金莫迪 胡恒睿 (指導(dǎo)教師 王清禮)

(遼寧省沈陽市遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué))

1 背景介紹與問題重述

外彈道是一個軍事術(shù)語,指的是彈丸在離開身管后的運(yùn)動和行為,簡單來說,就是炮彈在空中的飛行軌跡.反斜面也是一個軍事術(shù)語,指的是山地攻防戰(zhàn)中背向敵方、面向我方的一側(cè)山坡,使用得當(dāng)可以大幅削減敵軍直射炮火對我軍的殺傷.

2 模型建立

2.1 研究對象及符號說明

本文以美式M101105 mm 榴彈炮為研究對象,下面對它進(jìn)行基本介紹.

M101105mm 榴彈炮,炮彈初速度為472 m·s－1,口徑為105mm,射角－0.087～1.152,最大射程15km,發(fā)射的M1高爆彈重19.08kg.本文以這一型號為參考,在MATLAB 平臺上進(jìn)行數(shù)據(jù)計(jì)算,在接下來的模型建立中,本文將采用以上數(shù)據(jù)代入計(jì)算.

本文引入以下參量,下面對其符號進(jìn)行說明:

v0—炮彈的初速度

h—山頂垂直高度(以x軸為基準(zhǔn)面的相對高度)

v—炮彈的瞬時速度

a—炮彈加速度

s—炮與山頂?shù)乃骄嚯x

t—飛行時間

α—炮彈發(fā)射的角度

g—重力加速度

β—后方山坡傾角

c—阻力系數(shù)

θ—炮彈瞬時速度與水平方向夾角

ρ—空氣密度

S—炮彈的橫截面積

2.2 不考慮空氣阻力

2.2.1 假設(shè)

在研究本問題時,為了簡化模型,本文做出以下假設(shè).1)不考慮空氣阻力,即將炮彈軌跡簡化為拋物線.2)氣溫、氣壓對空氣密度的影響,地球曲率會在一定程度上影響炮彈的外彈道,但這兩項(xiàng)因素相比火炮射程來說較小,所以忽略.3)長達(dá)數(shù)十千米的炮彈射程遠(yuǎn)大于十幾米的傷害半徑,所以炮彈爆炸攻擊的范圍可以忽略.4)由于彈丸的起始擾動,彈軸即炮彈中軸并不與速度矢量完全重合,其間的夾角便稱為炮彈的攻角(或章動角).攻角也會影響外彈道,然而實(shí)際上,對于飛行穩(wěn)定的彈丸,其攻角總是不大的,因而彈丸圍繞質(zhì)心的運(yùn)動對其質(zhì)心運(yùn)動的影響比較小,所以可以忽略.5)出于高中知識限制和模型簡便考慮,本文忽略地轉(zhuǎn)偏向力,忽略炮彈在火炮身管內(nèi)的運(yùn)動情況對外彈道的影響,忽略彈丸旋轉(zhuǎn),假設(shè)空氣為靜止?fàn)顟B(tài),即忽略風(fēng)的影響.

2.2.2 公式推導(dǎo)

以炮彈發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn),水平方向?yàn)闄M軸,豎直方向?yàn)榭v軸,構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系,由速度定義式及勻加速直線運(yùn)動位移公式得

將式①代入式②中,可得炮彈的軌跡方程

2.2.3 數(shù)據(jù)代入

在推出上述公式的基礎(chǔ)上,將g、v0等常量代入公式中,得到炮彈軌跡方程.其中,g取10 m·s－2,v0＝472m·s－1.

下面進(jìn)行代入,在不考慮空氣阻力的情況下,可得以下炮彈軌跡方程:

2.2.4 初級模型檢驗(yàn)

下面運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值模擬.

陸抑非（1908—1997），名翀，初字一飛，江蘇常熟人。早年師從李西山、陳加盦，后游于吳湖帆門下，1937年由吳湖帆改字“抑非”，后以抑非字行。上世紀(jì)四五十年代，陸抑非先生在滬上與唐云、江寒汀、張大壯有“江南花卉四才子”的美稱，與陸儼少、陸維釗并稱浙江美術(shù)學(xué)院（中國美術(shù)學(xué)院前身）“三陸”。陸抑非先生不但是花鳥畫大家，也是一位杰出的藝術(shù)教育家，在國畫教育領(lǐng)域勤勤懇懇耕耘六十余年，桃李滿天下。

圖1 不考慮空氣阻力的炮彈軌跡

根據(jù)實(shí)際情況,α取值范圍為0～1.152(弧度).

通過數(shù)值模擬,找到和反斜面頂點(diǎn)(即山頂)相切時炮彈初速度與水平方向的夾角α＝0.4088(弧度),由數(shù)據(jù)模擬分析可知,在炮彈出射角范圍內(nèi),對于最高點(diǎn)而言,若炮彈發(fā)射高于該點(diǎn),必然引起落地點(diǎn)(y＝0)向右偏移,從而減小了對反斜面的轟炸范圍.這一結(jié)果也是符合軍事常識的,由于本文的研究對象為M101榴彈炮,為直射火力炮,其射程通常在一定范圍內(nèi)隨出射角度的增大而增大.所以,對于進(jìn)攻方而言,當(dāng)炮彈軌跡與最高點(diǎn)相切時,有最大轟炸范圍,那么我們就稱該角度為炮手的最佳角度.

由模擬結(jié)果可知,在不考慮空氣阻力的理想情況下,炮彈的理論射程為16252m.然而在實(shí)際作戰(zhàn)中,炮兵陣地通常不會設(shè)置在極限射程處,據(jù)此,設(shè)定s＝15000m,h＝500m,即定點(diǎn)(15000,500)為山頂位置坐標(biāo).

若反斜面(圖1 中A點(diǎn))底端點(diǎn)橫坐標(biāo)大于16252m,則反斜面可以被火力攻擊到.所以,發(fā)射角度α在實(shí)際所取范圍內(nèi)時:當(dāng)反斜面傾斜角β＜0.38(弧度)時,則防守方的反斜面有危險,會被火力覆蓋;當(dāng)反斜面傾斜角β≥0.38(弧度)時,則防守方的反斜面完全安全,敵方的火炮在α取值范圍內(nèi),無論以什么角度射擊,都無法攻擊到反斜面.

由此,可以得到以下結(jié)論:對于炮手方,存在最佳角度α＝0.4088(弧度).對于防守方,β≥0.38(弧度),則絕對安全.

2.2.5 初級模型的不足

在實(shí)際作戰(zhàn)中,空氣阻力對炮彈軌跡的影響非常大.現(xiàn)實(shí)中炮彈在橫向的速度隨時間的推移越來越慢,為不對稱的曲線軌跡.而上述模擬中,炮彈軌跡被簡化成二次函數(shù),為對稱曲線.

2.3 考慮水平方向空氣阻力

2.3.1 假 設(shè)

2.3.2 公式推導(dǎo)

以炮彈發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn),水平方向?yàn)闄M軸,豎直方向?yàn)榭v軸,構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系,如圖2所示,由受力分析得

圖2 炮彈受力情況

由拋體運(yùn)動規(guī)律可知

2.3.3 數(shù)據(jù)說明及代入

在推出公式的基礎(chǔ)上,將m、g、c、ρ、S、v0等常量代入公式中,得到炮彈軌跡方程.其中m＝19.08kg,g取10m·s－2,v0＝472m·s－1.S可利用炮彈口徑來計(jì)算,S＝πr2＝π×(0.105m)2＝,ρ取0 ℃101kPa下的標(biāo)準(zhǔn)密度1.297kg·m－3,c按照資料取近似值為0.4.

下面進(jìn)行代入,可得以下炮彈軌跡方程,考慮水平方向空氣阻力

2.3.4 模型檢驗(yàn)

運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值模擬.

根據(jù)實(shí)際情況,α取值范圍為0～1.152(弧度).

通過數(shù)值模擬,找到和反斜面頂點(diǎn)(即山頂)相切時炮彈初速度與水平方向的夾角α＝0.4088(弧度),由數(shù)據(jù)模擬分析可知,在炮彈出射角范圍內(nèi),對于最高點(diǎn)而言,若炮彈發(fā)射高于該點(diǎn),必然引起落地點(diǎn)(y＝0)向右偏移,從而減小了對反斜面的轟炸范圍.這一結(jié)果也是符合軍事常識的,由于本文的研究對象為M101榴彈炮,為直射火力炮,其射程通常在一定范圍內(nèi)隨出射的角度增大而增大.所以,對于進(jìn)攻方而言,當(dāng)炮彈軌跡與最高點(diǎn)相切時,有最大轟炸范圍,那么我們就稱該角度為炮手的最佳角度.

由模擬結(jié)果可知,在考慮水平方向空氣阻力的情況下,炮彈的理論射程為15871m.然而在實(shí)際作戰(zhàn)中,炮兵陣地通常不會設(shè)置在極限射程處,所以本節(jié)設(shè)定s＝15000m,h＝500m,即定點(diǎn)(15000,500)為山頂位置坐標(biāo).

若反斜面(圖3 中B點(diǎn))底端點(diǎn)橫坐標(biāo)大于15871m,則反斜面可以被火力攻擊到.所以,在發(fā)射角度α在實(shí)際所取范圍內(nèi)時:當(dāng)反斜面傾斜角β＜0.5218(弧度)時,則防守方的反斜面有危險,會被火力覆蓋;當(dāng)反斜面傾斜角β≥0.5218(弧度)時,則防守方的反斜面完全安全,敵方的火炮在α取值范圍內(nèi),無論以什么角度射擊,都無法攻擊到反斜面.

圖3 考慮水平方向上空氣阻力的炮彈軌跡

由此,可以得到以下結(jié)論:對于炮手方,存在最佳角度α＝0.4597(弧度).對于防守方,β≥0.5218(弧度),則絕對安全.由此可見,隨著引入水平方向的阻力,彈道末端炮彈飛行的軌跡下墜更加迅速,對反斜面的要求更苛刻.

2.4 考慮水平和豎直方向空氣阻力

2.4.1 假 設(shè)

在本條件下,做出以下假設(shè).1)僅考慮水平和豎直方向空氣阻力.2)忽略氣溫、氣壓、地球曲率的影響.3)忽略炮彈爆炸攻擊的范圍.4)由于彈丸的起始擾動,彈軸即炮彈中軸并不與速度矢量完全重合,其之間的夾角便稱為炮彈的攻角(或章動角).攻角也會影響到外彈道,然而實(shí)際上,對于能保證飛行穩(wěn)定的彈丸,其攻角總是不大的,因而彈丸圍繞質(zhì)心的運(yùn)動對其質(zhì)心運(yùn)動的影響比較小,所以可以忽略.5)出于高中知識限制和模型簡便考慮,本文假設(shè)空氣阻力系數(shù)為固定值,忽略地轉(zhuǎn)偏向力,忽略內(nèi)彈道即炮彈在火炮身管內(nèi)的運(yùn)動情況對外彈道的影響,忽略彈丸旋轉(zhuǎn),假設(shè)空氣為靜止?fàn)顟B(tài),即忽略風(fēng)的影響.

2.4.2 公式推導(dǎo)

以炮彈發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn),水平方向?yàn)闄M軸,豎直方向?yàn)榭v軸,構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系.由受力分析得,

上升階段:

由加速度定義式代入式⑦中,得

等式兩邊同取不定積分,得

由初態(tài)vy＝v0,代入上式得

所以

下降階段:

2.4.3 數(shù)據(jù)說明及代入

在推出上述公式的基礎(chǔ)上,將m、g、c、ρ、S、v0等常量代入公式中,得到炮彈軌跡方程.其中m＝19.08 kg,g取10m·s－2,v0＝472m·s－1,S利用炮彈口徑來計(jì)算S＝πr2＝π×(0.105m)2＝m2,ρ取0 ℃101kPa下的標(biāo)準(zhǔn)密度1.297kg·m－3,c通過資料查找取0.4.

2.4.4 模型檢驗(yàn)

運(yùn)用MATLAB 軟件進(jìn)行數(shù)值模擬得到炮彈軌跡如圖4所示.

圖4 考慮水平和豎直方向上空氣阻力的炮彈軌跡

根據(jù)實(shí)際情況,α取值范圍:0～1.152(弧度).

通過數(shù)值模擬,找到和反斜面頂點(diǎn)(即山頂)相切時炮彈初速度與水平方向的夾角α＝0.4088(弧度),由數(shù)據(jù)模擬分析可知,在炮彈出射角范圍內(nèi),對于最高點(diǎn)而言,若炮彈發(fā)射高于該點(diǎn),必然引起落地點(diǎn)(y＝0)向右偏移,從而減小了對反斜面的轟炸范圍.這一結(jié)果也是符合軍事常識的,由于本文的研究對象為M101榴彈炮,為直射火力炮,其射程通常在一定范圍內(nèi)隨出射角度的增大而增大.所以,對于進(jìn)攻方而言,當(dāng)炮彈軌跡與最高點(diǎn)相切時,有最大轟炸范圍,那么我們就稱該角度為炮手的最佳角度.

由模擬結(jié)果可知,在考慮水平和豎直方向空氣阻力的情況下,炮彈的理論射程為18490m.然而在實(shí)際作戰(zhàn)中,炮兵陣地通常不會設(shè)置在極限射程處,所以本節(jié)設(shè)定s＝15000 m,h＝500 m,即定點(diǎn)(15000,500)為山頂位置坐標(biāo).

若反斜面(圖4 中C點(diǎn))底端點(diǎn)橫坐標(biāo)大于18490m,則反斜面可以被火力攻擊到.

所以,發(fā)射角度α在實(shí)際所取范圍內(nèi)時,當(dāng)反斜面傾斜角β＜0.142(弧度)時,則防守方的反斜面有危險,會被火力覆蓋.當(dāng)反斜面傾斜角β≥0.142(弧度)時,則防守方的反斜面完全安全,敵方的火炮在α取值范圍內(nèi),無論以什么角度射擊,都無法攻擊到反斜面.由此,可以得到以下結(jié)論:對于炮手方,存在最佳角度α＝0.3288(弧度);對于防守方,β≥0.142(弧度),則絕對安全.由數(shù)值模擬結(jié)果可知,隨著豎直方向上阻力的引入,炮彈下降過程變得更加平緩,反倒是給防守方選擇反斜面提供了更加寬松的條件.

3 參數(shù)的靈敏度分析

由于戰(zhàn)場實(shí)際情況的不確定性,本文通過“假設(shè)”的方式將未知情況明確化,人為設(shè)置了一些參數(shù),下面本文將對參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析,進(jìn)而探討本文提出的數(shù)學(xué)模型的可靠性.

3.1 s 對結(jié)果的影響

本文在模型檢驗(yàn)部分中,提到了“在實(shí)際作戰(zhàn)中,炮兵陣地通常不會設(shè)置在極限射程處,所以本節(jié)設(shè)定s＝15000m”,可見,本文是在對火炮最大射程模擬后,根據(jù)實(shí)際情況,確定了代表值15000m.考慮到戰(zhàn)場中,火炮陣地的變化可能會很大,所以下面,令參數(shù)s在15000上下各改變10%和20%,分別計(jì)算反斜面安全角度,由數(shù)據(jù)模擬可得到表1.

表1

其表明,當(dāng)s增加10%時,β變化約為18%,當(dāng)s每減少10%時,β變化約為－15%.可見,s對結(jié)果的影響較大,當(dāng)s減少時,對我軍反斜面的傾角要求更寬松,當(dāng)s增大時,對我軍反斜面的傾角要求更苛刻.但根據(jù)資料,M101榴彈炮最大的射程約為15km,所以在本模型設(shè)定的參數(shù)下得到的反斜面傾角,基本可以達(dá)到我軍防守安全的要求.

圖5展現(xiàn)了在不同s下炮彈飛行的軌跡.

圖5 不同s 下炮彈飛行的軌跡

3.2 h 對結(jié)果的影響

本文在設(shè)置h時,選500為代表值,下面令參數(shù)h在500m 上下各改變5%和10%,分別計(jì)算反斜面安全角度,由數(shù)據(jù)模擬可得到表2.

表2

其表明,當(dāng)h變化5%時,β變化不大,這說明對h的設(shè)置是合理的,同時,在實(shí)際戰(zhàn)場中,這一結(jié)論也方便了我方觀察員選取反斜面的過程.

圖6展現(xiàn)了在不同h下炮彈飛行的軌跡.

圖6 不同h 下炮彈飛行的軌跡

3.3 m 對結(jié)果的影響

本文在設(shè)置m時,參考了M101榴彈炮的參數(shù),得到m＝19.08kg,考慮到軍工產(chǎn)品制造時對制式彈的精確度要求比較大,所以下面令參數(shù)m在19.08kg上下各改變1%和5%,分別計(jì)算反斜面安全角度,由數(shù)據(jù)模擬可得到表3.

表3

其表明,當(dāng)m每變化5%時,β總是變化不大,這說明對m的設(shè)置是合理的,這也很好地說明了,當(dāng)物體質(zhì)量較大時,其運(yùn)動時所受空氣阻力對物體運(yùn)動情況影響不大.

3.4 方位角θ 對結(jié)果的影響

考慮雙方炮兵陣地較遠(yuǎn),方位角變化1°,著彈點(diǎn)就會產(chǎn)生15000m×tan1°＝261.8m 的偏移,但實(shí)際上,對于炮彈水平方向上的偏移僅有

對于計(jì)算反斜面安全傾角的影響微乎其微,故可忽略.實(shí)際上,在真實(shí)戰(zhàn)場中,敵方炮兵對我軍陣地的炮火覆蓋不可能僅發(fā)射一發(fā)炮彈.

4 模型的更多優(yōu)化空間

本文對考慮水平和豎直方向上空氣阻力的炮彈飛行軌跡進(jìn)行了初步分析,事實(shí)上,考慮到現(xiàn)實(shí)戰(zhàn)場上更復(fù)雜的情況,本模型還有許多不足和優(yōu)化空間.

4.1 炮彈攻角

火炮在實(shí)際飛行時,其彈軸即炮彈中軸與速度矢量并不重合.彈軸與速度矢量間的夾角稱為攻角.當(dāng)攻角不等于0時,會進(jìn)一步對彈丸軌跡產(chǎn)生干擾.

圖7

4.2 風(fēng)

風(fēng)也是干擾炮彈外彈道的重要因素之一,在本文中假定空氣靜止,即不考慮風(fēng),然而實(shí)際情況中,這種理想情況是很難出現(xiàn)的.

圖8 有風(fēng)時的炮彈受力分析和有風(fēng)時的炮彈彈道

風(fēng)大致可分為橫風(fēng)和縱風(fēng).橫風(fēng)是通過改變空氣阻力的方向來影響彈道.風(fēng)既能影響阻力的大小,又能影響阻力的方向,故而改變射程.

4.3 地轉(zhuǎn)偏向力

我們都知道,地球在自轉(zhuǎn)時,會產(chǎn)生地轉(zhuǎn)偏向力,但在射程較小時可以忽略.考慮到本文研究對象為中短程火炮,其對炮彈彈道的影響較小.限于篇幅,本文不贅述.

4.4 彈丸旋轉(zhuǎn)

本文在建立模型中,忽略了彈丸旋轉(zhuǎn).事實(shí)上,不論是滑膛炮(炮管內(nèi)無膛線),還是線膛炮(炮管內(nèi)有膛線),彈丸在飛行過程中都會繞其質(zhì)心自轉(zhuǎn).這種自轉(zhuǎn)會對炮彈軌跡造成影響.

4.5 其他因素

除了上述的幾個主要因素外,還有其他的因素也會影響到最終結(jié)果,如地球曲率、炮彈形狀、炮彈爆炸范圍等,但是這些因素相較于長達(dá)十?dāng)?shù)千米的火炮射程來說影響極小,所以在這里不做贅述.

5 總結(jié)與展望

本文分析了無空氣阻力、考慮水平方向空氣阻力、考慮水平和豎直方向的空氣阻力三種情況下的彈丸彈道以及對應(yīng)的防御陣地范圍,并利用計(jì)算機(jī)模擬來精確驗(yàn)證公式的準(zhǔn)確性,給出數(shù)值上的最優(yōu)解.通過每一次的優(yōu)化與推導(dǎo),逐步精確了防御陣地范圍.

目前,本文僅以空氣阻力對彈丸彈道軌跡的影響為主體優(yōu)化方向進(jìn)行了幾次優(yōu)化.但由于現(xiàn)實(shí)中環(huán)境的復(fù)雜性,該模型仍需通過考慮其他因素進(jìn)一步加以優(yōu)化.如前文中所述,炮彈攻角、風(fēng)、地轉(zhuǎn)偏向力、彈丸旋轉(zhuǎn)等因素在理論上對彈丸彈道的影響仍然存在,在具體的科研實(shí)踐中,仍需利用優(yōu)化數(shù)學(xué)模型以及結(jié)合具體實(shí)驗(yàn),來更精確地描述炮彈飛行軌跡.

(完)