inverse wave age of 0.8333

表3 不同均勻背景流速下參數(shù)C、E、E1、λ3和λ4的值Tab.3 Values of C, E, E1, λ3, and λ4 for various steady and uniform current speeds U

3 結(jié)論與討論

本文基于 Longuest-Higgins非線性海浪模型[8],在有限水深且存在均勻背景流場的條件下, 根據(jù)Song(2006)[9]導(dǎo)出的波面位移二階表達式, 采用Combi譜[12]模擬和計算了定點波面位移線性項和二階項時間序列及其相應(yīng)的波面位移概率密度分布,通過在不同風速、水深、反波齡和均勻背景流速條件下對其特征量C、E、E1、λ3和λ4的分析, 得到以下結(jié)論。

1) 二階非線性項使得波面位移分布偏離于線性波面位移所滿足的正態(tài)分布, 與正態(tài)分布相比, 波面位移分布范圍變大, 最大概率密度值降低且對應(yīng)的波面位移值降低, 產(chǎn)生大的波面位移的概率增加,且波峰對應(yīng)波面位移大于波谷處的波面位移, 使得波面概率分布具有明顯的非對稱特征。

2) 波面位移的狀態(tài)受風速、水深、反波齡和均勻背景流共同作用。即使在深水中, 二階非線性項引起的能量和偏度變化依然存在, 它使得波面位移關(guān)于平均水平面垂向分布不對稱, 波的能量增加, 導(dǎo)致非線性效應(yīng)不能忽略。風速增大、水深降低、反波齡減小或者均勻背景流和風速方向相反均使得二階能量所占總能量的比率增大, 二階非線性項的作用加強, 無因次波面位移概率密度分布的偏度和峰度隨之增大。反之, 二階能量所占總能量的比率減小,二階非線性項的作用減弱, 無因次波面位移概率密度分布的偏度和峰度隨之減小。

3) 當均勻背景流和風速相同時, 雖然非線性項的作用加強, 但平均波面位移反而比平均水平面降低, 當均勻背景流和風速相反時, 雖然非線性作用增強, 但平均波面位移反而趨于平均水平面。

[1] 鄒建武, 祝明波, 董巍.海浪建模方法綜述 [J].艦船電子工程, 2010, 30(11): 10-14.

[2] 文圣常, 余宙文.海浪理論與計算原理 [M].北京: 科學(xué)出版社, 1984: 276-305.

[3] Bitner E M.Non-linear effects of the statistical model of shallow-water wind waves [J].Applied Ocean Research, 1980, 2: 63-73.

[4] Thompson E F.Shallow water surface wave elevation distributions [J].Journal of the Waterway Port Coastal and Ocean Division, 1980, 106: 285-289.

[5] Huang N E, Long S R.Experimental study of the surface elevation probability distribution and statistics of wind-generated waves [J].Journal of Fluid Mechanics, 1980, 101: 179-200.

[6] Hudspeth R T, Chen M C.Digital simulation of nonlinear random waves [J].Journal of the Waterway Port Coastal and Ocean Division, 1979, 105: 67-85.

[7] Hu S L J, Zhao D.Non-Gaussian properties of second-order random waves [J].Journal of Engineering MeChanics, 1993, 119: 344-364.

[8] Longuet-Higgins M S.The effect of non-linearities on statistical distributions in the theory of sea waves [J].Journal of Fluid Mechanics, 1963, 17: 459-480.

[9] Song J B.Probability distribution of random wavecurrent forces [J].Ocean Engineering, 2006, 33:2435-2453.

[10] Sharma J N, Dean R G.Second order directional wave kinematics in shallow water [C]//Orville T, Magoon J,Michael H.Ocean Wave Measurement and Analysis.New York: American Society of Civil Engineers, 1994:165-179.

[11] Forristall G Z.Wave crest distributions: observations and second-order theory [J].Journal of Physical Oceanography, 2000, 30: 1931-1943.

[12] Babanin A V, Tsagareli K N, Young I R, et al.Numerical investigation of spectral evolution of wind waves.Part II: dissipation term and evolution tests [J].Journal of Physical Oceanography, 2010, 40: 667-683.

[13] Hunt J N.Direct solution of wave dispersion equation [J].Journal of the Waterway Port Coastal and Ocean Division, 1979, 105: 457-459.

[14] Song J B, Hou Y J, He Y J, et al.Statistical distribution of wave-surface elevation for second-order random directional ocean waves in finite water depth [J].Coastal Engineering, 2002, 46: 51-60.